Как решить квадрат разности

Формулы сокращённого умножения

Продолжаем изучать многочлены. В данном уроке мы научимся перемножать многочлены с помощью формул сокращённого умножения.

Квадрат суммы двух выражений

Выражение (2x + 3y) 2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2x + 3y)

Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

То есть выражение (2x + 3y) 2 равно 4x 2 + 12xy + 9y 2

Решим аналогичный пример, который попроще:

Выражение (a + b) 2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a + b)

Выполним это умножение:

То есть выражение (a + b) 2 равно a 2 + 2ab + b 2

Тождество (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Первый способ:

Второй способ:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

Пример 2. Преобразовать выражение (5a + 3) 2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

(5a + 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5a × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата суммы. У нас должен получиться тот же результат:

Формула квадрата суммы двух выражений имеет геометрический смысл. Мы помним, что для вычисления площади квадрата нужно возвести во вторую степень его сторону.

Рассмотрим следующий рисунок:

Получился новый квадрат, который больше предыдущего. Чтобы хорошо увидеть его, достроим отсутствующие стороны:

Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно по отдельности вычислить квадраты и прямоугольники, входящие в него, затем сложить полученные результаты.

В результате получается следующая сумма площадей:

Квадрат разности двух выражений

Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:

Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b) 2 представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b)

Если выполнить это умножение, то получится многочлен a 2 − 2ab + b 2

Пример 1. Преобразовать выражение (7x − 5) 2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

(7x − 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:

Рассмотрим следующий рисунок:

Тогда можно написать следующее выражение: старая площадь a 2 минус площадь ab минус площадь (a − b)b

Раскроем скобки в выражении (a − b)b

Приведем подобные слагаемые:

Формулы квадрата суммы и квадрата разности в общем называют формулами сокращённого умножения. Эти формулы позволяют значительно упростить и ускорить процесс перемножения многочленов.

Ранее мы говорили, что рассматривая член многочлена по отдельности, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается.

Но применяя формулы сокращённого умножения, знак исходного многочлена не следует рассматривать в качестве знака самого этого члена.

и в таком случае нужно применять не формулу квадрата разности, а формулу квадрата суммы:

Куб суммы и куб разности

Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:

Формулу куба суммы двух выражений можно прочитать так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

А формулу куба разности двух выражений можно прочитать так:

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

При решении задач желательно знать эти формулы наизусть. Если не запомнили — не беда! Их можно выводить самостоятельно. Мы это уже умеем.

Выведем формулу куба суммы самостоятельно:

Выражение (a + b) 3 представляет собой произведение из трёх многочленов, каждый из которых равен (a + b)

Но выражение (a + b) 3 также может быть записано как (a + b)(a + b) 2

А это есть умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

Аналогично можно вывести формулу куба разности двух выражений:

Пример 1. Преобразуйте выражение (x + 1) 3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:

(x + 1) 3 = x 3 + 3 × x 2 × 1 + 3 × x × 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Попробуем решить данный пример, не используя формулу куба суммы двух выражений. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

Пример 2. Преобразовать выражение (6a 2 + 3b 3 ) 3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:

(6a 2 + 3b 3 ) 3 = (6a 2 ) 3 + 3 × (6a 2 ) 2 × 3b 3 + 3 × 6a 2 × (3b 3 ) 2 + (3b 3 ) 3 = 216a 6 + 3 × 36a 4 × 3b 3 + 3 × 6a 2 × 9b 6 + 27b 9

Пример 3. Преобразовать выражение (n 2 − 3) 3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:

(n 2 − 3) 3 = (n 2 ) 3 − 3 × (n 2 ) 2 × 3 + 3 × n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

Пример 4. Преобразовать выражение (2x 2 − x 3 ) 3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:

Умножение разности двух выражений на их сумму

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на их сумму. Например:

В этом выражении разность двух выражений a и b умножена на сумму этих же двух выражений. Выполним данное умножение:

То есть выражение (a − b)(a + b) равно a 2 − b 2

Видим, что при умножении разности двух выражений на их сумму, получается разность квадратов этих выражений.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 5)(2x + 5)

В этом примере разность выражений 2x и 5 умножена на сумму этих же выражений. Тогда согласно формуле (a − b)(a + b) = a 2 − b 2 имеем:

Вычислим правую часть, получим 4x 2 − 25

Пример 2. Выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

Пример 3. Выполнить умножение (2a + 3b)(2a − 3b)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

В данном примере сумма членов 2a и 3b располагалась раньше, чем разность этих членов. А в формуле (a − b)(a + b) = a 2 − b 2 разность располагается раньше.

Пример 3. Выполнить умножение (7 + 3x)(3x − 7)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

Пример 4. Выполнить умножение (x 2 − y 3 )(x 2 + y 3 )

Пример 5. Выполнить умножение (−5x − 3y)(5x − 3y)

Произведение (5x + 3y)(5x − 3y) заменим на разность квадратов:

Далее вычисляем выражение в скобках:

Теперь умножим −1 на выражение в скобках и получим окончательный результат:

Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на неполный квадрат их суммы. Выглядит это произведение следующим образом:

Первый многочлен (a − b) является разностью двух выражений, а второй многочлен (a 2 + ab + b 2 ) является неполным квадратом суммы этих двух выражений.

Итак, умножим разность (a − b) на неполный квадрат суммы a 2 + ab + b 2

Это тождество называют формулой умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2 )

Пример 2. Выполнить умножение (3 − x)(9 + 3x + x 2 )

Первый многочлен (3 − x) является разностью двух выражений, а второй многочлен является неполным квадратом суммы этих двух выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3

Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности

Встречаются задачи, в которых требуется умножить сумму двух выражений на неполный квадрат их разности. Выглядит это произведение следующим образом:

Первый многочлен (a + b) является суммой двух выражений, а второй многочлен (a 2 − ab + b 2 ) является неполным квадратом разности этих двух выражений.

Вернёмся к изначальному примеру. Умножим сумму a + b на неполный квадрат разности a 2 − ab + b 2

Это тождество называют формулой умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2 )

Пример 2. Выполнить умножение (2x + y)(4x 2 − 2xy + y 2 )

Первый многочлен (2x + y) является суммой двух выражений, а второй многочлен (4x 2 − 2xy + y 2 ) является неполным квадратом разности этих выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3

Источник

Как использовать квадрат разности (a − b) 2

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Применение квадрата разности для разложения многочлена на множители

Вспомним, как выглядит формула квадрата разности.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2

Рассмотрим многочлен. Требуется разложить его на множители, используя формулу квадрата разности.

Используем для многочлена « d 2 − 2dc + c 2 » формулу квадрата разности.

Рассмотрим другой пример. Необходимо возвести в квадрат многочлен.

Используем формулу квадрата разности. Только вместо « a » у нас будет « 5z », а вместо « b » — « t ».

Часто возводят многочлен в квадрат следующим образом:

Рассмотрим пример сложнее. Требуется разложить многочлен на множители.

В этом многочлене не так очевидно, что будет являться в формуле « a », « 2ab », а что « b ». Представим многочлен в виде « a 2 − 2ab + b 2 ».

Применение нескольких способов для разложения многочлена на множители

Рассмотрим пример, где для разложения многочлена на множители нам потребуется использовать вынесение общего множителя и формулу квадрата разности.

Обратим внимание, что в многочлене « −2a 2 + 8ab − 8b 2 » стоят знаки противоположные правой части формулы квадрата разности « a 2 − 2ab + b 2 ».

Вынесем общий множитель «−2» за скобки.

После вынесения общего множителя многочлен « a 2 − 4ab + 4b 2 » в скобках стал напоминать правую часть формулы квадрата разности « a 2 − 2ab + b 2 ».

Используем формулу квадрата разности и завершим решение примера.

Источник