уравнение волны в комплексной форме

Уравнение волны в комплексной форме

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.

Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время .

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.

– это уравнение плоской волны.

Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны.

Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

.

Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число , или в векторной форме:

где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.

Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

Уравнение сферической волны

В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.

Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны:

где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.

Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при , амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.

Источник

Волновое уравнение. Плоская и сферическая волны. Представление волн в комплексной форме

Электромагнитная природа света, уравнения Максвелла.

Свет — электромагнитное излучение, испускаемое нагретым или находящимся в возбуждённом состоянии веществом, воспринимаемое человеческим глазом. Нередко, под светом понимают не только видимый свет, но и примыкающие к нему широкие области спектра. В физике свет изучается в разделе Оптика. Свет может рассматриваться либо как электромагнитная волна, скорость распространения в вакууме которой постоянна, либо как поток фотонов: частиц, обладающих определённой энергией и нулевой массой покоя.

√ᵋᵋ0 Е=√µµ0 Н- уравнение связи

Волновое уравнение. Плоская и сферическая волны. Представление волн в комплексной форме.

E=E0 cos (wt-(k,r)); k-волновое число. H= H0 cos(wt-(k,r)); c— скор света

где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.

Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической. , или , где А равна амплитуде.

Источник

18.Уравнение Максвелла в комплексной форме.

Полная система уравнений Максвелла в комплексной форме.

19.Волновое уравнение векторов н и е.

Волновое уравнение в математике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике).

. (12.6)

Аналогичным образом, исключая из уравнений (12.1) и (12.2), находим, что вектор удовлетворяет волновому уравнению:

, (12.7)

где – скорость волны. Уравнения (12.6) и (12.7) – это волновые уравнения для векторов и соответственно. Из того, что векторы и удовлетворяют волновому уравнению, вытекает, что электромагнитное поле, которое характеризуют эти векторы, может распространяться в виде волны. Но волны возникают лишь тогда, когда их возбуждают. Электромагнитные волны возбуждаются зарядами и токами. Но, возникнув, электромагнитная волна существует и тогда, когда породивших ее токов и зарядов уже нет. Этим переменное поле отличается от статического, которое не может существовать без порождающих его зарядов. Из уравнений (12.6) и (12.7) следует, что электромагнитные волны могут распространяться и в вакууме.

20.Теорема и вектор Пойтинга в стационарном магнитном поле.

,

Теорема Пойнтинга в интегральной форме:

,

Теорема Пойнтинга — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля.

Электромагнитные волны являются поперечными.

Вектора E и H колеблются в одинаковой фазе во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Чтобы волна не затухала, из закона сохранения энергии следует:

Что плотности энергии электрического и магнитного полей в любой момент времени должны быть одинаковыми (равными).

Непосредственно замеряемой в опытах величиной, характеризующей энергию, переносимую волной, является интенсивность.

Интенсивность – величина равная среднему значению модуля вектора Пойнтинга.

21.Теорема Пойтинга в комплексной форме.

Энергия, переносимая волной.

Для характеристики энергии, переносимой волной, применяется 2 величины:

Физическая величина равная энергии переносимой волной, через некоторую поверхность, называется ПОТОКОМ ЭНЕРГИИ.

Плотность потока энергии j – вектор, равный потоку энергии переносимой через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.

– плотность энергии волны

Волна – процесс распространения колебаний в пространстве. Они бывают механические и электромагнитные.

Механические волны распространяются в некоторой среде (газе, жидкость, твёрдом теле).

Электромагнитные волны распространяются в пустоте.

Волны бывают поперечные и продольные.

В поперечной волне колебания совершаются перпендикулярно направлению распространения волны.

В продольной волне колебания совершаются вдоль направления распространения волны.

Распространения волны не связано с переносом вещества. Однако волна переносит энергию.

Длина волны – расстояние на которое распространяется волна за один период колебаний.

; ; ;

Волновая поверхность – геометрическое место точек (ГМТ), колеблющихся в одинаковой среде.

Фронт волны – передняя волновая поверхность, то есть ГМТ до которых дошли колебания в данный момент времени (фронт волны движется).

В зависимости от формы фронта волны различают на плоские, цилиндрические и сферические волны.

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси Х.(обобщенная координата).

– фазовая скорость

Мы получили, что со скоростью 𝜐 движется фронт волны, то есть передняя поверхность постоянной фазы.

Поэтому данную скорость называют фазовой скоростью.

Так как с фазовой скоростью, не движется ни какой материальный объект, то для неё нет ограничений, она может быть и больше скорости света.

За перенос энергии волны отвечает другая скорость – групповая.

Уравнение плоской волны распространяющейся в произвольном направлении.

– координатное представление

Уравнение сферической волны.

, где r – это радиус сферы.

Источник

Бегущие электромагнитные волны

Уравнение плоской бегущей волны

Если волна движется по О х без поглощения энергии, то это характеризуется уравнением:

Что называют электромагнитной волной. Волновое число

Запись выражения ( 1 ) примет совершенно другой вид при известном волновом числе.

Если перейти к комплексным числам, применив формулу Эйлера, уравнение плоской волны зафиксируем.

Выражение ( 6 ) имеет физический смысл только в действительной части, но R e возможно опустить в записи уравнения волны.

Перейдем к рассмотрению волнового процесса, где не происходит изменение фазы.

При условии, что υ волны зависит от частоты колебаний, то такая волна подвержена дисперсии.

Уравнение сферической бегущей волны

Сферическая волна – это волна, волновая поверхность которой является концентрической сферой. Такое уравнение примет вид:

где r является расстоянием от центра волны до точки рассмотрения. Если имеем дело со сферической волной, то ее амплитуда колебаний не будет постоянной даже при условии, что энергия не поглощается средой. Ее убывание происходит обратно пропорционально расстоянию. Выполнение уравнения ( 8 ) возможно тогда, когда источник волн считается точечным.

Уравнение бегущей волны в любом виде подчинено волновому уравнению.

За основу необходимо принять выражение для амплитуд электромагнитной волны:

Для записи уравнения колебаний H → в электромагнитной волне, в случае если она считается плоской и распространяется по О х :

Необходимо учитывать, что тело, которое поглощает падающую на него энергию, оказывается под давлением, равным среднему значению объемной плотности энергии в электромагнитной волне.

Следует применять соотношение амплитуд электромагнитной волны, которое записывается:

Следует, что значение объемной плотности электрической энергии примет вид:

Формула плотности магнитного поля:

После усреднения плотности, имеем:

Источник