Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Определение квадратного неравенства
Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.
Квадратное неравенство выглядит так:
Квадратное неравенство можно решить двумя способами:
Решение неравенства графическим методом
При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.
Как дискриминант влияет на корни уравнения:
Решение неравенства методом интервалов
Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.
Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.
Если неравенство со знаком
Плюс или минус: как определить знаки
Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:
если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,
если a 0, последовательность знаков: +, +,
Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.
Неравенство примет вид:
В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.
Отобразим эти данные на чертеже:
2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.
Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.
Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3
Универсальным методом решения неравенств по праву считается метод интервалов. Именно его проще всего использовать для решения квадратных неравенств с одной переменной. В этом материале мы рассмотрим все аспекты применения метода интервалов для решения квадратных неравенств. Для облегчения усвоения материала мы рассмотрим большое количество примеров разной степени сложности.
Алгоритм применения метода интервалов
Рассмотрим алгоритм применения метода интервалов в адаптированном варианте, который пригоден для решения квадратных неравенств. Именно с таким вариантом метода интервалов знакомят учеников на уроках алгебры. Не будем усложнять задачу и мы.
Перейдем собственно к алгоритму.
У нас есть квадратный трехчлен a · x 2 + b · x + c из левой части квадратного неравенства. Находим нули из этого трехчлена.
Отметив знаки значений трехчлена и нанеся штриховку над отрезками, мы получаем геометрический образ некоторого числового множества, которое фактически является решением неравенства. Нам остается лишь записать ответ.
Остановимся подробнее на третьем шаге алгоритма, который предполагает определение знака промежутка. Существует несколько подходов определения знаков. Рассмотрим их по порядку, начав с наиболее точного, хотя и не самого быстрого. Этот метод предполагает вычисление значений трехчлена в нескольких точках полученных промежутков.
Намного быстрее определить знаки можно с учетом следующих фактов.
При положительном дискриминанте квадратный трехчлен с двумя корнями дает чередование знаков его значений на промежутках, на которые разбивается числовая ось корнями этого трехчлена. Это значит, что нам вовсе не обязательно определять знаки для каждого из интервалов. Достаточно провести вычисления для одного и проставить знаки для остальных, учитывая принцип чередования.
У квадратных трехчленов с одним корнем, когда дискриминант равен нулю, мы получаем два промежутка на координатной оси с одинаковыми знаками. Это значит, что мы определяем знак для одного из промежутков и для второго ставим такой же.
Примеры решения квадратных неравенств
Рассмотрим примеры решения квадратных неравенств с использованием рассмотренного выше алгоритма.
Решение
Запишем аналитически числовое множество по полученному графическому изображению. Мы можем сделать это двумя способами:
Решение
Для начала найдем корни квадратного трехчлена из левой части неравенства:
Имеет ли квадратное неравенство x 2 + x + 7 0 решения?
Решение
Графическое изображение будет иметь вид числовой прямой без отмеченных на ней точек.
В результате вычислений мы получили пустое множество. Это значит, что данное квадратное неравенство решений не имеет.
Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие квадратного уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 8 + 4 = 12. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 12 = 12.
Уравнением можно назвать выражение 8 + x = 12, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени, значит, такое уравнение является квадратным.
Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Есть три вида квадратных уравнений:
Понятие дискриминанта
Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, которое находится под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.
Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.
Чаще всего для поиска дискриминанта используют формулу:
В этом ключе универсальная формула для поиска корней квадратного уравнения выглядит так:
Эта формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.
Но есть и другие формулы — все зависит от вида уравнения. Чтобы в них не запутаться, сохраняйте табличку или распечатайте ее и храните в учебнике.
Как решать квадратные уравнения через дискриминант
В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный. Только после этого вычисляем значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.
Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
А вот и еще одна табличка: в ней вы найдете формулы для поиска корней квадратных уравнений при помощи дискриминанта:
Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, важно практиковаться. Вперед!
Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта
Ответ: корень уравнения 3.
Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.
3) Отметим корни на оси \( Ox\) и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим «\( +\)», а там где ниже – «\( —\)».
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий(ие) «\( +\)» или «\( —\)», в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое — не входят.
Квадратичная функция
Итак, давай разбираться.
Квадратичная функция – это функция, которую можно записать вот такой формулой: \( y=a<^<2>>+bx+c\), где \( x\) – независимая переменная, \( a\), \( b\) и \( c\) – некоторые числа, при этом \( a\ne 0\).
К примеру, \( y=2<^<2>>-3x+4\). Чему здесь равны \( a\), \( b\) и \( c\)?
Ну, конечно, \( a=2\), \( b=-3\) и \( c=4\)!
Как уже упоминалось в теме «Квадратные уравнения», графиком такой функции выступает парабола.
В зависимости от значения \( a\) ветви графика направлены вверх или вниз:
Если парабола не пересекает ось Х и ее ветви направлены вверх, функция при всех значениях Х принимает лишь положительные значения.
Если парабола не пересекает ось Х и ее ветви направлены вниз – лишь отрицательные.
В случае, когда у уравнения (\( 1\)) ровно один корень (например, если дискриминант равен нулю), это значит, что график касается оси \( Ox\):
Тогда, аналогично предыдущему случаю, при \( a>0\) функция неотрицательна \( \left( f(x) \ge 0 \right)\) при всех \( x\), а при \( a 0\), то всё выражение больше 0, и наоборот.
Внимание! К этой теме имеются дополнительные материалы в Особом разделе 555. Для тех, кто сильно «не очень. » И для тех, кто «очень даже. » )
2. -x 2 +3x > 0
3. x 2 ≤ 4
Подготовка заключается в тождественных преобразованиях неравенств. Прогуляйтесь по ссылке, если хотите узнать главную ошибку учеников при решении любых неравенств.) Там всё просто. Да и полезная информация по неравенствам имеется.
Решение квадратных неравенств. Примеры.
Решение будем разбирать на конкретных примерах. Сразу обрадую: любые квадратные неравенства решаются так, как написано далее. Любое решение состоит из трёх шагов. Первый пример я распишу очень подробно. Для понимания. Кто осилит решение до конца, получит приятный бонус.)
1. Решить неравенство:
Первый шаг решения.
Первый шаг всегда одинаков и прост до ужаса.) Делаем из неравенства уравнение:
Решаем это уравнение.
Знак неравенства на этом этапе нас совершенно не интересует.
Решаем, как обычно, без всяких фокусов, через дискриминант. Получаем корни:
Первый шаг сделан. Можно передохнуть.) Сейчас начнётся самое интересное.
Второй шаг решения.
На этом шаге мы ничего решать не будем. Мы будем рисовать.) Да-да! Квадратные неравенства, как правило, решаются графически.
Знак неравенства и на этом этапе нас совершенно не интересует.
Слово «парабола» вам знакомо?) Вам повезло. В этом случае специально запоминать ничего не придётся. Один раз разобраться, и проблем не будет. В противном случае придётся запомнить алгоритм решения механически. Алгоритм приведён ниже.
Итак, на первом шаге мы из неравенство сделали уравнение. Решили его. На втором шаге из уравнения сделаем параболу:
Нарисуем эту параболу на графике. Вот такая она получится:
Если возьмём любую точку левеех=2, например х2, то соответствующий ему у2 будет положительный. Если возьмём точку х1 ещё левее, то пунктир пересечёт график далеко вверху, за пределами картинки, но игрек будет всё равно положительный.
Если мы возьмём икс правее точки х=6, скажем, х5, снова получим положительный у5.
Аналогичная картина получится, если мы возьмём любой икс, больше (правее) шестёрки. Эти области на графике отмечены знаком «плюс»
А вот если мы возьмём любой икс в промежутке между 2 и 6, получим игрек отрицательный. Следовательно, при таких иксах, наше выражение меньше нуля.
Вот, практически и всё. На этом шаге мы руками нарисовали график, глазами увидели параболу, головой сообразили где какие знаки.) Осталось всего ничего.
Третий шаг решения.
На последнем шаге нужно вспомнить, что нам НЕ сказано было «решать уравнение». НЕ сказано было «строить график». Это, всего лишь, наши подручные средства.
Нам было сказано: решать квадратное неравенство!
Знак неравенства на этом этапе играет главную роль!
Смотрим на исходное неравенство:
Нам нужно найти все иксы, при которых выражение в левой части неравенство больше, либо равно нулю. А чего их искать? Мы уже всё нашли.) Смотрим на график и видим, что это условие выполняется в областях, где стоит знак «+», (игрек больше нуля) и в точках х=2 и х=6 (игрек равен нулю).
Остаётся просто записать ответ.
Собственно, это и есть третий шаг решения любого квадратного неравенства.)
Вот и записываем окончательный ответ:
х ∈ (-∞; 2] ∪[6; +∞)
Отмечу один полезный момент в графическом методе. На втором шаге мы определили все области для всех знаков. Махом. Что это значит? А то, что если бы у нас было неравенство противоположного смысла, т.е:
Ещё раз повторю: так решаются все квадратные неравенства. В три шага.
Что, долго? График строить, то, сё.
Спокойствие! Обещанный бонус резко упростит жизнь!)
Всё гораздо проще!
Для тех, кто героически добрался до этих строк и понял смысл использования параболы.) Сейчас, прямо на ваших глазах, я упрощу второй шаг решения до шести секунд. Без потери качества.)
Предположим, что вы сделали первый шаг и правильно решили квадратное уравнение. Теперь надо рисовать наш график:
Собственно, этот процесс и напрягает.) Но. Математики (вы удивитесь!) тоже люди.) И тоже не любят лишнюю работу. Смотрим на график, и соображаем: без чего на этой картинке можно обойтись?
Не нужна нам ось ОУ. Её наличие никак не сказывается на правильном решении.
Нужна ли нам математически точная форма параболы?
Не нужна. Точная форма никак не сказывается на правильном решении.
Наводим мышку на график и. видим рисунок, который много проще графика. Рисуется за несколько секунд. На этом неказистом рисунке есть вся необходимая информация для верного ответа. И ничего лишнего.
Выделю главные элементы рисунка, которые необходимы для верного решения:
1. Ось иксов требуется, да. )
2. Корни соответствующего квадратного уравнения. Они отмечаются точками на оси. Точки могут быть чёрные, закрашенные (как в нашем случае), или белые, пустые внутри, как будет в следующем примере. Пустые внутри точки ещё называются выколотые точки. Чёрные точки ставятся для нестрогих неравенств (≤; ≥). Они визуально напоминают нам, что корни включаются в ответ. Выколотые точки ставятся для строгих неравенств ( ; ≠) и напоминают, что корни в ответ не включаются.
3. Схематичный рисунок параболы. Здесь важно только одно: куда направлены ветви параболы, вверх или вниз.
Сейчас можно записать алгоритм решения квадратных неравенств по схематичному рисунку. Собственно, это те же самые три шага, только более подробно.
Алгоритм решения квадратных неравенств.
1. Подготавливаем неравенство к решению путём тождественных преобразований. Если неравенство уже готово, этот пункт пропускаем.
2. Делаем из неравенства уравнение. Решаем его, находим корни.
4. Схематично рисуем параболу по исходному выражению.
5. Определяем области +/- на рисунке. Выбираем нужные области по исходному неравенству и записываем ответ.
Потренируемся в применении алгоритма?)
-x 2 +3x > 0
Первый пункт пропускаем. Неравенство уже готово к решению.
Второй пункт. Делаем из неравенства уравнение:
Решаем (любым способом), находим корни:
Третий пункт. Рисуем ось иксов, отмечаем на ней корни уравнения:
Четвёртый пункт. Рисуем (схематично!) параболу:
Парабола будет вверх ногами, извиняюсь, вниз ветвями.) Это потому, что в исходном выражении перед x 2 стоит минус. Минус перед одночленом с квадратом икса всегда переворачивает параболу.
Пятый пункт. Определяем области «+» и «-» на рисунке. Смотрим на исходное неравенство и соображаем, какое условие должно выполняться: больше нуля, или меньше? Нам надо больше нуля. Можно этот промежуток подштриховать. Для красоты):
Смотрим на картину и записываем ответ:
х ∈ (0; 3)
x 2 ≤ 4
Очень простое неравенство. Такое простое, что многие тут же косячат!) Не надо писать сразу x≤ ±2! Это редкий бред, да. ) Надо выполнять первый пункт.
Первый пункт. Готовим неравенство к решению. Переносим четвёрку влево, получаем:
Второй пункт:
Третий пункт:
Четвёртый пункт:
Пятый пункт:
х∈ [-2; 2]
Вот тут у особо быстрых возникает вопрос. А зачем я писал про параболу?! Почему сразу не дал алгоритм и примеры?!
Отвечаю. Если бы вы знали, сколько народу сыпется на применении тупо заученного алгоритма. А уж при малейшем отклонении от шаблона, простое задание становится вообще нерешаемым. Ниже будет парочка таких примеров. Если понимаете смысл алгоритма, шанс решить есть. Если же не понимаете. Понимание всегда побеждает механическую память.
1. Решить неравенство:
2. Найти наименьшее положительное целое решение наравенства:
3. Найти все значения х, не являющиеся решением неравенства:
x 2 ≥ 16
4. Решить неравенство:
x 2 + 7x + 10 ≠ 0
5. Решить неравенство:
x 2 + 3x + 8 > 0
6. Решить неравенство:
Ответы, в беспорядке, разумеется.)
х∈ (-∞; 0,25) ∪ (0,5; +∞)
х∈ (-4; +4)
х∈ Ø
Ну как, успешно? Поздравляю!
Вот эти два источника и дают фонтан ошибок при решении квадратных неравенств.) Что это за источники, и как просто и надёжно их перекрыть, написано в Разделе 555, если что. Там подробно расписано решение всех этих примеров с акцентом на основных проколах. Да и вообще, много чего хорошего есть.)
Если Вам нравится этот сайт.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
