Как решить тригонометрическое уравнение
Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!
Привет, самый лучший ученик во Вселенной!
Сегодня мы с тобой изучим, как решать одну из разновидностей уравнений – тригонометрические. Мы решим 39(!) примеров, от самых простых, до самых сложных.
И станем на шаг ближе к заветной цели – сдать ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!
Тригонометрические уравнения — коротко о главном
Тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.
Существует два способа решения тригонометрических уравнений:
Первый способ – с использованием формул.
Второй способ – через тригонометрическую окружность.
Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.
Чтобы уметь решать тригонометрические уравнения необходимо знать как минимум следующее:
Если ты что-то не знаешь, повтори следующие разделы:
Этого будет вполне достаточно. Если это по ходу моего повествования окажется не так, то не сердись, придётся вспомнить что-нибудь ещё, не упомянутое здесь.
Простейшие тригонометрические уравнения
Что же это такое, как ты думаешь? Является ли, например, уравнение
Ты и сам прекрасно понимаешь, что нет! Потому что ни одной тригонометрической функции \( \displaystyle \left( sin x,cos x,tg x,ctg x \right)\) в нём и в помине нет!
А что насчёт вот такого уравнения?
И опять ответ отрицательный!
Это так называемое уравнение смешанного типа.
Оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную (\( \displaystyle 3x\)).
Некоторые типы подобных уравнений мы будем с тобой решать в следующих раздела этой статьи.
Но вернёмся к вопросу: «Что же такое тригонометрические уравнения?»
Тригонометрические уравнения –это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции!
Однако для начала мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:
Где \( \displaystyle a\) – некоторое постоянное число.
Например: \( \displaystyle 0,5;
\( \displaystyle f\left( x \right)\) – некоторая функция, зависящая от искомой переменной \( \displaystyle x\), например \( \displaystyle f\left( x \right)=x,
f\left( x \right)=\frac<\pi x><7>\) и т. д.
Такие уравнения называются простейшими!
Основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!
Для этого, как правило, используют аппарат, который я описал в разделе «Формулы тригонометрии«
Так что очень важно, я бы даже сказал, жизненно необходимо научиться решать простейшие уравнения, ибо они – фундамент для решения сложных примеров.
Как часто тригонометрические уравнения встречаются на ЕГЭ?
Тригонометрические уравнения могут встретиться до четырех раз в заданиях ЕГЭ. Это может быть:
Так что, как ты понимаешь, при некоторых раскладах, навык решения данного вида уравнений может добавить в твою копилку аж 5 первичных баллов из 32!
Два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу
В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы.
Тут решать тебе самому, однако я всё же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.
Вначале мы начнём с «самых простейших» из простейших уравнений вида:
Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:
То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:
\( \displaystyle cos\left( 3
\( \displaystyle sin\left( 2<
Корней не имеют.
Потому что они «не попадают» в промежуток от минус единицы до плюс единицы.
Ещё раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок.
Для остальных же случаев тригонометрические формулы такие как в этой таблице.
На самом деле в этой таблице данных немного больше, чем нужно.
Тебе нужно лишь запомнить первые два её столбца, другие столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений.
Я, допустим, никогда не утруждаю себя их запоминанием, а вывожу ответ из основных формул.
Глядя на таблицу, не возникло ли у тебя пары вопросов?
У меня бы возникли вот какие:
Что такое \( \displaystyle n\) и что такое, например \( \displaystyle arcsin\alpha
Отвечаю на все по порядку:
В чем уникальная особенность тригонометрических уравнений перед всеми остальными, которые ты изучал?
ОНИ ИМЕЮТ БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ.
И число \( \displaystyle n\) и служит для обозначения этой «бесконечности».
Конечно, вместо \( \displaystyle n\) можно писать любую другую букву, только не забывай добавить в ответе: \( \displaystyle n\in Z\) – что означает, что \( \displaystyle n\) – есть любое целое число.
Теперь насчёт арксинуса и других «арок». Вообще, так записываются обратные тригонометрические функции и понимать, скажем, \( \displaystyle arcsin\alpha \) надо как «угол, синус которого равен \( \displaystyle \alpha \)«
Алгоритм вычисления арксинусов и других «арок»
Вот простой пример вычисления аркосинуса:
\( \displaystyle \arccos \left( \frac<\sqrt<3>> <2>\right)\)
\( \displaystyle \frac<\pi ><6>\) и \( \displaystyle \frac<\pi ><3>\).
Если «арка» берется от отрицательного числа?
Всё ли я сказал про «арки»? Почти что да! Остался вот какой момент.
Что делать, если «арка» берётся от отрицательного числа?
Лезть в таблицу – как бы не так! Для арок выполняются следующие формулы:
И внимание.
Чтобы запомнить, ориентируемся на обычные тригонометрические функции: грубо говоря, синус и тангенс мы смотрим на тригонометрической окружности по вертикальной оси, а косинус и котангенс – по горизонтальной.
Соответственно, для арксинуса и арктангенса выбираем две четверти по вертикали: первую и четвёртую (минусик выносится из аргумента и ставится перед функцией), а для арккосинуса и арккотангенса – по горизонтали: первую и вторую.
В первой и второй четвертях аргумент уже не может быть отрицательным, поэтому и получаются формулы не совсем похожими.
Ну всё, теперь мы можем приступать к решению простейших уравнений!
Решение 11-ти простейших тригонометрических уравнений
Уравнение 1. \( \displaystyle sin\left( x \right)=0,5\)
Запишу по определению:
Всё готово, осталось только упростить, посчитав значение арксинуса.
Как решить тригонометрическое уравнение
Методы решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод.
( метод замены переменной и подстановки ).
2. Разложение на множители.
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.
3. Приведение к однородному уравнению.
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
1) tan x = –1, 2) tan x = –3,
4. Переход к половинному углу.
5. Введение вспомогательного угла.
