упорядоченные отношения осуществляются через систему
Упорядоченные отношения осуществляются через систему
Тесты | Курсовые | Практика запись закреплена
Система права – это …
совокупность отраслей права, которые выражают и защищают частные интересы отдельных лиц
совокупность относительно обособленных юридических норм, регулирующих качественно однородную группу общественных отношений внутри отрасли права
+объективно обусловленное системой общественных отношений внутреннее строение права, выражающееся в единстве и согласованности действующих в государстве
правовых норм и разделении права на относительно самостоятельные части нормы, институты и отрасли права
совокупность отраслей права, поддерживающих и охраняющих политический строй, устанавливающих ответственность за нарушение существующей системы
общественных отношений
Соблюдение норм права отличается …
активными действиями по исполнению юридических обязанностей, требований обязывающих норм
разрешением конкретного юридического дела компетентными государственными органами путем принятия соответствующего индивидуального акта
пассивным характером
Первичным элементом системы законодательства является …
отрасль права
глава кодекса
+норма права
статья закона
Правовой обычай – это …
+связанные с волей и сознанием людей общие правила регламентации формы их социального взаимодействия, возникающие в процессе исторического развития и
функционирования общества, соответствующие типу культуры и характеру его организации
правило поведения, которое сложилось исторически в силу постоянной повторяемости в течение длительного времени и санкционировано государством в качестве
общеобязательного правила
исторически сложившееся правило поведения, вошедшее в привычку людей в силу многократного и длительного применения
правила поведения, регулирующие отношения участников
общественных объединений
Правовая система – это …
+совокупность взаимосвязанных, согласованных и взаимодействующих средств, регулирующих общественные отношения, а также элементы, характеризующие уровень
правового развития той или иной страны
совокупность национальных правовых систем в рамках одного типа права, выделенная на основе общности исторического пути её формирования, доминирующих
источников, структуры права, особенностей правоприменительной деятельности, понятийно-категориального аппарата юридической науки и др.
одна из основных правовых семей современности, основанная на римском праве
Правомерное поведение по его объективной стороне делится на …
индивидуальное и групповое
действие и бездействие
юридические акты и юридические поступки
конформистское и обычное
Правотворчество – это …
деятельность, направленная на упорядочение и совершенствование правовых норм
составная часть более широкого явления – правообразования – процесса, который состоит из объективно складывающихся правовых предпосылок под влиянием
общественной необходимости и деятельности государства по созданию нормативно-правовых актов
нормативно упорядоченная деятельность высшего представительного органа государства по принятию федерального закона
Деликтоспособность – это способность лица …
иметь специальные обязанности
своими действиями осуществлять свои обязанности
нести юридическую ответственность за совершенные правонарушения
быть участником правоотношений
Систематизация нормативно-правовых актов – это …
обособленная часть качественно однородных общественных отношений
исторически сложившаяся, объективно существующая внутренняя структура права, определяемая характером регулируемых общественных отношений
упорядочение действующего нормативно-правового материала, объединение его в единую, стройную, внутренне согласованную систему
Гипотеза – это …
часть юридической нормы, содержащая правило поведения
часть юридической нормы, указывающая на условия, при которых норма действует часть юридической нормы, указывающая на неблагоприятные последствия, возникающие вследствие нарушения этой нормы
необходимый для возникновения правоотношения юридический факт
Правило поведения, в результате многократного повторения вошедшее в привычку людей, использование которого санкционировано государством, – это …
обычай
судебный прецедент
нормативно-правовой акт
правовой обычай
Метод правового регулирования – это …
определенная совокупность однородных общественных отношений, регулируемых правом процесс поэтапного осуществления юридических норм, содержащихся в нормативных актах, в правомерном поведении субъектов через систему специальных юридических средств
определенные средства, приемы, способы воздействия права на общественные отношения
Отрасль права …
включает в себя институты права
входит в институты права
образует предмет системы права
состоит из нормативно-правовых актов и других источников права
Правовые отношения …
возникают вместе с государством
возникают на основе норм права
обеспечиваются привычкой или силой общественного мнения
охраняются государством
Юридический факт – это …
содержание гипотезы юридической нормы
обстоятельства, порождающие юридические последствия
потребности, под влиянием которых субъекты права вступают в правоотношения необходимый элемент состава правоотношений
Законы в Российской Федерации принимает …
Государственная Дума РФ
Федеральное Собрание РФ (ФС РФ)
Совет Федерации ФС РФ
ФС РФ и Президент РФ
К основным функциям права относятся …
общесоциальные и классовые
внутренние и внешние
регулятивные и охранительные
Неверно, что видом инкорпорированных актов являются …
сборники
собрания
положения
своды законов
Процессуальное право …
регламентирует юридические процедуры, устанавливая порядок применения норм материального права, и направлено на достижение конкретного юридического результата
выступает регулятором общественных отношений, облекает их в правовые нормы, которые в итоге становятся основой позитивного права
регламентирует активные действия по реализации субъектами прав и возложенных на них обязанностей как средств правового регулирования
Обратная сила закона – это …
продолжение действия норм закона после его отмены
вступление в юридическую силу нормативно-правового акта
распространение действия норм данного закона на юридические факты, возникшие до его вступления в юридическую силу
утрата им юридической силы
Правоотношения – это …
воплощение предписаний в реальной деятельности субъектов права, превращение их требований в правомерное поведение
часть общественных отношений, урегулированных нормами права, субъекты которых являются носителями субъективных прав и субъективных юридических обязанностей
правила поведения, которые формируются в обществе и представляют собой суждения о добре и зле, справедливости и несправедливости, чести, совести, долге
явления окружающего мира, по поводу которых возникают субъективные права и субъективные юридические обязанности
Структура исходных норм включает …
только диспозицию и санкцию
гипотезу, диспозицию и санкцию
вводную, описательную и регулятивную части
… имеет отношение к систематизации нормативных правовых актов
Учет правовых норм
Соблюдение юридических норм
Санкционирование юридических действий
Правовая доктрина
Юридическая техника – это …
толкование юридического документа
рассмотрение юридических коллизий
совокупность определенных правил, средств и приемов, используемых юристами при разработке и реализации правовых предписаний
К структурным элементам системы права можно отнести …
норму права как первичный, исходный элемент системы права предмет и метод правового регулирования
отрасль права и подотрасль права
институт права и субинститут права
механизм правового регулирования
Существуют определенные виды кодификационных актов, в частности …
своды законов
кодексы
положения
регламенты
В … нормах права наиболее четко выражен их представительно-обязывающий характер декларативных
дефинитивных
регулятивных
охранительных
– это часть юридической нормы, указывающая на неблагоприятные последствия, возникающие вследствие нарушения этой нормы
Гипотеза
Диспозиция
Санкция
Нормативное предписание
Суть систематизации нормативно-правовых актов заключается в том, что …
подготавливаются проекты новых актов, предложения об изменении и дополнении действующих
вновь принятые нормативные акты, а также прежние сохраняющие свое значение, группируются
по определенной системе и сводятся в собрания, сборники законодательства
это правовая связь, основанная на общих правах и обязанностях, субъект которых не имеет поименной индивидуализации
сопоставляются и анализируются изданные в разное время действующие акты
Право, в отличие от иных социальных норм, …
письменно закреплено
регулирует поведение большого количества людей
создается людьми в процессе целенаправленной деятельности
постоянно меняется
Сопоставляя право и мораль по кругу регулируемых общественных отношений, можно отметить, что …
они регулируют одни и те же отношения
право регулирует наиболее важные общественные отношения
они регулируют одни и те же отношения, но при этом существуют отношения, которые
регулируются только моралью, и есть отношения, которые регулируются только правом
право регулирует любые отношения
Юридические факты подразделяются две группы – …
юридические акты и юридические поступки
правомерные и противоправные
события и действия
правообразующие и правопрекращающие
Расположите в правильной последовательности стадии законотворческого процесса:
Обсуждение и принятие законопроекта Государственной Думой РФ
Одобрение закона Советом Федерации РФ
Подписание закона Президентом РФ
Официальное опубликование закона
Юридическая сила нормативного правового акта зависит от …
времени его издания
территориальной юрисдикции правотворческого органа
компетенции правотворческого органа, специфики регулируемых отношений и вида
нормативного правового акта
его названия
Отрасли материального права …
регламентируют юридические процедуры, устанавливая порядок применения норм материального права
регулируют предметные отношения, т.е. базовые, составляющие основу системы права регулируют совокупность взаимосвязанных, согласованных и взаимодействующих правовых средств
Источниками (формами) права являются …
материальные и духовные отношения в обществе
способы внешнего выражения и закрепления содержания норм права
программы политических партий и иных общественных объединений
договоры нормативного содержания, религиозные тексты, обычаи
Различия между нормой права и нормой морали – в том, что …
они исторически возникают в разное время
норма права по сфере применения шире нормы морали
право формируется государством, а мораль существует в сознании общества
право принуждает, а мораль убеждает
право формально, а мораль не укладывается в конкретную форму
Результатом санкционированного нормотворчества является …
нормативно-правовой акт
правовой обычай
акт, принятый на референдуме
нормативный договор
Упорядочение отношений осуществляется через систему …
регулирования поведения большого количества людей
объединения деятельности различных людей и их общностей ради достижения совместных целей
нормативного регулирования
систему государственной власти
Наиболее удобная форма учета нормативных актов – …
электронная
журнальная
карточная
Правовой обычай – это …
соглашение между правотворческими субъектами, в результате которого возникает новая норма права правовой акт, содержащий нормы права и направленный на урегулирование определенных общественных отношений
судебное или административное решение по конкретному юридическому делу, которому придается сила нормы права и которым руководствуются при разрешении схожих дел
исторически сложившееся правило поведения, содержащееся в сознании людей и вошедшее в привычку в результате многократного применения, приводящее к правовым последствиям
В основании деления системы права на отрасли заключаются два критерия, такие как … характер источников права
предмет правового регулирования
метод правового регулирования
субъективная воля законодателя
воля законодателя, опирающаяся на структуру общественных отношений
Легализация документов – это …
унификация и стандартизация
нотариальное удостоверение и регистрация
придание им юридической силы
Решение суда или административного органа по конкретному делу, которому придается характер правила, нормы, – это …
правовой обычай
судебный прецедент
нормативно-правовой акт
правовое обыкновение
Публичное право – это …
естественное право
совокупность норм различных отраслей российского права
функционально-структурная подсистема права, регулирующая отношения в сфере
государственной власти
… метод правового регулирования – это способ воздействия, предлагающий субъектам права наиболее целесообразный вариант поведения
Императивный
Диспозитивный (автономный)
Поощрительный
Рекомендательный
Закон – это …
решение суда по конкретному делу, которому придан нормативный характер
любой нормативно-правовой акт
правило, ставшее привычным в том или ином обществе, соблюдение которого обеспечивается государственным принуждением
обладающий высшей юридической силой нормативный акт, принятый в особом порядке высшим представительным органом государственной власти
Предмет правового регулирования – это …
процесс поэтапного осуществления юридических норм, содержащихся в нормативных актах, в правомерном поведении субъектов через систему специальных юридических средств
определенная совокупность однородных общественных отношений, регулируемых правом
правоприменительная деятельность компетентного государственного органа, которая завершается принятием подлежащего исполнению акта применения права
стадия общей регламентации правового положения (статуса) субъектов права, на которой индивидуальные и коллективные участники социальных процессов наделяются юридическими нормами правоспособностью и дееспособностью
Регулятивные правовые отношения складываются на основе …
охранительных норм и проводят охранительную функцию права
регулятивных норм и проводят регулятивные функции права
правовых связей носителей субъективных прав
Нормативное регулирование – это …
конкретное функционирование той группы общественных отношений, которые регулируются отраслями права
особая форма деятельности общества, направленная на создание, реализацию и обеспечение различного рода общих правил (норм) поведения людей, с целью упорядочения их отношений и достижения стабильности в обществе
право, сформированное путем приспособления, с одной стороны, обычаев родового строя, с другой – введения новых правил поведения, неизвестных первобытному обществу, но обеспеченных государственным принуждением
целенаправленная деятельность государственных органов и общественности по формированию у граждан и должностных лиц правосознания и правовой культуры
Право отличается от других социальных норм (морали, обычаев) тем, что… регулирует общественные отношения
представляет совокупность общих правил поведения защищается государством
регулирует экономические отношения
К принципам правотворчества относятся …
коллегиальность и единоначалие, иерархичность и гласность
равенство, справедливость и народный характер
демократизм и связь с практикой
законность, гласность и профес
Ответы. Всероссийская олимпиада школьников по обществознанию
Ответы. Всероссийская олимпиада школьников по обществознанию
ОТВЕТЫ. ПО ОБЩЕСТВОЗНАНИЮ.
1. «Да» или «нет»? Если вы согласны с утверждением, напишите «Да», если не согласны — «Нет». Внесите свои ответы в таблицу.
1) Ограниченность экономических ресурсов на планете порождает необходимость решения человеком проблемы их рационального использования и распределения.
2) Людям любой нации присуще ощущение превосходства над другими народами.
3) В деятельности происходит становление и самореализация личности.
4) Свобода совести – это право человека самостоятельно решать, каких убеждений придерживаться, какой религии следовать.
5) Взимание прямых налогов не связано с учетом доходов или имущества.
6) Законодательным органом власти любого государства является правительство.
По 2 балла за каждую верную позицию, всего – 12 баллов.
2. Выберите несколько верных ответов в каждом задании и занесите свой ответ в таблицу
2.1. С повышением социального статуса у индивида неизбежно возрастает количество
1) прав 2) знаний 3) учеников 4) обязанностей 5) свободного времени
2.2. К социальным потребностям человека относятся:
а) потребность в самореализации б) потребность в пище в) потребность в труде г) потребность в движении д) потребность в продолжении рода
2.4. Ниже перечислены слова, образованные от латинского корня. Укажите слово, которое для римлян и для писавших на латыни имело значение, близкое по смыслу к современному понятию «культура»: а) цивилизация; б) гуманизм; в) публичность; г) полиция.
По 2 балла за каждую верную позицию, всего – 14 баллов.
3. Какие из следующих высказываний эквивалентны (разными словами передают одну и ту же информацию):
А) Если Медвед – сепулька, то Медвед – обитатель Интеропии
Б) Если Медвед – не сепулька, то Медвед не обитает в Интеропии
В) Если Медвед – обитатель Интеропии, то Медвед – сепулька
Г) Если Медвед – сепулька, то Медвед не обитает в Интеропии
По 4 балла за каждую верную позицию, всего – 8 баллов.
4. Распределите следующие термины по двум колонкам таблицы. В первую поместите явления, принадлежащие природе, а во вторую — явления человеческой культуры.
1) Река; 2) Стон; 3) Аромат; 4) Канал; 5) Запах; 6) Наконечник стрелы; 7) Слово; 8)Кусок кварца.
По 2 балла за каждую верную позицию, всего – 16 баллов.
5. Заполните пронумерованные пропуски в тексте. Запишите буквенные обозначения вставляемых понятий рядом с соответствующими порядковыми номерами в таблице. Обратите внимание: в списке слов и сочетаний слов больше, чем пропусков в тексте. Слова в списке даны в именительном падеже. Каждое слово (словосочетание) может быть использовано только один раз.
А) рыночный Б) собственность В) бюджет Г) частная Д) прибыль Е) валютный
По 1 баллу за каждую верную позицию, всего – 11 баллов.
6. Решите правовую задачу.
Карасев Игорь 13 лет, находящийся под опекой своего деда Михайлова, совершил кражу личных вещей на сумму 250 рублей у соседки по коммунальной квартире Косулиной. Вещи продал, а деньги израсходовал. Потерпевшая Косулина обратилась в юридическую консультацию за советом, кто и в каком размере должен возместить ей причиненный ущерб. Какой ответ должны дать Косулиной?
Для покупки автомобиля Иван Иванович взял деньги взаймы у друга. Через год от сего дня он должен вернуть деньги другу в размере 480 000 рублей. В текущий момент у Ивана Ивановича появились дополнительные доходы, и он решил вернуть кредит сегодня. Не меньше какой суммы Иван Иванович должен предложить другу в качестве платежа в текущий момент, чтобы друг согласился? Сейчас ставка банковского процента составляет 20% годовых.
2 балла за верный ответ и 2 балла за правильное обоснование. Всего 4 балла.
9. Решите кроссворд. В выделенных клетках (по вертикали) получится ключевое слово. Запишите его определение. По 1 баллу за угаданное слово, 3 балла за пояснение ключевого слова, всего 10 баллов
Отношения. Часть II
Формальная теория моделирования использует алгебраические отношения, включая их в сигнатуры моделей алгебраических структур, которыми описывает реальные физические, технические объекты и процессы их функционирования. Эта публикация является продолжением предшествующей, прочтение которой желательно, так как многие понятия и термины, используемые здесь, описываются там.
Предлагается изложение не в традиционном (стрелочном) стиле, а так, как мне самому пришлось всю эту кухню представлять и осваивать и по учебникам/пособиям, и по журнальным статьям. Особенно полезной вещью считаю созданный мной каталог, он позволяет выделить практически любое пространство и представить его элементы в удобном виде: матрицей, графом и др. Сразу видишь с чем имеешь дело и свойства (они уже выписаны) проверять часто не требуется.
Понятие отношения
Думаю, что термин отношение знаком каждому читателю, но просьба дать определение поставит большинство в тупик. Причин для этого много. Они чаще всего в преподавателях, которые, если и использовали отношения в процессе преподавания, внимания на этом термине не заостряли, запоминающихся примеров не приводили. Некоторые комментаторы статьи отнесли замечания на свой счет и насыпали минусов. Но шила в мешке не утаишь. Серьезных публикаций как не было, так и нет. Задайте себе вопрос, работали ли Вы с каким-либо пространством отношений? И честно себе ответьте. Что об этом пространстве можете миру поведать, для начала хотя-бы перечислить его элементы и указать свойства. Даже на СУБД Вы смотрите глазами их создателей, а они ведь тоже не все видят, или не все показывают, как, например, в микросхемах.
Здесь сделаю небольшой повтор. Начинать следует с абстрактного множества А =
А×А=<(a1, a1),(a1, а2),(a1, a3),(a2, а1),(a2, a2),(a2, a3),(a3, a1),(a3, a2),(a3, a3)>.
Получили 9 упорядоченных пар элементов из А×А, в паре первый элемент из первого сомножителя, второй — из второго. Теперь попробуем получить все подмножества из декартова квадрата А×А. Подмножества будут содержать разное количество пар: одну, две, три и так до всех 9 пар, включаем в этот список и пустое множество ∅. Сколько же получилось подмножеств? Много, а именно 2 9 = 512 элементов.
Отношения можно задавать в разном представлении:
Пространства бинарных отношений
Пространством бинарных отношений с множеством-носителем называется произвольное подмножество множества бинарных отношений заданных на. Рассмотрим основные пространства для отношений предпочтений (рис. 2.15).
Рисунок 2.15 Схема пространств бинарных отношений
Выявленные связи между пространствами используются для переноса задач принятия решений (ЗПР) из одних пространств в другие, где они могут быть решены более простым путем, а затем полученное решение возвращают в исходное пространство, где была сформулирована ЗПР.
Эти отношения представлены диаграммой на рис. 2.14. Пространства бинарных отношений (типы отношений) представлены рис. 2.15.
Отношения эквивалентности
Определение. Бинарное отношение σ ⊆ А×А, обладающее тремя свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности, называется, бинарным отношением эквивалентности (БОЭ). Обозначается отношение эквивалентности σ(х, у), (х, у)∊σ, хσу, х≈у. Удобно использовать матричное (табличное) представление отношения. Ниже на рис 2.24 приведено как раз матричное представление. Над множеством из 4-х элементов существует 15 БОЭ, которые все изображены.
Представление и анализ структуры отношений эквивалентности (n = 4)
Эквивалентность из бинарных отношений, пожалуй, самое распространенное БО. Редкая наука обходится без этого понятия, но даже тогда, когда эквивалентности используются в изложении каких-либо вопросов, бывает трудно понять, что в виду имел автор. Даже при корректном определении и перечислении свойств, присущих этому бинарному отношению – трудности восприятия остаются.
Начнем с примера об эквивалентностях, который иллюстрирует ограниченность их количества.
Пример 1. Пусть имеется три кубика. Составим список свойств, которыми наделены кубики и практическое использование которых (свойств кубиков) делает их как бы взаимозаменяемыми. Кубикам присвоим номера, а их свойства представим таблицей 1.
По каждому из свойств возникает БОЭ и классы эквивалентности. Продолжая список свойств, мы новых отношений эквивалентности не получим. Будут только повторы уже построенных, но для других признаков. Покажем связь БОЭ с множествами.
Рассмотрим множество из трех элементов А = <1,2,3>и получим для него все возможные разбиения на все части. ①1|2|3; ②12|3; ③13|2; ④ 1|23; ⑤123. Последнее разбиения на одну часть. Номера разбиений и БО в кружках.
Определение. Разбиением множества А называют семейство Аi, i = 1(1)I, непустых попарно непересекающихся подмножеств из А, объединение которых образует все исходное множество А=UАi, Аi∩Аj =∅, ∀ i ≠ j. Под-множества Аi называют классами эквивалентности разбиения исходного множества.
Это все разбиения множества (5 штук). Анализ БО показывает, что различных отношений эквивалентности тоже только 5 штук. Случайно ли это совпадение? Мы можем каждому разбиению сопоставить матрицу из девяти ячеек (3×3 = 9), в каждой из которых либо размещается упорядоченная пара элементов из множества А, либо ячейка остается пустой, если для соответствующей пары нет объекта. Строки и столбцы матрицы размечаются элементами множества А, а пересечению строка – столбец соответствует упорядоченная пара (i, j). В ячейку матрицы вписывается не пара, а просто единица или нуль, впрочем, нуль часто не пишут совсем.
Нет, совпадение не случайное. Оказывается, каждому разбиению множества взаимно однозначно соответствует БОЭ, при этом мощность множества может быть любой |A| = n.
Это отношение едва ли не самое частое по использованию в научном обороте, но совокупность свойств, реализуемых в этом отношении, сильно ограничивает его распространенность.
Так среди всех абстрактных бинарных отношений над множеством из трех элементов (всего их 2 9 = 512 отношений) только пять являются эквивалентностями — носителями требуемых свойств, менее одного процента.
Для |A| = 4 отношений существует 2 16 = 65536, но эквивалентностей лишь 15 штук. Это весьма редкий тип отношений. С другой стороны, отношения эквивалентности широко распространены в прикладных задачах. Везде, где имеются и рассматриваются множества самых различных объектов и различные разбиения таких множеств (не чисел) на части возникают отношения эквивалентности. Их можно назвать математическими (алгебраическими) моделями таких разбиений, классифицирующими множества объектов по различным признакам.
Решетка Р(4): все разбиения множества А =
Минимальному разбиению соответствует отношение эквивалентности П15, которое называется равенством или единичным отношением. В каждом классе эквивалентности — единственный элемент. Разбиению множества А, включающему лишь само множество А, соответствует отношение эквивалентности, содержащее все элементы декартова квадрата А×А.
Ближайший тип к отношениям эквивалентности – отношения толерантности. Множество отношений толерантности содержит в себе все отношения эквивалентности. Для носителя А из трех элементов толерантностей 8. Все они обладают свойствами рефлексивности и симметричности.
При выполнении свойства транзитивности пять из восьми толерантностей преобразует в эквивалентности (рис. 2.24 и 2.25).
Определение. Совокупность классов [a]σ эквивалентности элементов множества А называется фактор-множеством (обозначается А/σ) множества А по эквивалентности σ.
Определение. Естественным (каноническим) отображением f: A→ А/σ называется такое отображение f, при котором f(а) = [a]σ.
Отношения толерантности и их анализ
Об этих БО ранее уже упоминалось, а здесь рассмотрим их подробнее. Всем известны понятия сходство, похожесть, одинаковость, неразличимость, взаимозаменяемость объектов. Они кажутся близкими по содержанию, но при этом не одно и то же. Когда для объектов указано только сходство, то невозможно разбить их на четкие классы так, что внутри класса объекты похожи, а между объектами разных классов сходства нет. В случае сходства возникает размытая ситуация без четких границ. С другой стороны, накапливание несущественных различий у сходных объектов может привести к совершенно непохожим объектам.
В предыдущей части мы обсудили содержательный смысл отношения одинаковости (эквивалентности) объектов. Не менее важной является ситуация, когда приходится устанавливать сходство объектов.
Пусть изучается форма геометрических тел. Если одинаковость формы объектов, например, кубиков, означает их полную взаимозаменяемость в определенной ситуации обучения, то сходство – это частичная взаимозаменяемость, (когда среди кубиков встречаются очень похожие на них параллелепипеды) т. е. возможность взаимной замены с некоторыми (допустимыми в данной ситуации) потерями.
Наибольшая мера для сходства – неразличимость, а вовсе не одинаковость, как может показаться на первый взгляд. Одинаковость – свойство качественно иное. Одинаковость можно рассматривать только как частный случай неразличимости и сходства.
Все дело в том, что неразличимые объекты (так же, как и сходные, похожие) не удается разбить на классы так, чтобы в каждом классе элементы не различались, а элементы разных классов заведомо различались.
В самом деле, будем рассматривать множество точек (х, у) на плоскости. Пусть величина d имеет значение меньшее порога разрешимости глаза, т. е. d – такое расстояние, при котором две точки, находящиеся на этом расстоянии, сливаются в одну, т.е. визуально неразличимы (при выбранном удалении плоскости от наблюдателя). Рассмотрим теперь n точек, лежащих на одной прямой и отстоящих (каждая от соседних) на расстоянии d. Каждая пара
соседних точек неразличима, но, если n достаточно велико, первая и последняя точки будут отстоять друг от друга на большое расстояние и заведомо будут различимы.
Традиционный подход к изучению сходства или неразличимости состоит в том, чтобы сначала определить меру сходства, а затем исследовать взаимное расположение сходных объектов. Английский математик Зиман, изучая модели зрительного аппарата, предложил аксиоматическое определение сходства. Тем самым свойства сходства стало возможным изучать независимо от того, как конкретно оно задано в той или иной ситуации: расстоянием между объектами, совпадением каких-то признаков или субъективным мнением наблюдателя.
Введем экспликацию понятия сходства или неразличимости.
Определение. Отношение Т на множестве M называется отношением толерантности или толерантностью, если оно рефлексивно и симметрично.
Корректность такого определения видна из того, что объект заведомо неразличим сам с собой и, конечно, похож на себя (это задает рефлексивность отношения). Порядок рассмотрения двух объектов не влияет на окончательный вывод об их сходстве или несходстве (симметричность).
Из примера со зрительной неразличимостью точек плоскости видим, что транзитивность толерантности выполняется не для всех пар объектов.
Ясно также, что поскольку одинаковость есть частный случай сходства, то эквивалентность должна быть частным случаем толерантности. Сравнивая определения эквивалентности и толерантности, убеждаемся, что так оно и есть. Философский принцип: «частное богаче общего» наглядно подтверждается. Дополнительное свойство – транзитивности делает часть отношений толерантности эквивалентностями. Двое близнецов бывают настолько одинаковыми, что без риска могут сдавать экзамены друг за друга. Однако если два студента только похожи, то такая проделка, хотя и осуществима, но рискованна.
Каждый элемент множества несет определенную информацию о похожих на него элементах. Но не всю информацию, как в случае одинаковых элементов. Здесь возможны разные степени информации, которую один элемент содержит относительно другого.
Рассмотрим примеры, где толерантность задается разными способами.
Пример 2. Множество M состоит из четырехбуквенных русских слов — нарицательных существительных в именительном падеже. Будем называть такие слова сходными, если они отличаются не более чем на одну букву. Известная задача «Превращение мухи в слона» в точных терминах формулируется так. Найти последовательность слов, начинающуюся словом «муха» и кончающуюся словом «слон», любые два соседних слова в которой сходны в смысле только что данного определения. Решение этой задачи:
муха — мура — тура — тара — кара — каре — кафе — кафр — каюр — каюк — крюк — крок — срок — сток — стон — слон.
Толерантность подмножеств (граней) означает наличие у них общих вершин.
Определение. Множество M с заданным на нем отношением толерантности τ называется пространством толерантности. Таким образом, пространство толерантности есть пара (M, τ).
Пример 4. Пространство толерантности Sp допускает обобщение на бесконечный случай. Пусть H — произвольное множество. Если SH – совокупность всех непустых подмножеств множества H, то отношение толерантности Т на SH задается условием: X Т Y, если X∩Y ≠ ∅. Симметричность и рефлексивность этого отношения очевидны. Пространство SH обозначается и называется «универсальным» пространством толерантности.
Пример 6. Рассмотрим пространство толерантности, компоненты которого принимают любые действительные значения.
В частности, это множество всех точек x = (a1, a2) декартовой плоскости. Толерантность двух точек означает совпадение у них хотя бы одной координаты. Значит, две толерантные точки находятся либо на общей вертикали, либо на общей горизонтали.
Отношения частичного порядка и их анализ
Упорядоченные множества – это множества с введенным на нем отношением порядка. Определение. Множество А и бинарное отношение порядка R на нем (≤) называется частично упорядоченным, если для отношения выполнены (как и в БОЭ) три условия (одно условие другое):
Элемент х∊А ЧУМ А покрывает элемент у∊А, если х > y и не существует z∊А такого, что х > z > y. Пара элементов х, у∊А называется сравнимой, если х ≥ у или х ≤ у.
Если в ЧУМ А всякая пара его элементов является сравнимой, то А называют линейно упорядоченным множеством или цепью.
Если же некоторое ЧУМ В состоит лишь из несравнимых друг с другом элементов, то множество В называют антицепью. Цепь в ЧУМ А называется насыщенной, если она не может быть вложена ни в какую другую цепь, отличную от себя.
Аналогично определяется насыщенная антицепь. Максимальной цепью (антицепью) называется цепь (антицепь), содержащая максимальное количество элементов.
Элемент m ЧУМ А называется минимальным, если в А нет элемента х∊А, отличного от m и такого, что х≤m. Элемент M ЧУМ А называется максимальным, если в А нет элемента х «большего», чем M, отличного от M и такого, что х ≥ M.
Элемент у∊А ЧУМ А называется наибольшим, если ∀ х∊ А х ≤ у. Элемент у∊ А ЧУМ А называется наименьшим, если ∀ х∊А х ≥ у. Для наибольшего и наименьшего элементов принято использовать обозначения 1 и 0 соответственно. Их называют универсальными границами. Всякое ЧУМ А имеет не более одного наименьшего и не более одного наибольшего элементов. В ЧУМ А допустимо несколько минимальных и несколько максимальных элементов
Изображать конечное ЧУМ А удобно диаграммой Хассе, которая представляет собой ориентированный граф, его вершины распределены по уровням диаграммы и соответствуют элементам из А, а каждая дуга направляется вниз и рисуется тогда и только тогда, когда элемент х∊А покрывает элемент у∊А.
Транзитивные дуги не изображаются. Уровни диаграммы Хассе содержат элементы одинакового ранга, т.е. связанные с минимальными элементами ЧУМ путями равной длины (по числу дуг).
Пусть В непустое подмножество ЧУМ А, тогда элемент х∊А называется точной верхней гранью (обозначается supAB) множества В, если х ≥ у для всех у∊В и, если из истинности соотношения z ≥ у для всех у∊В вытекает, что z ≥ х.
Точной нижней гранью (обозначается infAB) множества В называется элемент х∊А, если х ≤ у для всех у∊В и, если из условия z ≤ у для всех у∊ В вытекает, что z ≤ х.
Пример 7. Заданы два конечных числовых множества
А = <0,1,2,…,21>и B = <6,7,10,11>.
ЧУМ (А, ≤) представлено рис. 2.26.
Совокупность В Δ всех верхних граней для В называется верхним конусом для множества В. Совокупность В ∇ всех нижних граней для В называется нижним конусом для В.
Всякое подмножество ЧУМ также является ЧУМ относительно наследованного порядка. Если в множестве существуют наибольший и/или наименьший элементы, то они являются максимальным (минимальным соответственно). Обратное неверно. Булеан обладает единственным наименьшим (Ø) и единственным наибольшим элементами.
В приведенном множестве наименьший элемент нуль (0) и он совпадает с единственным минимальным элементом, а наибольшего элемента не существует. Максимальными элементами являются <19, 20, 21>. Точная верхняя грань для B = <6,7,10,11>есть элемент 21 (это наименьший элемент в верхнем конусе).
Общая ситуация. Пусть задано множество, мощность которого*******. Из всех бинарных отношений, возможных на этом множестве, выделим бинарные отношения предпочтения и связанные с ними отношения строгих частичных порядков.
Частичные порядки отличаются от строгих частичных порядков только тем, что содержат в своем составе дополнительные элементы (в матричном представлении – диагональные) (аi, ai ) = 1, i = 1(1)n, а число тех и других порядков в полном множестве отношений одинаково. До настоящего времени не найдены зависимости (формула, алгоритм), которые позволяли бы подсчитывать и перечислять при любом n число частичных порядков.
Разными авторами непосредственным подсчетом определены и опубликованы следующие результаты (табл. 2.12).
Вычислительные эксперименты автора позволили получить не только число, но и вид (представление) частичных порядков при разных мощностях множителя-носителя отношений. Принтер задыхался печатая такие огромные списки, но не только красота требует жертв, наука тоже не отказывается от них.
В таблице 2.12 показаны: n = |A| – мощность множества-носителя; вторая строка – количество всех бинарных отношений на множестве А; и далее
|Ин(n)| – количество классов неизоморфных отношений;
|Г(n)| – количество отношений частичного порядка;
|Гн(n)| – количество классов неизоморфны отношений частичного порядка;
|Гл(n)| = n! – количество отношений линейного порядка.
Как видим, в таблице для небольших n, например, Г(n=4) имеется всего 219, приводятся данные, значения которых с увеличением n очень быстро растут, что существенно усложняет их количественный (и качественный) непосредственный анализ даже с помощью ЭВМ.
Таблица ниже иллюстрирует возможность порождения Г(n=4) всех частичных порядков из пересечения каждого с каждым линейных частичных порядков. Но в этой ситуации возникают избыточные (повторяющиеся), которые при малых n можно отсечь вручную (пересчитать). Получаются 300 матриц, но ЧУМ среди них лишь 219. Общие формулы так и не были получены. На мировом уровне ситуация аналогичная, хотя мне не довелось видеть публикаций о перечислениях ЧУМ западных авторов. Наши алгоритмы вполне оригинальны и пионерские.
Приведу возможную схему решения задачи перечисления элементов пространства частичных порядков (n=4).
Множество строгих частичных порядков при лексикографическом упорядочении линейных порядков (n=4) порождается при их взаимном пересечении.
Несколько важных определений математики, для встречающихся часто в текстах понятий.
Определение. Замкнутый интервал – это множество вида