Как решить задачу на скорость

Задачи на движение

Задачи на движение (скорость, время и расстояние) являются одной из основных типов задач по математике, которые должен уметь решать каждый школьник. В данной статье рассмотрены все типы задач на движение:
— простые задачи на скорость, время и расстояние;
— задачи на встречное и противоположное движение;
— задачи на движение в одном направлении (на сближение и удаление);
— решение задач на движение по реке.

Скорость, время и расстояние: определения, обозначения, формулы

скорость = расстояние: время — формула нахождения скорости;

время = расстояние: скорость — формула нахождения времени;

расстояние = скорость · время — формула нахождения расстояния.

Скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени: за 1 секунду, за 1 минуту, за 1 час и так далее.
Пример обозначения: 7 км/ч (читается: семь километров в час).
Если весь путь проходится с одинаковой скоростью, то такое движение называется равномерным.

На сайте представлены калькуляторы онлайн, с помощью которых можно перевести скорость, время и расстояние в другие единицы измерения:

Примеры простых задач.

Задача 1.

Автомобиль проехал 180 км за 2 часа. Чему равна скорость автомобиля?
Решение: 180:2=90 (км/ч.)
Ответ: Скорость автомобиля равна 90 км/ч.

Задача 2.

Автобус проехал путь в 240 км со скоростью 80 км/ч. Сколько времени ехал автобус?
Решение: 240:80=3 (ч.)
Ответ: Автобус проехал 3 часа.

Задача 3.

Грузовик ехал 5 часов со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал грузовик за это время?
Решение: 70 · 3 = 350 (км)
Ответ: Грузовик за 5 часов проехал 350 км.

Задачи на встречное движение

В таких задачах два объекта движутся навстречу друг другу.
Задачи на встречное движение можно решать двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость сближения объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Задача 4.

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два поезда и встретились через 3 часа. Первый поезд ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты?
Решение:
Первый способ. Найти расстояние, которое проехал каждый автобус, и сложить полученные данные:
80*3=240 (км) – проехал 1й автобус, 70*3=210 (км) – проехал 2й поезд,
240+210=450 (км) – проехали два поезда.
Второй способ. Найти скорость сближения поездов, то есть на сколько сокращалось расстояние между ними каждый час; а затем найти расстояние:
80+70=150 (км/ч), 150*3=450 (км).
Ответ: города находятся на расстоянии 450 км.

Задача 5.

Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа, если расстояние между городами 450 км?
Решение:
Первый способ. Определить, сколько километров проехал каждый автобус и найти расстояние, которое осталось проехать:
80*2=160 (км)-проехал 1й автобус, 70*2=140 (км)-проехал 2й автобус,
160+140=300 (км)-проехали два автобуса, 450-300=150 (км)-осталось проехать.
Второй способ. Найти скорость сближения автобусов и умножить ее на время в пути.
80*70=150 (км/ч) – скорость сближения; 150*2=300 (км) – проехали два автобуса; 450-300=150 (км) – осталось проехать.
Ответ: Через 2часа расстояние между автобусами будет 150 км.

Задачи на движение в противоположных направлениях

В таких задачах два объекта движутся в противоположных направлениях, отдаляясь друг от друга. В таком типе задачи используется скорость удаления. Задачи на движение в противоположных направлениях также можно решить двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость удаления объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Задача 6.

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля 100 км/ч, скорость второго – 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа?
Решение:
Первый способ. Определить расстояние, которое проехал каждый автомобиль и найти сумму полученных результатов:
1) 100 · 4 = 400 (км) – проехал первый автомобиль
2) 70 · 4 = 280 (км) – проехал второй автомобиль
400 + 280 = 680 (км)
Второй способ. Найти скорость удаления, то есть значение увеличения расстояния между автомобилями за каждый час, а затем скорость удаления умножить на время в пути.
100 + 70= 170 км/ч – это скорость удаления автомобилей.
170 · 4 = 680 (км)
Ответ: Через 4 часа между автомобилями будет 680 км.

Задача 7.

Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 40 км, вышли в противоположных направлениях два туриста. Первый турист шёл со скоростью 4 км/ч, а второй — 5 км/ч. Какое расстояние между туристами будет через 5 часов?
Решение:
Первый способ. Определить сколько километров прошёл каждый из туристов за 5 часов, сложить полученные результаты, а затем к полученному расстоянию прибавить расстояние между населенными пунктами.
1) 4 · 5 = 20 (км) – прошёл первый турист;
2) 5 · 5 = 25 (км) – прошёл второй турист;
3) 20 + 25 = 45 (км);
4) 45 + 40 = 85 (км).
Второй способ. Найти скорость удаления пешеходов, затем найти пройденное расстояние, к полученному результату прибавить расстоянием между населёнными пунктами.
4 + 5 = 9 (км/ч);
9 · 5 = 45 (км);
45 + 40 = 85 (км);
Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 85 км.

Задачи на движение в одном направлении

В таких задачах два объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, при этом они сближаются друг с другом или отдаляются друг от друга. Соответственно находится скорость сближения или скорость удаления объектов.

Формула нахождения скорости сближения или удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении: из большей скорости вычесть меньшую.

Задача 8.

Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?,
Решение:
Задачу можно решить с помощью уравнения.
В этом случае скорость первого автомобиля 40 км/час, время в пути на 4 часа больше, чем время второго автомобиля (или t+4). Скорость второго автомобиля 60 км/час, время в пути – t. Расстояние оба автомобиля проехали одинаковое. Поэтому можно составить уравнение: 40*(t+4)=60*t. Отсюда получаем t=8 (часов) – время в пути второго автомобиля, за которое он догонит первый.
Решение задачи без использования уравнения.
Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалиться от города на: 40 · 4 = 160 (км).
Второй автомобиль движется быстрее первого, значит, каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей: 60 — 40 = 20 (км/ч) – это скорость сближения.
Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся: 160 : 20 = 8 (ч)
Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Задача 9.

Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?
Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов: 5 — 4 = 1 (км/ч).
Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого: 5 : 1 = 5 (ч)
Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Задача 10.

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго – 40 км/ч.
1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2) Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3) Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?
Решение:
1) 80 — 40 = 40 (км/ч) — скорость удаления автомобилей друг от друга.
2) 40 · 3 = 120 (км) – расстояние между ними через 3 часа./
3) 200 : 40 = 5 (ч) – время, через которое расстояние между автомобилями станет 200 км.
Ответ:
1) Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2) Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3) Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.

Задачи на движение по реке

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.

Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки. Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.

Задача 11.

Лодка движется по реке. За сколько часов она преодолеет расстояние 120 км, если ее собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Решение:
1) лодка движется по течению реки.
27 + 3 = 30 (км/ч) – скорость лодки по течению реки.
120 : 30 = 4 (ч) – проплывет путь.
2) лодка движется против течения реки.
27 — 3 = 24 (км/ч) — скорость лодки против течения реки
120 : 24 = 5 (ч) – проплывет путь.
Ответ:
1) При движении по течению реки лодка потратит 4 часа на путь.
2) При движении против течения реки лодка потратит 5 часов на путь.

Итак, для решения задач на движение:

Заключение.

Решая много задач по данной теме, ученик обязательно научится быстро ориентироваться в понятиях «скорость», «время» и «расстояние» и быстро решать задачи всех типов. Получить карточки с задачами разных видов можно по ссылке.

Источник

Как решить задачу на скорость

1 мин = 60 с; 1 ч = 3600 с; 1 км = 1000 м; 1 м/с = 3,6 км/ч.

Физика 7 класс: все формулы и определения КРУПНО на трех страницах

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача № 1. Ласточка летит со скоростью 36 км/ч. Какой путь она преодолеет за 0,5 ч?

Задача № 1. Конькобежец может развивать скорость до 13 м/с. За какое время он пробежит дистанцию длиной 2,6 км?

Задача № 3. Автомобиль «Чайка» развивает скорость до 160 км/ч, а почтовый голубь — до 16 м/с. Сможет ли голубь обогнать автомобиль?

Решение. Чтобы сравнить скорости движения тел, надо перевести их в одинаковые единицы измерения. Перевод скорости из одних единиц в другие выполняют следующим образом. 160 км = 160000 м, 1 ч = 3600 с. Следовательно, за 1 с автомобиль пройдет путь 160000 : 3600 = 44 (м), значит:

Ответ: Голубь не обгонит автомобиль, так как 16 м/с

Задача № 4. Вдоль дороги навстречу друг другу летят скворец и комнатная муха. На рисунке представлены графики движения скворца (I) и мухи (II). Пользуясь графиком, определите:

1) Каковы скорости движения скворца и мухи?
2) Через сколько секунд после начала движения они встретятся?
3) Какое расстояние они пролетят до места встречи?

Решение.
1. Скорость движения скворца определим по формуле v=S/t. Выберем на графике произвольное время и определим, какое расстояние за это время пролетел скворец. Видно, что за 5 с скворец пролетел 100 м. Тогда

Аналогично найдем скорость движения мухи:

2. Точка А (точка пересечения графиков движения) соответствует моменту встречи. Скворец и муха встретятся через 4 секунды.

3. Скворец до места встречи пролетит расстояние S_I = 80 м. Муха пролетит расстояние S_II = 100 м — 80 м = 20 м.

Ответ: 1) скворец 20 м/с, муха 5 м/с, 2) через 4 с, 3) скворец 80 м, муха 20 м

Задача № 5. Определите среднюю скорость движения плота, если за 20 минут он переместился на 900 м. Скорость выразить в км/ч.

Ответ: Средняя скорость плота 2,7 км/ч.

Задача № 6. Стоящий на эскалаторе человек поднимается за 2 мин, а бегущий по эскалатору — за 40 с. За какое время этот человек поднимется по неподвижному эскалатору?

ОТВЕТ: 1 мин.

Задача № 7. Моторная лодка за 3 ч проходит расстояние от города до поселка, расположенного ниже по течению реки. Сколько времени займет обратный путь, если скорость движения лодки относительно воды в 4 раза больше скорости течения?

ОТВЕТ: 5 ч.

Задача № 8 (повышенной сложности). Рыбак плыл по реке на лодке, зацепил шляпой за мост, и она свалилась в воду. Через час рыбак спохватился, повернул обратно и подобрал шляпу на 4 км ниже моста. Какова скорость течения? Скорость лодки относительно воды оставалась неизменной по модулю.

ОТВЕТ: 2 км/ч.

Задача № 9 (олимпиадного уровня). Из городов А и Б навстречу друг другу по прямому шоссе одновременно выехали два велосипедиста. Скорость первого 10 км/ч, скорость второго 15 км/ч. Одновременно с велосипедистами из города А вылетела ласточка. Она долетает до второго велосипедиста, разворачивается, Долетает до первого велосипедиста и летает так между ними до тех пор, пока велосипедисты не встретятся. Какой путь пролетела ласточка, если скорость ее движения 50 км/ч, а расстояние между городами 100 км? Временем разворота ласточки можно пренебречь.

ОТВЕТ: 200 км.

Алгоритм решения задач на движение

При решении других задач прямолинейного равномерного движения в общем виде нужно придерживаться следующего алгоритма: 1) выбрать систему отсчёта; 2-3) определить начальные координаты и значения скоростей движения тел в этой системе отсчёта; 4) записать зависимости координат тел от времени; 5) записать в виде уравнения условие задачи; 6) объединить уравнения; 7) решить эти уравнения; 8) провести анализ полученного результата (после чего выяснить, имеет ли полученный результат физический смысл); 9) если в условии задачи даны числовые значения, необходимо подставить их в полученное выражение и получить числовой ответ.

Анализ полученного результата заключается в исследовании зависимости искомой величины от входящих в ответ величин.

Не стоит забывать и про направление движения в зависимости от типа задачи (встреча, погоня, обгон, отставание)

Конспект урока «Задачи на движение с решением».

Источник

Время, скорость, расстояние

Расстояние

Мы постоянно ходим пешком и ездим на транспорте из одной точки в другую. Давайте узнаем, как можно посчитать это пройденное расстояние.

Расстояние — это длина от одного пункта до другого.

Расстояние обозначается латинской буквой s.

Единицы расстояния чаще всего выражаются в метрах (м), километрах (км).

Формула пути

Чтобы найти расстояние, нужно умножить скорость на время движения:

s = v × t

Скорость

Двигаться со скоростью черепахи — значит медленно, а со скоростью света — значит очень быстро. Сейчас узнаем, как пишется скорость в математике и как ее найти по формуле.

Скорость определяет путь, который преодолеет объект за единицу времени. Скорость обозначается латинской буквой v.

Проще говоря, скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени.

Впервые формулу скорости проходят на математике в 5 классе. Сейчас мы ее сформулируем и покажем, как ее использовать.

Формула скорости

Чтобы найти скорость, нужно разделить путь на время:

v = s : t

Показатели скорости чаще всего выражаются в м/сек или км/час.

Скорость сближения — это расстояние, на которое сблизились два объекта за единицу времени. Чтобы найти скорость сближения двух объектов, которые движутся навстречу друг другу, надо сложить скорости этих объектов.

Скорость удаления — расстояние, на которое отдалились друг от друга два объекта за единицу времени.

Чтобы найти скорость удаления объектов, которые движутся в противоположных направлениях, нужно сложить скорости этих объектов.

Чтобы найти скорость удаления при движении с отставанием или скорость сближения при движении вдогонку, нужно из большей скорости вычесть меньшую.

Онлайн-курсы по математике для детей — отличный способ разобраться в сложных темах под руководством внимательного преподавателя.

Время

Время — самое дорогое, что у нас есть. Но кроме философии, у времени есть важная роль и в математике.

Время — это продолжительность каких-то действий, событий.

Время движения обозначается латинской буквой t.

Чаще всего вам будут встречаться такие единицы времени, как секунды, минуты и часы.

Формула времени

Чтобы найти время, нужно разделить расстояние на скорость:

t = s : v

Эта формула пригодится, если нужно узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние.

Взаимосвязь скорости, времени, расстояния

Скорость, время и расстояние связаны между собой очень крепко. Одно без другого даже сложно представить.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время: s = v × t.

Задачка 1. Мы вышли из дома и направились в гости в соседний двор. Мы дошли до соседнего двора за 15 минут. Фитнес-браслет показал, что наша скорость была 50 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?

Если за одну минуту мы прошли 50 метров, то сколько таких пятьдесят метров мы пройдем за 10 минут? Умножив 50 метров в минуту на 15 минут, мы определим расстояние от дома до магазина:

s = v × t = 50 × 15 = 750 (м)

Ответ: мы прошли 750 метров.

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость: v = s : t.

Задачка 2. Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние между двором и площадкой — 100 метров. Первый школьник добежал за 25 секунд, второй за 50 секунд. Кто добежал быстрее?

Быстрее добежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. В этой задаче скорость школьников — это расстояние, которое они пробегают за 1 секунду.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения. Найдем скорость первого школьника: для этого разделим 100 метров на время движения первого школьника, то есть на 25 секунд:

Если расстояние дано в метрах, а время движения в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч).

В нашей задаче расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, будем измерять скорость в метрах в секунду (м/с).

Так мы узнали, что скорость движения первого школьника 4 метра в секунду.

Теперь найдем скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника, то есть на 50 секунд:

Значит, скорость движения второго школьника составляет 2 метра в секунду.

Сейчас можно сравнить скорости движения каждого школьника и узнать, кто добежал быстрее.

Скорость первого школьника больше. Значит, он добежал до спортивной площадки быстрее.

Ответ: первый школьник добежал быстрее.

Если известны скорость и расстояние, то можно найти время: t = s : v.

Задачка 3. От школы до стадиона 500 метров. Мы должны дойти до него пешком. Наша скорость будет 100 метров в минуту. За какое время мы дойдем до стадиона из школы?

Если за одну минуту мы будем проходить 100 метров, то сколько таких минут со ста метрами будет в 500 метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 500 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 100. Тогда мы получим время, за которое дойдем до стадиона:

t = s : v = 500 : 100 = 5 (мин)

Ответ: от школы до стадиона мы дойдем за 5 минут.

Специально для уроков математики можно распечатать или нарисовать самостоятельно такую таблицу, чтобы быстрее запомнить и применять формулы скорости, времени, расстояния.

Источник

Задачи на движение (ЕГЭ 2022)

Задачи на движение — это легкие баллы на ЕГЭ по математике!

Если прочитаешь эту статью – гарантирую, что ты научишься решать любые задачи на движение.

Еще бы! Мы разберем 19 задач на все типы движения!

Умение решать задачи на движение может перевесить чашу весов в ту или иную сторону. Сдашь ты экзамен или нет… Поступишь на бюджет или нет…

Эффект бабочки, слышал о таком?

В общем, думаю, никого убеждать не надо. Читай эту статью и решай задачи!

Let’s dive right in… Поехали!

Одна формула для решения всех задач на движение

Для успешного решения задач на движение нужно держать в голове одну простую формулу:

Чтобы легче запомнить эту формулу, подумай, что ты ответишь на такой вопрос:

«Сколько километров я проеду на велосипеде за \( \displaystyle 2\) часа, двигаясь со скоростью \( \displaystyle 13\) км/ч?»

Ты, не задумываясь, ответишь – \( \displaystyle 26\) км.

Ну вот. Поздравляю! Эту формулу ты всегда хорошо знал, просто не мог сформулировать.

Расстояние есть скорость, умноженная на время движения.

Очень многим запомнить формулу помогает вот такая пирамидка:

Из нашей формулы легко выразить все ее составляющие:

Формулу для скорости: \( \displaystyle \nu =\frac<\text>\)

Формулу для времени: \( \displaystyle \text=\frac<\nu >\)

А теперь рассмотрим подробный алгоритм решения задач на движение.

Алгоритм решения задач на движение

1. Составить уравнение (или систему уравнений)

2. Решить полученное уравнение (или систему уравнений)

Разберем подробнее некоторые особенности, возникающие при решении задач на движение.

Прочитай задачу несколько раз

Осознай ее настолько, чтобы тебе было понятно абсолютно все.

Например, часто возникают трудности с понятием «собственная скорость лодки/катера» и т.д.

Подумай, что это может значить? Правильно, скорость лодки в стоячей воде, например, в пруду, когда на нее НЕ влияет скорость течения.

Кстати, в задачах иногда пишут «найти скорость лодки в стоячей воде».

Теперь ты знаешь, что собственная скорость лодки и скорость лодки в стоячей воде – одно и тоже, так что не теряйся, если встретишь оба этих определения.

Сделай рисунок

Пойми точно кто куда едет, кто к кому приехал, и где они все встретились.

Сделай рисунок, попутно записывая на нем все известные величины (ну либо под ним, если не знаешь, как их отобразить схематически).

Рисунок должен четко отражать весь смысл задачи.

Его следует сделать таким образом, чтобы на нем была видна динамика движения – направления движения, встречи, развороты, повороты.

Качественный рисунок позволяет понять задачу, не заглядывая в ее текст. Он – твоя основная подсказка для дальнейшего составления уравнения.

Рассмотрим возможные виды движения двух тел.

Относительное движение

Если какие-то тела движутся друг относительно друга, часто бывает полезно посчитать их относительную скорость. Она равна:

Движение навстречу друг другу

Если тела движутся навстречу друг другу, то их скорость сближения равна сумме их скоростей.

Не веришь? Давай посмотрим на практике.

А подробнее о причинах и доказательстве этого ты можешь прочитать в статье по физике о равномерном прямолинейном движении.

Пример №1

Допустим, из точки \( \displaystyle A\) и из точки \( \displaystyle B\) навстречу друг другу выехали две машины. Скорость одной машины – \( \displaystyle 60\) км/ч, а скорость \( \displaystyle 2\) машины – \( \displaystyle 40\) км/ч. Они встретились через \( \displaystyle 1,2\) часа.

Какое расстояние между пунктами \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\)?

1 вариант решения

Можно рассуждать так: машины встретились, значит расстояние между городами – это сумма расстояния, которая прошла первая машина, и расстояния, которое прошла вторая.

\( \displaystyle 60\cdot 1,2\text< >=\text< >72\) (км) – путь, который проехала первая машина

\( \displaystyle 40\cdot 1,2\text< >=\text< >48\) (км) – путь, который проехала вторая машина

\( \displaystyle 72 + 48 = 120\) (км) – расстояние, которое проехали обе машины, то есть, расстояние между пунктами \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\).

2 вариант решения (более рациональный)

А можно просто воспользоваться очень логичной формулой о сложении скоростей.

Проверим, работает ли она:

\( \displaystyle 60 + 40 = 100\) (км/ч) – скорость сближения машин

\( \displaystyle 100\cdot 1,2\text< >=\text< >120\) (км) – расстояние, которые проехали машины, то есть, расстояние между пунктами \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\).

Оба решения являются верными. Второе просто более рациональное.

Пример №2

Миша и Вася ехали на велосипеде навстречу друг к другу. Скорость Миши – \( \displaystyle 10\) км/ч, скорость Васи – \( \displaystyle 16\) км/ч. Ребята встретились через \( \displaystyle 2\) часа.

Какой совместный путь они проделали?

У меня получилось, что скорость сближения равна \( \displaystyle 26\) км/ч, а путь равен \( \displaystyle 52\) км.

Теперь разберемся, как в таких задачах вычисляется время.

Как вычислить время при движении навстречу друг другу

Если первоначальное расстояние между телами равно \( \displaystyle S\), то время, через которое они встретятся, вычисляется по формуле:

Исходя из предыдущей формулы, это вполне логично, однако попробуем проверить на практике.

Пример №3

Из пункта \( \displaystyle A\) и пункта \( \displaystyle B\) машины движутся навстречу друг другу со скоростями \( \displaystyle 50\) км/ч и \( \displaystyle 80\) км/ч. Расстояние между пунктами – \( \displaystyle 195\) км.

Через сколько времени машины встретятся?

1 вариант решения

Пусть \( \displaystyle x\) – время, которое едут машины, тогда путь первой машины – \( \displaystyle 50x\), а путь второй машины – \( \displaystyle 80x\).

Их сумма и будет равна расстоянию между пунктами \( A\) и \( B\) – \( \displaystyle 50x+80x=195\).

\( \displaystyle x=1,5\) (ч) – время, через которое встретились машины.

2 вариант решения (более рациональный)

\( \displaystyle 50 + 80 = 130\) (км/ч) – скорость сближения машин;

\( \displaystyle 195:130 = 1,5\) (ч) – время, которое машины были в пути.

Пример №4

Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями \( \displaystyle 60\) км/ч и \( \displaystyle 40\) км/ч. Через сколько минут они встретятся. Если расстояние между пунктами \( \displaystyle 100\) км?

2 способа решения:

I способ

Относительная скорость автомобилей \( \displaystyle 60+40=100\) км/ч. Это значит, что если мы сидим в первом автомобиле, то он нам кажется неподвижным, но второй автомобиль приближается к нам со скоростью \( \displaystyle 100\) км/ч. Так как между автомобилями изначально расстояние \( \displaystyle 100\) км, время, через которое второй автомобиль проедет мимо первого:

\( \displaystyle t=\frac<100><100>=1 час=60\ минут\).

II способ

Время от начала движения до встречи у автомобилей, очевидно, одинаковое. Обозначим его \( \displaystyle t\). Тогда первый автомобиль проехал путь \( \displaystyle 60t\), а второй – \( \displaystyle 40t\).

В сумме они проехали все \( \displaystyle 100\) км. Значит,

\( \displaystyle 60t+40t=100\Rightarrow t=1 час=60 минут\).

Движение в противоположные стороны

Если тела удаляются друг от друга, то их скорость удаления равна сумме их скоростей.

Попробуй самостоятельно решить задачу и доказать верность данной формулы, как в предыдущем случае.

Пример №5

А вот и задача: из Москвы в противоположные стороны выехало \( \displaystyle 2\) машины. Скорость одной машины – \( \displaystyle 85\) км/ч, скорость другой – \( \displaystyle 60\) км/ч.

На каком расстоянии друг от друга будут находиться машины через \( \displaystyle 2\) часа?

Решая первым способом, у меня получилось, что путь, проделанный первой машиной, равен \( \displaystyle 170\) км, а второй – \( \displaystyle 120\) км.

Соответственно, расстояние между машинами – \( \displaystyle 290\) км.

Решая вторым способом, выходит, что скорость удаления равна \(\displaystyle 145 км/ч\), а путь равен \(\displaystyle 145 км/ч\)\( \displaystyle \cdot 2 ч\) = \(\displaystyle 290 км\).

Теперь разберемся, как вычисляется время при подобном случае.

Время, проведенное телами в пути, при удалении друг от друга равно пройденному расстоянию (то есть, если между телами изначально было некое расстояние \( <_<0>>\), то его следует вычесть из общего расстояния), деленному на сумму скоростей тел:

Как ты видишь, формула аналогична выведенной нами при движении тел навстречу друг другу.

Считаешь, что такого не может быть?

Проверь ее на практике!

Пример №6

Допустим, что две машины двигаются в противоположных направлениях со скоростями \( \displaystyle 50\) и \( \displaystyle 45\) км/ч. В момент остановки расстояние между ними составляло \( \displaystyle 218,5\) км.

Сколько времени ехали машины?

Попробуй решить эту задачу теми двумя способам, которые были описаны при движении на встречу.

Решил? Формула подтвердилась?

Давай сравнивать ответы: уравнение, получаемое при решении 1 вариантом, – \( \displaystyle 50x+45x=218,5\).

При решении 2 вариантом скорость удаления – \( \displaystyle 95\) км/ч, время в пути – \( \displaystyle 2,3\) часа.

А что если тела изначально находятся на некоем расстоянии \( <_<0>>\) друг от друга?

Тела, находящиеся на расстоянии друг от друга

Как тогда решать подобные задачи?

Очень просто. При решении нам необходимо обязательно учитывать \( <_<0>>\).

Если существует какое-либо первоначальное расстояние между телами, то формула пути выглядит следующим образом:

\( \displaystyle S=<_<0>>+\left( <<\nu >_<1>>+<<\nu >_<2>> \right)\cdot \text\ \)

Вырази из этой формулы время встречи двух тел, а потом сравним, что у нас получилось.

Тогда решим задачу на данную формулу.

Пример №7

Из разных точек города N в стороны, противоположные друг другу, выехало два мотоциклиста. Изначальное расстояние между ними составляло \( \displaystyle 86\) км. Скорость первого мотоциклиста составляла \( \displaystyle 90\) км/ч; скорость второго – \( \displaystyle 105\) км/ч.

Через какое время расстояние между ними будет равно \( \displaystyle 359\) км?

Какой ответ ты получил?

У меня получилось \( \displaystyle 1,4\) часа.

Давай проверим все обстоятельно.

Делим \( \displaystyle 273\) км на \( \displaystyle 195\) км/ч и получаем \( \displaystyle 1,4\) часа – время, которое мотоциклисты провели в дороге.

Движение в одном направлении (два варианта)

Итак, допустим, наши тела двигаются в одном направлении. Как ты думаешь, сколько случаев может быть для такого условия?

Почему так получается? Уверена, что после решения всех примеров ты с легкостью сам разберешься, как вывести данные формулы.

Пришло время решать задачи…

Коля едет на работу на машине со скоростью \( \displaystyle 60\) км/ч. Коллега Коли Вова едет со скоростью \( \displaystyle 85\) км/ч. Коля от Вовы живет на расстоянии \( \displaystyle 15\) км.

Через сколько времени Вова догонит Колю, если из дома они выехали одновременно?

Посчитал? Сравним ответы – у меня получилось, что Вова догонит Колю через \( \displaystyle \frac<3><5>\) часа или через \( \displaystyle 36\) минут.

Сравним наши решения…

Рисунок выглядит вот таким образом:

Похож на твой? Молодец!

Так как в задаче спрашивается, через сколько ребята встретились, а выехали они одновременно, то время \( \displaystyle t\), которое они ехали, будет одинаковым, так же как место встречи \( \displaystyle S\) (на рисунке оно обозначено точкой \( \displaystyle C\)).

Составляя уравнения, возьмем время за \( \displaystyle x\).

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №8

Из пункта А в пункт В выехал автомобиль. Одновременно с ним выехал другой автомобиль, который ровно половину пути ехал со скоростью на \( \displaystyle 10\) км/ч меньшей, чем первый, а вторую половину пути он проехал со скоростью \( \displaystyle 75\) км/ч.

В результате автомобили прибыли в пункт В одновременно.

Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше \( \displaystyle 50\) км/ч.

Решение:

Слева от знака равно запишем время первого автомобиля, а справа – второго:

Упростим выражение в правой части:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Хитрости при решении задач на движение

Следующие три раздела о том, как решать задачи на движение оптимальным способом! Как не делать ошибок! Как себя проверять!

Правило трех «Р» – размерность, разумность, расчет

Размерность

Далеко не всегда в задачах дается одинаковая размерность для каждого участника движения (как это было в наших легких задачках).

Например, можно встретить задачи, где сказано, что тела двигались определенное количество минут, а скорость их передвижения указана в км/ч.

Мы не можем просто взять и подставить значения в формулу – ответ получится неверный. Даже по единицам измерения наш ответ «не пройдет» проверку на разумность.

Видишь? При грамотном перемножении у нас также сокращаются единицы измерения, и, соответственно, получается разумный и верный результат.

А что происходит, если мы не переводим в одну систему измерения? Странная размерность у ответа и \( \displaystyle 100\)% неверный результат.

Итак, напомню тебе на всякий случай значения основных единиц измерения длины и времени.

Единицы измерения длины:

Единицы измерения времени:

Совет:

Переводя единицы измерения, связанные с временем (минуты в часы, часы в секунды и т.д.) представь в голове циферблат часов. Невооруженным глазом видно, что \( \displaystyle15\) минут это четверть циферблата, т.е. \( \displaystyle 0,25\) часа, \( \displaystyle 20\) минут это треть циферблата, т.е. \( \displaystyle \frac<1><3>\) часа, а \( \displaystyle 1\) минута это \( \displaystyle \frac<1><60>\) часа.

А теперь совсем простенькая задача:

Маша ехала на велосипеде из дома в деревню со скоростью \( \displaystyle 14\) км/ч на протяжении \( \displaystyle 75\) минут. Какое расстояние между машиным домом и деревней?

Посчитал? Правильный ответ – \( \displaystyle 17,5\) км.

\( \displaystyle 75\) минут – это час, и еще \( \displaystyle 15\) минут от часа (мысленно представил себе циферблат часов, и сказал, что \( \displaystyle 15\) минут – четверть часа), соответственно – \( \displaystyle 75\) мин = \( \displaystyle 1,25\) ч.

\( \displaystyle 14\text< >\cdot 1,25\text< >=\text< >17,5\) км

Разумность

Ты же понимаешь, что скорость машины не может быть \( \displaystyle 300\) км/ч, если речь, конечно, идет не о спортивном болиде? И уж тем более, она не может быть отрицательной, верно? Так вот, разумность, это об этом)

Расчет

Посмотри, «проходит» ли твое решение на размерность и разумность, и только потом проверяй расчеты. Логично же – если с размерностью и разумностью получается несостыковочка, то проще все зачеркнуть и начать искать логические и математические ошибки.

Нарисуйте таблицу когда рисунка недостаточно

Далеко не всегда задачи на движение такие простые, как мы решали раньше.

Очень часто, для того, чтобы правильно решить задачу, нужно не просто нарисовать грамотный рисунок, но и составить таблицу со всеми данными нам условиями.

Из пункта \( \displaystyle A\) в пункт \( \displaystyle B\), расстояние между которыми \( \displaystyle 30\) км, одновременно выехал велосипедист и мотоциклист. Известно, что в час мотоциклист проезжает на \( \displaystyle 65\) км больше, чем велосипедист.

Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт \( \displaystyle B\) на \( \displaystyle 156\) минут позже, чем мотоциклист.

Вот такая вот задача. Соберись, и прочитай ее несколько раз. Прочитал? Начинай рисовать – прямая, пункт \( \displaystyle A\), пункт \( \displaystyle B\), две стрелочки…

В общем рисуй, и сейчас сравним, что у тебя получилось.

Пустовато как-то, правда? Рисуем таблицу.

Как ты помнишь, все задачи на движения состоят из \( \displaystyle 3\) компонентов: скорость, время и путь. Именно из этих граф и будет состоять любая таблица в подобных задачах.

Правда, мы добавим еще один столбец – имя, про кого мы пишем информацию – мотоциклист и велосипедист.

Так же в шапке укажи размерность, в какой ты будешь вписывать туда величины. Ты же помнишь, как это важно, правда?

У тебя получилась вот такая таблица?

Теперь давай анализировать все, что у нас есть, и параллельно заносить данные в таблицу и на рисунок.

Первое, что мы имеем – это путь, который проделали велосипедист и мотоциклист. Он одинаков и равен \( \displaystyle 30\) км. Вносим!

Рассуждаем дальше. Мы знаем, что мотоциклист проезжает на \( \displaystyle 65\) км/ч больше, чем велосипедист, да и в задаче нужно найти скорость велосипедиста…

Возьмем скорость велосипедиста за \( \displaystyle x\), тогда скорость мотоциклиста будет \( \displaystyle x+65\)…

Если с такой переменной решение задачи не пойдет – ничего страшного, возьмем другую, пока не дойдем до победного. Такое бывает, главное не нервничать!

Таблица преобразилась. У нас осталась не заполнена только одна графа – время. Как найти время, когда есть путь и скорость?

Правильно, разделить путь на скорость. Вноси это в таблицу.

Вот и заполнилась наша таблица, теперь можно внести данные на рисунок.

Что мы можем на нем отразить?

Молодец. Скорость передвижения мотоциклиста и велосипедиста.

Еще раз перечитаем задачу, посмотрим на рисунок и заполненную таблицу.

Какие данные не отражены ни в таблице, ни на рисунке?

Верно. Время, на которое мотоциклист приехал раньше, чем велосипедист. Мы знаем, что разница во времени – \( \displaystyle 156\) минут.

Что мы должны сделать следующим шагом? Правильно, перевести данное нам время из минут в часы, ведь скорость дана нам в км/ч.

\( \displaystyle 156\) минут / \( \displaystyle 60\) минут = \( \displaystyle 2,6\) часа.

И что дальше, спросишь ты? А дальше числовая магия!

Составление и решение уравнений – способ, приводящий к единственно верному ответу

Как ты уже догадался, сейчас мы будем составлять уравнение.

Почему? Потому что уравнение — это очень надежный способ решить задачу правильно и как это делать нужно знать!

Итак, будем составлять уравнение.

Взгляни на свою таблицу, на последнее условие, которое в нее не вошло и подумай, зависимость между чем и чем мы можем вынести в уравнение?

Правильно. Мы можем составить уравнение, основываясь на разнице во времени!

Логично? Велосипедист ехал больше, если мы из его времени вычтем время движения мотоциклиста, мы как раз получим данную нам разницу.

Это уравнение – рациональное. Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Рациональные уравнения».

Приводим слагаемые к общему знаменателю:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: Уф! Усвоил? Попробуй свои силы на следующей задаче.

Из этого уравнения мы получаем следующее:

Раскроем скобки и перенесем все в левую часть уравнения:

Вуаля! У нас простое квадратное уравнение. Решаем!

Мы получили два варианта ответа. Смотрим, что мы взяли за \( \displaystyle x\)? Правильно, скорость велосипедиста.

Вспоминаем правило «3Р», конкретнее «разумность». Понимаешь, о чем я? Именно! Скорость не может быть отрицательной, следовательно, наш ответ – \( \displaystyle 10\) км/ч.

Пример №9

Два велосипедиста одновременно отправились в \( \displaystyle 165\)-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на \( \displaystyle 5\) км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на \( \displaystyle 5,5\) часов раньше второго.

Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Все сделал? Молодец! У меня получилось, что скорость велосипедиста – \( \displaystyle 10\) км/ч.

Отвечайте точно на поставленный вопрос

– Какого цвета твоя машина?

Продолжим наш разговор. Так какая там скорость у первого велосипедиста? \( \displaystyle 10\) км/ч? Очень надеюсь, что ты сейчас не киваешь утвердительно!

Внимательно прочти вопрос: «Какая скорость у первого велосипедиста?»

Именно! Полученный \( \displaystyle x\) – это не всегда ответ на поставленный вопрос!

Вдумчиво читай вопросы — возможно, после нахождения \( \displaystyle x\) тебе нужно будет произвести еще некоторые манипуляции, например, прибавить \( \displaystyle 5\) км/ч, как в нашей задаче.

Еще один момент: часто в задачах все указывается в часах, а ответ просят выразить в минутах, или же все данные даны в км, а ответ просят записать в метрах.

Смотри за размерностью не только в ходе самого решения, но и когда записываешь ответы.

Задачи на движение по кругу

Тела в задачах могут двигаться не обязательно прямо, но и по кругу.

Например, велосипедисты могут ехать по круговой трассе. И при решении таких задач есть особенности, которые надо знать.

Разберем такую задачу.

Пример №10

Из пункта \( \displaystyle A\) круговой трассы выехал велосипедист. Через \( \displaystyle 40\) минут он еще не вернулся в пункт \( \displaystyle A\) и из пункта \( \displaystyle A\) следом за ним отправился мотоциклист.

Через \( \displaystyle 20\) минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через \( \displaystyle 40\) минут после этого догнал его во второй раз.

Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна \( \displaystyle 50\) км. Ответ дайте в км/ч.

Попробуй нарисовать рисунок к этой задаче и заполнить для нее таблицу. Вот что получилось у меня:

Пусть скорость велосипедиста будет \( \displaystyle x\), а мотоциклиста – \( \displaystyle y\). До момента первой встречи велосипедист был в пути \( \displaystyle 60\) минут, а мотоциклист – \( \displaystyle 20\).

При этом они проехали равные расстояния:

\( \displaystyle 60x=20y\ (1)\)

Между встречами велосипедист проехал расстояние \( \displaystyle 40x\), а мотоциклист – \( \displaystyle 40y\).

Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:

(Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили – спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.)

\( \displaystyle 40x+50=40y\ (2)\)

Полученные уравнения решаем в системе:

Ответ: \( \displaystyle 37,5\).

Разобрался? Попробуй решить самостоятельно следующие задачи:

Пример №11

Два мо­то­цик­ли­ста стар­ту­ют од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из двух диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных точек кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна \( \displaystyle 18\) км.

Через сколь­ко минут мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся в пер­вый раз, если ско­рость од­но­го из них на \( \displaystyle 36\) км/ч боль­ше скорости дру­го­го?

Решение:

Пусть \( \displaystyle x\) км/ч — ско­рость пер­во­го мо­то­цик­ли­ста, тогда ско­рость вто­ро­го мо­то­цик­ли­ста равна \( \displaystyle x+36\) км/ч. Пусть пер­вый раз мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся через \( \displaystyle t\) часов.

Источник