Как решить неравенство матрицы

Матрицы: примеры с решением и объяснением

Вы будете перенаправлены на Автор24

Матрицы представляют собой таблицы чисел, взаимосвязанных между собой. Над ними возможно проводить ряд разнообразных операций, о которых мы расскажем вам ниже.

Сложение и вычитание

Итак, о сложении и вычитании. Эти действия возможно проводить только с матрицами одинакового размера.

Для того чтобы осуществить эти действия, необходимо провести сложение или вычитание каждого элемента матрицы с элементом другой матрицы, стоящим на той же позиции, что элемент в первой.

Готовые работы на аналогичную тему

Обратите внимание, что сложение и вычитание для матриц возможно осуществлять только если их порядки одинаковые.

Объяснение:

Умножение матрицы на число

Произведение матричных таблиц

Эта задача несколько сложнее предыдущих, но при этом в ней также нет ничего сложного.

Математически это можно записать так:

Если число столбцов первого матричного множителя не совпадает с количеством строчек второго матричного множителя, то умножение выполнить невозможно.

$A \times B = \begin (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot(-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \end $

Нахождение определителя матрицы

Детерминант возможно найти только для квадратных разновидностей матриц.

Вычислить определитель от матрицы порядка двух можно следуя такому правилу:

Определитель матрицы размера 2 равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали с произведением элементов с побочной диагонали:

Для определителей большего размера можно использовать преобразования Гаусса и разложение по строчке.

Обратные матрицы

Получить обратную матрицу.

Решение:

$ \begin 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end$

Теперь обнуляем последний элемент первой строчки. Для этого к верхней строчке плюсуем нижнюю:

Транспонирование матричных таблиц

Решение:

Применим метод Саррюса для детерминанта:

Мы получили вырожденную матрицу.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 05 2021

Источник

Некоторые свойства операций над матрицами.
Матричные выражения

На базовых уроках Действия с матрицами, Как найти обратную матрицу? мы познакомились с понятием матрицы и основными операциями над матрицами. При этом основные акценты были подробно расставлены на технических приёмах вычисления, чтобы совершенно неподготовленный человек смог быстро научиться решать матрицы. Поэтому чайникам следует начать с первых двух статей и лягушатника с определителем матрицы. Из инструментальных средств рекомендую запастись матричным калькулятором, который позволит контролировать весь процесс решения и не допустить ошибок. Найти его можно, например, на складе математических формул и таблиц.

А сейчас последует продолжение темы, в котором мы рассмотрим не только новый материал, но и отработаем действия с матрицами.

Некоторые свойства операций над матрицами

Существует достаточно много свойств, которые касаются действий с матрицами, в той же Википедии можно полюбоваться стройными шеренгами соответствующих правил. Однако на практике многие свойства в известном смысле «мертвЫ», поскольку в ходе решения реальных задач используются лишь некоторые из них. Моя цель – рассмотреть прикладное применение свойств на конкретных примерах, и если вам необходима строгая теория, пожалуйста, воспользуйтесь другим источником информации.

Но сначала вернёмся к действиям с матрицами (к слову, в той статье мы уже неявно затронули ряд свойств). Начну с небольшого вопроса, который вызвал трудности у некоторых посетителей сайта:

Можно ли к матрице прибавить число?

Например: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы. Ну, или наоборот: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Нет. К матрице можно прибавить только другую матрицу, причём точно такого же размера.

Матрицу можно умножить на число. Но сложить их нельзя. Таковы правила игры.

Следует отметить, что допустимо сложение определителя матрицы с числом:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Результат вычисления определителя – число, а два числа суммируются без всяких проблем.

Вышесказанное, естественно, справедливо и для разности, ведь вычитание – это частный случай сложения.

Как на счёт того, чтобы плотно зависнуть у меня сегодня вечером? =) Практика показывает, что наибольшие трудности у студентов вызывает умножение матриц. Так наполним же кружки соответствующей информацией.

Повторим само правило. В статье Действия с матрицами я рассказал о том, какие матрицы можно умножать и привёл ряд наиболее распространённых примеров. Давайте рассмотрим операцию чуть подробнее и выделим два существенных пункта:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

1) Смотрим на левую часть. Из первого урока нам известно, что матричное умножение возможно в том и только в том случае, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

2) Смотрим на правую часть и обращаем внимание на размерность результатаСКОЛЬКО строк и столбцов должно быть у итоговой матрицы.

Умножить матрицы
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Решение: произведение существует, причём итоговая матрица состоит из 1 строки и 2 столбцов:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Ответ: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Умножить матрицы
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Это пример для самостоятельного решения.

Предложенные примеры не случайны. Они вроде бы просты, но у начинающих здесь нередко возникает путаница с размерами матрицы-результата. Поэтому читателям с небольшим опытом целесообразно переписать вышеприведённую формулу и особенно серьёзно отнестись к практическим примерам.

А по каким принципам составляются начинка (суммы произведений чисел), думаю, все уже поняли. Дополнительно возьмём на вооружение образную ассоциацию, которая поможет хорошо запомнить действие. Читаем следующий параграф:

Как возвести матрицу в квадрат?

Операция определена только для квадратных матриц – «два на два», «три на три» и т.д.

Возвести квадратную матрицу Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыв квадрат – это значит, умножить её саму на себя:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Возвести в квадрат матрицу Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Решение: пример рутинный, и чтобы извлечь максимальную пользу, давайте закрепим очень распространённый случай умножения двух матриц «три на три»:

Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Строки первой матрицы – это столы в ресторане, а цветные столбцы второй матрицы – официанты. Сначала столы обслуживает красный официант, затем зелёный официант, и под конец застолья – синий официант. Тааак, хватит прикалываться, он не голубой =)

Это действительно удобный мысленный приём, который можно использовать на практике – последовательно (слева направо) перебираем столбцы второй матрицы и «пристраиваем» их к каждой строке первой матрицы.

Ответ: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Возведение матрицы в куб и более высокие степени разберём позже.

Немного о некоммутативности матричного умножения и единичной матрице

Материал, по меньшей мере, частично вам знаком. Для тех, кто не знает термина:
Коммутативность = Перестановочность.

Обычные числа переставлять можно: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, а матрицы в общем случае не перестановочны: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы. Собственно, подробная иллюстрация с конкретными примерами уже была дана в статье Действия с матрицами.

Рассмотрим некоторые исключения из правила, которые потребуются для выполнения практических задач.

Если у квадратной матрицы Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицысуществует обратная матрица Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, то их умножение коммутативно: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Чтобы проверить, правильно ли найдена обратная матрица, нужно вычислить произведение Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицылибо произведение Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыи убедиться в том, что получится единичная матрица Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы. Конкретные примеры можно посмотреть в статье Как найти обратную матрицу?

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой на главной диагонали расположены единицы, а остальные элементы равны нулю. Например: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыи т.д.

При этом справедливо следующее свойство: если произвольную матрицу Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыумножить слева или справа на единичную матрицу подходящих размеров, то в результате получится исходная матрица:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Как видите, здесь также имеет место коммутативность матричного умножения.

Возьмём какую-нибудь матрицу, ну, скажем, матрицу из предыдущей задачи: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы.

Желающие могут провести проверку и убедиться, что:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Единичная матрица для матриц – это аналог числовой единицы для чисел, что особенно хорошо видно из только что рассмотренных примеров.

Коммутативность числового множителя относительно умножения матриц

Для матриц Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыи действительного числа Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицысправедливо следующее свойство:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

То есть числовой множитель можно (и нужно) вынести вперёд, чтобы он «не мешал» умножить матрицы.

Примечание: вообще говоря, формулировка свойства неполная – «лямбду» можно разместить в любом месте между матрицами, хоть в конце. Правило остаётся справедливым, если перемножаются три либо бОльшее количество матриц.

Вычислить произведение
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Решение:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

(1) Согласно свойству Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыперемещаем числовой множитель вперёд. Сами матрицы переставлять нельзя!

(2) – (3) Выполняем матричное умножение.

(4) Здесь можно поделить каждое число 10, но тогда среди элементов матрицы появятся десятичные дроби, что не есть хорошо. Однако замечаем, что все числа матрицы делятся на 5, поэтому умножаем каждый элемент на Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы.

Окончательный ответ лучше оставить в виде Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, хотя, в принципе, годится и внесение дроби: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы. На технических тонкостях умножения матрицы на число я подробно останавливался на уроке Действия с матрицами.

Ответ: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Маленькая шарада для самостоятельного решения:

Вычислить Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, если Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Решение и ответ в конце урока.

Какой технический приём важен в ходе решения подобных примеров? С числом разбираемся в последнюю очередь.

Прицепим к локомотиву ещё один вагон:

Как умножить три матрицы?

Прежде всего, ЧТО должно получиться в результате умножения трёх матриц Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы? Кошка не родит мышку. Если матричное умножение осуществимо, то в итоге тоже получится матрица. М-да, хорошо мой преподаватель по алгебре не видит, как я объясняю замкнутость алгебраической структуры относительно её элементов =)

Произведение трёх матриц Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыможно вычислить двумя способами:

1) найти Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, а затем домножить на матрицу «цэ»: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы;

2) либо сначала найти Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, потом выполнить умножение Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы.

Результаты обязательно совпадут, и в теории данное свойство называют ассоциативностью матричного умножения:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Перемножить матрицы двумя способами
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Алгоритм решения двухшаговый: находим произведение двух матриц, затем снова находим произведение двух матриц.

1) Используем формулу Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Действие первое:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Действие второе:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

2) Используем формулу Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Действие первое:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Действие второе:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Ответ: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Более привычен и стандартен, конечно же, первый способ решения, там «как бы всё по порядку». Кстати, по поводу порядка. В рассматриваемом задании часто возникает иллюзия, что речь идёт о каких-то перестановках матриц. Их здесь нет. Снова напоминаю, что в общем случае ПЕРЕСТАВЛЯТЬ МАТРИЦЫ НЕЛЬЗЯ. Так, во втором пункте на втором шаге выполняем умножение Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, но ни в коем случае не Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы. С обычными числами такой бы номер прошёл, а с матрицами – нет.

Свойство ассоциативности умножения справедливо не только для квадратных, но и для произвольных матриц – лишь бы они умножались:

Найти произведение трёх матриц
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения вычисления проведены двумя способами, проанализируйте, какой путь выгоднее и короче.

Свойство ассоциативности матричного умножения имеет место быть и для бОльшего количества множителей.

Теперь самое время вернуться к степеням матриц. Квадрат матрицы рассмотрен в самом начале и на повестке дня вопрос:

Как возвести матрицу в куб и более высокие степени?

Данные операции также определены только для квадратных матриц. Чтобы возвести квадратную матрицу Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыв куб, нужно вычислить произведение:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Фактически это частный случай умножения трёх матриц, по свойству ассоциативности матричного умножения: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы. А матрица, умноженная сама на себя – это квадрат матрицы: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Таким образом, получаем рабочую формулу: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

То есть задание выполняется в два шага: сначала матрицу необходимо возвести в квадрат, а затем полученную матрицу Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыумножить на матрицу Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы.

Возвести матрицу Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыв куб.

Это небольшая задачка для самостоятельного решения.

Возведение матрицы в четвёртую степень проводится закономерным образом:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Используя ассоциативность матричного умножения, выведем две рабочие формулы. Во-первых: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы– это произведение трёх матриц.

1) Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы. Иными словами, сначала находим Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, затем домножаем его на «бэ» – получаем куб, и, наконец, выполняем умножение ещё раз – будет четвёртая степень.

2) Но существует решение на шаг короче: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы. То есть, на первом шаге находим квадрат Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыи, минуя куб, выполняем умножение Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Дополнительное задание к Примеру 8:

Возвести матрицу Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыв четвёртую степень.

Как только что отмечалось, сделать это можно двумя способами:

1) Коль скоро известен куб, то выполняем умножение Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы.

2) Однако, если по условию задачи требуется возвести матрицу только в четвёртую степень, то путь выгодно сократить – найти квадрат матрицы и воспользоваться формулой Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы.

Оба варианта решения и ответ – в конце урока.

Аналогично матрица возводится в пятую и более высокие степени. Из практического опыта могу сказать, что иногда попадаются примеры на возведение в 4-ю степень, а вот уже пятой степени что-то не припомню. Но на всякий случай приведу оптимальный алгоритм:

1) находим Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы;
2) находим Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы;
3) возводим матрицу в пятую степень: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы.

Вот, пожалуй, и все основные свойства матричных операций, которые могут пригодиться в практических задачах.

Во втором разделе урока ожидается не менее пёстрая тусовка.

Матричные выражения

Повторим обычные школьные выражения с числами. Числовое выражение состоит из чисел, знаков математических действий и скобок, например: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы. При расчётах справедлив знакомый алгебраический приоритет: сначала учитываются скобки, затем выполняется возведение в степень / извлечение корней, потом умножение / деление и в последнюю очередь – сложение /вычитание.

Если числовое выражение имеет смысл, то результат его вычисления является числом, например:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Матричные выражения устроены практически так же! С тем отличием, что главными действующими лицами выступают матрицы. Плюс некоторые специфические матричные операции, такие, как транспонирование и нахождение обратной матрицы.

Рассмотрим матричное выражение Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, где Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы– некоторые матрицы. В данном матричном выражении три слагаемых и операции сложения/вычитания выполняются в последнюю очередь.

В первом слагаемом Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицысначала нужно транспонировать матрицу «бэ»: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, потом выполнить умножение Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыи внести «двойку» в полученную матрицу. Обратите внимание, что операция транспонирования имеет более высокий приоритет, чем умножение. Скобки, как и в числовых выражениях, меняют порядок действий: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы– тут сначала выполняется умножение Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, потом полученная матрица транспонируется и умножается на 2.

Во втором слагаемом Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыв первую очередь выполняется матричное умножение Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, и обратная матрица находится уже от произведения. Если скобки убрать: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, то сначала необходимо найти обратную матрицу Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, а затем перемножить матрицы: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы. Нахождение обратной матрицы также имеет приоритет перед умножением.

С третьим слагаемым Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицывсё очевидно: возводим матрицу в куб и вносим «пятёрку» в полученную матрицу.

Если матричное выражение имеет смысл, то результат его вычисления является матрицей.

Все задания будут из реальных контрольных работ, и мы начнём с самого простого:

Даны матрицы Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы. Найти:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Решение: порядок действий очевиден, сначала выполняется умножение, затем сложение.

Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
Сложение выполнить невозможно, поскольку матрицы разных размеров.

Не удивляйтесь, заведомо невозможные действия часто предлагаются в заданиях данного типа.

Пробуем вычислить второе выражение:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Ответ: действие Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицывыполнить невозможно, Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы.

Даны матрицы Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы.

Найти значения выражений:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Решение: Разбираемся с произведением Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы. Сначала транспонируем матрицы «дэ»:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

И умножаем матрицы:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
Матричное умножение выполнить невозможно, так как число столбцов матрицы Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыне равно числу строк матрицы Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы.

А вот с произведением Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыпроблем не возникает:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Еще раз заметьте, как на первом же шаге множитель (–1) выносится вперёд, и ноги до него доходят в самую последнюю очередь.

С более сложными выражениями вроде Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицычайникам рекомендую разбираться поэтапно, чтобы не запутаться:

Сначала находим произведение:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Затем считаем второе слагаемое:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

И, наконец, всё выражение:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Более подготовленные студенты могут оформить решение одной строкой:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Ответ: действие Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицывыполнить невозможно, Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы.

Пара заключительных примеров для самостоятельного решения:

Для матриц Примера №10 выполнить действия:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Вычислить значение матричного многочлена Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, если Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы.

В последнем примере решение удобно оформить по пунктам.

Матричные выражения – это просто! И вряд ли на практике вам встретится что-то сложнее, чем разобранные примеры.

Теперь во всеоружии можно приступить к изучению матричных уравнений.

Пример 2: Решение:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
Ответ: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Пример 5: Решение:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
Ответ: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Пример 7: Решение:
1) Используем формулу Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
2) Используем формулу Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
Ответ: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Пример 8: Решение: Сначала возведём матрицу в квадрат:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
Возведём матрицу в куб:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
Возведём матрицу в четвёртую степень двумя способами:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
Ответ: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Пример 11: Решение:
Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Возведение в квадрат Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицыневозможно, поскольку операция определена только для квадратных матриц.

Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Ответ: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы, действие Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицывыполнить невозможно, Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Пример 12: Решение:
1) Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
2) Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
3) Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
4) Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
5) Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
Ответ: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы
Примечание: выражение можно было вычислить и по-другому – предварительно раскрыть скобки: Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Как решить неравенство матрицы. Смотреть фото Как решить неравенство матрицы. Смотреть картинку Как решить неравенство матрицы. Картинка про Как решить неравенство матрицы. Фото Как решить неравенство матрицы Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *