Как рисовать графики неравенств
Решение линейных неравенств
Основные понятия
Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.
Линейные неравенства — это неравенства вида:
где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.
Типы неравенств
Линейные неравенства: свойства и правила
Вспомним свойства числовых неравенств:
Если же а b и c > d, то а + c > b + d.
Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.
Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и
Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
Если же а > b, n — отрицательное число, то nа
Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.
Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.
Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.
Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.
Правила линейных неравенств
Решение линейных неравенств
Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:
где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.
Равносильные преобразования
Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.
Как решаем:
Метод интервалов
Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.
Метод интервалов заключается в следующем:
Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;
Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;
Как решаем:
В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,
Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.
Определим знаки на промежутках.
Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.
Графический способ
Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.
Алгоритм решения y = ax + b графическим способом
Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.
Как решаем
Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x
Решение уравнений и неравенств (с помощью графиков)
Многие задания, которые мы привыкли вычислять чисто алгебраически, можно решить намного легче и быстрее!
С помощью графиков функций!
Ты скажешь: «Как так? Чертить что-то, да и что чертить?» Поверь мне, иногда это удобнее и проще.
Приступим? Начнем с решения уравнений!
Решение уравнений и неравенств с помощью графиков — коротко о главном
Более подробно о построении графиков функций смотри в теме «Функции».
Решение уравнений с помощью графиков
Решение линейных уравнений
Как ты уже знаешь, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида.
Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно – в другую и вуаля! Мы нашли корень.
Сейчас же я покажу тебе, как это сделать графическим способом.
Итак, у тебя есть уравнение: \( \displaystyle 2
Вариант 1, и самый распространенный – перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую, получаем:
Обычно дальше мы делим правую часть на левую, и получаем искомый корень, но мы с тобой попробуем построить левую и правую части как две различные функции в одной системе координат.
Иными словами, у нас будет:
А теперь строим. Что у тебя получилось?
Как ты думаешь, что является корнем нашего уравнения? Правильно, координата \( \displaystyle x\) точки пересечения графиков:
Наш ответ: \( \displaystyle x=6\)
Вот и вся премудрость графического решения. Как ты с легкостью можешь проверить, корнем нашего уравнения является число \( \displaystyle 6\)!
Вариант 2
Как я говорила выше, это самый распространенный вариант, приближенный к алгебраическому решению, но можно решать и по-другому. Для рассмотрения альтернативного решения вернемся к нашему уравнению:
\( \displaystyle 2
В этот раз не будем ничего переносить из стороны в сторону, а построим графики напрямую, так, как они сейчас есть:
Что является решением на этот раз? Все верно. То же самое: координата \( \displaystyle x\) точки пересечения графиков:
И снова наш ответ: \( \displaystyle x=6\).
Как ты видишь, с линейными уравнениями все предельно просто. Настало время рассмотреть что-нибудь посложнее… Например, графическое решение квадратных уравнений.
Решение квадратных уравнений
Итак, теперь приступим к решению квадратного уравнения. Допустим, тебе нужно найти корни у этого уравнения:
Конечно, ты можешь сейчас начать считать через дискриминант, либо по теореме Виета, но многие на нервах ошибаются при умножении или возведении в квадрат, особенно, если пример с большими числами, а калькулятора, как ты знаешь, у тебя на экзамене не будет…
Поэтому давай попробуем немного расслабиться и порисовать, решая данное уравнение.
Графически найти решения данного уравнения можно различными способами. Рассмотрим различные варианты, а уже ты сам выберешь, какой больше всего тебе понравится.
Вариант 1. Напрямую
Просто строим параболу по данному уравнению: \( \displaystyle <
Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: удобно начать построение с определения вершины параболы. Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:
Ты скажешь «Стоп! Формула для \( \displaystyle y\) очень похожа на формулу нахождения дискриминанта» да, так оно и есть, и это является огромным минусом «прямого» построения параболы, чтобы найти ее корни.
Тем не менее, давай досчитаем до конца, а потом я покажу, как это сделать намного (намного!) проще!
Посчитал? Какие координаты вершины параболы у тебя получились? Давай разбираться вместе:
Точно такой же ответ? Молодец!
И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, \( \displaystyle 3\).
Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:
Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:
Возвращаемся к нашей параболе.
Мне удобней работать с положительными, поэтому я рассчитаю при \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=2\).
При \( \displaystyle x=0\):
При \( \displaystyle x=2\):
Теперь у нас есть три точки, и мы спокойно можем построить нашу параболу, отразив две последние точки относительно ее вершины:
Как ты думаешь, что является решением уравнения?
Правильно, точки, в которых \( \displaystyle y=0\), то есть \( \displaystyle x=2\) и \( \displaystyle x=-4\). Потому что \( \displaystyle <
И если мы говорим, что \( \displaystyle y=<
Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!
Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем – посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант.
Что у тебя получилось? То же самое?
Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!
Вариант 2. С разбивкой на несколько функций
Возьмем все тоже наше уравнение: \( \displaystyle <
Можем мы так записать? Можем, так как преобразование равносильно. Смотрим дальше.
Построим отдельно две функции:
Построил? Сравним с тем, что вышло у меня:
Как ты считаешь, что в данном случае является корнями уравнения? Правильно! Координаты по \( \displaystyle x\), которые получились при пересечении двух графиков: \( \displaystyle <
Соответственно, решением данного уравнения являются:
Что скажешь? Согласись, этот способ решения намного легче, чем предыдущий, и даже легче, чем искать корни через дискриминант!
А если так, попробуй данным способом решить следующее уравнение.
Что у тебя получилось? Сравним наши графики:
По графикам видно, что ответами являются:
Теперь посмотрим уравнения чууууть-чуть посложнее, а именно решение смешанных уравнений, то есть уравнений, содержащих функции разного вида.
Решение смешанных уравнений
Теперь попробуем решить следующее уравнение:
Конечно, можно привести все к общему знаменателю, найти корни получившегося уравнения, не забыв при этом учесть ОДЗ, но мы попробуем решить графически, как делали во всех предыдущих случаях.
В этот раз давай построим 2 следующих графика:
Осознал? Теперь займись построением.
Вот что вышло у меня:
Глядя на этот рисунок, скажи, что является корнями нашего уравнения \( \displaystyle \frac<3>
Правильно, \( \displaystyle <
Попробуй подставить наши корни в уравнение. Получилось?
Все верно! Согласись, графически решать подобные уравнения – одно удовольствие!
Попробуй самостоятельно графическим способом решить уравнение:
Даю подсказку: перенеси часть уравнения в правую сторону, чтобы с обоих сторон оказались простейшие для построения функции. Намек понял? Действуй!
Теперь посмотрим, что у тебя вышло:
\( \displaystyle 2<
Как ты уже давно у себя записал, корнем данного уравнения является \( \displaystyle <
Прорешав такое количество примеров, уверена, ты понял, как можно легко и быстро решать уравнения графическим путем. Настало время разобраться, как решать подобным способом системы.
Решение систем уравнений с помощью графиков
Графическое решение систем, по сути, ничем не отличается от графического решения уравнений.
Мы будем строить два графика, и их точки пересечения будут являться корнями данной системы.
Один график – одно уравнение, второй график – другое уравнение. Все предельно просто!
Начнем с самого простого – решение систем линейных уравнений.
Решение систем линейных уравнений
Допустим, у нас есть следующая система:
Для начала преобразуем ее таким образом, чтобы слева было все, что связано с \( \displaystyle y\), а справа – что связано с \( \displaystyle x\). Иными словами, запишем данные уравнения как функцию в привычном для нас виде:
А теперь просто строим две прямые. Что в нашем случае является решением? Правильно! Точка их пересечения! И здесь необходимо быть очень-очень внимательным! Подумай, почему?
Намекну: мы имеем дело с системой, в системе есть и \( \displaystyle x\), и \( \displaystyle y\)… Смекаешь?
Все верно! Решая систему, мы должны смотреть обе координаты, а не только \( \displaystyle x\), как при решении уравнений!
Записал? Теперь давай все сравним по порядку:
И ответы: \( \displaystyle x=1\) и \( \displaystyle y=-1\). Сделай проверку – подставь найденные корни в систему и убедись, правильно ли мы ее решили графическим способом?
Все сошлось? Идем дальше!
Решение систем нелинейных уравнений
А что если вместо одной прямой, у нас будет квадратное уравнение? Да ничего страшного! Просто ты вместо прямой построишь параболу! Не веришь? Попробуй решить следующую систему:
Какой наш следующий шаг? Правильно, записать так, чтобы нам было удобно строить графики:
А теперь так вообще дело за малым – построил быстренько и вот тебе решение! Строим:
Графики получились такими же? Теперь отметь на рисунке решения системы и грамотно запиши выявленные ответы!
Все сделал? Сравни с моими записями:
При \( \displaystyle <
При \( \displaystyle <
Все верно? Молодец! Ты уже щелкаешь подобные задачи как орешки! А раз так, дадим тебе систему посложнее.
Решите систему уравнений: \( \displaystyle \left\< \begin
Что мы делаем? Правильно! Записываем систему так, чтобы было удобно строить:
Немного тебе подскажу, так как система выглядит ну очень не простой! Строя графики, строй их «побольше», а главное, не удивляйся количеству точек пересечения.
Итак, поехали! Выдохнул? Теперь начинай строить!
Ну как? Красиво? Сколько точек пересечения у тебя получилось? У меня три! Давай сравнивать наши графики:
Так же? Теперь аккуратно запиши все решения нашей системы:
При \( \displaystyle <
При \( \displaystyle <
При \( \displaystyle <
А теперь еще раз посмотри на систему:
Представляешь, что ты решил это за каких-то 15 минут?
Согласись, математика – это все-таки просто, особенно когда, глядя на выражение, не боишься ошибиться, а берешь и решаешь! Ты большой молодец!
Решение неравенств с помощью графиков
Решение линейных неравенств
После последнего примера тебе все по плечу! Сейчас выдохни – по сравнению с предыдущими разделами этот будет очень-очень легким!
Начнем мы, как обычно, с графического решения линейного неравенства. Например, вот этого:
Неравенство нестрогое, поэтому \( \displaystyle 4\) — не включается в промежуток, и решением будут являться все точки, которые находятся правее \( \displaystyle 4\), так как \( \displaystyle 5\) больше \( \displaystyle 4\), \( \displaystyle 6\) больше \( \displaystyle 4\) и так далее:
Ответ: \( x\in \left( 4;+\infty \right)\)
Вот и все! Легко? Давай решим простое неравенство с двумя переменными:
Решение неравенства с двумя переменными
\( 2
Такой график у тебя получился? А теперь внимательно смотрим, что там у нас в неравенстве? Меньше? Значит, закрашиваем все, что находится левее нашей прямой.
А если было бы больше Правильно, тогда закрашивали бы все, что находится правее нашей прямой. Все просто.
Все решения данного неравенства «затушеваны» синим цветом. Вот и все, неравенство с двумя переменными решено. Это значит, что координаты \( \displaystyle x\) и \( \displaystyle y\) любой точки из закрашенной области и есть решения.
Решение квадратных неравенств
Теперь будем разбираться с тем, как графически решать квадратные неравенства.
Но прежде, чем перейти непосредственно к делу, давай повторим некоторый материал, касающийся квадратной функции \( \displaystyle a<
Что показывает нам знак при коэффициенте \( \displaystyle a\)? Верно, куда направлены ветви параболы – вверх или вниз (не помнишь? Почитай теорию «Квадратичная функция»).
А за что у нас отвечает дискриминант? Правильно, за положение графика относительно оси \( \displaystyle Ox\) (если не помнишь этого, то тогда точно прочти теорию о квадратичных функциях).
В любом случае, вот тебе небольшая табличка-напоминалка:
Симметрично отражаем наши точки на другую ветвь параболы:
Так как в нашем неравенстве стоит знак строго меньше, то конечные точки мы исключаем – «выкалываем».
Согласись, это намного быстрее.
Рассмотрим еще один способ решения, который упрощает и алгебраическую часть, но главное не запутаться.
Вариант 3
Ответ: \( \displaystyle \left[ 2;4 \right]\).
Решение смешанных неравенств
Теперь перейдем к более сложным неравенствам!
\( \displaystyle 4x
У тебя так же? Отлично!
Теперь расставим точки пересечения и цветом определим, какой график у нас по идее должен быть больше, то есть \( \displaystyle <
Смотри, что получилось в итоге:
А теперь просто смотрим, в каком месте у нас выделенный график находится выше, чем график \( \displaystyle <
Ну вот, теперь тебе по плечу и любое уравнение, и любая система, и уж тем более любое неравенство!
Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
В следующих вебинарах вы сможете отработать навык решения уравнений, неравенств и систем алгебраическим способом.
Решение линейных уравнений (алгебраически)
Цель урока — научиться решать линейные уравнения любого уровня сложности. Линейные уравнения – основа всей алгебры. Научитесь решать линейные уравнения, и вам будет намного проще осваивать всё остальное.
Приёмы, которые мы узнаем на этом уроке, применяются не только в линейных, но во всех типах уравнений, от квадратных до логарифмических. Все приёмы будем разбирать на конкретных примерах и сразу же отрабатывать.
Мы решим разберём все возможные типы линейных уравнений, решив 65 уравнений.
ЕГЭ №15. Решение уравнений и неравенств методом интервалов
В этом видео мы узнаем (вспомним) метод интервалов, поймём как и почему он работает. Вспомним, как решать квадратные, рациональные неравенства, а также неравенства с модулем и иррациональные.
Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Неравенства
Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:
то получится неравенство.
Линейные неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида:
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.
Примеры линейных неравенств:
3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0
Решить линейное неравенство – получить выражение вида:
x c x ≤ c x > c x ≥ c
где c – некоторое число.
Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.
Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.
Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.
Таблица числовых промежутков
