Как решить неравенство параболой

Квадратные неравенства.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Подготовка заключается в тождественных преобразованиях неравенств. Прогуляйтесь по ссылке, если хотите узнать главную ошибку учеников при решении любых неравенств.) Там всё просто. Да и полезная информация по неравенствам имеется.

Решение квадратных неравенств. Примеры.

Решение будем разбирать на конкретных примерах. Сразу обрадую: любые квадратные неравенства решаются так, как написано далее. Любое решение состоит из трёх шагов. Первый пример я распишу очень подробно. Для понимания. Кто осилит решение до конца, получит приятный бонус.)

1. Решить неравенство:

Первый шаг решения.

Первый шаг всегда одинаков и прост до ужаса.) Делаем из неравенства уравнение:

Решаем это уравнение.

Знак неравенства на этом этапе нас совершенно не интересует.

Решаем, как обычно, без всяких фокусов, через дискриминант. Получаем корни:

Первый шаг сделан. Можно передохнуть.) Сейчас начнётся самое интересное.

Второй шаг решения.

На этом шаге мы ничего решать не будем. Мы будем рисовать.) Да-да! Квадратные неравенства, как правило, решаются графически.

Знак неравенства и на этом этапе нас совершенно не интересует.

Слово «парабола» вам знакомо?) Вам повезло. В этом случае специально запоминать ничего не придётся. Один раз разобраться, и проблем не будет. В противном случае придётся запомнить алгоритм решения механически. Алгоритм приведён ниже.

Итак, на первом шаге мы из неравенство сделали уравнение. Решили его. На втором шаге из уравнения сделаем параболу:

Нарисуем эту параболу на графике. Вот такая она получится:

Если возьмём любую точку левее х=2, например х₂, то соответствующий ему у₂ будет положительный. Если возьмём точку х₁ ещё левее, то пунктир пересечёт график далеко вверху, за пределами картинки, но игрек будет всё равно положительный.

Если мы возьмём икс правее точки х=6, скажем, х₅, снова получим положительный у₅.

Аналогичная картина получится, если мы возьмём любой икс, больше (правее) шестёрки. Эти области на графике отмечены знаком «плюс»

А вот если мы возьмём любой икс в промежутке между 2 и 6, получим игрек отрицательный. Следовательно, при таких иксах, наше выражение меньше нуля.

Вот, практически и всё. На этом шаге мы руками нарисовали график, глазами увидели параболу, головой сообразили где какие знаки.) Осталось всего ничего.

Третий шаг решения.

На последнем шаге нужно вспомнить, что нам НЕ сказано было «решать уравнение». НЕ сказано было «строить график». Это, всего лишь, наши подручные средства.

Нам было сказано: решать квадратное неравенство!

Знак неравенства на этом этапе играет главную роль!

Смотрим на исходное неравенство:

Нам нужно найти все иксы, при которых выражение в левой части неравенство больше, либо равно нулю. А чего их искать? Мы уже всё нашли.) Смотрим на график и видим, что это условие выполняется в областях, где стоит знак «+», (игрек больше нуля) и в точках х=2 и х=6 (игрек равен нулю).

Остаётся просто записать ответ.

Собственно, это и есть третий шаг решения любого квадратного неравенства.)

Вот и записываем окончательный ответ:

х ∈ (-∞; 2] ∪ [6; +∞)

Отмечу один полезный момент в графическом методе. На втором шаге мы определили все области для всех знаков. Махом. Что это значит? А то, что если бы у нас было неравенство противоположного смысла, т.е:

Ещё раз повторю: так решаются все квадратные неравенства. В три шага.

Что, долго? График строить, то, сё.

Спокойствие! Обещанный бонус резко упростит жизнь!)

Всё гораздо проще!

Для тех, кто героически добрался до этих строк и понял смысл использования параболы.) Сейчас, прямо на ваших глазах, я упрощу второй шаг решения до шести секунд. Без потери качества.)

Предположим, что вы сделали первый шаг и правильно решили квадратное уравнение. Теперь надо рисовать наш график:

Собственно, этот процесс и напрягает.) Но. Математики (вы удивитесь!) тоже люди.) И тоже не любят лишнюю работу. Смотрим на график, и соображаем: без чего на этой картинке можно обойтись?

Не нужна нам ось ОУ. Её наличие никак не сказывается на правильном решении.

Нужна ли нам математически точная форма параболы?

Не нужна. Точная форма никак не сказывается на правильном решении.

Наводим мышку на график и. видим рисунок, который много проще графика. Рисуется за несколько секунд. На этом неказистом рисунке есть вся необходимая информация для верного ответа. И ничего лишнего.

Выделю главные элементы рисунка, которые необходимы для верного решения:

1. Ось иксов требуется, да. )

2. Корни соответствующего квадратного уравнения. Они отмечаются точками на оси. Точки могут быть чёрные, закрашенные (как в нашем случае), или белые, пустые внутри, как будет в следующем примере. Пустые внутри точки ещё называются выколотые точки. Чёрные точки ставятся для нестрогих неравенств (≤; ≥). Они визуально напоминают нам, что корни включаются в ответ. Выколотые точки ставятся для строгих неравенств ( ; ≠) и напоминают, что корни в ответ не включаются.

3. Схематичный рисунок параболы. Здесь важно только одно: куда направлены ветви параболы, вверх или вниз.

Сейчас можно записать алгоритм решения квадратных неравенств по схематичному рисунку. Собственно, это те же самые три шага, только более подробно.

Алгоритм решения квадратных неравенств.

1. Подготавливаем неравенство к решению путём тождественных преобразований. Если неравенство уже готово, этот пункт пропускаем.

2. Делаем из неравенства уравнение. Решаем его, находим корни.

4. Схематично рисуем параболу по исходному выражению.

5. Определяем области +/- на рисунке. Выбираем нужные области по исходному неравенству и записываем ответ.

Потренируемся в применении алгоритма?)

-x 2 +3x > 0

Первый пункт пропускаем. Неравенство уже готово к решению.

Второй пункт. Делаем из неравенства уравнение:

Решаем (любым способом), находим корни:

Третий пункт. Рисуем ось иксов, отмечаем на ней корни уравнения:

Четвёртый пункт. Рисуем (схематично!) параболу:

Парабола будет вверх ногами, извиняюсь, вниз ветвями.) Это потому, что в исходном выражении перед x 2 стоит минус. Минус перед одночленом с квадратом икса всегда переворачивает параболу.

Пятый пункт. Определяем области «+» и «-» на рисунке. Смотрим на исходное неравенство и соображаем, какое условие должно выполняться: больше нуля, или меньше? Нам надо больше нуля. Можно этот промежуток подштриховать. Для красоты):

Смотрим на картину и записываем ответ:

х ∈ (0; 3)

x 2 ≤ 4

Очень простое неравенство. Такое простое, что многие тут же косячат!) Не надо писать сразу x≤ ±2! Это редкий бред, да. ) Надо выполнять первый пункт.

Первый пункт. Готовим неравенство к решению. Переносим четвёрку влево, получаем:

Второй пункт:

Третий пункт:

Четвёртый пункт:

Пятый пункт:

х ∈ [-2; 2]

Вот тут у особо быстрых возникает вопрос. А зачем я писал про параболу?! Почему сразу не дал алгоритм и примеры?!

Отвечаю. Если бы вы знали, сколько народу сыпется на применении тупо заученного алгоритма. А уж при малейшем отклонении от шаблона, простое задание становится вообще нерешаемым. Ниже будет парочка таких примеров. Если понимаете смысл алгоритма, шанс решить есть. Если же не понимаете. Понимание всегда побеждает механическую память.

1. Решить неравенство:

2. Найти наименьшее положительное целое решение наравенства:

3. Найти все значения х, не являющиеся решением неравенства:

x 2 ≥ 16

4. Решить неравенство:

x 2 + 7x + 10 ≠ 0

5. Решить неравенство:

x 2 + 3x + 8 > 0

6. Решить неравенство:

Ответы, в беспорядке, разумеется.)

х ∈ (-∞; 0,25) ∪ (0,5; +∞)

х ∈ (-4; +4)

х ∈ Ø

Ну как, успешно? Поздравляю!

Вот эти два источника и дают фонтан ошибок при решении квадратных неравенств.) Что это за источники, и как просто и надёжно их перекрыть, написано в Разделе 555, если что. Там подробно расписано решение всех этих примеров с акцентом на основных проколах. Да и вообще, много чего хорошего есть.)

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Источник

Решение квадратных неравенств графически

Графический метод является одним из основных методов решения квадратных неравенств. В статье мы приведем алгоритм применения графического метода, а затем рассмотрим частные случаи на примерах.

Суть графического метода

Решение с двумя корнями у квадратного трехчлена

Части параболы, расположенные выше оси О х обозначим красным, ниже – синим. Это позволит нам сделать рисунок более наглядным.

Выделим промежутки, которые соответствуют этим частям и отметим их на рисунке полями определенного цвета.

Сделаем краткую запись решения. При a > 0 и D = b 2 − 4 · a · c > 0 (или D ‘ = D 4 > 0 при четном коэффициенте b ) мы получаем:

Решение с одним корнем у квадратного трехчлена

Запишем результаты. При a > 0 и D = 0 :

Решение квадратного трехчлена, не имеющего корней

На графике нет интервалов, на которых парабола была бы ниже оси абсцисс. Это мы будем учитывать при выборе цвета для нашего рисунка.

Получается, что при a > 0 и D 0 решением квадратных неравенств a · x 2 + b · x + c > 0 и a · x 2 + b · x + c ≥ 0 является множество всех действительных чисел, а неравенства a · x 2 + b · x + c 0 и a · x 2 + b · x + c ≤ 0 не имеют решений.

Алгоритм решения неравенств с использованием графического способа

Для построения параболы нам необходимо будет знать две вещи:

Точки пересечения и касания мы будет обозначать обычным способом при решении нестрогих неравенств и пустыми при решении строгих.

Теперь решим несколько квадратных неравенств, используя приведенный выше алгоритм.

Решение

Мы решаем нестрогое неравенство, следовательно проставляем на графике обычные точки. Рисуем параболу. Как видите, рисунок имеет такой же вид как и в первом рассмотренном нами шаблоне.

Решите квадратное неравенство − x 2 + 16 · x − 63 0 графическим методом.

Решение

В тех случаях, когда дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, необходимо внимательно подходить к вопросу о том, стоит ли включать в ответ абсциссы точки касания. Для того, чтобы принять правильное решение, необходимо учитывать знак неравенства. В строгих неравенствах точка касания оси абсцисс не является решением неравенства, в нестрогих является.

Решение

Поставим точку и нарисуем параболу.

Решение

Отмечаем точку касания на оси абсцисс и рисуем параболу.

Не всегда при отрицательном значении дискриминанта неравенство не будет иметь решений. Есть случаи, когда решением будет являться множество всех действительных чисел.

Решите квадратное неравенство 3 · x 2 + 1 > 0 графическим способом.

Решение

Коэффициент а положительный. Дискриминант отрицательный. Ветви параболы будут направлены вверх. Точек пересечения параболы с осью O х нет. Обратимся к рисунку.

Необходимо найти решение неравенства − 2 · x 2 − 7 · x − 12 ≥ 0 графическим способом.

Решение

Ветви параболы направлены вниз. Дискриминант отрицательный, следовательно, общих точек параболы и оси абсцисс нет. Обратимся к рисунку.

Источник

Квадратные неравенства.
Метод интервалов

Прежде чем разбираться, как решать квадратное неравенство, давайте рассмотрим, какое неравенство называют квадратным.

Неравенство называют квадратным, если старшая (наибольшая) степень неизвестного « x » равна двум.

Потренируемся определять тип неравенства на примерах.

Как решить квадратное неравенство

В предыдущих уроках мы разбирали, как решать линейные неравенства. Но в отличие от линейных неравенств квадратные решаются совсем иным образом.

Для решения квадратного неравенства используется специальный способ, который называется методом интервалов.

Что такое метод интервалов

Методом интервалов называют специальный способ решения квадратных неравенств. Ниже мы объясним, как использовать этот метод и почему он получил такое название.

Чтобы решить квадратное неравенство методом интервалов нужно:

Мы понимаем, что правила, описанные выше, трудно воспринимать только в теории, поэтому сразу рассмотрим пример решения квадратного неравенства по алгоритму выше.

Требуется решить квадратное неравенство.

Переходим к п.2. Необходимо сделать так, чтобы перед « x 2 » стоял положительный коэффициент. В неравенстве « x 2 + x − 12 » при « x 2 » стоит положительный коэффициент « 1 », значит, снова нам ничего делать не требуется.

Согласно п.3 приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

Теперь по п.4 отметим полученные корни на числовой оси в порядке возрастания.

Помните, что, исходя их того, какое перед нами неравенство (строгое или нестрогое) мы отмечаем точки на числовой оси разным образом.

Теперь, как сказано в п.5, нарисуем «арки» над интервалами между отмеченными точками.

Проставим знаки внутри интервалов. Справа налево чередуя, начиная с « + », отметим знаки.

Нам осталось только выполнить пункт 6, то есть выбрать нужные интервалы и записать их в ответ. Вернемся к нашему неравенству.

Запишем полученный ответ квадратного неравенства.

Именно из-за того, что при решении квадратного неравенства мы рассматриваем интервалы между числами, метод интервалов и получил свое название.

После получения ответа имеет смысл сделать его проверку, чтобы убедиться в правильности решения.

Выберем любое число, которое находится в заштрихованной области полученного ответа −4 и подставим его вместо « x » в исходное неравенство. Если мы получим верное неравенство, значит мы нашли ответ квадратного неравенства верно.

Возьмем, например, из интервала число « 0 ». Подставим его в исходное неравенство « x 2 + x − 12 ».

Мы получили верное неравенство при подстановке числа из области решений, значит ответ найден правильно.

Краткая запись решения методом интервалов

Сокращенно запись решения квадратного неравенства методом интервалов будет выглядеть так:

x 2 + x − 12 2 + x − 12 = 0

x_1;2 =

x_1;2 =

Ответ: −4

Другие примеры решения квадратных неравенств

Рассмотрим решение других примеров квадратных неравенств. Требуется решить квадратное неравенство:

В правой части неравенство уже стоит ноль. При « x 2 » стоит « 2 » ( положительный коэффициент), значит можно сразу переходить к поиску корней.

x_1;2 =

Ответ: x ≤ 0 ; x ≥

Рассмотрим пример, где перед « x 2 » в квадратном неравенстве стоит отрицательный коэффициент.

По п.2 общих правил решения методом интервалов нам нужно сделать так, чтобы перед « x 2 » стоял положительный коэффициент. Для этого умножим все неравенство на « −1 ».

Можно переходить к п.4 и п.5. Приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение. Затем расположим полученные корни на числовой оси и проведем между ними «арки».

x_1;2 =

x_1;2 =

0″ />

При определении того какие интервалы нам нужно брать в ответ, исходить нужно из самого последнего изменения неравенства перед нахождением его корней.

В нашем случае самая последняя версия неравенства перед поиском корней уравнения это « x 2 + 3x − 4 ≤ 0 ».

Значит для ответа нужно выбирать интервалы со знаком « − ».

0″ /> Ответ: −4 ≤ x ≤ 1

К сожалению, при решении квадратного неравенства не всегда получаются два корня и все идет по общему плану выше. Возможны случаи, когда получается один корень или даже ни одного корня.

Как решить квадратные неравенства в таких случаях, мы разберем в следующем уроке «Квадратные неравенства с одним корнем или без корней».

Источник

Квадратичная функция (парабола)

После этого по точкам строили график:

Параболу y = ax 2 + bx + c мы не станем строить каждый раз «по точкам» — для выпускника школы это просто несолидно. Ведь нам надо знать закономерности поведения данной функции. А эти закономерности таковы.

1. Знак коэффициента a отвечает за направление ветвей. При a > 0 ветви направлены вверх, при a 2 с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями a.

2. Абсолютная величина коэффициента a отвечает за «раскрыв» параболы. Чем больше |a|, тем у́же парабола (больше прижата к оси Y ). Наоборот, чем меньше |a|, тем шире парабола (больше прижата к оси X).

3. Абсцисса вершины параболы y = ax 2 + bx + c находится по формуле:

Для нахождения ординаты вершины y₀ удобнее всего подставить x₀ в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что

где D = b 2 − 4ac — дискриминант.

4. Точки пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью X находятся с помощью решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси X. Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось X.

5. Точка пересечения с осью Y находится легко: мы просто подставляем x = 0 в уравнение параболы. Получается точка (0, c).

А теперь покажем, как с помощью графика функции y = ax 2 + bx + c решать квадратные неравенства.

1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство

x 2 2 и отметим все значения x, для которых y 2 − 3x − 10 ≥ 0.

Графиком функции y = x 2 − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x 2 − 3x − 10 = 0, находим x₁ = −2 и x₂ = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:

Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при .

Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!

3. Ещё одно неравенство: x 2 + 2x + 4 > 0.

Ветви параболы y = x 2 + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x 2 + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.

Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.

Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.

Ответ: .

Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.

4. Завиcимоcть объeма cпроcа q (тыc. руб.) на продукцию предприятия-монополиcта от цены p (тыc. руб.) задаeтcя формулой q = 100 − 10p. Выручка предприятия за меcяц r (в тыc. руб.) вычиcляетcя по формуле r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой меcячная выручка r(p) cоcтавит не менее 240 тыc. руб. Ответ приведите в тыc. руб.

Подставим выражение для q в формулу выручки:

r(p) = qp = (100 − 10p)p = 100p − 10p 2

Выручка должна быть не менее (то есть больше или равна) 240 тысяч рублей. Поскольку цена p уже выражена в тысячах рублей, мы можем записать это условие в виде неравенства:

Переносим всё вправо и делим на 10:

Для схематичного построения параболы находим корни уравнения p 2 − 10p + 24 = 0. Они равны 4 и 6. Остаётся сделать рисунок.

Решением нашего неравенства служит отрезок [4; 6]. Нас просили найти наибольшее p. Оно равно 6.

Итак, требуется, чтобы выполнялось неравенство h(t) ≥ 3. Подставляем сюда выражение для h:

Собираем всё справа:

Корни соответствующего уравнения 5t 2 −8t+1,4 = 0 равны t₁ = 0,2 и t₂ = 1,4. Как дальше действовать — мы знаем.

Таким образом, через t₁ = 0,2 секунды после начала полёта мяч оказался на высоте 3 метра. Мяч продолжал лететь вверх, высота увеличивалась; затем началось снижение, высота уменьшалась, и в момент времени t = 1,4 секунды снова стала равна трём метрам над землей.

Получается, что мяч находился на высоте не менее трёх метров в течение t₂ − t₁ = 1,2 секунд. В бланк ответов вписываем десятичную дробь 1,2.

Согласно условию, зависимость температуры нагревательного элемента от времени определяется формулой:

T(t) = 1400 + 200t − 10t 2

В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство T ≤ 1760, или

1400 + 200t − 10t 2 ≤ 1760

Переносим всё вправо и делим на 10:

Находим t₁ = 2, t₂ = 18 и делаем рисунок:

Получаем решения нашего неравенства:

Остаётся понять: в какой же момент отключать прибор? Для этого надо представить физическую картину процесса.

Мы включаем прибор в момент времени t = 0. Температура нагревателя повышается и при t = 2 мин достигает 1760 К. Затем повышение температуры продолжается, в результате чего прибор может испортиться. Поэтому ясно, что отключать его надо при t = 2.

Источник