Как решать логометрические выражения

Содержание:

Множеством (областью) значений показательной функции

Такое значение аргумента единственное, так как если и то по следствию из п. 2.3 верно равенство c = d. Это единственное значение аргумента с называют логарифмом числа b по основанию a и обозначают т. е.

Таким образом, равенство означает, что Сформулируем определение логарифма еще раз.

Определение:

Пусть Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Приведем несколько примеров:

Нахождение логарифма числа называется логарифмированием.

Обозначим Тогда, согласно определению логарифма, верно равенство т. е.

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Согласно этому тождеству, например, имеем: Основное логарифмическое тождество позволяет данное число b представить в виде степени с любым положительным основанием.

Например:

История логарифма

Логарифмы были изобретены в 1614 г. шотландским математиком Д. Непером (1550—1617) и независимо от него на 6 лет позднее швейцарским механиком и математиком И. Бюрги (1552—1632).

Оба исследователя хотели найти новое удобное средство арифметических вычислений, но их определения логарифма различны и у обоих не похожи на современные. Понимание логарифма как показателя степени с данным основанием впервые появилось в XVIII в. в работах английского математика В. Гардинера (1742). Широкому распространению этого определения логарифма более других содействовал Jl. Эйлер, который впервые применил в этой связи и термин «основание».

Термин «логарифм» принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов логос — отношение и аритмос — число. Слово «логарифм», таким образом, означало «число отношения».

Пример:

а) Записать число в виде логарифмов по основанию

Решение:

а) По определению логарифма имеем:

б) По определению логарифма имеем:

Пример:

Между какими целыми числами находится число

Решение:

Пусть тогда верно равенство Поскольку По свойствам показательной функции с основанием 2 имеем Значит,находится между числами 4 и 5.

Ответ:

Пример:

Решение:

а) Поскольку то по определению логарифма имеем

б)

Ответ:

Логарифмы по основанию 10 имеют особое название — десятичные логарифмы. Десятичный логарифм числа b обозначается . Таким образом,

▲ Особое обозначение и название имеют не только десятичные логарифмы, но и логарифмы, основанием которых является число е:

Такие логарифмы называются натуральными.

Логарифмы по основанию е позволяют выражать математическую зависимость, которая характеризует многие биологические, химические, физические, социальные и другие процессы. По-видимому, этим объясняется и название «натуральные логарифмы», т. е. естественные (этот термин ввел в 1659 г. итальянский математик П. Менголи). Натуральные и десятичные логарифмы имели большое значение для облегчения вычислений в XVII—XX вв. до создания мощных современных вычислительных средств. Натуральные логарифмы имеют и большое теоретическое значение.▲

Основные свойства логарифмов

Теорема:

При любых положительных значениях b и с верно равенство:

Докажем утверждение (1).

По основному логарифмическому тождеству

по свойствам степени

Таким образом, имеем:

Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (1).

Докажем утверждение (2). Преобразуем левую часть равенства (2):

I используя равенство (1), получим

Заметим, что равенство (2) можно доказать тем же способом, что и равенство (1), — сделайте это самостоятельно.

Равенство (1) означает, что логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

Равенство (2) означает, что логарифм дроби с положительными. числителем и знаменателем равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Замечание. Равенства, доказанные в теореме 1 (как и другие равенства этого пункта), являются тождествами. Действительно, каждое из них превращается в верное числовое равенство при любых значениях a, b и с, для которых входящие в равенство выражения имеют смысл.

Теорема:

При любых значениях s и положительных значениях b верно равенство

По основному логарифмическому тождеству

по свойствам степени

Таким образом, имеем

Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (3).

Следствие 1. Если числа одного знака, то имеет место равенство

Следствие 2. При любом целом имеет место равенство

Пример №1

Найти значение выражения:

Решение:

Ответ:

Теорема:

При любых значениях и верно равенство

Способ 1. По основному логарифмическому тождеству имеем

Прологарифмировав левую и правую части этого тождества по основанию а, получим

Применив тождество (3), имеем

Так как Поэтому левую и правую части этого равенства можно разделить на В результате получим тождество (6).

Способ 2. Пусть тогда Логарифмируя обе части этого равенства по основанию а, получаем

Итак,

Тождество (6) называется формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Обычно в таблицах, калькуляторах даются значения логарифмов по основанию 10, а когда нужно найти значение логарифма по другому основанию, пользуются формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Следствием из тождества (6) при основании а = с является формула

(убедитесь в этом самостоятельно).

Пример №2

Найти значение выражения, если

Решение:

согласно тождеству (6) имеем

используя тождество (3), получим

используя тождество (1), имеем

с учетом условия получим

6)

на основании тождеств (6) и (7) получим

по тождеству (3) и с учетом условия имеем

Ответ:

Следствие 3. Имеют место тождества:

Тождества (8) и (9) можно доказать, используя уже доказанные тождества из этого пункта.

Пример №3

Упростить выражение

Решение:

Используя определение логарифма, представим числа 1 и 3 в виде логарифмов по основанию 2:

по свойству (2) логарифмов имеем

воспользовавшись формулой (7), получим

Ответ:

Развитие науки, прежде всего астрономии, уже в XVI в. привело к необходимости громоздких вычислений при умножении и делении многозначных чисел. Эти вычислительные проблемы были в некоторой степени решены с открытием логарифмов и созданием таблиц логарифмов.

Логарифмическая функция

Рассмотрим выражение где х — переменная, а — постоянная, Это выражение имеет смысл при любом значении х > 0 и не имеет смысла при любом значении Таким образом, естественной областью определения выражения является множество всех положительных действительных чисел, т. е. промежуток

Определение:

Логарифмической функцией называется функция вида где а — постоянная,

Область определения логарифмической функции — это естественная область определения выражения т.е. множество

Графики некоторых логарифмических функций изображены на рисунке 34. Эти изображения (как и для графиков других функций) можно было получить, строя их по точкам. Отметим некоторые особенности изображенных графиков.

График функции расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0).

Когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» опускается вниз. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» поднимается вверх (ем. рис. 34). Аналогично для любой функции при а > 1 (рис. 35). График функции расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0) (см. рис. 34).

Заметим, что когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» поднимается вверх. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» опускается вниз. Аналогично для любой функции при 0 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале (0; 1) и принимает положительные значения на интервале И при 0 1 логарифмическая функция возрастает на всей области определения. При 0 1 график логарифмической функции лежит в IV координатном угле, когда и лежит в I координатном угле, когда При 0 1 логарифмическая функция возрастает на области определения, а на рисунке 36 видно, что при 0

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Логарифмические выражения с примерами решения

Мы уже умеем по значению

Пример:

Решим уравнение .

Теперь поставим задачу нахождения показателя степени по ее значению и основанию , иными словами, задачу решения уравнения вида , где и — некоторые числа.

Пример:

Решим уравнение .

Это уравнение можно записать как . Учитывая следствие 1 из параграфа 11, можем утверждать, что уравнение имеет единственный корень = 4.

Обратим внимание на то, что при решении уравнения мы его левую и правую части представили степенями с одним основанием 3. Но, например, уравнение таким приемом решить не получится, так как число 8 не представляется рациональной степенью числа 3. Вместе с этим уравнение имеет действительный корень, что показывает рисунок 163.

Этот корень называют логарифмом числа 8 по основанию 3 и обозначают . Таким образом, корнем уравнения является число , приближенно равное 1,89.

Логарифмом числа при основании , , называется показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .

Логарифм числа при основании обозначают .

Пример:

Таким образом, учитывая определение логарифма числа, корень уравнения можно записать как . Иными словами, равенства выражают одну и ту же связь между числами , и , т. е. равносильны:

Пример:

Решим уравнение .

Определение логарифма позволяет данное уравнение заменить равносильным уравнением , корнем которого является число 2,5.

Определение логарифма коротко можно представить равенством

которое называют основным логарифмическим тождеством.

Пример:

Вычислим значение выражения .

Используем свойство возведения степени в степень и основное логарифмическое тождество:

Из свойств показательной функции следует, что выражение имеет значение только при .

Пример:

Найдем область определения выражения

Данное выражение имеет значение, если основание логарифма положительно и не равно единице, а подлогарифмическое выражение положительно, т. е. если истинна система условий , которая равносильна системе . Эта система дает (рис. 164) такую равносильную совокупность условий

Из определения логарифма следует, что

Действие нахождения логарифма числа называется логарифмированием.

Введение действия логарифмирования порождает новый класс логарифмических выражений, т. е. выражений, которые содержат по крайней мере одно действие нахождения логарифма из выражения с переменной. При преобразованиях логарифмических выражений используются свойства действия логарифмирования. Установим эти свойства.

Теорема 5.

При любом положительном и не равном единице основании:

логарифм произведения положительных множителей равен сумме их логарифмов:

логарифм частного с положительными делимым и делителем равен разности логарифмов делимого и делителя:

логарифм любой действительной степени положительного числа равен произведению показателя степени и логарифма основания:

Доказательство:

Пусть , — любое действительное число.

Основное логарифмическое тождество позволяет записать равенства:

Перемножив их, получим:

откуда, по определению логарифма:

Если разделить первое равенство из (1) на второе, то получим, что

откуда, по определению логарифма:

Возведя первое равенство из (1) в степень с показателем , придем к равенству

откуда, по определению логарифма:

Обращаем внимание на то, что при применениях тождеств, установленных теоремой 5, нужно следить за тем, чтобы все подлогарифмические выражения были положительными.

Пример:

а) б)

а) Получим

б) Выражение можно логарифмировать, если истинно условие , т. е. если множители и или оба положительны, или оба отрицательны.

Если оба множителя и положительны, т. е. если , то . А если оба множителя и отрицательны, т. е. если , то .

Действие, обратное логарифмированию, называют потенцированием.

Пример:

Пропотенцируем выражение .

Будем последовательно получать:

Логарифмы чисел находят с помощью специальных таблиц или калькулятора. И в том, и в другом случае находят десятичные или натуральные логарифмы.

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10.

Для десятичного логарифма вместо пишут .

Для натурального логарифма вместо пишут .

Для вычислений достаточно иметь возможность находить логарифмы по одному основанию, так как тогда можно найти логарифм числа по другому основанию. Это позволяет делать формула перехода к другому основанию.

Теорема 6.

Логарифм числа по данному основанию равен логарифму числа по новому основанию, деленному на логарифм данного основания по новому основанию:

Доказательство:

Пусть . Тогда, в соответствии с основным логарифмическим тождеством, можем записать . Прологарифмировав это равенство по основанию , получим , или, используя свойство логарифма степени, . Отсюда

Пример:

Найдем, через сколько лет удвоится пятипроцентный вклад в банк.

Пусть имеется вклад в р. Тогда через лет пятипроцентный вклад станет равным . Нас интересует такое значение переменной , при котором вклад станет больше в два раза, т. е. . Получили уравнение . Решим его:

Вычисления проведем с помощью калькулятора, на котором есть клавиша для нахождения десятичных логарифмов:

Таким образом, удвоение пятипроцентного вклада произойдет через 14,2 года.

Открытие логарифмов было вызвано в XVI в. быстрым развитием астрономии и усложнением астрономических вычислений, которые имели непосредственное практическое значение при определении местонахождения судов по Солнцу и другим звездам. Логарифмы быстро вошли в практику.

Первые логарифмические таблицы были составлены в одно время и независимо друг от друга шотландским математиком Джоном Непером (1550—1617) и швейцарским математиком и астрономом Йобстом Бюрги (1552—1632). В 1623 г. английский математик Эдмунд Гантер изобрел логарифмическую линейку, с помощью которой действия над числами — умножение, деление — заменяются действиями сложения и вычитания над логарифмами этих чисел. На рисунке 165 показана одна из логарифмических линеек. Сейчас нужные вычисления проводятся с помощью калькуляторов. Леонард Эйлер (1707—1783) установил, что действие логарифмирования является обратным действию возведения в степень. Термин логарифм предложен Джоном Непером. Современное определение логарифма впервые дано в 1742 г. английским математиком Вильямом Гардинером.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник