Как рисовать объемный пятиугольник
Пятиугольник
Здравствуйте коллеги.
Сегодня построим правильный пятиугольник в окружности, попробуем начертить циркулем и линейкой фигуру.
Рисунки художников очень тесно связаны с черчением и геометрией. Если мы задумали какую-то композицию, а в ней есть геометрические фигуры, то нам необходимо знать, как изобразить предмет, что бы он не выглядел смешно, и что бы вы не выглядели дилетантом и смогли нарисовать пятиконечную звезду циркулем или в фотошопе. От этого зависит ваш авторитет художника, а значит и заказы.
Построение правильного пятиугольника не так часто встречается в рисунке, но все же есть моменты, когда нам это необходимо.
Например, нам нужно нарисовать пятиконечную звезду (пентаграмму) для картины о Советском прошлом или о настоящем Китая. Правда для этого нужно уметь создать рисунок звезды в перспективе. Это посмотрите в другом уроке.
Мы попробуем нарисовать звезду в фотошопе фронтально. Точно так же вы сможете нарисовать фигуру карандашом на бумаге. Всего лишь с помощью таких инструментов:
Как правильно нарисовать звезду, что бы она выглядела ровно и красиво, сразу не ответишь. Количество углов не четное, поэтому просто разделить окружность на равные части циркулем или линейкой не получится.
Что бы вписанный пятиугольник в окружность был пропорциональный, нам необходимо точно вычислить одну из сторон, а затем отложить этот отрезок пять раз на теле овала.
Как выглядит пятиугольник и звезда
Внизу на фото разберем, как нарисовать звезду поэтапно.
Для начала рисуем окружность с центром О.
Дальше отложим отрезок OA равный радиусу и разделим его пополам точкой B, как показано на фото внизу.
Теперь от точки В до точки С проведем прямую.
Отложим расстояние отрезка ВС на диаметральной линии окружности. Для этого можно воспользоваться циркулем. Таким образом у нас появилась точка D.
И отрезок DB. Картинка внизу.
Дальше, проведя линию от точки D к точке С, Мы получи длину равную стороне пятиугольника.
Дальше этот отрезок можно отложить на окружности. У нас появилась точка Е. Смотрим фото ниже.
Итак, одна из сторон пятиугольника у нас есть, это линия ЕС.
Такие же отрезки наносим на всей части круга. Смотрим картинку.
На этом построение правильного пятиугольника можно закончить. Что бы нарисовать звезду нужно просто соединить углы через один.
Нарисовать пятиконечную звезду циркулем можно так же, как и на нашем уроке в программе Photoshop, весь процесс такой же, только вместо программы графического редактора используем инструменты для черчения.
Так же можно посмотреть уроки построения шестиугольника, разделение на восемь частей, деление круга на семь частей, десять равных частей.
Как нарисовать пятиугольную призму? Объем и площадь поверхности фигуры
Пятиугольная призма при решении задач по геометрии встречается гораздо реже, чем такие призмы, как треугольная, четырехугольная или шестиугольная. Тем не менее полезно рассмотреть основные свойства этой фигуры, а также узнать, как ее можно нарисовать.
Что собой представляет пятиугольная призма?
Вам будет интересно: Формула для вычисления объема прямой призмы и примеры ее использования
Если пятиугольник будет правильным, то есть все его стороны и углы будут равны друг другу, тогда такая прямоугольная призма называется правильной. Далее в статье будем рассматривать свойства именно этой фигуры.
Элементы призмы
Для нее, как и для любой призмы, характерны следующие элементы:
Числа всех названных элементов связаны друг с другом следующим равенством:
Это выражение носит название формулы Эйлера для полиэдра.
В пятиугольной призме количество сторон равно семи (два основания + пять прямоугольников). Число вершин составляет 10 (по пять для каждого основания). Число ребер в таком случае будет равно:
Десять ребер принадлежат основаниям призмы, а пять ребер образованы прямоугольниками.
Как начертить пятиугольную призму?
Ответ на этот вопрос зависит от конкретной задачи. Если необходимо начертить произвольную призму, тогда следует изобразить любой пятиугольник. После этого провести пять параллельных отрезков равной длины из каждой вершины пятиугольника. Затем, соединить верхние концы отрезков. Получилась пятиугольная произвольная призма.
Если же следует начертить правильную призму, тогда вся сложность задачи сводится к получению правильного пятиугольника. Существует несколько способов начертить этот многоугольник. Здесь мы рассмотрим только два способа.
Первый способ заключается в построении окружности с помощью циркуля. Затем проводится произвольный диаметр окружности и от него отсчитывается с помощью транспортира пять углов по 72o (5*72o = 360o). При отсчете каждого угла делается насечка на окружности. Для построения прямоугольника остается соединить прямыми отрезками отмеченные насечки.
Второй способ предполагает использование только циркуля и линейки. Он является несколько сложным в сравнении с предыдущим. Ниже приводится видео, где подробно объясняется каждый шаг такого построения.
Заметим, что пятиугольник легко нарисовать, если соединить концы звезды. Если нет необходимости чертить точно правильный пятиугольник, тогда можно использовать способ со звездой, нарисованной от руки.
Как только пятиугольник изображен, следует из каждой его вершины провести пять одинаковых параллельных отрезков и соединить их вершины. Получится пятиугольная призма.
Площадь фигуры
Теперь рассмотрим вопрос, как найти площадь пятиугольной призмы. На рисунке ниже приведена ее развертка. Видно, что искомая площадь образована двумя одинаковыми пятиугольниками и пятью равными друг другу прямоугольниками.
Площадь всей поверхности фигуры выразится формулой:
Здесь индексы o и p означают основание и прямоугольник соответственно. Обозначим длину стороны пятиугольника как a, а высоту фигуры как h. Тогда для прямоугольника запишем:
Чтобы вычислить площадь пятиугольника, воспользуемся универсальной формулой:
S5 = 5/4*a2*ctg(pi/5) ≈ 1,72*a2
Точность полученного равенства составляет 3 знака после запятой, что вполне достаточно для решения любых задач.
Теперь остается найти сумму полученных площадей основания и боковой поверхности. Имеем:
S = 2*1,72*a2 + 5*a*h = 3,44*a2 + 5*a*h
Следует помнить, что полученная формула справедлива только для прямоугольной призмы. В случае с косоугольной фигурой площадь ее боковой поверхности находят, исходя из знания периметра среза, который должен быть перпендикулярен всем параллелограммам.
Объем фигуры
Формула расчета объема пятиугольной призмы ничем не отличается от аналогичного выражения для любой другой призмы или цилиндра. Объем фигуры равен произведению ее высоты на площадь основания:
Если рассматриваемая призма является прямоугольной, тогда высота в ней является длиной ребра, образованного прямоугольниками. Площадь правильного пятиугольника была вычислена выше с высокой точностью. Подставим это значение в формулу для объема и получим необходимое выражение для пятиугольной правильной призмы:
Таким образом, вычисление объема и площади поверхности пятиугольной правильной призмы возможно, если известна сторона основания и высота фигуры.
Как начертить пятиугольник с помощью транспортира
Первый способ — по данной стороне S с помощью транспортира.
Проводим прямую и откладываем на ней AB = S; принимаем эту линию за радиус и этим радиусом из точек A и В описываем дуги: далее с помощью транспортира строим в этих точках углы в 108°, стороны которых пересекутся с дугами в точках С и D; из этих точек радиусом АВ = 5 описываем дуги, которые пересекутся в Е, и прямыми линиями соединяем точки Л, С, Е, D, В.
Полученный пятиугольник — искомый.
Первый способ построения пятиугольника
Второй способ. Проведем окружность радиусом r. Из точки А циркулем проводим дугу радиуса AM до пересечения в точках В и С с окружностью. Соединяем В и С линией, которая пересечет горизонтальную ось в точке Е.
Затем из точки Е проводим дугу, которая пересечет горизонтальную линию в точке О. Описываем, наконец, из точки F дугу, которая пересечет окружность в точках Н и К. Отложив по окружности расстояние FO = FH = FK пять раз и соединив точки деления линиями, получим правильный пятиугольник.
Второй способ построения пятиугольника
Третий способ. В данный круг вписать правильный пятиугольник. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и МС. Делим радиус АО точкой Е пополам. Из точки Е, как из центра, проводим дугу окружности радиуса ЕМ и засекаем ею диаметр АВ в точке F. Отрезок MF равен стороне искомого правильного пятиугольника. Раствором циркуля, равным MF, делаем засечки N1, Р1, Q1, К1 и соединяем их прямыми.
Третий способ построения пятиугольника
На рисунке построен шестиугольник по данной стороне.
Построение шестиугольника
Прямой АВ = 5, как радиусом, из точек А и В описываем дуги, которые пересекутся в С; из этой точки тем же радиусом описываем окружность, на которой сторона А В отложится 6 раз.
Шестиугольник ADEFGB — искомый.
«Отделка комнат при ремонте»,
Н.П.Краснов
Мы уже говорили, что для исполнения некоторых видов малярных работ необходимо уметь рисовать. А умение рисовать, в свою очередь, предполагает знание правил построения геометрических фигур. Эскизы на бумаге вычерчивают при помощи треугольников, рейсшин, транспортаpa и циркуля, а на плоскости стен и потолков построения выполняются при помощи веска, линейки, деревянного циркуля и шнура. При этом надо…
Прямой угол, т. е. равный 90°, образуется двумя взаимно перпендикулярными линиями. Перпендикуляр строится следующим образом. Опустить перпендикуляр. Из данной точки С (лежащей вне прямой), как из центра, произвольным радиусом описываем дугу так, чтобы она пересекла данную прямую в двух точках D и Е из этих точек, как из центров, одинаковыми радиусами описываем дуги, чтобы они…
Построение угла, равного данному Угол, равный данному, строится следующим образом. Из вершины А данного угла произвольным радиусом проводим дугу тем же радиусом из точки D на данной прямой описываем дугу EF; величину дуги ВС откладываем по дуге EF до точки F и проводим DE. Угол EDF — искомый. Построение угла, равного данному Параллельные линии Линии,…
Деление прямых линий и углов может быть произведено двояким образом: на глаз и с помощью геометрического построения. При делении прямой на две равные части поступают следующим образом. Половину данной прямой берут циркулем на глаз и откладывают эту половину от обоих концов прямой. Если концы половинок сходятся, то, значит, данная прямая разделена правильно, если нет, то…
Маляру часто приходится иметь дело с правильными многоугольниками, а также треугольниками и четырехугольниками, т. е. такими фигурами, у которых все стороны и, соответственно, углы равны между собой. Может встретиться необходимость построить правильный многоугольник по данной стороне, или вписать правильный многоугольник в окружность данного радиуса, или описать его вокруг окружности. Первый вопрос сводится к нахождению внутреннего…
Последние события
Раскраски к Хеллоуину для мальчиков
В России – празднование Хэллоуина ни с чем не связано. Это, скорее всего дань моде, чем традиции предков. Интересное яркое шоу, о значении и первоисточнике которого многие даже не догадываются.
Коллекция раскрасок к Хеллоуину
Скоро Хеллоуин. Праздник страшилка, праздник пугалка. Не зря его так любят дети всех стран.
На сайте я уже как-то выкладывала подборку раскрасок к Хеллоуину.
Осень. Деревья и листья
Как выглядят деревья осенью? Рассмотрите картинки и раскрасьте осенние листики.
Кто такие мишки Гамми?
Посмотрите с детьми этот мультсериал про мишек Гамми, затем скачайте раскраски и раскрасьте героев.
Несколько раскрасок для самых маленьких
Совсем простенькие раскраски с крупными деталями для самых маленьких художников.
Осеннее настроение. Раскраски
В разгаре золотая осень. В этом году она в наших краях как никогда поздняя и ослепительно красивая.
Рассказы про осень. Читаем и раскрашиваем картинки
Что такое осень? Какая осенью погода? Что делают птицы осенью? Задайте эти и другие вопросы про осень своему малышу.
Популярное
Архив
Как нарисовать правильную звездочку? Как нарисовать правильный пятиугольник? Как разделить круг на пять равных частей? На все эти вопросы вы сможете найти ответ, если проделаете вслед за мной эти шаги.
Как нарисовать правильную звездочку?
Как нарисовать правильный пятиугольник?
Как разделить круг на пять равных частей?
На все эти вопросы вы сможете найти ответ, если проделаете вслед за мной вот эти шаги.
Конечно же, нам понадобится циркуль с карандашом и линейка.
Для начала нарисуйте циркулем круг.
Разделите его на четыре части линиями сверху вниз и справа налево.
Можно сразу объяснить ребенку, что отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через ее центр, называется диаметр.
А отрезок, соединяющий центр и точку на окружности, называется радиус.
С помощью линейки измерьте и разделите пополам один из радиусов.
У меня это отрезок слева от центра.
Серединку радиуса я обозначила
Нам понадобится точка сверху окружности.
Ее я обозначила цифрой 0.
Устанавливаем иголку циркуля
в точку 1, а карандашик в точку 0.
Рисуем дугу до пересечения с горизонтальным диаметром.
Обозначаем точку пересечения
Сейчас устанавливаем иголку циркуля
в точку 0, а карандашик в точку 2.
И рисуем дугу до пересечения с окружностью, причем с двух сторон.
Точки пересечения помечены
Не меняя ширину циркуля, устанавливаем иголку
в точку 3 и отмеряем кусочек окружности.
Точку 6 можно отмерить и от
точки 5 и от точки 4.
Главное, не изменять ширину (раствор) ножек циркуля.
Вот, практически и все.
Если соединим точки, получим правильный пятиугольник.
Здравствуйте коллеги.
Сегодня построим правильный пятиугольник в окружности, попробуем начертить циркулем и линейкой фигуру.
Рисунки художников очень тесно связаны с черчением и геометрией. Если мы задумали какую-то композицию, а в ней есть геометрические фигуры, то нам необходимо знать, как изобразить предмет, что бы он не выглядел смешно, и что бы вы не выглядели дилетантом и смогли нарисовать пятиконечную звезду циркулем или в фотошопе. От этого зависит ваш авторитет художника, а значит и заказы.
Построение правильного пятиугольника не так часто встречается в рисунке, но все же есть моменты, когда нам это необходимо.
Например, нам нужно нарисовать пятиконечную звезду (пентаграмму) для картины о Советском прошлом или о настоящем Китая. Правда для этого нужно уметь создать рисунок звезды в перспективе. Это посмотрите в другом уроке.
Мы попробуем нарисовать звезду в фотошопе фронтально. Точно так же вы сможете нарисовать фигуру карандашом на бумаге. Всего лишь с помощью таких инструментов:
Как правильно нарисовать звезду, что бы она выглядела ровно и красиво, сразу не ответишь. Количество углов не четное, поэтому просто разделить окружность на равные части циркулем или линейкой не получится.
Что бы вписанный пятиугольник в окружность был пропорциональный, нам необходимо точно вычислить одну из сторон, а затем отложить этот отрезок пять раз на теле овала.
Как выглядит пятиугольник и звезда
Внизу на фото разберем, как нарисовать звезду поэтапно.
Для начала рисуем окружность с центром О.
Дальше отложим отрезок OA равный радиусу и разделим его пополам точкой B, как показано на фото внизу.
Теперь от точки В до точки С проведем прямую.
Отложим расстояние отрезка ВС на диаметральной линии окружности. Для этого можно воспользоваться циркулем. Таким образом у нас появилась точка D.
И отрезок DB. Картинка внизу.
Дальше, проведя линию от точки D к точке С, Мы получи длину равную стороне пятиугольника.
Дальше этот отрезок можно отложить на окружности. У нас появилась точка Е. Смотрим фото ниже.
Итак, одна из сторон пятиугольника у нас есть, это линия ЕС.
Такие же отрезки наносим на всей части круга. Смотрим картинку.
На этом построение правильного пятиугольника можно закончить. Что бы нарисовать звезду нужно просто соединить углы через один.
Нарисовать пятиконечную звезду циркулем можно так же, как и на нашем уроке в программе Photoshop, весь процесс такой же, только вместо программы графического редактора используем инструменты для черчения.
Так же можно посмотреть уроки построения шестиугольника, разделение на восемь частей, деление круга на семь частей, десять равных частей.
Как построить и нарисовать правильный пятиугольник по окружности
Правильный пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, которая образовывается пересечением пяти прямых, создающих пять одинаковых углов. Такая фигура носит название — пентагон. С пятиугольником тесно связана работа художников — их рисунки строятся на основе правильных геометрических фигур. Для этого необходимо знать то, как быстро построить пентагон.
Чем интересна эта фигура? Форму пентагона имеет здание Министерства обороны Соединенных Штатов Америки. Это можно увидеть на фото, сделанных с высоты полета. В природе не существует кристаллов и камней, форма которых напоминала бы пентагон. Только в этой фигуре количество граней совпадает с числом диагоналей.
Параметры правильного пятиугольника
Прямоугольный пятиугольник, как и каждая фигура в геометрии, имеет свои параметры. Зная необходимые формулы, можно рассчитать эти параметры, что облегчит процесс построения пентагона. Способы и формулы расчетов:
Сторона пентагона находится с помощью параметров, которые уже даны в условии задачи:
Площадь пентагона так же, как и его сторона, зависит от уже найденных параметров:
Построение пентагона
Построить правильный пятиугольник можно с помощью линейки и циркуля, на основе вписанной в него окружности или одной из сторон.
Как начертить пятиугольник на основе вписанной окружности? Для этого необходимо запастись циркулем и линейкой и сделать такие шаги:
Как построить правильный пятиугольник иным способом? С помощью линейки и циркуля пентагон можно построить немного быстрее. Для этого необходимо:
Интересные факты
В пятиугольнике с одинаковыми сторонами диагонали равны и образуют пятиконечную звезду, которая называется пентаграммой. Золотое сечение — это отношение величины диагонали к стороне пентагона.
Пентагон непригоден для полного заполнения плоскости. Использование любого материала в этой форме оставляет промежутки или образует наложения. Хотя природных кристаллов этой формы не существует в природе, но при образовании льда на поверхности гладких медных изделий возникают молекулы в виде пентагона, которые соединены в цепочки.
Наиболее простой способ получить правильный пятиугольник из полоски бумаги — завязать ее узлом и немного придавить. Этот способ полезен для родителей детей-дошкольников, которые хотят научить своих малышей распознавать геометрические фигуры.
Видео
Посмотрите, как можно быстро начертить пятиугольник.
Правильный пятиугольник — построение, свойства и формулы
Бывают задачи на построение и нахождение некоторых геометрических параметров правильного пятиугольника. Построить фигуру непросто. Для этого математики рекомендуют несколько методик, позволяющих выполнить операцию более точно или за короткий промежуток времени. У фигуры есть свойства, а также формулы, позволяющие найти ее геометрические характеристики.
Точное построение фигуры
Специалисты рекомендуют некоторую последовательность действий, по которым построить правильный пятиугольник очень просто. Для операции необходимы обыкновенная тетрадь в клеточку, циркуль, карандаш, резинка и линейка. Следует выполнить некоторые шаги:
Если все пункты алгоритма выполнены правильно, то должен получиться пентагон, изображенный на рисунке 1:
Этот способ следует применять для точных построений и чертежей деталей. Однако для решения задач, в которых необходимо схематически изобразить пятиугольник, этот вариант не подойдет.
Алгоритм Биона
Прием Биона является менее точным методом, чем первый. Он позволяет построить любой правильный многоугольник, вписанный в произвольный круг. Для операции необходимо воспользоваться алгоритмом (шаблоном) Биона, имеющим такой вид:
Погрешность построения многоугольника с 5, 7, 9 и 10 сторонами при использовании алгоритма довольно маленькая. Ее значения равно 3,2%. Однако при n>10 погрешность составляет не более 11%.
Приближенные методы
Существует несколько методов, позволяющих приближенно изобразить фигуру. Однако оптимальным является построение пентагона (рис. 2), используя две окружности (описанную и вписанную).
Метод известного математика А. Дюрера является оптимальным среди остальных, поскольку на построение затрачивается минимальное количество времени. Для его реализации следует выполнить определенные шаги алгоритма Дюрера:
Существует еще один метод — построение пятиугольника из десятиугольника, который вписан в окружность. Для этого следует соединить его вершины через одну. Однако способ рекомендуется применять только в том случае, когда исходная фигура уже имеется. Кстати, его следует строить также методом А. Дюрера.
Математики рекомендуют еще один простой способ. Для его реализации необходимо начертить окружность с диаметром АD. После этого его нужно поделить на 3 равные части, то есть AB = BC = CD. Затем из точки С следует опустить перпендикуляры на окружность. Обозначить места пересечения точками E и F. Проделать такую же процедуру с точкой B, обозначив пересечения точками G и H. Остается лишь соединить все точки отрезками.
Признаки и свойства
Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:
Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:
Однако свойств недостаточно при решении задач, поскольку существуют некоторые формулы и соотношения для нахождения основных параметров пентагона.
Расчет параметров
С помощью соотношений можно легко найти необходимые характеристики любой фигуры. Однако в некоторых источниках не указаны условные обозначения известного параметра пентагона. Это существенно затрудняет понимание формулы, а также ее дальнейшее использование. Перед изучением следует нарисовать фигуру и обозначить некоторые величины, которыми могут быть диагонали, стороны, апофемы и радиусы.
Рекомендуется использовать различные литеры или буквенные обозначения. Недопустимо пронумеровывать вершины, поскольку при вычислениях можно ошибиться. Нельзя использовать вместо букв цифры при обозначениях. Например, пентагон ABCDE является правильной записью. Допускается применение чисел в индексах, а именно, в пятиугольнике правильного типа ABCDE при пересечении его диагоналей образовался пентагон A1B1C1D1E1.
Математики рекомендуют обозначать только промежуточные фигуры или их проекции литерами с индексами. Для каждой новой фигуры следует вводить другие обозначения. Не следует использовать зарезервированные переменные. Например, центр окружности в точке P является недопустимой записью, поскольку такой буквой обозначается периметр.
Условные обозначения
Для нахождения основных величин пентагона следует обозначить некоторые его параметры. Фигура имеет следующие обозначения:
Значения сторон равны между собой. Площадь правильного пятиугольника — характеристика двумерной фигуры, которая показывает ее размерность. Периметром называется сумма всех 5 сторон. Полупериметр вычисляется по следующему соотношению: p = P / 2. Диагонали — отрезки, проведенные из одной вершины к противоположной (несмежной).
Соотношения и формулы
После обозначений следует переходить к рассмотрению основных формул, при помощи которых можно вычислять параметры фигуры. Сторону можно найти, воспользовавшись такими соотношениями:
Радиус вписанной окружности в пентагон можно найти, используя тригонометрические функции. Однако существует также формула, позволяющая вычислить приближенное значение. Это необходимо в том случае, когда под рукой нет специального онлайн-калькулятора, компьютера или таблиц Брадиса. Формулы для нахождения радиуса вписанной окружности:
Математики также рекомендуют описать вокруг пентагона окружность. Это расширит возможности по поиску его основных характеристик. Однако ее радиус следует вычислить. Формулы для его нахождения выглядят таким образом:
Периметр определяется просто: Р = 5а. Значение полупериметра эквивалентно половине периметра, то есть p = P / 2 = 5a / 2 = 2,5a. Площадь можно найти, используя такие формулы:
Высота правильного пятиугольника (h) — отрезок, проведенный из центра на любую из сторон. Она делит ее на две равные части, поскольку является биссектрисой и медианой равнобедренного треугольника. У последнего две стороны — радиусы описанной окружности, а третья — сторона пентагона. Высота называется также апофемой и проекцией на «а». Вычисляется ее значение по формуле h = a * tg(72) / 2.
Величина Ф является отношением площади пентагона (S) к площади (S1) правильного пятиугольника, полученного при пересечении диагоналей первого: S / S1 = Ф^4 = 3Ф + 2 = (3 * 5^(1/2) + 7) / 2. Длина диагонали находится по такому соотношению: d = [Ф * 5^(1/2) * R]^(1/2).
Таким образом, при решении задач необходимо знать основные признаки, свойства, соотношения и формулы для нахождения основных характеристик пентагона. Практика обязательна, поскольку теоретические знания без практического применения бесполезны.
ГеометрияСвойства диагоналей ромба — основные формулы и доказательство теоремы
ГеометрияДодекаэдр — свойства, вид и структура двенадцатигранника
Правильный пятиугольник — построение, свойства и формулы
Точное построение фигуры
Специалисты рекомендуют некоторую последовательность действий, по которым построить правильный пятиугольник очень просто. Для операции необходимы обыкновенная тетрадь в клеточку, циркуль, карандаш, резинка и линейка. Следует выполнить некоторые шаги:
Если все пункты алгоритма выполнены правильно, то должен получиться пентагон, изображенный на рисунке 1:
Этот способ следует применять для точных построений и чертежей деталей. Однако для решения задач, в которых необходимо схематически изобразить пятиугольник, этот вариант не подойдет.
Алгоритм Биона
Прием Биона является менее точным методом, чем первый. Он позволяет построить любой правильный многоугольник, вписанный в произвольный круг. Для операции необходимо воспользоваться алгоритмом (шаблоном) Биона, имеющим такой вид:
Погрешность построения многоугольника с 5, 7, 9 и 10 сторонами при использовании алгоритма довольно маленькая. Ее значения равно 3,2%. Однако при n>10 погрешность составляет не более 11%.
Приближенные методы
Существует несколько методов, позволяющих приближенно изобразить фигуру. Однако оптимальным является построение пентагона (рис. 2), используя две окружности (описанную и вписанную).
Метод известного математика А. Дюрера является оптимальным среди остальных, поскольку на построение затрачивается минимальное количество времени. Для его реализации следует выполнить определенные шаги алгоритма Дюрера:
Существует еще один метод — построение пятиугольника из десятиугольника, который вписан в окружность. Для этого следует соединить его вершины через одну. Однако способ рекомендуется применять только в том случае, когда исходная фигура уже имеется. Кстати, его следует строить также методом А. Дюрера.
Математики рекомендуют еще один простой способ. Для его реализации необходимо начертить окружность с диаметром АD. После этого его нужно поделить на 3 равные части, то есть AB = BC = CD. Затем из точки С следует опустить перпендикуляры на окружность. Обозначить места пересечения точками E и F. Проделать такую же процедуру с точкой B, обозначив пересечения точками G и H. Остается лишь соединить все точки отрезками.
Признаки и свойства
Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:
Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:
Однако свойств недостаточно при решении задач, поскольку существуют некоторые формулы и соотношения для нахождения основных параметров пентагона.
Расчет параметров
С помощью соотношений можно легко найти необходимые характеристики любой фигуры. Однако в некоторых источниках не указаны условные обозначения известного параметра пентагона. Это существенно затрудняет понимание формулы, а также ее дальнейшее использование. Перед изучением следует нарисовать фигуру и обозначить некоторые величины, которыми могут быть диагонали, стороны, апофемы и радиусы.
Рекомендуется использовать различные литеры или буквенные обозначения. Недопустимо пронумеровывать вершины, поскольку при вычислениях можно ошибиться. Нельзя использовать вместо букв цифры при обозначениях. Например, пентагон ABCDE является правильной записью. Допускается применение чисел в индексах, а именно, в пятиугольнике правильного типа ABCDE при пересечении его диагоналей образовался пентагон A1B1C1D1E1.
Математики рекомендуют обозначать только промежуточные фигуры или их проекции литерами с индексами. Для каждой новой фигуры следует вводить другие обозначения. Не следует использовать зарезервированные переменные. Например, центр окружности в точке P является недопустимой записью, поскольку такой буквой обозначается периметр.
Условные обозначения
Для нахождения основных величин пентагона следует обозначить некоторые его параметры. Фигура имеет следующие обозначения:
Значения сторон равны между собой. Площадь правильного пятиугольника — характеристика двумерной фигуры, которая показывает ее размерность. Периметром называется сумма всех 5 сторон. Полупериметр вычисляется по следующему соотношению: p = P / 2. Диагонали — отрезки, проведенные из одной вершины к противоположной (несмежной).
Соотношения и формулы
После обозначений следует переходить к рассмотрению основных формул, при помощи которых можно вычислять параметры фигуры. Сторону можно найти, воспользовавшись такими соотношениями:
Радиус вписанной окружности в пентагон можно найти, используя тригонометрические функции. Однако существует также формула, позволяющая вычислить приближенное значение. Это необходимо в том случае, когда под рукой нет специального онлайн-калькулятора, компьютера или таблиц Брадиса. Формулы для нахождения радиуса вписанной окружности:
Математики также рекомендуют описать вокруг пентагона окружность. Это расширит возможности по поиску его основных характеристик. Однако ее радиус следует вычислить. Формулы для его нахождения выглядят таким образом:
Периметр определяется просто: Р = 5а. Значение полупериметра эквивалентно половине периметра, то есть p = P / 2 = 5a / 2 = 2,5a. Площадь можно найти, используя такие формулы:
Высота правильного пятиугольника (h) — отрезок, проведенный из центра на любую из сторон. Она делит ее на две равные части, поскольку является биссектрисой и медианой равнобедренного треугольника. У последнего две стороны — радиусы описанной окружности, а третья — сторона пентагона. Высота называется также апофемой и проекцией на «а». Вычисляется ее значение по формуле h = a * tg(72) / 2.
Величина Ф является отношением площади пентагона (S) к площади (S1) правильного пятиугольника, полученного при пересечении диагоналей первого: S / S1 = Ф^4 = 3Ф + 2 = (3 * 5^(1/2) + 7) / 2. Длина диагонали находится по такому соотношению: d = [Ф * 5^(1/2) * R]^(1/2).
Таким образом, при решении задач необходимо знать основные признаки, свойства, соотношения и формулы для нахождения основных характеристик пентагона. Практика обязательна, поскольку теоретические знания без практического применения бесполезны.