Как решить задачу по геометрии
Как решать задачи по геометрии. Часть 1
Геометрическая логика при решении задач
Геометрия… Страшное слово для бесчисленного множества учеников. Они знают свойства фигур и выучили определения и теоремы, но задачи по геометрии все равно остаются какой-то китайской грамотой.
Это про тебя? Тогда ты попал туда, куда нужно!
Проблема подавляющего большинства учеников в том, что они не умеют обдумывать задачу по геометрии. Их этому не научили (ну, или они не захотели научиться, когда была возможность). Именно в этой статье, я объясню саму технологию обдумывания и, в конечном счете, нахождения решения ПРАКТИЧЕСКИ ЛЮБОЙ задачи по геометрии.
Ты играл когда-нибудь в квесты? Неважно в реальной жизни или в компьютере. Во всех квестах принцип один – у тебя есть что-то (вещи, знания, навыки) и есть цель (раскрыть какую-нибудь тайну, найти некий предмет, «спасти принцессу» и т.д.). При этом путь к цели – неизвестен. И зачем нужны эти самые имеющиеся у тебя «вещи, знания, навыки» – тоже непонятно. Что делать? Как достичь цели?
Известно как: использовать то, что есть, и искать, куда это применить, чтоб продвинуться к цели. То есть, делать шаги от своего текущего местонахождения – к цели. При этом понятно, что некоторые шаги будут вести нас не туда, куда надо, а совсем даже в тупик. А иногда мы будем находить вещи или информацию, вроде бы напрямую к цели не ведущие, но как выяснится в дальнейшем – необходимую.
Более того, порой можно логически двигаться и наоборот – от цели к твоей текущей позиции. Например, если нужно «спасти принцессу из замка», то понятно, что, скорее всего, надо будет как-то попасть в замок. А для этого надо оказаться на острове, где этот замок стоит. Как попасть? Может быть на лодке. Или найти телепорт. Или использовать магию. Но на остров – надо. Начинаем искать пути на остров. Это уже логические шаги от цели к текущей позиции.
Ладно, давай уже конкретный пример разберем.
Задача. В треугольнике \(ABC\) из точки \(B\) проведена высота \(BH\). Найти длину отрезка \(AH\), если известно, что сторона \(AC\; =\; 14\) см и угол \(A\) равен углу \(C\).
Так. С чего начинается решение геометрической задачи? Ну, а с чего начинается решение квеста? Правильно, осматриваемся по сторонам, изучаем, что у нас есть и куда нас жизнь закинула.
В геометрии это означает:
Хорошо. Значит, текущая ситуация у нас такова:
Давайте потихоньку развеивать туман. Нам известно, что углы \(А\) и \(С\) равны, а это значит, что треугольник \(АВС\) – равнобедренный с основанием АС (теория – «признак равнобедренного треугольника: равенство углов при одной из сторон. Она и является основанием»). Это новая информация, новые данные, изначально неизвестные. Делаем шаг.
Отлично. Теперь смотрим, что у нас есть еще? Еще у нас есть информация, что \(BH\) – высота. А раз треугольник \(ABC\) – равнобедренный, то значит \(BH\) еще и медиана (теорема о высоте в равнобедренном треугольнике: высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника является медианой и биссектрисой). То есть, мы, используя новые, полученные на предыдущем шаге данные, а также исходные данные и знание теории, делаем еще один шаг и опять получаем новую информацию.
А что мы знаем про медиану? Она делит противоположную сторону на две равные части (определение медианы: отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны). Но тогда получается, что точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам. То есть \(AH = HC\).
Стоп. Так у нас же есть длина стороны \(AC\)! И если мы знаем, что точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам, значит, \(AH\) равен половине \(AC\)! Таким образом, получаем, что \(AH = AC/2 = 14/2=7\) см.
Готово. Ответ получен.
Естественно, такие конструкции с «пятном тумана» рисовать каждый раз не нужно, эта схема показывает логическую цепочку решения у нас в голове. А записывается примерно так:
Как решать задачи по геометрии. Часть 1
Геометрическая логика при решении задач
Геометрия… Страшное слово для бесчисленного множества учеников. Они знают свойства фигур и выучили определения и теоремы, но задачи по геометрии все равно остаются какой-то китайской грамотой.
Это про тебя? Тогда ты попал туда, куда нужно!
Проблема подавляющего большинства учеников в том, что они не умеют обдумывать задачу по геометрии. Их этому не научили (ну, или они не захотели научиться, когда была возможность). Именно в этой статье, я объясню саму технологию обдумывания и, в конечном счете, нахождения решения ПРАКТИЧЕСКИ ЛЮБОЙ задачи по геометрии.
Ты играл когда-нибудь в квесты? Неважно в реальной жизни или в компьютере. Во всех квестах принцип один – у тебя есть что-то (вещи, знания, навыки) и есть цель (раскрыть какую-нибудь тайну, найти некий предмет, «спасти принцессу» и т.д.). При этом путь к цели – неизвестен. И зачем нужны эти самые имеющиеся у тебя «вещи, знания, навыки» – тоже непонятно. Что делать? Как достичь цели?
Известно как: использовать то, что есть, и искать, куда это применить, чтоб продвинуться к цели. То есть, делать шаги от своего текущего местонахождения – к цели. При этом понятно, что некоторые шаги будут вести нас не туда, куда надо, а совсем даже в тупик. А иногда мы будем находить вещи или информацию, вроде бы напрямую к цели не ведущие, но как выяснится в дальнейшем – необходимую.
Более того, порой можно логически двигаться и наоборот – от цели к твоей текущей позиции. Например, если нужно «спасти принцессу из замка», то понятно, что, скорее всего, надо будет как-то попасть в замок. А для этого надо оказаться на острове, где этот замок стоит. Как попасть? Может быть на лодке. Или найти телепорт. Или использовать магию. Но на остров – надо. Начинаем искать пути на остров. Это уже логические шаги от цели к текущей позиции.
Ладно, давай уже конкретный пример разберем.
Задача. В треугольнике \(ABC\) из точки \(B\) проведена высота \(BH\). Найти длину отрезка \(AH\), если известно, что сторона \(AC\; =\; 14\) см и угол \(A\) равен углу \(C\).
Так. С чего начинается решение геометрической задачи? Ну, а с чего начинается решение квеста? Правильно, осматриваемся по сторонам, изучаем, что у нас есть и куда нас жизнь закинула.
В геометрии это означает:
Хорошо. Значит, текущая ситуация у нас такова:
Давайте потихоньку развеивать туман. Нам известно, что углы \(А\) и \(С\) равны, а это значит, что треугольник \(АВС\) – равнобедренный с основанием АС (теория – «признак равнобедренного треугольника: равенство углов при одной из сторон. Она и является основанием»). Это новая информация, новые данные, изначально неизвестные. Делаем шаг.
Отлично. Теперь смотрим, что у нас есть еще? Еще у нас есть информация, что \(BH\) – высота. А раз треугольник \(ABC\) – равнобедренный, то значит \(BH\) еще и медиана (теорема о высоте в равнобедренном треугольнике: высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника является медианой и биссектрисой). То есть, мы, используя новые, полученные на предыдущем шаге данные, а также исходные данные и знание теории, делаем еще один шаг и опять получаем новую информацию.
А что мы знаем про медиану? Она делит противоположную сторону на две равные части (определение медианы: отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны). Но тогда получается, что точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам. То есть \(AH = HC\).
Стоп. Так у нас же есть длина стороны \(AC\)! И если мы знаем, что точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам, значит, \(AH\) равен половине \(AC\)! Таким образом, получаем, что \(AH = AC/2 = 14/2=7\) см.
Готово. Ответ получен.
Естественно, такие конструкции с «пятном тумана» рисовать каждый раз не нужно, эта схема показывает логическую цепочку решения у нас в голове. А записывается примерно так:
Как решать задачи по геометрии. Часть 2
Поиск верной цепочки рассуждений
Этот эффект замечательно работает при решении геометрических задач:
Берешь каждый компонент задачи и смотришь какие ассоциации у тебя возникают в связи с ним. После чего, рассмотрев все компоненты, ищешь логические связи или пересечения ассоциаций.
Давай поясню на примере, чтоб было понятнее.
Задача. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.
Строим чертеж и пишем известные данные.
Теперь давай думать. Треугольник \(ABC\) равносторонний. Что нам это дает? Что мы вообще знаем про равносторонние треугольники? Ну, во-первых, у них равны все три стороны (это следует из названия). Во-вторых, у них все углы равны между собой и градусная мера этих углов равна \(60°\). В-третьих – любая высота в них является биссектрисой и медианой. Пока всё. Ну и у треугольника \(DEF\) – аналогично.
Обрати внимание – это все новая и верная информация, которую мы получили из предыдущей. Но часть ее нам не пригодится при решении данной задачи. Поэтому пока что наносим потенциально возможные пути развития логической цепочки тонким серым цветом.
Продолжаем. Какие возможные пути нам дает информация об равенстве \(АВ\) и \(DE\)? Хм… Да пожалуй, что никаких не дает. Хорошо, значит, она пригодится в дальнейших рассуждениях сама по себе.
Хорошо, добавляем эти данные в схему.
Теперь, пожалуй, мы выжали из условий задачи всё. Давай искать логические связи и пересечения.
Cходу бросается в глаза – равенство треугольников доказывается по трем сторонам и в каждом из треугольников есть равенство трех сторон. Плюс еще и в исходных данных есть равенство \(AB\) и \(DE\). Вот и связка!
Да, в самом деле, если \(AB = BC = CA\) и \(DE = EF = DF\), при этом известно, что \(AB = DE\), то значит все шесть сторон равны друг другу: \(BC = CA = AB = DE = EF = DF\). Таким образом, мы в треугольниках \(ABC\) и \(DEF\) имеем равенство трех пар сторон, следовательно, треугольники равны по третьему признаку. Что и требовалось доказать.
Итоговая логическая схема решения:
Итоговая запись решения:
В более сложных задачах приходится делать большее количество промежуточных шагов при решении. Принцип их совершения такой же – каждый новый компонент полученной информации рассматриваешь на ассоциации и строишь от него «тропинки» во все стороны к новой информации. Ищешь связи и пересечения. Если не нашел, рассматриваешь дальше. И так пока не найдешь связку, цепочку от исходных данных к вопросу задачи. Как будто тропинку в лесу ищешь.
Делать это довольно интересно, надо только относиться к решению задач как к игре, а не тяжкой повинности.
Возможно, у тебя возник вопрос: «а что делать если ассоциации не появляются?». Ответ прост: «учи теорию и решай задачи!». Каждая новая теорема формирует в мозгу новые логические связи, а каждая новая задача закрепляет их.
И небольшой матхак:
Все данные из задачи должны быть использованы!
В задачах по геометрии очень редко даются лишние условия. Если ты застопорился при решении, то внимательно посмотри, что из дано ты еще не пускал в дело.