Как рисуется прямоугольная трапеция

Прямоугольная трапеция

Что такое прямоугольная трапеция и какими свойствами она обладает?

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.

Рисунок прямоугольной трапеции

ABCD- прямоугольная трапеция,

AD ∥ BC — основания трапеции,

AB и CD — ее боковые стороны,

Свойства прямоугольной трапеции:

1) Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне.

AB — высота трапеции ABCD.

2) У прямоугольной трапеции два угла — прямые, один — острый и один — тупой.

∠A и ∠B — прямые, ∠D — острый, ∠C — тупой.

3) Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит прямоугольную трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник.

ABCD — прямоугольник (так как у него все углы — прямые). Следовательно, AF=BC, CF=AB.

FCD — прямоугольный треугольник. FD=AD-AF,

отсюда FD=AD-BC. Если AD=a, BC=b, CF=AB=h, то

4) Квадрат меньшей диагонали прямоугольной трапеции равен сумме квадратов ее высоты и меньшего основания.

Треугольник ABC — прямоугольный.

По теореме Пифагора,

5) Квадрат большей диагонали прямоугольной трапеции равен сумме квадратов ее высоты и большего основания.

Треугольник ABD — прямоугольный.

Источник

Геометрия

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Трапеция

Рассмотрим четырехуг-к, у которого параллельны только две стороны, а две оставшиеся не параллельны. Такая фигура именуется трапецией.

На рисунке трапеция выглядит следующим образом:

Параллельные стороны именуются основаниями трапеции, а другие две – это боковые стороны.

Обратите особое внимание на то, что одно из оснований всегда больше второго основания. Действительно, если бы основания имели одинаковую длину, то получился бы четырехуг-к, у которого две противоположные стороны и равны, и параллельны. Однако это уже один из признаков параллелограмма, а параллелограмм никак не может быть трапецией.

Иногда полезно представлять трапецию как усеченный треуг-к. Действительно, если в треугольнике провести линию, параллельную одной из сторон и пересекающую две остальные стороны, то она как бы «отсечет» верхушку этого треуг-ка, и получится трапеция. И наоборот, любую заданную трапецию можно достроить до треугольника:

Сумма всех 4 углов трапеции составляет, как и у любого четырехугольника, 360°.

Задание. Известно, что у трапеции АВСD АD||ВС, ∠А = 36°, ∠С = 117°. Найдите∠В и ∠D.

Решение: АВ можно рассматривать как секущую параллельных прямых ВС и АD. Но тогда∠А и ∠В будут являться односторонними, а их сумма будет равна 180°. Отсюда можно найти ∠В:

Аналогично, рассматривая в качестве секущей СD, можно найти и ∠D, который вместе с∠С является односторонним:

Средняя линия трапеции

Если отметить середину каждой из боковых сторон трапеции, а потом соединить эти середины, то получится отрезок, именуемый средней линией трапеции.

Докажем важную теорему, связанную со средней линией:

Для этого изучим трапецию АВСD, у которой боковые стороны – это АВ и CD. Пусть М – середина АВ. Проведем через М прямую, параллельную основаниям, которая пересечет СD в точке N. По теореме Фалеса параллельные друг другу прямые АD, МN и ВС отсекут на прямой СD равные отрезки, то есть СN = ND. Но это означает, что N– середина CD, а тогда MN – средняя линия (согласно ее определению). Естественно, что в трапеции возможно построить только одну среднюю линию, а значит, средняя линия МN параллельна каждому из оснований.

Прямоугольная и равнобедренная трапеция

Существует два частных вида трапеции, обладающих особыми свойствами. Первый из них – это прямоугольная трапеция. Она отличается тем, что один из ее углов равен 90°.

Здесь∠А = 90°. Легко догадаться, что на самом деле если у трапеции хоть один угол составляет 90°, то найдется и ещё один угол, также равный 90°. В данном случае это ∠В. Сумма ∠A и ∠D должна составлять 180°, ведь они односторонние. Именно поэтому из условия

Задание. Основания прямоугольной трапеции имеют длину 10 и 15 см, а один из углов составляет 45°. Вычислите длину ее наименьшей боковой стороны?

Пусть основания заданной трапеции – это отрезки АD и ВС, ∠А = 45°, ∠D = ∠C = 90°. Опустим из точки В перпендикуляр ВН на АD:

Очевидно, что ВН||CD, ведь эти отрезки перпендикулярны одной прямой АD. Получается, что в четырехуг-ке НВСD противоположные стороны попарно параллельны, то есть он является параллелограммом. Отсюда вытекает равенство его сторон:

Нашли СD, но является ли этот отрезок именно меньшей боковой стороной трапеции? Для ответа на этот вопрос вернемся к ∆АВН. В нем АВ – это гипотенуза, а потому она заведомо больше катета ВН, то есть больше 5 см. Значит, именно CD – это меньшая боковая сторона.

Ещё один особый вид трапеции – равнобедренная трапеция. Она отличается тем, что у неё длины боковых сторон одинаковы.

Равнобедренная трапеция обладает рядом интересных свойств. Начнем с того, что углы при каждом из ее оснований равны.

В итоге мы получили четырехуг-к АВСН, в котором АВ||CН, ВС||АН. Это значит, что он является параллелограммом, и тогда

Отсюда сразу же вытекает и второе свойство равнобедренной трапеции – у неё равные диагонали.

Действительно, треуг-ки ∆АВD и ∆АСD равны, ведь

Оказывается, есть признаки, которые позволяют определить, является ли трапеция равнобедренной. Сформулируем первый из них:

Для доказательства снова построим в трапеции АВСD такую прямую СН, что СН||АВ:

Несколько сложнее доказать другую теорему:

Пусть в трапеции АВCD одинаковы диагонали ВD и АС. Для определенности будем считать, что большее основание – это АD. Опустим из точек В и С перпендикуляры ВЕ и СF на АD:

Ясно, что эти перпендикуляры параллельны друг другу, ведь они перпендикулярны третьей прямой. Тогда в ВСFЕ противоположные стороны параллельны, то есть эта фигура – параллелограмм. Отсюда вытекает, что

Далее рассмотрим ∆ВЕD и ∆АСF. Они оба являются прямоугольными, у них одинаковы гипотенузы (АС = ВD), а также и катеты ВЕ и СF. Значит, эти треуг-ки равны, следовательно,

Задание. Один из углов равнобедренной трапеции составляет 55°. Найдите все остальные углы этой трапеции.

Решение. Проще всего найти ∠D, ведь углы при основании равнобедренной трапеции одинаковы:

Заметим одно важное обстоятельство. Если достроить равнобедренную трапецию до треугольника, продолжив ее боковые стороны, то получится равнобедренный треуг-к:

Действительно, если АВСD – равнобедренная трапеция, то

Пусть продолжения боковых сторон пересеклись в некоторой точке Е. Тогда в ∆АЕD два угла, ∠А и ∠D, окажутся равными, следовательно, ∆АЕD– равнобедренный.

Прямоугольник

Следующим особым четырехугольником является прямоугольник (иногда его сокращенно обозначают как прямоуг-к). Его отличительный признак заключается в том, что все его углы – прямые.

Продемонстрируем несколько прямоугольников:

Очевидно, что у прямоуг-ка противоположные стороны параллельны, ведь они перпендикулярны одной и той же прямой. Следовательно, всякий прямоуг-к одновременно является параллелограммом и обладает всеми его свойствами. Стоит особо отметить, что обратное утверждение неверно – отнюдь не всякий параллелограмм является прямоугольником. Другими словами, прямоугольник – это частный случай параллелограмма, который отличается тем, что его углы составляют 90°.

Из этого вытекает два свойства прямоугольника:

Однако есть ещё одно свойство, которое НЕ характерно для остальных параллелограммов.

Доказать это очень просто. Пусть есть прямоугольник АВCD:

Сравним ∆АВD и ∆АСD. Они являются прямоугольными, у них есть общий катет АD, а два других катете, АВ и СD, равны как противоположные стороны прямоугольника. Получается, что рассматриваемые треуг-ники равны, и поэтому равны и их гипотенузы, которые как раз и являются диагоналями прямоугольника.

Оказывается, верна и обратная теорема, которую называют признаком прямоугольника:

Действительно, пусть есть некоторый параллелограмм АВCD, у которого одинаковы диагонали АС и BD.

Противоположные стороны в одном параллелограмме одинаковы:

В итоге все углы АВСD оказываются прямыми, и эта фигура по определению оказывается прямоуг-ком.

Задание. В прямоуг-ке ABCD проведена биссектриса, которая делит сторону СD на отрезки СК и КD длиной 27 и 45 см соответственно. Найдите периметр АВCD.

Решение.Для нахождения периметра необходимо найти длины всех сторон.

Если АК – биссектриса, то

∆КАD является прямоугольным, и мы только что нашли один из его острых углов. Тогда можно найти и 2-ой угол:

Получается, что в ∆АКD два угла равны 45°, значит, он является равнобедренным, и

Мы нашли две смежные стороны прямоугольника, АD и СD. Две другие стороны будут им равны:

Следующая особенная фигура – это ромб. Дадим определение ромба:

На рисунке видно, что ромб похож на параллелограмм, и это не случайно. Докажем, что любой ромб является частным случаем параллелограмма. Но прежде заметим, что обратное утверждение неверно – отнюдь не каждый параллелограмм является ромбом.

Для доказательства этого факта проведем диагональ ромба:

В результате получилось два треуг-ка: ∆АВС и ∆АСD. Можно заметить два факта. Во-первых, каждый из этих треуг-ков – равнобедренный, ведь стороны ромба равны. Тогда можно записать равенство углов:

Из равенства треуг-ков вытекает и равенство углов:

Тогда очевидно, что ∠А и ∠С также равны, ведь они состоят из двух равных углов:

В итоге получается, что в ромбе противоположные углы одинаковы. Зная, что все 4 угла в сумме дают 360°, легко найдем сумму каких-нибудь двух смежных углов:

Итак, сумма смежных углов в ромбе равна 180°. Но эти углы можно рассматривать как односторонние. Если их сумма равна 180°, то и соответствующие прямые (в частности, ВС и АD) параллельны. Аналогично доказывается и то, что АВ||CD. Это и значит, что АВСD– параллелограмм.

Продолжим рассматривать построенный нами рисунок, но добавим в него ещё одну диагональ:

Во-первых, мы уже доказали следующее равенство

Из него вытекает, что диагональ АС является биссектрисой для∠А и ∠С. Аналогично и для диагонали ВD можно показать, что и она разбивает ∠В и ∠D пополам. Можно сформулировать следующее свойство ромба:

Далее рассмотрим ∆АВD. Он равнобедренный, а АО является биссектрисой, падающей на основание ВD. Но в равнобедренном треуг-ке такая биссектриса одновременно является высотой, то есть

Получается, что диагонали всякого ромба обязательно пересекаются под прямым углом.

Задание. Длина стороны ромба совпадает с длиной одной из его диагоналей. Определите углы этого ромба.

Решение. Построим рисунок по условию задачи:

Легко заметить, что∆АВС и ∆АСD будут равносторонними. Однако все углы равностороннего треуг-ка равны 60°:

Итак, два угла ромба будут равны 60°, а другие два 120°.

Квадрат

Последний особый случай четырехугольника – это квадрат. Эта фигура, которая сразу является и прямоугольником, и ромбом. Естественно, что любой квадрат одновременно является параллелограммом. Дадим определение квадрата:

Свойства квадрата – это совокупность свойств параллелограмма, ромба и прямоуг-ка.Это значит, что его диагонали:

Задание. Середины сторон квадрата соединили отрезками. Докажите, что получившаяся фигура также является квадратом.

Решение. Требуется доказать, что фигура, показанная красным цветом, является квадратом:

Так как стороны квадрата одинаковы, то одинаковы и их половины:

Получается, что ∆АМН, ∆МВР, ∆РСК и ∆КНD – прямоугольные, причем у них равны все катеты. Это значит, что, с одной стороны, они являются равнобедренными треуг-ками, а с другой стороны, они равны друг другу. Мы уже знаем, что у равнобедренного прямоугольного треуг-ка углы при основании составляют по 45°, а из равенства треуг-ков вытекает, что

Получается, что у четырехуг-ка МРКН все стороны одинаковы, то есть он является ромбом. Осталось доказать, что все его углы прямые. Рассмотрим, например, ∠РМН. Он в сумме с ∠ВМР и ∠АМН дает 180°, что позволяет вычислить его:

Итак, все углы ромба МРКН прямые, значит, он является квадратом.

Мы видим, что есть множество видов четырехугольников, причем часто одна и та же фигура может относиться сразу к нескольким типам. Для наглядности покажем на одной картинке всю иерархию четырехугольников. Здесь на одном рисунке можно увидеть название всех видов четырехугольников, их форму, также главное свойство, по которым их и определяют:

Симметрия

В заключение рассмотрим также такое важное геометрическое понятие, как симметрия.

В случае, показанном на рисунке,А₁ и А₂ не лежат на b. Если же рассматривается точка, лежащая на b, то она считается симметричной самой себе. На рисунке пары точек А и B, C и D, M и N симметричны относительно b.Для точки же Р нельзя найти парную ей симметричную точку. Поэтому условно считается, что она симметрична сама себе.

Теперь перейдем к такому понятию, как симметричная фигура.

В качестве иллюстрации приведем равнобедренный треуг-к. У него роль оси симметрии играет медиана, проведенная к основанию. Выберем на треугольнике произвольные точки А₁, В₁, С₁ и D₁. Далее отметим симметричные им относительно b точки, которые обозначим как А₂, В₂, С₂ и D₂. Видно, что они также принадлежат треугольнику:

Рассмотрим для иллюстрации и какую-нибудь несимметричную фигуру, например, треугольник с 3 разными сторонами:

Видно, что например, для точка А₁ симметричная ей А₂ НЕ принадлежит треугольнику, поэтому красная линия НЕ является осью симметрии.

Осевая симметрия присуща и многим другим фигурам:

Обратите внимание, что осей симметрии фигуры может быть несколько. У ромба их две (это его диагонали), у квадрата уже четыре (помимо диагоналей добавляются ещё и линии, соединяющие середины его противоположных сторон), а у окружности их и вовсе бесконечно много, так как любой ее диаметр может играть эту роль.

Возможен ещё один случай симметрии:

На приведенном рисунке С – это середина АВ, поэтому А и В симметричны, а точка С для них является центром симметрии.

Снова перейдем от отдельных точек к фигурам.

В частности, центральная симметрия присуща параллелограмму (его центром симметрии будет точка, в которой пересекаются его диагонали), а также окружность. Есть центральная симметрия и у любой прямой, причем в качестве центра симметрии фигуры можно выбрать любую точку, принадлежащую этой прямой:

Симметрия – это не просто умозрительная геометрическая конструкция, она встречается и в реальной жизни. Например, листья многих деревьев обладают осевой симметрией, а зубчатое колесо – центральной симметрией. Интересно, что из 32 выделяемых в царстве животных типов у представителей 28 (это более 99% известных видов) можно выделить правую и левую половину, которые симметричны друг другу. Архитекторы и конструктора при проектировании зданий и машин стремятся придать им симметричную форму, так как в большинстве случаев именно такая форма оказывается оптимальной и экономичной.

Источник

Пять способов рисования трапеций.

В этом уроке вы узнаете пять различных способов, как быстро нарисовать трапецию, используя такие инструменты, как «Основные фигуры», «Форма», «Прямоугольник» а также освоите различные команды для преобразований в CorelDRAW.

Оказывается иногда и простая фигура может поставить начинающего пользователя в тупик. И вправду, как вот так, сразу, нарисовать трапецию.

Рис. 1. Примеры трапеций.

Способ первый. «Простейший».

Активируем инструмент «Основные фигуры». Выбираем подгруппу «Правильные фигуры». В мини–библиотеке, которая появилась на панели свойств, выбираем нужную фигуру и рисуем ее на рабочем листе документа.

Рис. 2. После активирования инструмента «Основные фигуры», на панели свойств появится список правильных фигур.

Рис. 3. Перемещение глифа (красного маркера) позволяет редактировать форму объекта.

В левом верхнем углу нарисованной трапеции появляется красный маркер в форме ромба. Этот маркер называется глифом. Вид трапеции или любой другой фигуры из группы основных фигур изменяется, путем перетаскивания глифа инструментом «Форма». При наведении инструмента на глиф, курсор изменится и глиф можно будет переместить.

Способ второй. «Перспективный».

Активируем инструмент «Прямоугольник» и рисуем произвольный прямоугольник. Выделяем его и в меню «Эффекты» выбираем пункт «Добавить перспективу».
Инструментом «Форма» перемещаем верхние маркеры на одной из сторон прямоугольника. Можно перемещать и точку схождения перспективы, добиваясь нужного наклона сторон трапеции.

Рис. 4. С помощью меню «Эффекты» можно добавить объекту перспективу.

Рис.5. Перемещая маркеры перспективы, или изменяя положение точки схода легко добиться нужного эффекта.

После применения эффекта перспективы, в статусной строке программы появится информация о том, что к объекту был применен эффект перспективы. Можно сразу же преобразовать объект с примененным эффектом в простую кривую командой меню «Объект» > «Преобразовать в кривую». Форма объекта будет сохранена.

Способ третий. «Конструктор».

Выставляем по сторонам прямоугольника (квадрата) направляющие. Включаем «привязку к направляющим». Это можно сделать соответствующей командой меню «Вид» > «Привязать к» > «Направляющим».

Рис.6. В меню «Вид» можно включить нужный режим привязки объекта.

Рис.7. Привязка прямоугольников к направляющим.

Рисуем еще два одинаковых прямоугольника, с высотой, соответствующей высоте базового основного прямоугольника. Размещаем эти объекты слева и справа от основного, базового прямоугольника вплотную к нему. Поскольку включен режим привязки к направляющим, то не составит большого труда правильно расположить объекты.
Преобразуем левый и правый прямоугольники в кривые, командой «Объект» > «Преобразовать в кривую» или используя комбинацию клавиш «Ctrl+ Q».
Инструментом «Форма» удаляем по одному углу во вспомогательных прямоугольниках.

Рис.8. Удаление одного из узлов прямоугольника.

Выделяем инструментом выбора все три фигуры и применяем команду меню «Объект» > «Формирование» > « Объединение» или нажимаем на кнопку этой же команды на панели свойств.

Рис.9. Вызов команды объединения объектов.

Рис.10. Так выглядит фигура после объединения.

Способ четвертый. «Рисование по сетке или направляющим».

Сначала включаем режим отображения сетки документа. Это можно сделать командой меню «Вид»> «Сетка»> «Сетка документа» либо включить на съемной панели быстрого вызова команд меню.

Рис.11. Включение отображения сетки документа.

На этой же панели находится и кнопка включения различных режимов привязки, включаем режим привязки «сетка документа»

Рис.12. Включение режима привязки объектов.

Теперь можно активировать инструмент «Прямая через две точки» и рисовать трапецию нужного размера. Узлы фигуры будут надежно привязаны к узлам сетки документа. Не забудьте проверить включен ли режим автоматического замыкания полученной кривой.

Рис.13. Работа с инструментом «Прямая через две точки».

Кстати если режим привязки к сетке включен, а сама сетка документа невидима, то во время рисования фигуры сохранится способность притяжения к сетке и фигура будет нарисована именно по сетке.

Точно таким же образом можно нарисовать трапецию или любую другую сложную фигуру, используя привязку к направляющим. Сначала выставляются направляющие по размеру будущей фигуры, затем включается режим привязки к направляющим и рисуется собственно фигура.

Рис.14. Рисование трапеции по направляющим.

Способ пятый. «Симметричные узелки».

Наверное, самый простой способ рисования трапеции – преобразовать в нее обычный прямоугольник. Сначала придется просто преобразовать прямоугольник в кривую (комбинация клавиш «Ctrl+Q») и, затем, поочередно инструментом «Форма» переместить два параллельных узла на нужное расстояние. Для точности удобно воспользоваться направляющими и включить соответствующий режим привязки.

Рис.15. Рисование трапеции из прямоугольника.

Таким способом легко рисовать самые разнообразные трапеции – остроугольные, тупоугольные, прямоугольные.

Рис.16. Примеры трапеций.

А вот если необходимо нарисовать равнобедренную трапецию, лучше применить способ симметричного перемещения узлов.
Рисуем прямоугольник, преобразуем его в кривую. Активируем инструмент «Форма», выделяем этим инструментом два параллельных узла. На панели свойств включаем режим «Отразить узлы по горизонтали» и начинаем передвигать выделенные ранее узлы. Оба узла будут перемещаться симметрично до нужного положения.

Рис.17. Симметричное перемещение узлов по горизонтали.

Аналогичным образом можно перемещать узлы, включая режим «отразить по вертикали».

Рис.18. Симметричное перемещение узлов по вертикали.

Работа в режиме отражения узлов по вертикали или горизонтали значительно упрощает работу при рисовании симметричных фигур.

На панели свойств инструмента «Форма» есть еще несколько очень интересных кнопок, позволяющих масштабировать и поворачивать отдельные узлы кривых.

Рис.19. Включение режима «Повернуть или наклонить узел» позволит переместить, наклонить, повернуть один или несколько узлов и создать новую фигуру.

Навыки рисования трапеций различными способами всегда пригодятся при рисовании других простых или сложных фигур.

Источник