Как решить log уравнение

Логарифмические уравнения и системы

п.1. Методы решения логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического уравнения к равносильному уравнению \(f(x)=g(x)\) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение уравнений вида \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\)

Неравенства \( \begin f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Решать логарифмическое уравнение принято в таком порядке:
1) решить систему неравенств и получить промежутки допустимых значений для \(x\) в явном виде;
2) решить уравнение \(f(x)=g(x)\);
3) из полученных корней выбрать те, что входят в промежутки допустимых значений. Записать ответ.

Однако, если выражения \(f(x)\) и \(g(x)\) слишком сложны для явного решения, возможен другой порядок действий:
1) решить уравнение \(f(x)=g(x)\);
2) провести подстановку: полученные корни подставить в выражения для \(f(x)\) и \(g(x)\), и проверить, получатся ли положительные значения для этих функций;
3) из корней выбрать те, для которых подстановка оказалась успешной. Записать ответ.

п.3. Решение уравнений вида \(\log_ f(x)=\log_ g(x)\)

Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение.
Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней.

В логарифмическом уравнении перед отбрасыванием логарифмов основания обязательно должны быть равны. Не забывайте это проверять!

Преобразования могут расширить первоначальную область допустимых значений (например, при возведении в квадрат), и вы включите в решение лишние корни.
Преобразования также могут сузить ОДЗ (например, при взятии корня), и некоторые решения окажутся потеряны.
Поэтому ОДЗ определяется для исходного уравнения (выражения, неравенства), а не того, которое получено после преобразований.

п.4. Примеры

г) \( \log_2^2x+\log_2 x^2+1=0 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
\(\log_2x^2=2\log_2x\)
Получаем: \(\log_2^2x+2\log_2x+1=0\)
Замена: \(t=\log_2 x\)
\(t^2+2t+1=0\Rightarrow(t+1)^2=0\Rightarrow t=-1\)
Возвращаемся к исходной переменной: \(\log_2x=-1\)
\(x=2^<-1>=\frac12\)
Ответ: \(\frac12\)

д) \( x^<\lg x>=10 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
Замена: \(t=\lg ⁡x\). Тогда \(x=10^t\)
Подставляем:
\((10^t)^t=10\Rightarrow 10^=10^1\Rightarrow t^2=1\Rightarrow t=\pm 1\)
Возвращаемся к исходной переменной:
\( \left[ \begin \lg x=-1\\ \lg x=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10^<-1>\\ x=10 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0,1\\ x_2=10 \end \right. \)
Оба корня подходят.
Ответ:

Пример 2*. Решите уравнения:
a) \( \log_4\log_2\log_3(2x-1)=\frac12 \)
ОДЗ: \( \begin 2x-1\gt 0\\ \log_3(2x-1)\gt 0\\ \log_2\log_3(2x-1)\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ 2x-1\gt 3^0\\ \log_3(2x-1)\gt 2^0 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ x\gt 1\\ 2x-1\gt 3^1 \end \Rightarrow \)
\( \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ x\gt 1\\ x\gt 2 \end \Rightarrow x\gt 2 \)
Решаем:
\(\log_2\log_3(2x-1)=4^<1>=2\)
\(\log_3(2x-1)=2^2=4\)
\(2x-1=3^4=81\)
\(2x=82\)
\(x=41\)
Ответ: 41

б) \( \log_2(9-2^x)=25^<\log_5\sqrt<3-x>> \)
ОДЗ: \( \begin 9-2x\gt 0\\ 3-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin 2^x\lt 9\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \begin x\lt\log_2 9\\ x\lt 3 \end \Rightarrow x\lt 3 \)
Преобразуем: \(25^<\log_5\sqrt<3-x>>=25^<\log_<5^2>(\sqrt<3-x>)^2>=25^<\log_<25>(3-x)>=3-x\)
Подставляем: \(\log_2(9-2^x)=3-x\)
\(9-2^x=2^<3-x>\)
\(9-2^x-\frac<8><2^x>=0\)
Замена: \(t=2^x\gt 0\)
\( 9-t-\frac8t=0\Rightarrow \frac<-t^2+9t-8>=0\Rightarrow \begin t^2-9t+8\gt 0\\ t\ne 0 \end \Rightarrow \begin (t-1)(t-8)=0\\ t\ne 0 \end \Rightarrow \left[ \begin t_1=1\\ t_2=8 \end \right. \)
Возвращаемся к исходной переменной:
\( \left[ \begin 2^x=1\\ 2^x=8 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 2^x=2^0\\ 2^x=2^3 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0\\ x_2=3 \end \right. \)
По ОДЗ \(x\lt 3\), второй корень не подходит.
Ответ: 0

Пример 3. Решите систему уравнений:
a) \( \begin \lg x+\lg y=\lg 2\\ x^2+y^2=5 \end \)
ОДЗ: \( \begin x\gt 0\\ y\gt 0 \end \)
Из первого уравнения: \(\lg(xy)=\lg 2\Rightarrow xy=2\)
Получаем: \( \begin xy=2\\ x^2+y^2=5 \end \Rightarrow \begin y=\frac2x\\ x^2+\left(\frac2x\right)^2-5=0 \end \)
Решаем биквадратное уравнение: \begin x^2+\frac<4>-5=0\Rightarrow\frac=0\Rightarrow \begin x^4-5x^2+4=0\\ x\ne 0 \end \\ (x^2-4)(x^2-1)=0\Rightarrow \left[ \begin x^2=4\\ x^2=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pm 2\\ x=\pm 1 \end \right. \end Согласно ОДЗ, оставляем только положительные корни.
Получаем две пары решений: \( \left[ \begin \begin x=1\\ y=\frac2x=2 \end \\ \begin x=2\\ y=\frac22=1 \end \end \right. \)
Ответ: \(\left\<(1;2),(2,1)\right\>\)

г*) \( \begin (x+y)\cdot 3^=\frac<5><27>\\ 3\log_5(x+y)=x-y \end \)
ОДЗ: \(x+y\gt 0\)
Прологарифмируем первое уравнение по 3: \begin \log_3\left((x+y)\cdot 3^\right)=\log_3\frac<5><27>\\ \log_3(x+y)+(y-x)=\log_3\frac<5><27>\\ \log_3(x+y)-\log_3\frac<5><27>=x-y \end Получаем:\(x-y=3\log_5(x+y)=\log_3(x+y)-\log_3\frac<5><27>\)
Решим последнее уравнение относительно \(t=x+y\) \begin 3\log_5 t=\log_3 t-\log_3\frac<5><27>\\ 3\cdot\frac<\log_3t><\log_35>-\log_3t=-\log_3\frac<5><27>\\ \log_3t\cdot\left(\frac<3><\log_35>-1\right)=-\log_3\frac<5><27>\\ \log_3t=-\frac<\log_3\frac<5><27>><\frac<3><\log_35>-1>=-\frac<(\log_35-3)\log_35><3-\log_35>=\log_35\\ t=5 \end Тогда: \(x-y=3\log_5t=3\log_55=3\)
Получаем систему линейных уравнений: \begin \begin x+y=5\\ x-y=3 \end \Rightarrow \begin 2x=5+3\\ 2y=5-3 \end \Rightarrow \begin x=4\\ y=1 \end \end Требование ОДЗ \(x+y=4+1\gt 0\) выполняется.
Ответ: (4;1)

Источник

Решение логарифмических уравнений — заключительный урок

Заключительные видео из длинной серии уроков про решение логарифмических уравнений. В этот раз мы будем работать в первую очередь с ОДЗ логарифма — именно из-за неправильного учета (или вообще игнорирования) области определения возникает большинство ошибок при решении подобных задач.

В этом коротком видеоуроке мы разберем применение формул сложения и вычитания логарифмов, а также разберемся с дробно-рациональными уравнениями, с которыми у многих учеников также возникают проблемы.

О чем пойдет речь? Главная формула, с которой я хотел бы разобраться, выглядит так:

Это стандартный переход от произведения к сумме логарифмов и обратно. Вы наверняка знаете эту формулу с самого начала изучения логарифмов. Однако тут есть одна заминка.

Однако, как только вместо f и g появляются функции, возникает проблема расширения или сужения области определения в зависимости от того, в какую сторону преобразовывать. Судите сами: в логарифме, записанном слева, область определения следующая:

А вот в сумме, записанной справа, область определения уже несколько иная:

Данный набор требований является более жестким, чем исходный. В первом случае нас устроит вариант f g fg > 0 выполняется).

Итак, при переходе от левой конструкции к правой возникает сужение области определения. Если же сначала у нас была сумма, а мы переписываем ее в виде произведения, то происходит расширение области определения.

Другими словами, в первом случае мы могли потерять корни, а во втором — получить лишние. Это необходимо учитывать при решении реальных логарифмических уравнений.

Итак, первая задача:

[Подпись к рисунку]

Слева мы видим сумму логарифмов по одному и тому же основанию. Следовательно, эти логарифмы можно сложить:

[Подпись к рисунку]

Как видите, справа мы заменил ноль по формуле:

Давайте еще немного преобразуем наше уравнение:

Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, мы можем зачеркнуть знак log и приравнять аргументы:

Обратите внимание: откуда взялся модуль? Напомню, что корень из точного квадрата равен именно модулю:

[Подпись к рисунку]

Затем решаем классическое уравнение с модулем:

| f | = g ( g > 0) ⇒ f = ± g

x − 5 = ±1 ⇒ x ₁ = 5 − 1 = 4; x ₂ = 5 + 1 = 6

Вот два кандидат на ответ. Являются ли они решением исходного логарифмического уравнения? Нет, ни в коем случае!

Оставить все просто так и записать ответ мы не имеем права. Взгляните на тот шаг, когда мы заменяем сумму логарифмов одним логарифмом от произведения аргументов. Проблема в том, что в исходных выражениях у нас стоят функции. Следовательно, следует потребовать:

Когда же мы преобразовали произведение, получив точный квадрат, требования изменились:

Когда это требование выполняется? Да практически всегда! За исключением того случая, когда х − 5 = 0. Т.е. неравенство сведется к одной выколотой точке:

Как видим, произошло расширение области определения, о чем мы и говорили в самом начале урока. Следовательно, могут возникнуть и лишние корни.

Как же не допустить возникновения этих лишних корней? Очень просто: смотрим на наши полученные корни и сравниваем их с областью определения исходного уравнения. Давайте посчитаем:

Решать будем с помощью метода интервалов:

х (х − 5) = 0 ⇒ х = 0; х = 5

Отмечаем полученные числа на прямой. Все точки выколотые, потому что неравенство строгое. Берем любое число, больше 5 и подставляем:

[Подпись к рисунку]

На интересуют промежутки (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Если мы отметим наши корни на отрезке, то увидим, что х = 4 нас не устраивает, потому что этот корень лежит за пределами области определения исходного логарифмического уравнения.

Возвращаемся к совокупности, вычеркиваем корень х = 4 и записываем ответ: х = 6. Это уже окончательный ответ к исходному логарифмическому уравнению. Все, задача решена.

Переходим ко второму логарифмическому уравнению:

[Подпись к рисунку]

Решаем его. Заметим, что первое слагаемое представляет собой дробь, а второе — ту же самую дробь, но перевернутую. Не пугайтесь выражения lgx — это просто десятичный логарифм, мы можем записать:

Поскольку перед нами две перевернутые дроби, предлагаю ввести новую переменную:

[Подпись к рисунку]

Следовательно, наше уравнение может быть переписано следующим образом:

Как видим, в числителе дроби стоит точный квадрат. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:

Решаем первое уравнение:

[Подпись к рисунку]

Приводим это уравнение к канонической форме:

В итоге мы получили единственный корень, который, по идее, является решением исходного уравнения. Однако давайте все-таки подстрахуемся и выпишем область определения исходного уравнения:

[Подпись к рисунку]

Следовательно, наш корень удовлетворяет всем требованиям. Мы нашли решение исходного логарифмического уравнения. Ответ: x = 0,1. Задача решена.

Ключевой момент в сегодняшнем уроке один: при использовании формулы перехода от произведения к сумме и обратно обязательно учитывайте, что область определения может сужаться либо расширяться в зависимости от того, в какую сторону выполняется переход.

Как понять, что происходит: сужение или расширение? Очень просто. Если раньше функции были вместе, а теперь стали по отдельности, то произошло сужение области определения (потому что требований стало больше). Если же сначала функции стояли отдельно, а теперь — вместе, то происходит расширение области определения (на произведение накладывается меньше требований, чем на отдельные множители).

С учетом данного замечания хотел бы отметить, что второе логарифмическое уравнение вообще не требует данных преобразований, т. е. мы нигде не складываем и не перемножаем аргументы. Однако здесь я хотел бы обратить ваше внимание на другой замечательный прием, который позволяет существенно упростить решение. Речь идет о замене переменной.

Однако помните, что никакие замены не освобождает нас от области определения. Именно поэтому после того были найдены все корни, мы не поленились и вернулись к исходному уравнению, чтобы найти его ОДЗ.

Часто при замене переменной возникает обидная ошибка, когда ученики находят значение t и думают, что на этом решение закончено. Нет, ни в коем случае!

Именно в этом состоит смысл введения новой переменной. Мы разбиваем исходное уравнение на два промежуточных, каждое из которых решается существенно проще.

Как решать «вложенные» логарифмические уравнения

Сегодня мы продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем конструкции, когда один логарифм стоит под знаком другого логарифма. Оба уравнения мы будем решать с помощью канонической формы.

Заметьте: a b — это аргумент. Точно так же в исходном уравнении аргументом является функция f ( x ). Затем мы переписываем уравнение и получаем вот такую конструкцию:

log _a f ( x ) = log _a a b

Уже затем мы можем выполнить третий шаг — избавится от знака логарифма и просто записать:

В результате мы получим новое уравнение. При этом никаких ограничений на функцию f ( x ) не накладывается. Например, на ее месте также может стоять логарифмическая функция. И тогда мы вновь получим логарифмическое уравнение, которое снова сведем к простейшему и решим через каноническую форму.

Впрочем, хватит лирики. Давайте решим настоящую задачу. Итак, задача № 1:

Итак, переписываем наше логарифмическое уравнение с учетом того, что двойка, которая стоит справа, на самом деле тоже является логарифмом. Получим:

Переходим к последнему шагу нашей схемы — избавляемся от канонической формы. Можно сказать, просто зачеркиваем знаки log. Однако с точки зрения математики «зачеркнуть log» невозможно — правильнее сказать, что мы просто просто приравниваем аргументы:

Отсюда легко находится 3 log₂ x :

Мы вновь получили простейшее логарифмическое уравнение, давайте снова приведем его к канонической форме. Для этого нам необходимо провести следующие изменения:

Почему в основании именно двойка? Потому что в нашем каноническом уравнении слева стоит логарифм именно по основанию 2. Переписываем задачу с учетом этого факта:

Снова избавляемся от знака логарифма, т. е. просто приравниваем аргументы. Мы вправе это сделать, потому что основания одинаковые, и больше никаких дополнительных действий ни справа, ни слева не выполнялось:

Вот и все! Задача решена. Мы нашли решение логарифмического уравнения.

Обратите внимание! Хотя переменная х и стоит в аргументе (т. е. возникают требования к области определения), мы никаких дополнительных требований предъявлять не будем.

Как я уже говорил выше, данная проверка является избыточной, если переменная встречается лишь в одном аргументе лишь одного логарифма. В нашем случае х действительно стоит лишь в аргументе и лишь под одним знаком log. Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется.

Тем не менее, если вы не доверяете данному методу, то легко можете убедиться, что х = 2 действительно является корнем. Достаточно подставить это число в исходное уравнение.

Давайте перейдем ко второму уравнению, оно чуть интересней:

Если обозначить выражение внутри большого логарифма функцией f ( x ), получим простейшее логарифмическое уравнение, с которого мы начинали сегодняшний видеоурок. Следовательно, можно применить каноническую форму, для чего придется представить единицу в виде log₂ 2 1 = log₂ 2.

Переписываем наше большое уравнение:

Изваляемся от знака логарифма, приравнивая аргументы. Мы вправе это сделать, потому что и слева, и справа основания одинаковые. Кроме того, заметим, что log₂ 4 = 2:

log_1/2 (2 x − 1) + 2 = 2

Переписываем наше уравнение и избавляемся от знака log, приравнивая аргументы:

Опять же мы сразу получили ответ. Никаких дополнительных проверок не требуется, потому что в исходном уравнении лишь один логарифм содержит функцию в аргументе.

Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется. Мы можем смело утверждать, что х = 1 является единственным корнем данного уравнения.

А вот если бы во втором логарифме вместо четверки стояла бы какая-то функция от х (либо 2х стояло бы не в аргументе, а в основании) — вот тогда потребовалось бы проверять область определения. Иначе велик шанс нарваться на лишние корни.

Однако по мере решения логарифмического уравнения мы избавляемся от всех знаков log и получаем простенькие конструкции. Здесь уже никаких ограничений не выставляется, потому что линейная функция определена при любом значении х.

Именно эта проблема, когда итоговая функция определена везде и всегда, а исходная — отнюдь не везде и не всегда, и является причиной, по которой в решении логарифмических уравнениях очень часто возникают лишние корни.

Но повторю еще раз: такое происходить лишь в ситуации, когда функция стоит либо в нескольких логарифмах, либо в основании одного из них. В тех задачах, которые мы рассматриваем сегодня, проблем с расширением области определения в принципе не существует.

Случаи разного основания

Этот урок посвящен уже более сложным конструкциям. Логарифмы в сегодняшних уравнениях уже не будут решаться «напролом» — сначала потребуется выполнить некоторые преобразования.

Начинаем решение логарифмических уравнений с совершенно разными основаниями, которые не являются точными степенями друг друга. Пусть вас не пугают подобные задачи — решаются они ничуть не сложнее, чем самые простые конструкции, которые мы разбирали выше.

Но прежде, чем переходить непосредственно к задачам, напомню о формуле решения простейших логарифмических уравнений с помощью канонической формы. Рассмотрим задачу вот такого вида:

Важно, что функция f ( x ) является именно функцией, а в роли чисел а и b должны выступать именно числа (без всяких переменных x ). Разумеется, буквально через минуту мы рассмотрим и такие случаи, когда вместо переменных а и b стоят функции, но сейчас не об этом.

Как мы помним, число b нужно заменить логарифмом по тому же самому основанию а, которое стоит слева. Это делается очень просто:

Разумеется, под словом «любое число b » и «любое число а» подразумеваются такие значения, которые удовлетворяют области определения. В частности, в данном уравнении речь идет лишь основание a > 0 и a ≠ 1.

Однако данное требование выполняется автоматически, потому что в исходной задаче уже присутствует логарифм по основанию а — оно заведомо будет больше 0 и не равно 1. Поэтому продолжаем решение логарифмического уравнения:

log _a f ( x ) = log _a a b

Подобная запись называется канонической формой. Ее удобство состоит в том, что мы сразу можем избавиться от знака log, приравняв аргументы:

Именно этот прием мы сейчас будем использовать для решения логарифмических уравнений с переменным основанием. Итак, поехали!

log₂ ( x 2 + 4 x + 11) = log_0,5 0,125

Что дальше? Кто-то сейчас скажет, что нужно вычислить правый логарифм, либо свести их к одному основанию, либо что-то еще. И действительно, сейчас нужно привести оба основания к одному виду — либо 2, либо 0,5. Но давайте раз и навсегда усвоим следующее правило:

Если в логарифмическом уравнении присутствуют десятичные дроби, обязательно переведите эти дроби из десятичной записи в обычную. Такое преобразование может существенно упростить решение.

Подобный переход нужно выполнять сразу, еще до выполнения каких-либо действий и преобразований. Давайте посмотрим:

Что нам дает такая запись? Мы можем 1/2 и 1/8 представить как степень с отрицательным показателем:

[Подпись к рисунку]

Перед нами каноническая форма. Приравниваем аргументы и получаем классическое квадратное уравнение:

Перед нами приведенное квадратное уравнение, которое легко решается с помощью формул Виета. Подобные выкладки в старших классах вы должны видеть буквально устно:

Вот и все! Исходное логарифмическое уравнение решено. Мы получили два корня.

Напомню, что определять область определения в данном случае не требуется, поскольку функция с переменной х присутствует лишь в одном аргументе. Поэтому область определения выполняется автоматически.

Итак, первое уравнение решено. Переходим ко второму:

log_0,5 (5 x 2 + 9 x + 2) = log₃ 1/9

Как и в прошлый раз, рекомендую избавиться от десятичных дробей:

log_1/2 (5 x 2 + 9 x + 2) = log₃ 9 −1

[Подпись к рисунку]

И вот сейчас мы выполнили очень важный шаг в решении логарифмического уравнения. Возможно, кто-то что-то не заметил, поэтому давайте я поясню.

Взгляните на наше уравнение: и слева, и справа стоит знак log, но слева стоит логарифм по основанию 2, а справа стоит логарифм по основанию 3. Тройка не является целой степенью двойки и, наоборот: нельзя записать, что 2 — это 3 в целой степени.

Следовательно, это логарифмы с разными основаниями, которые не сводятся друг к другу простым вынесением степеней. Единственный путь решения таких задач — избавиться от одного из этих логарифмов. В данном случае, поскольку мы пока рассматриваем довольно простые задачи, логарифм справа просто сосчитался, и мы получили простейшее уравнение — именно такое, о котором мы говорили в самом начале сегодняшнего урока.

Давайте представим число 2, которое стоит справа в виде log₂ 2 2 = log₂ 4. А затем избавимся от знака логарифма, после чего у нас остается просто квадратное уравнение:

log₂ (5 x 2 + 9 x + 2) = log₂ 4

Перед нами обычное квадратное уравнение, однако оно не является приведенным, потому что коэффициент при x 2 отличен от единицы. Следовательно, решать мы его будем с помощью дискриминанта:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x ₁ = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

Вот и все! Мы нашли оба корня, а значит, получили решение исходного логарифмического уравнения. Ведь в исходной задачи функция с переменной х присутствует лишь в одном аргументе. Следовательно, никаких дополнительных проверок на область определения не требуется — оба корня, которые мы нашли, заведомо отвечают всем возможным ограничениям.

На этом можно было бы закончить сегодняшний видеоурок, но в заключении я хотел бы сказать еще раз: обязательно переводите все десятичные дроби в обычные при решении логарифмических уравнений. В большинстве случаев это существенно упрощает их решение.

Редко, очень редко попадаются задачи, в которых избавление от десятичных дробей лишь усложняет выкладки. Однако в таких уравнениях, как правило, изначально видно, что избавляться от десятичных дробей не надо.

В большинстве остальных случаев (особенно если вы только начинаете тренироваться в решении логарифмических уравнений) смело избавляйтесь от десятичных дробей и переводите их в обычные. Потому что практика показывает, что таким образом вы значительно упростите последующее решение и выкладки.

Тонкости и хитрости решения

Сегодня мы переходим к более сложным задачам и будем решать логарифмическое уравнение, в основании которого стоит не число, а функция.

И пусть даже эта функция линейна — в схему решения придется внести небольшие изменения, смысл которых сводится к дополнительным требованиям, накладываемым на область определения логарифма.

Сложные задачи

Этот урок будет довольно длинным. В нем мы разберем два довольно серьезных логарифмических уравнения, при решении которых многие ученики допускают ошибки. За свою практику работы репетитором по математике я постоянно сталкивался с двумя видами ошибок:

Это последний урок, посвященный логарифмическим уравнениям. Он будет длинным, мы разберем сложные логарифмические уравнения. Устраивайтесь поудобней, заварите себе чай, и мы начинаем.

Первое уравнение выглядит вполне стандартно:

Сразу заметим, что оба логарифма являются перевернутыми копиями друг друга. Вспоминаем замечательную формулу:

Однако у этой формулы есть ряд ограничений, которые возникают в том случае, если вместо чисел а и b стоят функции от переменной х:

Эти требования накладываются на основание логарифма. С другой стороны, в дроби от нас требуется 1 ≠ a > 0, поскольку не только переменная a стоит в аргументе логарифма ( следовательно, a > 0), но и сам логарифм находится в знаменателе дроби. Но log _b 1 = 0, а знаменатель должен быть отличным от нуля, поэтому a ≠ 1.

Но вот беда: второе требование ( b ≠ 1) отсутствует в первом неравенстве, посвященном левому логарифму. Другими словами, при выполнении данного преобразования мы должны отдельно проверить, что аргумент b отличен от единицы!

Вот давайте и проверим. Применим нашу формулу:

[Подпись к рисунку]

А теперь, прежде чем идти дальше, выпишем все требования области определения, накладываемые на исходную задачу:

1 ≠ х − 0,5 > 0; 1 ≠ х + 1 > 0

Вот мы и получили, что уже из исходного логарифмического уравнения следует, что и а, и b должны быть больше 0 и не равны 1. Значит, мы спокойно можем переворачивать логарифмическое уравнение:

Предлагаю ввести новую переменную:

В этом случае наша конструкция перепишется следующим образом:

Заметим, что в числителе у нас стоит разность квадратов. Раскрываем разность квадратов по формуле сокращенного умножения:

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Но в числителе стоит произведение, поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:

Давайте приведем каждое из этих уравнений к канонической форме:

Избавляемся от знака логарифма в первом случае и приравниваем аргументы:

Такое уравнение не имеет корней, следовательно, первое логарифмическое уравнение также не имеет корней. А вот со вторым уравнением все намного интересней:

Решаем пропорцию — получим:

Напоминаю, что при решении логарифмических уравнений гораздо удобней приводить все десятичные дроби обычные, поэтому давайте перепишем наше уравнение следующим образом:

x 2 + x − 1/2 x − 1/2 − 1 = 0;

Перед нами приведенное квадратное уравнение, оно легко решается по формулам Виета:

Получили два корня — они являются кандидатами на решение исходного логарифмического уравнения. Для того чтобы понять, какие корни действительно пойдут в ответ, давайте вернемся к исходной задаче. Сейчас мы проверим каждый из наших корней на предмет соответствия области определения:

Эти требования равносильны двойному неравенству:

Отсюда сразу видим, что корень х = −1,5 нас не устраивает, а вот х = 1 вполне устраивает. Поэтому х = 1 — окончательное решение логарифмического уравнения.

Переходим ко второй задаче:

На первый взгляд может показаться, что у всех логарифмов разные основания и разные аргументы. Что делать с такими конструкциями? В первую очередь заметим, что числа 25, 5 и 625 — это степени 5:

А теперь воспользуемся замечательным свойством логарифма. Дело в том, что можно выносить степени из аргумента в виде множителей:

На данное преобразование также накладываются ограничения в том случае, когда на месте b стоит функция. Но у нас b — это просто число, и никаких дополнительных ограничений не возникает. Перепишем наше уравнение:

Получили уравнение с тремя слагаемыми, содержащими знак log. Причем аргументы всех трех логарифмов равны.

Самое время перевернуть логарифмы, чтобы привести их к одному основанию — 5. Поскольку в роли переменной b выступает константа, никаких изменений области определения не возникает. Просто переписываем:

[Подпись к рисунку]

Как и предполагалось, в знаменателе «вылезли» одни и те же логарифмы. Предлагаю выполнить замену переменной:

В этом случае наше уравнение будет переписано следующим образом:

Выпишем числитель и раскроем скобки:

2 ( t + 3) ( t + 2) + t ( t + 2) − 4 t ( t + 3) = 2 ( t 2 + 5 t + 6) + t 2 + 2 t − 4 t 2 − 12 t = 2 t 2 + 10 t + 12 + t 2 + 2 t − 4 t 2 − 12 t = − t 2 + 12

Возвращаемся к нашей дроби. Числитель должен быть равен нулю:

[Подпись к рисунку]

А знаменатель — отличен от нуля:

Последние требования выполняются автоматически, поскольку все они «завязаны» на целые числа, а все ответы — иррациональные.

Итак, дробно-рациональное уравнение решено, значения переменной t найдены. Возвращаемся к решению логарифмического уравнения и вспоминаем, что такое t :

[Подпись к рисунку]

Приводим это уравнение к канонической форме, получим число с иррациональной степенью. Пусть это вас не смущает — даже такие аргументы можно приравнять:

[Подпись к рисунку]

У нас получилось два корня. Точнее, два кандидата в ответы — проверим их на соответствие области определения. Поскольку в основании логарифма стоит переменная х, потребуем следующее:

С тем же успехом утверждаем, что х ≠ 1/125, иначе основание второго логарифма обратится в единицу. Наконец, х ≠ 1/25 для третьего логарифма.

Итого мы получили четыре ограничения:

1 ≠ х > 0; х ≠ 1/125; х ≠ 1/25

А теперь вопрос: удовлетворяют ли наши корни указанным требованиям? Конечно удовлетворяют! Потому что 5 в любой степени будет больше нуля, и требование х > 0 выполняется автоматически.

Итак, мы получили окончательный ответ. Ключевых моментов в данной задаче два:

В общем, при решении сложных логарифмических уравнений обязательно выписывайте исходную область определения. А у меня на сегодня все.:)

Источник