Как решить уравнение видео
Видеоурок «Решение задач с помощью уравнений»
В курсе школьной математики обязательно встречаются задачи. Некоторые из них решаются в несколько действий, а другие требуют некоторой головоломки, то есть составления и решения уравнения.
Решение задач с помощью уравнений вызывает немало затруднений у школьников, несмотря на то, что эта тема начинается ещё в младшей школе. Задачи, решаемые с помощью уравнения, только на первый взгляд трудные. Если потренироваться, то этот процесс дойдёт до автоматизма.
В решении задач с помощью уравнений необходимо соблюдать следующие правила: во-первых, записать условие задачи алгебраическим языком, таким образом, чтобы получить уравнение; во-вторых, упростить это уравнение до такого вида, в котором неизвестная величина будет стоять с одной стороны, а все известные величины — на противоположной стороне.
В этом уроке мы усовершенствуем навыки решения текстовых задач с помощью уравнений. Заметим, что не всегда корень составленного уравнения является ответом на вопрос задачи. В этом случае, чтобы ответить на вопрос задачи, надо с помощью найденных корней дополнительно выполнить необходимые преобразования. В этом нам помогут разобраться два друга — Саша и Паша.
Паша, заметив, что заплатил меньше денег за мороженое, чем Саша, захочет выяснить, сколько же стоит одна порция мороженого. Его лучший друг Саша согласится помочь.
Решив свою задачу, мальчишки поймут, что узнать, сколько стоит одна порция мороженого, можно было бы и другим способом. На этот вопрос ребятам поможет найти ответ умный Мудряш.
Мудряш с радостью научит решать задачи с помощью уравнений. При этом он не забудет показать, как составляют и решают уравнения. А чтобы мальчишки ещё лучше научились решать уравнения, Мудряш предложит им усовершенствовать свои знания при решении задач.
Решение уравнений
Урок 43. Математика 2 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Решение уравнений»
— Добрый день, мои дорогие друзья! Сегодня мы с вами будем учиться решать уравнения.
А что же такое уравнение?
Помните, в первом классе вы решали примеры, в которых были пропущены числа?
Для того, чтобы вставить число в таких примерах, надо было вспомнить состав чисел в пределах 10.
А теперь вместо окошечек вы будете записывать буквы латинского алфавита:
Эти буквы сейчас используют в английском, немецком, французском и многих других языках. Вот посмотрите, как будут выглядеть наши примеры, в которых вместо окошек появились латинские буквы:
Давайте среди приведённых записей найдём уравнение:
Вторая запись. Конечно, и эта запись не будет являться уравнением, ведь это неравенство.
Следующая запись. Это равенство и оно содержит латинскую букву. Значит, эту запись мы назовём уравнением.
И ещё одна запись. Конечно это не уравнение, ведь эта запись не является равенством.
Итак, среди приведённых записей уравнением является третья запись. Давайте попробуем его решить.
А что значит «решить уравнение»?
Те уравнения с окошечками, которые были в первом классе, решать было легко. Выучил состав чисел в пределах 10, и подставляй нужное число. А вот если уравнение с двузначными числами, или с трёхзначными? Тут знание состава однозначных чисел нам не поможет.
Как же найти для решения нашего уравнения такое число, при котором получится верное равенство, т.е. найти корень уравнения?
Конечно, для того, чтобы найти верный способ решения уравнений, необходимо помнить правила:
· Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
· Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
· Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Сейчас попробуем решить наше уравнение 45 + x = 68.
В этом уравнении неизвестным является слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
Давайте выполним проверку, уточним, верно ли мы нашли неизвестное число.
Вновь записываем наше уравнение, но вместо буквы икс пишем число 23:
Слева и в справа получили одно и тоже число значит, уравнение решено верно.
Как я уже говорила, для того:
· Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
· Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
· Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
То есть, надо знать три правила. Но я вам предлагаю ещё один способ выбора действия при решении уравнений.
Представьте себе яблоко. Сейчас оно целое. А если мы его разрежем и отодвинем одну часть, у нас останется вторая часть. Отодвигая, мы выполняли действие вычитание. Значит, чтобы найти часть, надо выполнить действие вычитание. А теперь давайте вернём назад нашу часть. У нас опять получилось целое яблоко. Чтобы получить целое яблоко, мы сложили части. А теперь представим себе это схематически:
Теперь все наши уравнения мы будем соотносить с полученными схемами.
Вот, например, такое уравнение:
Давайте проверим. Записываем наше уравнение, только вместо буквы запишем полученное число, получаем:
В нашем уравнении было неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Это мы и сделали.
Решим ещё одно уравнение:
Уравнение решено верно, то есть найден корень уравнения. Он равен 46.
В этом уравнении нам были известны вычитаемое и разность. Неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое. Что мы и сделали.
Ну и давайте решим ещё одно уравнение:
В этом уравнении, как и в предыдущем также выполняется вычитание. Но здесь известно уменьшаемое и разность, а неизвестно вычитаемое. Опять подставляем уравнение к схеме. Нам надо найти вычитаемое, т.е. часть. А как его найти? Часть всегда находится вычитанием. Надо из целого, т.е. уменьшаемого вычесть часть, т.е. разность.
Получили верное равенство. Значит, уравнение решено верно, и число 50 является корнем уравнения. Нам надо было найти неизвестное вычитаемое, и мы из уменьшаемого вычитали разность.
Уравнения мы решили, а теперь давайте повторим то, что вы сегодня узнали на уроке.
При решении уравнений необходимо знать правила:
· Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
· Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
· Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Для того чтобы безошибочно решать уравнения запомните наши схемы. Они всегда подскажут вам, какой способ решения уравнений нужно выбрать. Если надо найти целое, мы выполняем действие сложение. А если часть, то вычитание. А теперь обратите внимание на алгоритм решения уравнений:
2) Применить правило нахождения неизвестного:
· Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
· Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
· Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Выполнить действие и получить корень уравнения.
3) Выполнить проверку.
Постарайтесь запомнить все эти правила и тогда вы без труда сможете решать уравнения, т.е. находить их корни.
А я прощаюсь с вами и желаю вам в этом успехов при решении уравнений.
Решение простых линейных уравнений
В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.
Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?
— такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.
Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:
Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:
А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.
Примеры решения уравнений
Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.
Решаются такие конструкции примерно одинаково:
Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.
В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».
Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.
Схема решения простейших линейных уравнений
Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:
Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.
Решаем реальные примеры простых линейных уравнений
Задача №1
На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:
Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:
Вот мы и получили ответ.
Задача №2
\[5\left( x+9 \right)=5x+45\]
В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:
И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:
Задача №3
Третье линейное уравнение уже интересней:
\[\left( 6-x \right)+\left( 12+x \right)-\left( 3-2x \right)=15\]
Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:
Выполняем второй уже известный нам шаг:
Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:
Что необходимо помнить при решении линейных уравнений
Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:
Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.
Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные. А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.
Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.
Решение сложных линейных уравнений
Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.
Пример №1
\[12-\left( 1-6x \right)x=3x\left( 2x-1 \right)+2x\]
Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:
\[12-\left( x-6x\cdot x \right)=3x\cdot 2x-3x+2x\]
Теперь займемся уединением:
Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:
Пример №2
\[8\left( 2x-1 \right)-5\left( 3x+0,8 \right)=x-4\]
Выполняем те же действия. Первый шаг:
\[8\cdot 2x-8-\left( 5\cdot 3x+5\cdot 0,8 \right)=x-4\]
\[16x-8-\left( 15x+4 \right)=x-4\]
Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:
Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:
Нюансы решения
Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.
Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:
\[12-\left( 1-6x \right)x=3x\left( 2x-1 \right)+2x\]
Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое. Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.
И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.
Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:
\[8\left( 2x-1 \right)-5\left( 3x+0,8 \right)=x-4\]
Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.
Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.
Решение ещё более сложных линейных уравнений
То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.
Задача №1
\[\left( 7x+1 \right)\left( 3x-1 \right)-21<
Давайте перемножим все элементы в первой части:
Давайте выполним уединение:
Выполняем последний шаг:
Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.
Задача №2
\[\left( 1-4x \right)\left( 1-3x \right)=6x\left( 2x-1 \right)\]
Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:
А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:
Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:
Приводим подобные слагаемые:
Мы вновь получили окончательный ответ.
Нюансы решения
Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.
Об алгебраической сумме
Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.
В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.
Решение уравнений с дробью
Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:
Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.
Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:
Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.
Пример №1
Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:
Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:
\[\left( 2x+1 \right)\left( 2x-3 \right)=\left( <
Выполняем уединение переменной:
Выполняем приведение подобных слагаемых:
Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.
Пример №2
Здесь выполняем все те же действия:
Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.
Ключевые моменты
Ключевые выводы следующие:
Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!
Решение уравнений
Урок 34. Математика 3 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Решение уравнений»
Сегодня я хочу вам напомнить о том, что такое уравнения, и как решать уравнения, в которых стоят знаки умножения и деления. А начну я с того, почему уравнение так называется.
Уравнение – это математическое равенство, в котором есть одно или даже несколько неизвестных. Эти неизвестные обычно обозначаются буквами латинского алфавита (а + 12 = 17, 78 – в = 24, с – 32 = 19, х × 4 = 56, 98 : у = 7, k : 3 = 19, 3z – 2r = 2).
Видите, во всех этих записях стоит знак равно.
Это значит, что при решении уравнений надо найти такое значение неизвестного, при котором левая часть уравнения будет равна правой.
Вы уже умеете решать уравнения, в которых стоят знаки плюс или минус. Помните, для решения таких уравнений мы пользуемся правилами:
* Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
* Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.
* Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
А ещё решать уравнения нам помогали схемы.
На первой из них видно, что слагаемые являются частями. Поэтому их мы находим вычитанием. Ведь если нам, например, надо взять часть яблока или груши, мы её отрежем, то есть вычтем.
А вот сумма – это целое, получить которое можно сложением частей.
Вторая схема нам подсказывает, что целым является уменьшаемое. А так как это целое, то его мы будем находить действием сложения. А вот вычитаемое – часть, поэтому его мы найдём вычитанием.
А как же решать уравнения, если в них не действия сложения или вычитания, а умножение и деление? Вот, например, такое уравнение.
В нём надо найти такое значение икс, при умножении которого на четыре получится пятьдесят шесть. Ещё во втором классе мы с вами говорили о связи между компонентами и результатом действия умножения:
Если произведение двух множителей разделить на один из них, то получится другой множитель.
Значит, неизвестный множитель надо находить действием деления. Найдём его. Решение будем записывать под уравнением.
Пишем: икс равен частному чисел пятьдесят шесть и четыре. Так-так, надо посчитать. Все расчёты можно записывать справа от уравнения.
Пятьдесят шесть это сорок и шестнадцать. Делим каждое на четыре. Десять и четыре. Четырнадцать. Отступаю клеточку вниз и пишу: икс равен четырнадцати. Но, конечно, не забываю и про проверку. Черта, под которой пишу наше уравнение точно такое же, как оно было записано в верхней строчке, только вместо буквы подставляю её значение. Получился решённый пример. Но мы обязательно должны проверить, правильно ли он решён. Для этого выполним действие, которое находится слева от знака равно. Умножим четырнадцать на шесть.
Полученное число пишем внизу под левой частью уравнения. А число из правой части уравнения просто переносим. Видите, результат действия в левой части и правая часть между собой равны. Значит, уравнение решено верно. Корень уравнения равен четырнадцати.
А как же решать уравнения, в которых стоит знак деления?
И тут нам на помощь придут правила связи между компонентами и результатом действия деления.
Вот посмотрите на это уравнение.
В нём неизвестно делимое. Вспоминаем правило: Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Принимаемся за работу. К равно девятнадцать умножить на три. Получилось пятьдесят семь. Значит, k равно пятидесяти семи.
Подчёркиваю, и списываю наше уравнение, заменив букву k полученным значением. А теперь обязательно выполняю действие из левой части нашего уравнения. Пятьдесят семь разделить на три. Получилось девятнадцать. И справа тоже число девятнадцать. Есть равенство. Значит, уравнение решено верно и корень его равен пятидесяти семи.
А если в уравнении на деление надо найти неизвестный делитель, как вот в этом уравнении?
И вновь на помощь приходит правило: Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
Решаем уравнение: 98 : у = 7.
Игрек равен частному чисел девяносто восемь и семь. Игрек равен четырнадцати. Проверяем. Записываем уравнение, заменив букву на число четырнадцать. Здесь придётся воспользоваться методом подбора, то есть умножить четырнадцать на такое однозначное число, чтобы в ответе получилось девяносто восемь. Но, так как справа записано число семь, попробую-ка я сразу умножить четырнадцать на семь. Отлично, произведение чисел четырнадцать и семь равно девяносто восьми. Все получилось. Корень уравнения равен четырнадцати.
Для решения этих уравнений мы воспользовались правилами связи между компонентами и результатом действий умножения и деления.
* Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
* Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
* Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Но вот некоторым ребятам бывает трудно запоминать все правила. А нельзя ли воспользоваться какой-нибудь короткой схемой, как мы это сделали при решении уравнений на сложение и вычитание? А почему бы и нет.
Для решения уравнений с действием умножения воспользуемся схемой, которой пользовались при решении уравнений, в которых стоит знак плюс. А для решения уравнений с действием деления воспользуемся схемой, которой пользовались при решении уравнений, в которых стоит знак минус. Просто заменим в схемах знаки.
Посмотрите, в первой схеме множители – это части, а произведение – целое. Части мы будем находить действием, обратным умножению – делением. А ведь наше правило об этом и говорит.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
Вот, допустим, надо решить такое уравнение: три умножить на икс равно тридцать шесть.
Подставляем его в нашу схему.
Икс – это часть. Находим делением. Икс равен двенадцати. Проверяем. Умножаем три на двенадцать. Тридцать шесть. И справа тридцать шесть. Уравнение решено верно. Схема работает!
А теперь проверим вторую схему. Игрек разделить на семь равно одиннадцать
Подставили его в схему.
Найти надо делимое. Это целое. Находим умножением. И правило об этом говорит.
Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
И здесь схема сработала. А справится ли наша схема с неизвестным делителем, попробуйте проверить сами. Решите вот это уравнение.
Ну вот и всё. Пришла пора нам с вами прощаться. Но я думаю, вы запомните правила, которые помогут вам решить любое уравнение.
* Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
* Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
* Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
А если вдруг забудете его, вы всегда сможете воспользоваться схемами.
А я сегодня прощаюсь с вами. До встречи, ребята!