Как решить смешанные числа
Смешанные дроби
Что такое смешанная дробь
Число, содержащее в себе целую и дробную части, называется смешанной дробью.
По сути, данное понятие представляет собой сумму целого числа и правильной дроби:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Превращение смешанной дроби в неправильную
Любое смешанное число можно преобразовать в неправильную дробь. Для этого необходимо к произведению целой части и знаменателя дробной части прибавить числитель. Полученная сумма будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.
Преобразование смешанной дроби в неправильную можно записать в виде формулы:
Выполнение действий со смешанными дробями, формулы и примеры
Сложение
Чтобы посчитать сумму смешанных дробей необходимо отдельно сложить их целые компоненты и дробные составляющие. Правильные дроби в составе смешанных чисел суммируются при помощи приведения к наименьшему общему знаменателю.
Формульное выражение сложения смешанных чисел:
\(a\frac bc+d\frac ef=\left(a+d\right)+\left(\frac bc+\frac ef\right)\)
Вычисляем наименьший общий знаменатель дробных слагаемых:
Вычитание
Чтобы из одной смешанной дроби вычесть другую, нужно дробные компоненты уменьшаемого и вычитаемого привести к минимальному общему знаменателю, затем выполнить вычитание отдельно целых и дробных частей.
Формула для ситуации, когда дробь в составе уменьшаемого больше, чем дробная часть вычитаемого:
\(a\frac bc-d\frac ef=\left(a+\frac bc\right)-\left(d+\frac ef\right)\;=\left(a-d\right)+\left(\frac bc-\frac ef\right)\)
В случае, когда дробь в составе уменьшаемого меньше дроби в составе вычитаемого, необходимо меньшую дробь превратить в неправильную, отняв единицу от целой части уменьшаемого, то есть:
\(a\frac bc-d\frac ef=\left(\left(a-d\right)-\frac ef\right)+\frac bc\)
Для решения этого выражения найдем наименьший общий знаменатель:
8=2×2×2, следовательно, 8 — это наименьший общий знаменатель.
Умножение и деление
Перед тем, как умножать или делить смешанные числа, необходимо преобразовать их в неправильные дроби. После этого можно производить нужное действие по правилам умножения и деления обыкновенных дробей.
Формула умножения смешанных чисел выглядит так:
Формула деления смешанных дробей:
При умножении смешанной дроби на натуральное число преобразование в неправильную дробь делать не нужно. Такого рода вычисления производятся с помощью распределительного закона умножения.
Если требуется разделить смешанную дробь на натуральное число или натуральное число на смешанную дробь, нужно представить делимое и делитель в виде неправильной дроби, затем выполнить необходимое действие, как с обыкновенными дробями.
Если нужно выполнить умножение или деление смешанной дроби на обыкновенную дробь, смешанное число необходимо преобразовать в неправильную дробь. После преобразований нужное действие производится по такому же алгоритму, как с обыкновенными дробями.
Сложение дробей: теория и практика
Понятие дроби
Дробь — одна из форм записи частного чисел a и b, представленная в виде a/b. Существует два формата записи:
Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между ними означает деление.
Дроби бывают двух видов:
Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 − 0,2)/15.
Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x − y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.
Неправильной называют такую дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1/4.
Основные свойства дробей
Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.
Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Онлайн-школа Skysmart приглашает детей и подростков на курсы по математике — за интересными задачами, новыми прикладными знаниями и хорошими оценками!
Как плюсовать дроби
Сложение — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число. Оно содержит в себе сумму заданных чисел.
Свойства сложения
Давайте рассмотрим несколько вариантов сложения обыкновенных дробей.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы получить сумму двух дробей с равными знаменателями, нужно сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.
Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь.
Сложение дробей с разными знаменателями
Как складывать дроби с разными знаменателями — для этого нужно найти наименьший общий знаменатель (далее — НОЗ), а затем воспользоваться предыдущим правилом. Вот, что делать:
1. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей (далее — НОК) для определения единого делителя.
Для этого записываем в столбик числа, которые в произведении дают значения знаменателей складываемых дробей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (15, 18) = 3 × 2 × 3 × 5 = 90
2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:
Полученные числа записываем справа сверху над числителем.
3. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.
4. Проверим полученный результат:
Еще раз ход решения одной строкой:
Сложение смешанных чисел
Сложение смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:
1. Сложить целые части.
2. Сложить дробные части.
Если знаменатели разные, воспользуемся знаниями из предыдущего примера и приведем к общему.
3. Суммируем полученные результаты.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.
Прибавление и вычитание дробей — смежные темы: принципы и закономерности очень похожи. Чтобы закрепить знания, тренируйтесь решать примеры на сложение дробей как можно чаще.
Вычитание смешанных чисел: правила, примеры, решения
Вычитание смешанных чисел
Нам известно, что любое смешанное число возможно представить, как сумму его целой и дробной части, тогда получим:
Свойства действий сложения и вычитания дают возможность выполнить вычисление полученного выражения различными способами. Опираясь на значения дробных частей смешанных чисел
Решение
Решение
Решение
Вычитание обыкновенной дроби из смешанного числа
Схема вычитания правильной дроби из смешанного числа такая же, как при действии вычитания смешанных чисел.
Решение:
Решение
Тогда находить разницу будем так:
Добавим еще одну, в общем очевидную деталь вычислений: если дробная часть смешанного числа равна вычитаемой дроби, то итогом вычисления будет число, равное целой части уменьшаемого смешанного числа. К примеру:
Чтобы вычесть неправильную дробь из смешанного числа, необходимо выделить целую часть из неправильной дроби, а затем производить вычисление.
Решение: вычитаемая дробь является неправильной, выделим из нее целую часть и получим: 19 9 = 2 1 9
Приведем к общему знаменателю дробные части заданных чисел и согласно указанным выше схемам произведем вычитание смешанных чисел:
Вычитание натурального числа из смешанного
Вычитание смешанного числа из обыкновенной дроби
Очевидно, что любое заданное смешанное число будет больше единицы. Уменьшаемая дробь должна быть больше вычитаемого, тогда эта дробь – неправильная. Необходимо выделить целую часть из неправильной дроби, и далее выполнение действия вычитания смешанного числа из обыкновенной дроби сведется к вычитанию смешанных чисел.
Решение
Вычитание смешанного числа из натурального
Чтобы произвести действие вычитания смешанного числа из натурального, сначала от натурального числа отнимаем целую часть смешанного, после чего из полученного результата вычитаем дробную часть:
Необходимо вычесть из натурального числа 18 смешанное число.
Решение
Смешанные дроби или смешанные числа.
Смешанные дроби в математике можно получить одним из способов, например, из неправильной дроби или путем сложения дробей и еще много вариантов, когда вы сможете столкнуться со смешанной дробью.
Как сделать из неправильной дроби правильную дробь?
Рассмотрим неправильную дробь \(\frac<21><9>\)
Дробная черта — это деление, поэтому число 21 поделим на 9 столбиком.
После деления столбиком у нас появились неполное частное, его записываем в целую часть дроби. Остаток записываем в числитель, а делитель записываем в знаменатель.
Получаем дробь \(2\frac<3><9>\), такие дроби называются смешанными. В этой смешанной дроби число 2 – целая часть, а \(\frac<3><9>\) – правильная дробь.
Смешанные дроби состоят из целой и дробной части.
Рассмотрим еще одну неправильную дробь \(\frac<76><5>\)
Разделим ее столбиком:
Получили смешанную дробь \(15\frac<1><5>\)
Как смешанную дробь перевести в неправильную дробь?
Чтобы из смешанной дроби сделать неправильную дробь нужно знаменатель умножить на целую часть и сложить с числителем, получим числитель неправильной дроби. А знаменатель остается без изменения. Рассмотрим пример:
Вопросы по теме:
Смешанная дробь может быть меньше единицы?
Ответ: нет, потому что смешанную дробь можно представить в виде неправильной дроби, а неправильная дробь всегда больше или равна единицы.
Что показывает целая часть у смешанной дроби?
Ответ: целая часть показывает сколько полных знаменателей содержит дробь.
Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?
Ответ: к произведению знаменатели и целой части прибавить числитель получим числитель искомой неправильной дроби, а знаменатель не меняется.
Как перевести неправильную дробь в смешанное число? И как выделить целую часть?
Ответ: делим в столбик числитель на знаменатель, неполное частное – это целое, делитель – это знаменатель, а остаток – это числитель. Смотрите пример выше.
Что такое смешанные дроби или смешанные числа?
Ответ: Смешанные дроби – это числа, которые состоят из целой и дробной части.
Пример №1:
Представьте дробь в виде смешанного числа: \(\frac<508><17>\)
Решение:
Разделим дробь столбиком:
Ответ: Получили смешанную дробь \(29\frac<15><17>\)
Пример №2:
Представьте число в виде неправильной дроби: а) \(9\frac<2><3>\), б) \(1\frac<3><7>\)
Решение:
а) \(9\frac<2> <3>= \frac<9 \times 3 +2> <3>= \frac<29><3>\\\\\)
б) \(1\frac<3> <7>= \frac<1 \times 7 +3> <7>= \frac<10><7>\\\\\)
Задача №1:
Миша готовился к экзамену. За месяц он решил 120 задач. За первую неделю Миша решил \(\frac<2><5>\) от этого числа. Сколько задач решил Миша за первую неделю?
Решение:
У нас есть дробь \(\frac<2><5>\), знаменатель равен 5 это значит, что общее число 120 надо разделить на 5 и получим сколько составляет одна часть.
\(120 \div 5 = 24\) задачи это одна часть или \(\frac<1><5>\)
В числителе стоит 2, значит нам надо взять две части, поэтому 24 умножаем на 2.
\(24 \times 2 = 48\) задач
Ответ: за неделю Миша решил 48 задач.
Урок 13 Бесплатно Сложение и вычитание смешанных чисел
В этом уроке мы научимся складывать два смешанных числа.
Также мы узнаем, как вычесть из одного смешанного числа другое, а еще разберемся со сложением и вычитанием десятичных дробей и смешанных чисел.
Понятие смешанного числа
Для начала давайте вспомним само понятие смешанного числа.
Сложение дроби и натурального числа
Для начала важно знать, как прибавлять к натуральному числу дробь.
Например, задача состоит в том, чтобы прибавить к числу 5 дробь \(\mathbf<\frac<2><3>>\).
В этом случае результатом сложения будет по сути приписывание к натуральному числу дробной части, то есть \(\mathbf<5\frac<2><3>>\)
Отдельно стоит отметить, что если дробь больше единицы, то есть неправильная, то после прибавления надо выделить целую часть.
Для этого надо поделить нацело числитель на знаменатель, частное прибавить к целой части, а остаток записать в дробную часть.
Рассмотрим такой пример:
Для начала просто приписываем дробную часть:
4 при делении на 3 дает частное 1 и остаток, тоже равный 1.
Тогда по описанному алгоритму новая целая часть будет равна 7, а дробная \(\mathbf<\frac<1><3>>\):
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Сложение двух смешанных чисел
Представим, что надо сложить два смешанных числа: \(\mathbf<5\frac<1><3>>\) и \(\mathbf<2\frac<2><5>>\).
Алгоритм заключается в том, чтобы работать с целой и дробной частью смешанных чисел по отдельности.
Сначала сложим целые части: 5 и 2 в сумме дают 7.
1 домножим на 5
4 домножим на 3
Получилась сумма, равная \(\mathbf<\frac<17><15>>\)
Теперь прибавим к ней сумму целых частей и получим ответ на этот пример:
Остается избавиться от появившейся в дробной части неправильной дроби: поделим 17 нацело на 15, частное прибавим к целой части, остаток запишем в числителе дробной части:
На основе проделанных действий, сформулируем алгоритм сложения двух смешанных чисел.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Теперь рассмотрим два более простых случая.
Сложение смешанного числа и дроби
В этом случае у одного из чисел нет целой части и надо просто сложить дробные части, а результат этого сложения прибавить к целой части того числа, у которого она есть.
Например, нам надо сложить \(\mathbf<5\frac<1><6>>\) и \(\mathbf<\frac<2><3>>\)
Сумма дробных частей будет равна \(\mathbf<\frac<5><6>>\):
Дальше прибавляем полученную сумму к имеющейся целой части:
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Сложение смешанного и натурального числа
Здесь все делается аналогично: разбиваем смешанное число на целочисленную часть и дробную.
Целую часть складываем с натуральным числом.
К полученному результату прибавляем дробную часть от смешанного числа.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Вычитание смешанных чисел
После того, как мы разобрались со сложением смешанных чисел, возникает естественное любопытство: как делать вычитание смешанных чисел.
Вычитание смешанных чисел можно разделить на два случая: в одном дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого, во втором наоборот.
Рассмотрим первый случай.
Допустим, мы хотим вычесть из числа \(\mathbf<6\frac<3><4>>\) число \(\mathbf<2\frac<2><3>>\)
Как и в случае со сложением, будем отдельно работать с целыми и дробными частями смешанного числа.
Теперь вычтем из дробной части первого числа- \(\mathbf<\frac<3><4>>\) дробную часть второго- \(\mathbf<\frac<2><3>>\).
Делаем это по уже знакомому алгоритму вычитания дробей:
Осталось сложить результат действий над целыми и дробными частями.
Это и есть решение нашего примера.
Во втором случае (когда дробная часть первого числа меньше дробной части второго числа) перед тем как выполнять алгоритм, для дробной части первого числа необходимо «занять» единицу из целой части.
Например, мы хотим вычесть из числа \(\mathbf<3\frac<1><3>>\) число \(\mathbf<1\frac<2><3>>\).
Тогда уменьшим целую часть первого числа на единицу, а к числителю прибавим знаменатель.
Дальше проделаем все шаги, что описаны выше:
Подведем итог проделанным действиям и сформулируем алгоритм:
Первый пример иллюстрирует случай, когда надо «занимать» единицу в уменьшаемом.
Также он показывает, что если целые части получились одинаковыми, то целая часть результата будет отсутствовать.
Второй пример наглядно объясняет, почему имеет смысл сначала упростить дроби (в данном случае вторую), а потом уже считать результат операций.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации