учет симметрии при расчете статически неопределимых стержневых систем

Сопр / 2

2. Учет симметрии при расчете статически неопределимых стержневых систем

Использование метода сил для расчета систем с высокой степенью статической неопределимости связано с решением совместной системы большого количества линейных уравнений. Даже самый экономичных метод решения таких систем – алгоритм Гаусса – требует вычислительных операций (где n – число уравнений, т.е. степень статической неопределимости системы), при условии, что все коэффициенты системы отличны от нуля. В связи с этим нужно стремиться так выбрать основную систему, чтобы возможно большее число побочных единичных перемещений , и свободных членов обратилось в ноль.

Основным средством для достижения этой цели является использование симметрии. Стержневая система является симметричной, если симметричны не только оси и опорные закрепления (геометрическая симметрия), но и жесткости (упругая симметрия). При этом внешняя нагрузка может быть и несимметричной.

При выборе основной системы лишние неизвестные следует выбирать в виде симметричных и обратно симметричных усилий. Симметричные неизвестные создают симметричные эпюры моментов, а обратно симметричные неизвестные – кососимметричные эпюры. Такие эпюры обладают свойством взаимной ортогональности, т.е. результат их перемножения равен нулю:

(14.18)

Ортогонализация эпюр может достигаться различными способами:

1) выбор симметричной основной системы; 2) выбор симметричных и обратносимметричных неизвестных; 3) группировка неизвестных; 4) устройство жестких консолей (способ упругого центра); 5) использование статически неопределимой основной системы; 6) разложение произвольной нагрузки на симметричную и обратносимметричную составляющие.

Рассмотрим раму, имеющую ось геометрической симметрии (рис.19, а). Заменим внешнюю нагрузку ей статически эквивалентной, такой, что она представляет сумму симметричной (рис.19, б) и кососимметричной (рис.19, в) нагрузок относительно оси геометрической симметрии.

Аналогично можно классифицировать внутренние силовые факторы в произвольном сечении стержневой системы (рис.20).

Изгибающие моменты М_Х, М_У, нормальная сила N являются зеркальным отражением друг друга относительно плоскости поперечного сечения. Эти внутренние силовые факторы назовём симметричными. Остальные (перерезывающие силы Q_x, Q_y и крутящий момент М_z ) назовём антисимметричными или кососимметричными силовыми факторами.

Докажем теперь положение:

у геометрически симметричной рамы в плоскости симметрии при симметричной внешней нагрузке обращаются в нуль кососимметричные внутренние силовые факторы, а при кососимметричной внешней нагрузке – симметричные силовые факторы (рис.21).

Канонические уравнения метода сил для изображённой на рис.19 трижды статически неопределимой рамы имеют вид

(14.19)

На рис. 22 приведены эпюры изгибающих моментов от единичных сил.

На основании этих эпюр находим:

Следовательно, канонические уравнения (14.19) принимают вид

(14.20)

На рис. 23 приведены эпюры моментов от внешних симметричной (рис.23, а) и кососимметричной (рис.23, б) нагрузок.

В первом случае симметричной внешней нагрузки имеем:

Из (14.20) следует Х₂ = 0, т.е. при симметричной внешней нагрузке обращается в нуль кососимметричный силовой фактор (перерезывающая сила), что и требовалось доказать.

Во втором случае кососимметричной внешней нагрузки имеем:

Канонические уравнения (14.20) принимают вид

(14.21)

Т.к. определитель системы двух первых уравнений (14.21)

то , что и требовалось доказать.

Полученные результаты могут быть распространены на пространственные стержневые системы.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник

Учет свойств симметрии и кососимметрии

Тема 14. Статически неопределимые системы. Раскрытие статической неопределимости систем методом сил

Основные понятия и определения

В данной теме будут рассматриваться кинематически неизменяемые системы соединенных между собой балок и стержней, т.е. положение в пространстве всех элементов системы зафиксировано. Если элементы системы работают в основном на растяжение и сжатие, то эта стержневая система называется фермой, если элементы системы работают в основном на изгиб и кручение, то такую систему будем называть рамой.

Рамы и фермы могут быть плоскими, плоскопространственными и пространственными. У плоских систем продольные оси всех ее элементов расположены в одной плоскости. В этой же плоскости действуют все внешние силы (рис. 14.1а). У плоскопространственных систем оси элементов расположены в одной плоскости, а внешние силы действуют в плоскостях, перпендикулярных этой плоскости (рис. 14.1б). Конструкции, не относящиеся к выше перечисленным классам, называются пространственными (рис. 14.1в).

Рис. 14.1. Плоские, плоскопространственные и пространственные системы

Ограничения, накладываемые на возможные независимые перемещения свободного тела или на деформации его элементов, называются связями. Различают связи внешние и внутренние. Число внешних связей равно числу реакций опор, число внутренних связей – числу внутренних силовых факторов.

Под статически определимой системой понимают такую систему, для которой все реакции внешних связей могут быть определены из уравнений статического равновесия, а затем методом сечений могут быть определены все внутренние силовые факторы. Если реакции внешних связей и внутренние силовые факторы не могут быть определены из уравнений статики и методом сечений, то такая система называется статически неопределимой.

Если не удается из условия равновесия определить внешние связи (реакции опор), то систему называют внешне статически неопределимой, если нельзя методом сечений найти внутренние силовые факторы, система является внутренне статически неопределимой. Очевидно, что системы могут быть одновременно внешне и внутренне неопределимыми.

На рис. 14.2а изображена плоская статически определимая система (рама). Реакции находятся из уравнений статики, а внутренние силовые факторы во всех элементах – методом сечений (рис. 14.2б). На рис. 14.2в изображена та же рама, в которой добавлен шарнирно опертый стержень, работающий на растяжение – сжатие. Реакции внешних связей, как и в первом случае, находятся однозначно из уравнений равновесия. Однако определить внутренние силовые факторы методом сечений невозможно, т.к. при рассечении рамы произвольной плоскостью в сечении будет четыре неизвестных внутренних силовых фактора (рис. 14.2г), а для плоской рамы можно составить только три независимых уравнения статики. Следовательно, рама, рассмотренная на рис.14.2в, один раз внутренне статически неопределима.

Рис. 12.2. Статически определимые и неопределимые рамы

В рассмотренном примере сверх минимально необходимых для кинематической неизменяемости системы наложена одна «лишняя» связь. Всякую связь, наложенную сверх необходимых, называют дополнительной. Степень статической неопределимости системы равна числу дополнительных связей.

Метод сил

Наиболее распространенным методом раскрытия статической неопределимости системы в машиностроении является метод сил. В соответствии с данным методом система освобождается от дополнительных связей. Исходная система, освобожденная от всех дополнительных связей и с отброшенной системой внешних сил, называется основной системой. Действие на систему дополнительных связей заменяют неизвестными на данном этапе расчета силами и моментами. Величину этих сил и моментов подбирают таким образом, чтобы обобщенные перемещения характерных точек системы соответствовали ограничениям, наложенным на систему отброшенными связями. При таком способе раскрытия статической неопределимости неизвестными являются обобщенные силы. Отсюда и название метода – метод сил. Значит, раскрыть статическую неопределимость – определить обобщенные силы, которые заменяют воздействие на исходную систему отброшенных дополнительных связей.

Алгоритм раскрытия статической неопределимости рассмотрим на простом примере.

Пусть требуется провести расчет на прочность балки, изображенной на рис. 14.3. Будем считать, что изгибная жесткость балки постоянна по ее длине (EI_ос=const).

Рис. 14.3. Статически неопределимая балка

Решение.

1. Определяем степень статической неопределимости системы.

В жесткой заделке (слева по рисунку) возникают три реакции, в шарнирно-подвижной опоре – одна реакция. Итого четыре неизвестных. Для плоской системы можно составить три независимых уравнения статики. Значит, степень внешней статической неопределимости системы равна единице. Внутренне такая балка статически определима, т.к. в ее сечениях действуют два неизвестных силовых фактора (изгибающий момент и поперечная сила, а независимых уравнений статики можно составить три).

2. Выбираем основную систему.

Для этого необходимо отбросить какую либо дополнительную («лишнюю») связь. Таких основных систем может быть несколько, главное, чтобы после отбрасывания дополнительных связей система оставалась кинематически неизменяемой. В качестве примера на рис. 14.4 приведены два варианта возможных основных систем. В данном расчете в качестве основной выберем систему, показанную на рис. 14.4а.

Рис. 14.4. Основные системы статически неопределимой балки

3. Изображаем эквивалентную систему

Рис. 14.5. Эквивалентная система

4. Определение значения неизвестной силы X₁.

Силу X₁ подбирают из условия, чтобы перемещение точки В от совместного действия исходной системы внешних (Р) и неизвестной пока силы X₁ было равно нулю, как и в исходной системе. Перемещение будем обозначать греческой буквой Δ_ij с двумя индексами. Первый индекс (i) указывает на точку, перемещение которой рассматривается, и направление перемещения (например, i=1 – это значит, что рассматривается перемещение точки приложения силы X₁ в направлении ее действия). Второй индекс указывает причину перемещения данной точки (например, j=P, т.е. перемещение рассматриваемой точки от действия силы Р). В данном случае на основании принципа независимости действия сил имеем

(14.1)

Первый индекс (1) указывает, что рассматривается перемещение точки приложения силы X₁ (на рис.14.5 это точка В) в направлении ее действия. Второй индекс указывает, что рассматривается совместное действие внешней силы Р и пока неизвестной силы X_1.

В соответствии с законом Гука, перемещение точки В от силы X₁ представим в виде

,

где — перемещение точки В, где приложена сила X₁, в направлении ее действия при X₁=1.

Таким образом, условие (14.1) можно записать так

(14.2)

Выражение (14.2) представляет собой каноническое уравнение метода сил. Коэффициент и свободный член по физическому смыслу представляют собой перемещения от действия некоторых обобщенных сил в рассматриваемой точке для статически определимой системы (эквивалентной системы). Они могут быть определены посредством интегралов Мора.

Так как при поперечном изгибе балки вкладом в перемещения поперечных сил можно пренебречь, то в интеграле Мора будем учитывать только изгибающий момент. Тогда имеем

В первом интеграле учтено, что перемещение определяется для единичной силы, которая заменяет силу X₁. Подынтегральные выражения представляют собой произведение функций, одна из которых (М₁) всегда линейна. Следовательно, для вычисления этих интегралов удобно использовать правило Верещагина. Для этого построим эпюры изгибающих моментов от силы Р (М_Р) и от единичной силы X₁=1, как показано на рис. 14.6.

Рис. 14.6. Эпюры изгибающих моментов для консольной балки

В соответствии с правилом вычисления интегралов получим:

Подставляем найденные коэффициенты в уравнение (14.2) и находим неизвестную силу X₁

Теперь, зная неизвестную ранее реакцию в шарнирно – подвижной опоре исходной системы X₁, можно перейти от статически неопределимой исходной системы (рис.14.3) к абсолютно ей эквивалентной, но уже статически определимой системе, изображенной на рис.14.7. А так как это система статически определимая, то используя метод сечений не представляет труда определить внутренние силовые факторы во всех сечениях и решить задачу прочности.

Рис.4.7. Расчетная схема для эквивалентной системы

Учет свойств симметрии и кососимметрии

В реальных конструкциях достаточны часто встречаются рамы, симметричные в геометрическом отношении, когда есть ось симметрии, относительно которой правая часть рамы является зеркальным отражением левой. Оказывается, что геометрическая симметрия рамы позволяет существенно упростить решение задачи по раскрытию ее статической неопределимости при правильном выборе основной системы.

Введем понятия симметричной и кососимметричной нагрузки. Под симметричной нагрузкой будем понимать такую, при которой внешние обобщенные силы, приложенные к правой (относительно оси симметрии) части рамы, являются зеркальным отражением обобщенных сил, действующих на ее левую часть. Под кососимметричной (антисимметричной) понимают нагрузку, когда обобщенные силы, действующие на правую часть рамы, являются зеркальным отражением сил на левую часть, но с противоположным знаком. Так, на рис. 14.8а показан пример симметричной нагрузки, а на рис. 14.8б – кососимметричной.

Рис. 14.8. Симметричная и кососимметричная нагрузка симметричной рамы

Аналогично можно классифицировать и внутренние силовые факторы (рис. 14.9)

Рис. 14.9. Симметричные и кососимметричные внутренние силовые факторы

На данном рисунке видно, что к симметричным внутренним силовым факторам следует отнести изгибающие моменты M_x, M_y и нормальную силу N, а к кососимметричным силовым факторам крутящий момент М_к и поперечные силы Q_x, Q_y.

Рассмотрим геометрически симметричную раму (рис. 14.10а). Изображенная плоская рама трижды внешне статически неопределима. Выберем основную систему, разрезая раму по плоскости симметрии. Обозначим внутренние силовые факторы, действующие в плоскости рассечения для левой и правой частей рам Х₁, Х₂ и Х₃ (рис. 14.10б).

В этом случае система канонических уравнений имеет вид:

Первое уравнение по физическому смыслу означает, что взаимное перемещение левого и правого сечений в разрезе в вертикальном направлении должно быть равно нулю при совместном действии внешней нагрузки и пока неизвестных обобщенных сил Х_i. Второе уравнение соответствует взаимному перемещению в горизонтальном направлении, а третье – взаимный угол поворота по секущей плоскости должен также равняться нулю.

Рис. 14.10. Раскрытие статической неопределимости симметричной рамы

Построим эпюры для единичных силовых факторов, заменяющих обобщенные силы Х₁, Х₂ и Х₃ (рис. 14.10в). Коэффициенты δ_ij можно определять путем перемножения эпюр M_i и M_j по правилу Верещагина. Например, δ₁₂ получаем перемножением эпюр М₁ и М₂. Учитывая вид эпюр и знаки внутренних силовых факторов, легко показать, что δ₁₂= δ₂₁= δ₁₃= =δ₃₁=0. Исходная система канонических уравнений примет вид

При симметричной внешней нагрузке также получим, что и из первого уравнения системы получаем Х₁=0.

При кососимметричной нагрузке наоборот Δ_2Р= Δ_2Р=0, а значит из второго и третьего уравнений системы (однородные уравнения с ненулевым определителем) получим Х₂=Х₃=0.

ВЫВОД. У симметричной рамы в плоскости симметрии при симметричной внешней нагрузке обращаются в ноль кососимметричные силовые факторы, а при кососимметричной нагрузке – симметричные силовые факторы.

Указанная закономерность носит общий характер и облегчает решение многих статически неопределимых задач. Например, на рис. 14.11а изображена симметричная в геометрическом отношении рама, нагруженная кососимметричной нагрузкой. Если выбрать в качестве основной систему, у которой отброшены связи в одной из опор, то система окажется трижды статически неопределимой (рис. 14.11б) и для ее раскрытия придется решать систему из трех канонических уравнений. Если же за основную принять систему, полученную рассечением исходной рамы по плоскости симметрии, то симметричные внутренние силовые факторы будут равны нулю и единственной неизвестной величиной окажется вертикальная поперечная сила Х₁ (рис. 14.11в). Значит, система один раз статически неопределима.

Рис. 14.11. Использование свойств симметрии и кососимметрии при выборе основной системы

Источник

Учет симметрии при расчете статически неопределимых стержневых систем

Экзаменационные вопросы по второй части общего курса «Сопротивление материалов»

1. Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил. Вывод канонических уравнений.

2. Учет симметрии при расчете статически неопределимых стержневых систем.

3. Особенности расчета статически неопределимых многоопорных балок.

4. Особенности расчета плоскопространственных рам.

5. Расчет балок по предельной нагрузке. Понятие о пластическом шарнире. Определение внутреннего предельного момента для балки с сечением, имеющим одну ось симметрии. (Для бакалавров)

6. Определение перемещений в статически неопределимых стержневых системах.

7. Методы проверки расчета статически неопределимых стержневых систем.

8. Теория напряженного состояния. Определение напряжений в произвольной площадке, проходящей через заданную точку. Понятие о тензоре напряжений.

9. Теория напряженного состояния. Определение главных напряжений в общем случае напряженного состояния.

10. Вывод формулы определения главных напряжений, в случае если одно главное напряжение известно.

11. Деление тензора напряжений на шаровую и девиаторную составляющие.

12. Теория напряжений. Круговая диаграмма О.Мора.

13. Теория деформаций. Деформированное состояние в точке. Главные деформации. Объемная деформация.

14. Обобщенный закон Гука для изотропного материала.

15. Вывод формулы определения удельной потенциальной энергии деформации в общем случае напряженного состояния.

16. Эквивалентное напряжение. Коэффициент запаса для сложного напряженного состояния.

17. Теория начала текучести наибольших касательных напряжений. Вывод формулы определения эквивалентного напряжения.

18. Теория начала текучести энергии изменения формы. Вывод формулы определения эквивалентного напряжения.

19. Теория разрушения О.Мора. Вывод формулы для эквивалентного напряжения.

20. Вывод формул для вычисления эквивалентного напряжения в случае плоского упрощенного напряженного состояния по двум теориям начала текучести и теории разрушения О.Мора.

21. Основы механики разрушения. Энергетический критерий роста трещин.

22. Основы механики разрушения. Силовой критерий роста трещин.

23. Безмоментная теория расчета оболочек вращения. Вывод уравнения Лапласа.

24. Определение напряжений в цилиндрической и сферической оболочках, нагруженных равномерным внутренним давлением по безмоментной теории.

25. Осесимметричный изгиб круглых пластин. Основные гипотезы. Вывод геометрических соотношений (зависимость деформаций и перемещений от угла поворота нормали). (Для бакалавров)

26. Осесимметричный изгиб круглых пластин. Основные гипотезы. Напряженное состояние. Интенсивности сил и моментов. Уравнения равновесия. (Для бакалавров)

27. Определение интенсивности поперечных сил при изгибе пластин. Привести примеры. (Для бакалавров)

28. Формулировка граничных условий для определения функции углов поворота нормали и функции прогибов в задаче изгиба пластин. (Для бакалавров)

29. Расчет толстостенных труб. Постановка задачи. Вывод дифференциального уравнения равновесия элемента трубы.

30. Расчет толстостенных труб. Постановка задачи. Условие совместности деформаций.

31. Задача Ламе. Распределение окружных и радиальных напряжений в толстостенной трубе, нагруженной внутренним давлением.

32. Задача Ламе. Распределение окружных и радиальных напряжений в толстостенной трубе, нагруженной внешним давлением.

33. Определение теоретического коэффициента концентрации напряжений на примере анализа напряжений в равномерно растянутом диске с отверстием.

34. Основы расчета составных труб.

35. Устойчивость продольно сжатых стержней. Определение основных понятий: устойчивость, бифуркация форм равновесия, критическая сила. Примеры потери устойчивости.

36. Статический метод (метод Эйлера) решения задач устойчивости стержня. Вывод формулы определения критической силы для шарнирно закрепленного стержня (Задача Эйлера).

37. Устойчивость сжатых стержней. Коэффициент приведения длины. Примеры определения коэффициента приведения длины.

38. Устойчивость сжатых стержней. Вывод формулы вычисления критической нагрузки энергетическим методом. Выбор пробной функции прогиба для решения задачи нахождения критической силы энергетическим методом.

39. Пределы применимости формулы Эйлера для вычисления критических нагрузок. Определение значения гибкости стержня, до которого справедлива формула Эйлера. График зависимости критических напряжений от гибкости. Определение критических напряжений при малой гибкости стержня.

40. Расчет на устойчивость по коэффициенту понижения допускаемых напряжений.

41. Продольно-поперечный изгиб стержня. Использование дифференциального уравнения упругой линии для определения прогибов стержня.

42. Продольно-поперечный изгиб стержня. Вывод формулы С.П.Тимошенко для приближенного определения прогибов.

43. Расчеты на прочность при циклически изменяющихся напряжениях. Основные понятия об усталости материалов. Характеристики цикла. Кривая усталости и определение предела выносливости.

44. Усталостная прочность. Схематизация диаграммы предельных амплитуд.

45. Влияние концентрации напряжений на усталостную прочность.

46. Влияние качества обработки и состояния поверхностного слоя на усталостную прочность.

47. Влияние абсолютных размеров поперечных сечений деталей на усталостную прочность.

48. Вывод формулы для определения коэффициента запаса усталостной прочности при напряжениях, переменных во времени.

49. Определение коэффициента запаса усталостной прочности при совместном изгибе и кручении стержня.

50. Расчеты на ударную нагрузку.

1. Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил. Вывод канонических уравнений

Статически неопределимые балки и рамы – конструкции, в которых уравнений статики недостаточно для определения опорных реакций и внутренних усилий. Число связей, наложенных на статически неопределимую систему, больше того количества связей, которые обеспечивают геометрическую неизменяемость конструкции. Такими связями могут быть как опорные связи, так и стержни самой конструкции.

Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей: 1. Статически неопределимая система ввиду наличия добавочных лишних связей,

по сравнению с соответствующей статически определимой системой оказывается более жесткой.

2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.

3. Разрушение лишних связей в нагруженном состоянии, не ведет к разрушению всей системы в целом, так как удаление этих связей приводит к новой геометрически неизменяемой системе, в то время как потеря связи в статически определимой системе приводит к изменяемой системе.

4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий

в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.

5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.

6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.

Метод сил. При расчете по методу сил основными искомыми величинами являются усилия в лишних связях. Знание усилий в лишних связях позволит по методу сечений выполнять полный расчет по определению усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов заданной системы.

Степень статической неопределимости системы

Перед расчетом статически неопределимой конструкции необходимо сначала определить степень статической неопределимости рассматриваемой системы. Для балок и простых рам степень статической неопределимости равна числу лишних опорных связей. В каждой связи возникает опорная реакция, поэтому степень статической неопределимости можно найти, сосчитав разность между количеством неизвестных опорных реакций и числом независимых уравнений статики.

Алгоритм расчета методом сил

Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:

1. Определить степень статической неопределимости.

2. Выбрать основную систему.

3. Сформировать эквивалентную систему.

4. Записать систему канонических уравнений.

5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.

6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.

7. Построить суммарную единичную эпюру.

Выбор основной системы

Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически

связи отброшены и система превращена в статически определимую,

следующее условие основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой (т.е. не должна менять свою геометрию без деформаций элементов).

Канонические уравнения метода сил

В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.

где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. — это

обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения можно представить в виде:

где — единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи,

Подставляя (14.3) в (14.2), получим:

Записывая выражения, аналогичные (14.4), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:

Источник