умножение комплексных чисел в показательной форме

Как легко умножать и делить комплексные числа.

Ситуация немного усложняется, если у вас два числа, записанных в алгебраической форме. Однако и здесь разобраться можно за несколько минут. Можно вообще схитрить и сначала перевести числа из алгебраической формы в показательную. А затем поступить так, как описано выше.

Пример умножения двух чисел в алгебраической форме записи:

Трюк в том, что, если умножить любое комплексное число на его сопряженное, то мы всегда получим сумму квадратов двух чисел (можете проверить это, подставив комплексно-сопряженные числа в пример умножения, описанный выше):

Зная это, можно легко делить два числа в алгебраической форме:

Вот и все. Подведем итоги, записав алгоритм действий

Для комплексных чисел в показательной форме при их умножении:

Для комплексных чисел в показательной форме при их делении:

Для комплексных чисел в алгебраической форме при их умножении:

Для комплексных чисел в алгебраической форме при их делении:

Источник

Комплексные числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости

Аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Тогда оказывается справедливым равенство:

(3)

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение числа z	Знаки x и y	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественная полуось
Положительная мнимая полуось
Второй квадрант
Отрицательная вещественная полуось	Положительная вещественная полуось
Знаки x и y
Главное значение аргумента	0
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

Главное
значение
аргументаАргументПримерыГлавное
значение
аргументаАргументПримерыГлавное
значение
аргументаАргументПримеры

x zТретий
квадрантЗнаки x и y

x zОтрицательная
мнимая
полуосьЗнаки x и y

y zЧетвёртый
квадрантЗнаки x и y

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

следствием которых являются равенства

(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

(10)

то по формуле (10) получаем:

Источник

Умножение комплексных чисел

Что такое комплексные числа и их умножение

В математических науках часто применяют при решении задач не только натуральные, рациональные и вещественные числа, но и комплексные.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В том случае, когда b = 0, комплексное число трансформируется в вещественное число. Исходя из этого, можно сделать вывод, что действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Запись данного заключения будет иметь следующий вид подмножества:

\(\mathbb \subset \mathbb\)

Следует отметить, что также допустимо равенство:

Согласно принятым правилам, мнимая часть комплексного числа записывается в виде:

Действительная часть комплексного числа представляет собой выражение:

Рассмотрев множество на примере, можно представить формулировку комплексно-сопряженных чисел.

Разница между записанными числами заключается в неодинаковых знаках перед действительным и мнимым компонентом чисел.

В математической науке для данных чисел предусмотрено несколько форм. Таким образом, одинаковые числа достаточно просто записать разными методами:

С помощью несложных манипуляций одну форму числа можно перевести в другой вариант записи. Алгебраическая запись является более распространенной. Однако допустимо изображать комплексные числа на плоскости. В итоге получим числа \(a,b \in \mathbb\) расположенные на соответствующих осях плоскости.

Справедливы следующие закономерности:

Умножить комплексные числа в алгебраической форме можно, таким образом:

Операция умножения комплексных чисел, записанных в показательном варианте, имеет следующий вид:

Разновидности формул умножения в зависимости от формы записи

Благодаря наличию специальных формул, можно оперативно выполнять различные операции с комплексными числами, включая примеры из тригонометрии. Теоретический порядок действий при умножении зависит от того, в какой форме записано комплексное число.

Формула умножения в алгебраической форме

Формула умножения в показательной форме

Если требуется найти произведение комплексных чисел, которые записаны в показательной форме, то целесообразно воспользоваться способом прямого перемножения всех элементов:

Формула умножения в тригонометрической форме

Найти произведение комплексных чисел, записанных с помощью тригонометрической формы, можно, таким образом:

\(z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \cdot (\cos(\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1+\varphi_2))\)

Примеры решения задач с комплексными числами

Задача 1

Необходимо представить алгебраическую форму комплексного числа в виде тригонометрической и показательной записи. Комплексное число:

Решение

В первую очередь следует определить модуль комплексного числа:

Далее целесообразно найти аргумент:

В результате можно составить тригонометрическую форму комплексного числа, которое дано в условии задачи:

Таким же способом можно представить комплексное число в показательной форме:

Задача 2

Требуется найти произведение пары комплексных чисел:

Решение

В первую очередь следует записать выражение:

\(z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (2-3i)\)

Затем целесообразно приступить к раскрытию скобок и перемножить множители поэлементно:

\(z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (2-3i)= (3 \cdot 2 + 3 \cdot (-3i) + i \cdot 2 + i \cdot (-3i)\)

Полученное равенство можно упростить. Для этого нужно учитывать, что:

Запишем готовое выражение:

Задача 3

Даны комплексные числа:

Необходимо найти произведение этих комплексных чисел.

Решение

Вначале требуется записать выражение:

Путем перегруппировки множителей и применения свойства степени:

Задача 4

Даны комплексные числа:

\(z_1 = 2\bigg (\cos\frac<\pi> <3>+ i\sin \frac<\pi> <3>\bigg )\)

\(z_2 = 4 \bigg (\cos\frac<\pi> <4>+ i\sin \frac<\pi> <4>\bigg )\)

Требуется найти произведение этих комплексных чисел.

Решение

Если необходимо умножить комплексные числа, представленные в тригонометрической форме, то целесообразно сложить их аргументы и перемножить модули:

\(z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 4 \cdot \bigg ( \cos (\frac<\pi> <3>+ \frac<\pi><4>) + i\sin (\frac<\pi> <3>+ \frac<\pi><4>) \bigg ) = 8 \bigg (\cos \frac<7> <12>+ i\sin \frac<7> <12>\bigg )\)

Ответ: \(z_1 \cdot z_2 = 8 \bigg (\cos \frac<7> <12>+ i\sin \frac<7> <12>\bigg )\)

Задача 5

Необходимо выполнить несколько действий с комплексными числами:

Требуется найти их сумму и разность.

Решение

В первую очередь следует сложить комплексные числа. В этом случае нужно найти сумму соответствующих мнимых частей комплексных чисел:

Аналогичным способом можно найти разность комплексных чисел:

Задача 6

Даны комплексные числа:

Необходимо найти их произведение и выполнить деление комплексных чисел.

Решение

Вначале нужно записать выражение:

\(z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (5-2i)\)

Далее требуется раскрыть скобки и выполнить приведение подобных слагаемых с учетом, что:

Таким образом, получим:

Затем необходимо поделить первое число на второе:

Принцип деления заключается в исключении комплексного числа, которое расположено в знаменателе. Для того чтобы получить результат, необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю. По итогу следует раскрыть все скобки:

Поделив числитель на 29, можно записать дробь алгебраическим способом:

Задача 7

Дано комплексное число:

Данное число требуется возвести в степени:

Решение

Комплексное число достаточно просто возвести в квадрат, если умножить его само на себя:

\(z^2 = (3+3i)^2 = (3+3i)\cdot (3+3i) =\)

Применяя формулу, справедливую для умножения, следует раскрыть скобки и привести подобные:

Во втором варианте:

Данный пример отличается повышенной сложностью вычислений, по сравнению с первым примером, где потребовалось лишь возвести комплексное число в квадрат. Если пойти стандартным путем и умножать комплексное число само на себя 7 раз, то вычисления могут занять неопределенное время. Упростить задачу легко, если применить к решению формулу Муавра. Данная закономерность справедлива в случае операций с комплексными числами, которые записаны в тригонометрической форме. По условиям задачи число представлено в алгебраическом виде. Поэтому в первую очередь целесообразно перевести его в тригонометрическую форму.

Требуется найти модуль:

Далее следует вычислить аргумент:

\(\varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi><4>\)

Можно записать комплексное число в тригонометрической форме:

Возведение в степень n = 7 будет выглядеть следующим образом:

Представить наглядный ответ лучше в алгебраической форме. Для этого необходимо выполнить ряд манипуляций:

\(= 2187 \cdot 8 (1-i) = 17496(1-i)\)

Задача 8

Необходимо извлечь корень \(\sqrt[3]<-1>\) над множеством \(\mathbb.\)

Решение

Следует преобразовать комплексное число в тригонометрическую форму. Для этого необходимо найти значение модуля и аргумента:

\(\varphi = arctg \frac<0> <-1>+\pi = arctg 0 + \pi = \pi\)

В результате получим выражение:

\(z = (\cos \pi + i\sin \pi)\)

С помощью формулы Муавра представляется возможным найти значение корней какой-либо степени:

По условию степень соответствует n = 3. Таким образом, согласно формуле:

В результате получим:

Задача 9

Необходимо найти решение для квадратного уравнения:

\(x^2 + 2x + 2 = 0\) над \(\mathbb\)

Решение

Найти ответ на данную задачу следует, используя общую формулу. Для начала необходимо вычислить дискриминант:

В результате получим:

Однако на этом решение задачи не заканчивается. По условию требуется определить уравнение над комплексным множеством. Получение в итоге отрицательного дискриминанта говорит только о том, что в выражении отсутствуют вещественные корни. Это утверждение не отменяет наличие комплексных корней. Таким образом, следует их найти:

Можно отметить, что:

Далее следует продолжить вычисления:

В результате получаются комплексно-сопряженные корни:

Источник