Как решать рациональные выражения
Действия с рациональными числами: правила, примеры, решения
Ниже рассмотрим правила основных математических действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Разберем теорию на практических примерах.
Действие сложения рациональных чисел
Рациональные числа содержат натуральные, тогда смысл действия сложения рациональных чисел сопоставим со смыслом сложения натуральных. Например, сумму рациональных чисел, записанную как 5 + 1 4 возможно описать следующим образом: к 5 целым предметам добавили четверть такого предмета, после чего полученное количество рассматривается совместно.
Сформулируем правила сложения рациональных чисел:
Сложение нуля с отличным от него рациональным числом
Прибавление нуля к любому числу дает то же число. Данное правило возможно записать в виде равенства: a + 0 = a (для любого рационального числа а). Используя переместительное свойство сложения, получим также верное равенство: 0 + a = a .
Сложение противоположных рациональных чисел
Сумма противоположных чисел равна нулю.
Сложение положительных рациональных чисел
В виде обыкновенной дроби возможно представить любое положительное рациональное число и использовать далее схему сложения обыкновенных дробей.
Решение
Осуществим сложение дробей с разными знаменателями:
6 10 + 5 9 = 54 90 + 50 90 = 104 90 = 1 7 45
Рациональные числа, которые подвергают действию сложения, возможно записать в виде конечных десятичных дробей или в виде смешанных чисел и, таким образом, осуществить сложение десятичных дробей и смешанных чисел соответственно.
Сложение рациональных чисел с разными знаками
Для того, чтобы осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками, необходимо из бОльшего модуля слагаемых вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Решение
Сложение отрицательных рациональных чисел
Для того, чтобы произвести сложение отрицательных рациональных чисел, необходимо сложить модули заданных слагаемых, затем полученному результату присвоить знак минус.
Решение
Действие вычитания рациональных чисел
При вычитании из бОльшего положительного рационального числа мы либо производим вычитание обыкновенных дробей, либо, если это уместно, вычитание десятичных дробей или смешанных.
Решение
Необходимо из рационального числа 2 7 вычесть рациональное число 5 3 7
Решение
Действие умножения рациональных чисел
Общее понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, так же как от целых к рациональным. Все действия с целыми числами имеют те же свойства, что и действия с натуральными. В таком случае, и действия с рациональными числами также должны характеризоваться всеми свойствами действий с целыми числами. Но для действия умножения рациональных чисел присуще дополнительное свойство: свойство умножения взаимообратных чисел. Вышесказанному соответствуют все правила умножения рациональных чисел. Укажем их.
Умножение на нуль
Произведение любого рационального числа a на нуль есть нуль.
Умножение на единицу
Т.е. a · 1 = a или 1 · a = a (для любого рационального a ). Единица здесь является нейтральным числом по умножению.
Умножение взаимообратных чисел
К примеру, результатом произведения чисел 5 6 и 6 5 будет единица.
Умножение положительных рациональных чисел
В общих случаях умножение положительных рациональных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Первым действием множители представляются в виде обыкновенных дробей, если заданные числа таковыми не являются.
Решение
Можно также работать и с конечными десятичными дробями. Удобнее будет в данном случае не переходить к действиям над обыкновенными дробями.
Решение
Перемножим десятичные дроби столбиком:
В частных случаях нахождение произведения рациональных чисел представляет собой умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную или десятичную дробь.
Умножение рациональных чисел с разными знаками
Чтобы найти произведение рациональных чисел с разными знаками, необходимо перемножить модули множителей и полученному результату присвоить знак минус.
Решение
Умножение отрицательных рациональных чисел
Для того, чтобы найти произведение отрицательных рациональных чисел, необходимо перемножить модули множителей.
Перемножим их столбиком:
Полученный результат и будет являться искомым произведением.
Деление рациональных чисел
На множестве рациональных чисел деление не считается самостоятельным действием, поскольку оно производится через действие умножения. Собственно, этот смысл заложен в правило деления рациональных чисел.
Таким образом, деление рационального числа на другое рациональное число, отличное от нуля, сводится к действию умножения рациональных чисел.
Решение
Грамотное преобразование рациональных выражений
Рациональные выражения и дроби — краеугольный пункт всего курса алгебры. Те, кто научатся работать с такими выражениями, упрощать их и раскладывать на множители, по сути смогут решить любую задачу, поскольку преобразование выражений — неотъемлемая часть любого серьёзного уравнения, неравенства и даже текстовой задачи.
В этом видеоуроке мы посмотрим, как грамотно применять формулы сокращённого умножения для упрощения рациональных выражений и дробей. Научимся видеть эти формулы там, где, на первый взгляд, ничего нет. Заодно повторим такой нехитрый приём, как разложение квадратного трёхчлена на множители через дискриминант.
Как вы уже наверняка догадались по формулам за моей спиной, сегодня мы будем изучать формулы сокращенного умножения, а, точнее, не сами формулы, а их применение для упрощения и сокращения сложных рациональных выражений. Но, прежде чем переходить к решению примеров, давайте познакомимся ближе с этими формулами или вспомним их:
Еще хотел бы отметить, что наша школьная система образования устроена таким образом, что именно с изучением этой темы, т.е. рациональных выражений, а также корней, модулей у всех учеников возникает одна и та же проблема, которую я сейчас объясню.
Дело в том, что в самом начале изучения формул сокращенного умножения и, соответственно, действий по сокращению дробей (это где-то 8 класс) учителя говорят что-то следующее: «Если вам что-то непонятно, то вы не переживайте, мы к этой теме еще вернемся неоднократно, в старших классах так точно. Мы это еще разберем». Ну а затем на рубеже 9-10 класса те же самые учителя объясняют тем же самым ученикам, которые так и не знают, как решать рациональные дроби, примерно следующее: «А где вы были предыдущие два года? Это же изучалось на алгебре в 8 классе! Чего тут может быть непонятного? Это же так очевидно!».
Однако обычным ученикам от таких объяснений нисколько не легче: у них как была каша в голове, так и осталась, поэтому прямо сейчас мы разберем два простых примера, на основании которых и посмотрим, каким образом в настоящих задачах выделять эти выражения, которые приведут нас к формулам сокращенного умножения и как потом применять это для преобразования сложных рациональных выражений.
Сокращение простых рациональных дробей
Задача № 1
Первое, чему нам нужно научиться — выделять в исходных выражениях точные квадраты и более высокие степени, на основании которых мы сможем потом применять формулы. Давайте посмотрим:
Перепишем наше выражение с учетом этих фактов:
Задача № 2
Переходим ко второй задаче:
Упрощать тут нечего, потому что в числителе стоит константа, но я предложил эту задачу именно для того, чтобы вы научились раскладывать на множители многочлены, содержащие две переменных. Если бы вместо него был написанный ниже многочлен, как бы мы разложили его?
Мы можем переписать трехчлен следующим образом:
Запишем разложение нашей квадратной конструкции:
\[\left( x-y \right)\left( x+6y \right)\]
Итого если мы вернемся к исходному выражению и перепишем его с учетом изменений, то получим следующее:
Что нам дает такая запись? Ничего, потому что его не сократить, оно ни на что не умножается и не делится. Однако как только эта дробь окажется составной частью более сложного выражения, подобное разложение окажется кстати. Поэтому как только вы видите квадратный трехчлен (неважно, отягощен он дополнительными параметрами или нет), всегда старайтесь разложить его на множители.
Нюансы решения
Запомните основные правила преобразования рациональных выражений:
Таким образом, как только вы видите рациональные дроби, первое, что нужно сделать — это разложить и числитель, и знаменатель на множители (на линейные выражения), при этом мы используем формулы сокращенного умножения или дискриминант.
Давайте посмотрим на пару таких рациональных выражений и попробуем их разложить на множители.
Решение более сложных примеров
Задача № 1
Переписываем и стараемся разложить каждое слагаемое:
\[6xy=2\cdot 3\cdot x\cdot y=2x\cdot 3y\]
Давайте перепишем все наше рациональное выражение с учетом этих фактов:
Алгебра
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Понятие рационального выражения
В 5 и 6 классе мы уже изучали дроби и действия над ними. В 7 классе рассматривались рациональные числа, которые, по сути, и являются дробями. Однако до этого мы изучали только так называемые числовые дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят какие-то числа либо выражения с числами, но не переменные величины.
Следующие дроби являются числовыми:
Однако нередко в алгебре приходится иметь дело и с дробями, которые содержат переменные. В качестве примера подобных выражений можно привести:
Так как деление на ноль является недопустимой операцией в алгебре, то некоторые дроби могут не иметь смысла. Так, дробь
бессмысленна, так как ее знаменатель 21 – 3•7 равен нулю.
Если дробь содержит переменные величины, то ее значение зависит от этих переменных. Так, дробь
при у = 4 принимает значение, равное 9. Если же у = 3, то эта дробь окажется бессмысленной.
Значения переменных величин, при которых дробь сохраняет свой смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Пример. Укажите множество допустимых значений величин х и у для дроби
Решение. Недопустим только случай, при котором в знаменателе находится ноль, то есть когда выполняется равенство
или равносильное ему равенство
Следовательно, допустимыми значениями являются все такие пары (х; у), что х ≠ у.
Пример. Каковы допустимые значения величин а и b в дроби
Решение. В данной записи есть три дробных черты, а значит, и три знаменателя:
Ни один из знаменателей не должен равняться нулю, поэтому
Перенесем в последнем неравенстве 2-ое слагаемое вправо, изменив знак (правила преобразований выражений со знаком ≠ точно такие же, как и у равенств):
По свойству пропорции имеем:
Итак, допустимыми являются все значения a и b, при которых а ≠ 0, b≠ 0, a≠b.
Пример. Найдите множество допустимых значений х для дроби
Ясно, что знаменатель должен отличаться от нуля:
Чтобы найти, при каких значениях неизвестной величины знаменатель обращается в ноль, надо решить уравнение
Представим полином в левой части как произведение, применив формулу квадрата разности:
Получаем, что исходная дробь сохраняет смысл при любых х, отличных от – 5 и 5.
Порою дроби, содержащие переменные, могут встречаться в тождествах.
Пример. Докажите тождество
Решение. У дроби в левой части знаменатель всегда положителен, поэтому все допустимыми являются все значения c. Согласно свойству операции деления, делимое равно произведению делителя и частного, поэтому для доказательства тождества надо лишь показать справедливость равенства
(с 3 – 2с 2 + с – 2) = (с – 2)(с 2 + 1)
Раскроем скобки в правой части:
(с – 2)(с 2 + 1) = с 3 – 2с 2 + с – 2
Получили одинаковое выражение и для левой, и для правой части тождества, следовательно, оно верное.
Теперь сформулируем понятие рационального выражения.
Среди рациональных выражений выделяют целые и дробные выражения.
Приведем примеры целых рациональных выражений:
А вот несколько примеров дробных рациональных выражений:
Стоит заметить, что дробь и дробное выражение – это два разных понятия. Для иллюстрации приведем два примера:
Отдельно отметим, что дробь равна нулю тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель нет. Если же и знаменатель равен нулю, то получается недопустимое действие – деление на ноль, поэтому дробь не будет иметь смысла.
Пример. Найдите все корни уравнения
Решение. На первый взгляд уравнение кажется сложным, особенно из-за знаменателя. Однако он здесь почти не играет роли. В левой части находится дробь, значит, нулю равен ее знаменатель:
х – 1 = 0 или х + 2 = 0
Получили два корня. Осталось убедиться, что при этих значениях х дробь не становится бессмысленной, то есть ее знаменатель не обращается в ноль. При х = 1 имеем знаменатель
2•1 4 – 3•1 3 + 5•1 – 4 = 2 – 3 + 5 – 4 = 0
поэтому число 1 НЕ является корнем уравнения. Теперь проверим знаменатель при х = – 2:
2•(– 2) 4 – 3•( – 2) 3 + 5•( – 2) – 4 =
Получается, что единственное корень уравнения – это ( – 2).
Сокращение рациональных выражений
Узнав, какие выражения являются рациональными, мы приступим к изучению их преобразований. Напомним главное свойство дроби:
Оно означает, что числитель и знаменатель можно умножить на произвольное число (кроме нуля), то значение дроби останется прежним:
Это правило остается верным и в том случае, когда вместо чисел используются переменные величины.
Например, возможны такие преобразования рациональных выражений:
Например, пусть надо привести дробь
6а 2 b 2 = 2а 2 b•3b
Поэтому выражения над и под дробной чертой надо умножить на 3b:
Использованный нами множитель 3b называют дополнительным множителем.
Обратная операция, при которой из знаменателя и числителя убирают совпадающие множители, называется сокращением дроби:
Это тождество означает, что дроби можно сокращать, убирая общий множитель, например:
Аналогичные действия можно совершать не только с числовыми дробями, но и с дробными выражениями:
В последнем примере мы вынесли общие множители за скобки (2х и 7у), чтобы над и под чертой появилась одинаковая сумма х + 3у, которую можно сократить.
Однако при сокращении дробей важно учитывать область ее допустимых значений, ведь из-за изменения знаменателя она может измениться. Например, пусть требуется построить график функции
В числителе стоит разность квадратов, которую можно разложить на множители:
Казалось бы, мы получили линейную функцию
чей график нам известен – это прямая. Но она определена при всех возможных х, в то время как исходная дробь бессмысленна при х = 2, ведь тогда знаменатель становится равен нулю. Поэтому график функции будет выглядеть как прямая, однако одна из ее точек, с координатами (2; 4), будет «выколотой» точкой, и исключенной:
Данный рисунок означает, что графиком функции – прямая линия, кроме точки (2; 4)
Выколотая точка на графике изображается маленьким незакрашенным кружочком.
Следующее важное свойство дроби связано со знаком минус. Знак, стоящий перед дробью, можно перенести либо в знаменатель, либо в числитель:
Также напомним, что можно поменять местами уменьшаемое и вычитаемое в скобках, если изменить перед ней знак:
Применение этих правил позволяет упрощать некоторые дроби, например:
Более сложный пример:
Рассмотрим такое понятие, как однородный многочлен. Так называют тот полином, у которого все одночлены имеют одинаковую степень.
Подробнее о степени одночлена можно узнать в этом уроке. Если коротко, то степень одночлена – эта сумма степеней у всех переменных, входящих в его буквенную часть. Например, у следующих мономов степень равна 4:
В отношении однородных полиномов, состоящих из двух переменных, можно применять особый прием. Достаточно поделить его на одну из переменных в степени полинома, и получится выражение, зависящее только от одной дроби. Поясним это на примере. Пусть надо вычислить значение отношения
если известно другое отношение:
В исходной дроби представляет собой отношение двух однородных полиномов третьей степени. Поэтому поделим их на y 3 (можно было делить и на х 3 ). При этом значение дроби не изменится, ведь мы делим числитель и знаменатель на одинаковый моном:
Получили выражение, которое зависит только от отношения
Попытаемся найти эту величину из условия
Отсюда следует, что
Теперь подставим найденное отношение в формулу(1):
До этого мы рассматривали примеры дробных выражений, состоящие из полиномов с целыми коэффициентами. Если же используются дробные числа, то от них всегда можно избавиться, домножив дробь на какое-нибудь число.
Например, дана дробь
Коэффициенты при у и у 2 дробные. Избавимся от них. Для этого используем дополнительный множитель 12:
Далее рассмотрим сложение и вычитание дробных выражений. Проще всего эту операцию проводить в том случае, когда у дробей совпадают знаменатели. В такой ситуации используются уже нам известные правила:
Сложим две величины:
В их знаменателе стоит одинаковый полином, а потому операция будет выглядеть так:
Здесь мы в числителе использовали формулу квадрата разности.
Теперь вычтем из выражения
У них совпадают знаменатели, поэтому проблем с вычитанием не возникает:
Заметим, что обычно у дробных выражения стараются сокращать до тех пор, пока не получится несократимая дробь.
Если у дробей различные знаменатели, то приводят к общему знаменателю, домножая их на какой-нибудь дополнительный множитель.
Рассмотрим следующий пример:
Есть и более простой способ найти общий знаменатель, для этого достаточно просто перемножить знаменатели дробей-слагаемых. Однако дальнейшие преобразования будут более долгими. Решим таким путем тот же пример:
В числителе возможно вынесение общего множителя 2ху за скобки:
Видно, что конечный результат операции не изменился.
Если в знаменателях складываемых дробей стоят многочлены, то стоит попробовать разложить их на множители. За счет этого порою удается найти более простой общий знаменатель.
Пусть надо сложить выражения
Вынесем в знаменателях за скобки множители х и у:
В знаменателях есть похожие множители, (3х – у) и (у – 3х). Чтобы они оказались одинаковыми, надо поменять местами вычитаемое и уменьшаемое в одних скобках. Для этого перед ними надо добавить знак «минус»:
Общим множителем этих дробей является произведение ху(3х – у):
Осталось разложить числитель, где стоит разность квадратов:
Следующий важный навык, который может потребоваться при работе с рациональными выражениями – это выделение целой части из дроби.
Продемонстрируем эту операцию на примере
Перепишем дробь, поменяв порядок слагаемых в числителе:
И в знаменателе, и в числителе есть сумма х 2 + 1. Теперь можно произвести выделение целой части:
В справедливости данного преобразования можно убедиться, выполнив его «в обратную сторону»:
Любой многочлен можно сделать дробью, если приписать ему числитель, равный 1. Пусть надо упростить формулу
Заменим 2х – 1 на дробь и произведем вычитание:
Упростить далее эту дробь довольно сложно, но всё же возможно. Для этого надо заменить одночлен (– 3х 2 ) на разность (– х 2 – 2х 2 ), а 14х на сумму (6х+8х). Посмотрим, что получится в результате:
Складывать можно и более двух дробей. Пусть надо упростить сумму
Будем складывать слагаемые последовательно, то есть сначала сложим два первых слагаемых, потом к результату добавим третье, а далее и 4-ое слагаемое:
Представление дроби в виде суммы дробей
Сумму двух дробей можно представить в виде несократимой дроби единственным образом, например:
Однако у обратной задачи, разложения одной дроби на сумму нескольких других, есть бесконечной множество решений:
То же самое верно в отношении дробных выражений. Например,
можно разложить так:
С другой стороны, это же выражение можно представить в следующем виде:
Для раскладывания дроби на сумму дробей можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов, предложенным Рене Декартом в 1637 году. Покажем, как его использовать, на примере. Пусть надо представить в виде суммы двух дробей отношение
Заметим, что знаменатель х 2 – 4 можно записать как произведение полиномов первой степени (х – 2)(х + 2):
Это означает, что исходное выражение можно представить как сумму дробей со знаменателями (х – 2) и (х + 2). Обозначим числители в этих дробях как неизвестные величины aи b (они и носят название неопределенных коэффициентов). Тогда можно записать, что
Задача сводится к тому, чтобы найти a и b. Для этого преобразуем сумму дробей:
Полученная дробь должна равняться исходной дроби:
У правой и левой части равны знаменатели, а значит, должны равняться и числители:
(a + b)x + (2a– 2b) = 2x + 6
Это тождество может быть верным только тогда, когда справа и слева равны коэффициенты перед переменной х, а также свободные члены, поэтому можно записать систему:
Решив эту систему, мы сможем найти значения a и b. Используем метод подстановки, выразив а из первого уравнения:
Подставим эту формулу во второе уравнение:
а = 2 – b = 2 – (– 2,5) = 2 + 2,5 = 4,5
Итак, получили, что a = 4,5 и b = – 2,5. Это значит, исходную дробь можно разложить следующим образом:
Теперь рассмотрим, как производится умножение и деление дробных выражений. Эти действия аналогичны операциям с обычными числами, которые уже изучались в 5 классе. Напомним две основные формулы:
Пусть требуется перемножить величины
Эта операция осуществляется так:
Теперь посмотрим, как выполняется деление:
Деление заменяется умножением на дробь, обратную делителю:
Для упрощения выражений часто используют формулы сокращенного умножения:
При возведении дроби в степень надо отдельно возводить в степени знаменатель и числитель:
Вообще для любого натурального числа nбудет верным тождество:
Пусть надо возвести в 4-ую степень дробь
Выглядеть это будет так:
Преобразование рациональных выражений
Если у дроби в знаменателе и числителе записаны полиномы, то ее называют рациональной дробью. В виде рациональной дроби можно записать любое рациональное выражение.
Пусть надо записать в виде рациональной дроби выражение
Сначала выполним вычитание в скобках, а потом и деление:
Обратим внимание, что выражение
представляет собой не что иное, как разность квадратов, для которой можно применить формулу сокращенного умножения:
(2а + 1) 2 – (2а – 1) 2 = (2а + 1 + 2а – 1)( 2а + 1 – (2а – 1)) =
= (2а + 1 + 2а – 1)( 2а + 1 – 2а + 1).
Используя это, продолжим работать с дробью:
Однако иногда удобнее не производить вычисления в скобках, а использовать распределительный закон умножения:
Пусть требуется упростить произведение:
Сначала раскроем скобки:
Часто проблемы возникают с так называемыми «многоэтажными» дробями. Так называют дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят другие дробные выражения. Выглядят они внушительно, однако правила работы с ними такие же, как и с другими выражениями. Каждая дробная черта просто означает операцию деления.
Пусть требуется выполнить преобразование дробного рационального выражения
Сначала представим эту дробь как операцию деления:
Теперь в каждой из скобок произведем сложение:
Основные сведения о рациональных выражениях в алгебре
Основные определения
Рациональное выражение представляет собой такое выражение, в состав которого включены числа, переменные, арифметические действия и операции возведения в степень.
Частными случаями рациональных являются следующие выражения, которые часто встречаются на уроках алгебры в средних классах и при выполнении контрольных работ по математике:
Преобразование рационального выражения представляет собой запись такого выражения в упрощенном виде.
Когда требуется преобразовать рациональное выражение, которое может состоять из разных операций, действия следует выполнять по порядку:
Виды и свойства рациональных выражений
Целыми выражениями называют такие выражения, в состав которых входят числа и переменные, операции сложения, вычитания, умножения и деления на число, не равное нулю.
Целыми выражениями являются:
Дробными выражениями называют такие выражения, которые кроме операций сложения, вычитания, умножения и деления на число, не равное нулю, включают в себя деление на выражение с переменными.
Вместе целые и дробные выражения относятся к рациональным выражениям.
Рассмотренные виды рациональных выражений обладают определенными свойствами. Например, целое выражение имеет смысл при разных значениях, которые принимают переменные, входящие в состав целого выражения. По этой причине в любом случае представляется возможным совершать действия для определения этих значений.
Дробное выражение, в отличие от целого, при определенных значениях, которые принимает переменная, может не обладать смыслом. Например:
Если значения переменных таковы, что знаменатель отличен от нуля, то такое дробное выражение имеет смысл.
Допустимые значения — такие значения переменных, при которых выражение приобретает смысл.
Рациональная дробь представляет собой дробь с числителем и знаменателем в виде многочленов.
В случае рациональной дроби допускаются такие значения переменных, при которых знаменатель дроби отличен от нуля.
Алгоритм определения допустимых значений переменных в дроби:
При решении задач с рациональными выражениями следует руководствоваться таким же порядком действий, который предусмотрен для арифметических операций. В первую очередь выполняют действия с выражениями, заключенными в скобках. Далее приступают к умножению и делению, возведению в степень. В последнюю очередь выражения складывают и вычитают.
Доказать тождество — продемонстрировать равенство частей выражения слева и справа при любых значениях, которые принимают переменные.
Главные методы решения тождеств, которые можно занести в конспект:
Решение рациональных выражений: примеры задач
Дано тождество, которое требуется доказать с объяснениями:
Заметим, что в данном случае целесообразно начать с преобразования левой части выражения. Согласно стандартному алгоритму действий, выполним операции в скобках:
Вынесем общие множители. Выполним преобразование выражения, на которое предполагается деление:
Найдем результат деления:
Получилось равенство правой и левой частей. Можно сделать вывод о том, что тождество доказано. Заметим, что в процессе преобразований достаточно крупное выражение стало небольшим. Преобразования позволяют упростить выражения при решении большинства задач.
Требуется упростить выражение:
Выполним преобразования в первых скобках:
Выполним преобразования во вторых по счету скобках:
Определим результат деления и запишем ответ:
Дано выражение, в котором требуется выполнить действия:
Согласно стандартному алгоритму, сначала выполняют действия с выражениями, заключенными в скобках:
Далее можно приступить к делению:
Затем приступим к вычитанию:
Задания для самостоятельной работы
Нужно доказать следующее тождество:
Необходимо упростить выражение:
Дано выражение, действия в котором требуется выполнить: