Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

РСшСниС кубичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ β€” ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСний

Всё, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ связано с ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ. ΠŸΠΎΠΆΠ°Π»ΡƒΠΉ, Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, Ρ…ΠΈΠΌΠΈΠΈ Π½Π΅ обходится Π±Π΅Π· составлСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ». ОсобоС мСсто ΠΏΡ€ΠΈ расчётах Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ кубичСскиС уравнСния. РСшСниС практичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, поэтому Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ вычислСния. Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄Ρ‹, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ довольно быстро Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ уравнСния ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ»ΠΈΡΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ Π² Π”Ρ€Π΅Π²Π½Π΅ΠΉ Π“Ρ€Π΅Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π•Π³ΠΈΠΏΡ‚Π΅. АрхСологами Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ‹ клинописныС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ XVI Π²Π΅ΠΊΠ° Π΄ΠΎ нашСй эры, содСрТащиС описаниС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. ВычислСниСм ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² занимался Π“ΠΈΠΏΠΏΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚, ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ свСсти Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‘ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… инструмСнтов. АрхимСд использовал для поиска ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° пСрСсСчСниС Π΄Π²ΡƒΡ… конусов.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π’ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π±Ρ‹Π»ΠΈ описаны Π² китайском ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ Β«ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π² дСвяти ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°Ρ…Β», составлСнном Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ столСтии Π΄ΠΎ нашСй эры. Π’ сСдьмом Π²Π΅ΠΊΠ΅ ΠžΠΌΠ°Ρ€ Π₯айям Π½Π° основании своих Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Π¨Π°Ρ€Π°Ρ„ Π°Π΄-Π”ΠΈΠ½ ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ ΠΎΠ± уравнСниях, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ описываСт восСмь Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² кубичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ своих вычислСниях ΠΎΠ½ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ. Π£Ρ‡Ρ‘Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π» ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ с использованиСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ экстрСмумов, Π½ΠΎ ΠΈ понял Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ дискриминанта ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ².

Π’ 1530 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΈΡ‚Π°Π»ΡŒΡΠ½ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Никколо Π’Π°Ρ€Ρ‚Π°Π»ΡŒΡ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΠΊΡƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠ½ послС подСлился с Π”ΠΆΠ΅Ρ€ΠΎΠ»Π°ΠΌΠΎ ΠšΠ°Ρ€Π΄Π°Π½ΠΎ. Богласно этому способу Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ с этими исслСдованиями, основополоТник символичСской Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Ѐрансуа Π’ΠΈΠ΅Ρ‚, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ свой способ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ кубичСского равСнства с трСмя корнями. ПозднСС Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ описал ΠΈ обосновал Π Π΅Π½Π΅ Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°: a*y 3 + d*y 2 + c*y + n = 0. Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠ½ΠΎ называСтся кососиммСтричСским. Число y, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ подстановкС ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π² тоТдСство. НазываСтся ΠΎΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ уравнСния ΠΈΠ»ΠΈ просто Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ этого, y Π΅Ρ‰Ρ‘ являСтся ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΊΡƒΠ±Π°.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² кубичСских уравнСниях стоит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° пСрСмСнная Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни. Они всСгда ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈ корня. ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ комплСксными (Π½ΠΎ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π²ΡƒΡ…).

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π³ΠΎ равСнства ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ разлоТСния кубичСского уравнСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Когда послСдний Ρ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈ n = 0, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ :

a*y 3 + d*y 2 + c*y + n = 0.

Π’ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ прСдставлСн ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° нСизвСстноС, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ y ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти Π·Π° скобки: y*(d*y 2 + c) = 0. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках являСтся классичСским ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ нСсколькими способами:

ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. НапримСр, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ равСнство Π²ΠΈΠ΄Π°: *y 2 β€” 11*y β€” 16 = 0. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ: 3*y ΠΈ y. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ сразу ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках: (3 * + n) * (y + n) = 0. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния 2*2 ΠΈΠ»ΠΈ 1*4, Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ (3 *y +1) * (y β€” 16).

Если Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ скобки, Ρ‚ΠΎ получится равСнство 3*y 2 β€” 12 *y + y + 16. РСшСниСм (-12*y + y) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ (-11*y). Как Ρ€Π°Π· Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ‡Π»Π΅Π½, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2*2 β€” искомый Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π΅ получится.

РавСнство Ρ€Π°ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π½Π° Π΄Π²Π° мноТитСля: (3*y +1) (Ρ… β€” 16) = 0. Богласно аксиомС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΠ² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° равСнства: 3*y + 1 = 0 ΠΈ y β€” 16 = 0. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… получится Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°: y = 1/3 ΠΈ y = 16.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠ±Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния сущСствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π²Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π° для кубичСского Ρ‚Ρ€ΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π² этом случаС Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΈΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ноль. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ уравнСния Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈ корня: 0, 1/3, 16.

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

Если ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ³Ρ€Π΅ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. Π’ этом случаС ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ разлоТСния Π½Π° свободныС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. НапримСр, 2 * y 3 + 9 * y 2 +13 * y + 6 = 0. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ нСизвСстноС, ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ порядка:

ВычислСниС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа опСрация долгая ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ внимания. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ для быстрого нахоТдСния ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ схСмС Π“ΠΎΡ€Π½Π΅Ρ€Π°. По этой схСмС Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ Π½Π° коэффициСнты всСх Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² равСнства. Если Π² ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ получаСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ цСлая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ эти числа ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ выраТСния.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ИспользованиС дискриминанта

Дискриминант стСпСнного выраТСния прСдставляСт ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² разностСй ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… сочСтаниях. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Π±Π΅Ρ€ΡƒΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ, ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‰ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° ΠΈ возводят Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π±Π΅Ρ€ΡƒΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ дСйствия. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π±ΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‚ всС Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ находят Π΄Π΅Π»ΡŒΡ‚Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½. Ξ”1 = 2 * d 3 β€” 9 * a * d * c + 27 * a 2 * n. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² значСния Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ Ξ”1:

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅, ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ равСнством находят дискриминант: d 2 β€” 4 * a * c. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊ кубичСскому Π²ΠΈΠ΄Ρƒ примСняСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Если ΠΆΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ β€” ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²Π°. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ кубичСского Π²ΠΈΠ΄Π° всСгда Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ось икс.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π΄Π΅Π»ΡŒΡ‚Π°-ноль ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· этого, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Вычислив Π‘, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния. Π—Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ нСобходимости Π΄Π΅Π»ΡŒΡ‚Ρ‹, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ равСнство:

C = ((Ξ” 1 2 β€” 4 Ξ” 0 3 ) +Ξ”) / 2) Β½ = (((0 β€” 0) + 0)/2) Β½ = 0.

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅: u n C + Ξ”0/(u n C)) / 3*a, Π³Π΄Π΅ u = (-1 + √(-3))/2, Π° n Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ, Π΄Π²ΡƒΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€Ρ‘ΠΌ. Если ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ эти значСния Π² равСнство, ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚ΠΎ эта Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° ΠΈ являСтся Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ уравнСния. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ способ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π½ΠΎ довольно слоТный. Но Ссли Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ любой слоТности Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π° ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°: a*y 3 + d = 0 называСтся Π΄Π²ΡƒΡ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Для Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ равСнство привСсти ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ: y 3 + d/a = 0. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ сокращённого умноТСния для суммы ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ:

(y + 3 √ d/a) * (y 2 βˆ’ ( 3 √ d/a)* y + 3 √ (d/a) 2 ) = 0.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Из ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ мноТитСля ΠΈ находят Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ³Ρ€Π΅ΠΊΠ°. Оно Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3 √ d/a, вСдь Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ β€” это ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ с корнями комплСксного Π²ΠΈΠ΄Π°.

Для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… равСнств ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°. Богласно Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния связаны с коэффициСнтами выраТСниями:

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ, Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ уравнСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°ΠΆΠ΅ устно. НапримСр, y 3 + 2y β€” 24 = 0. РСшСниС выполняСтся Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ:

Частным случаСм примСнСния Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для кубичСского равСнства:

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ для Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ, Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΅Ρ‰Ρ‘ сущСствуСт аналитичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€

ВычислСниС ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ усСрдия. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ быстро Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ ΠΈ практичСскиС занятия. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ ΠΆΠ΅, Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ уравнСния Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ самому.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Но ΠΏΡ€ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ вычислСнии сущСствуСт Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ допущСния ошибки. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ приходят своСго Ρ€ΠΎΠ΄Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΈ-ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. Они ΡƒΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΈ быстро ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ равСнства, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ вычислСниС. Благодаря этому ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ просто ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, Π½ΠΎ ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π½ΡŽΠ°Π½ΡΡ‹, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ свои знания.

Из Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ популярных ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚-ΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π°Π»ΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ кубичСского уравнСния ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ: mathforyou. net, allcalc.ru, wedmath.ru, kontrolnaya-radota.ru. Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ сайтами-Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡΠΌΠΈ смоТСт любой ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ прСдставлСниС ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Для этого Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ просто Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Π½Π° страницС поля ΠΈ Π½Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ Β«Π Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΒ» ΠΈΠ»ΠΈ Β«Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒΒ». ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ сам Π½Π° основании Π·Π°ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚ΠΎ β€” ΠšΠ°Ρ€Π΄Π°Π½ΠΎ, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ расчёт ΠΈ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ Π½Π° экран ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ этого, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с описаниСм. На этих сайтах Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

РСшСниС кубичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, содСрТащСС коэффициСнты с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ комплСксно-сопряТСнной ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠΉ. Π‘ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ рассмотрСны уравнСния с Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ с поиском Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Вся информация Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ.

РСшСниС Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ кубичСского уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π° A x 3 + B = 0

РСшСниС

НСобходимо Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ… ΠΈΠ· уравнСния. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ:

НСобходимо ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ сокращСнного умноТСния. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

РСшСниС Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ кубичСского уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π° A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

РСшСниС

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ. НСобходимо произвСсти Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

РСшСниС кубичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями

РСшСниС

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 Β· x 3 + B Β· A 2 Β· x 2 + C Β· A Β· A Β· x + D Β· A 2 = 0 y = A Β· x β‡’ y 3 + B Β· y 2 + C Β· A Β· y + D Β· A 2

РСшСниС

РСшСниС кубичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠšΠ°Ρ€Π΄Π°Π½ΠΎ

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ p ΠΈ q Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠšΠ°Ρ€Π΄Π°Π½ΠΎ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

РСшСниС

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ подстановку Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠšΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

— 343 216 3 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈ значСния. Рассмотрим ΠΈΡ… Π½ΠΈΠΆΠ΅.

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠšΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎ:

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ кубичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ свСдСниС ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ 4 стСпСни ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π€Π΅Ρ€Ρ€Π°Ρ€ΠΈ.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ уравнСния. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ дСлСния Π² столбик. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ *

Π­Ρ„Ρ„Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сущСствуСт!

ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ нашли Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ для Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» Β«ΠšΠ°Ρ‚Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΒ» ΠΈ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ знания Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅. Для этого достаточно Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, справочныС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для Π•Π“Π­ пригодятся Π²Π°ΠΌ ΠΈ для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… СстСствСннонаучных дисциплин, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°, химия ΠΈ Ρ‚. Π΄.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°

\[a_nx^n+a_x^+\dots+a_1x+a_0=0 \qquad \qquad (1)\]

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°

БлСдствиС: количСство ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ алгСбраичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСни \(n\) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ \(n\) ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

Π’ частности, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ всСгда Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ: Π΄Π²Π°, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ (ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…) ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня.

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ частноС ΠΎΡ‚ дСлСния ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ, ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ способом, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ рассмотрим Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

РСшСниС.
Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π² столбик. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ

РассуТдая Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, опрСдСляСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ слагаСмоС Π² частном Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ \(-x\)

Π§Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ΅ слагаСмоС Π² частном Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ \(-3\) :

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

1) ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \(n\) – Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ \(x=-1\) :

\(a_n\cdot (-1)^n+a_\cdot (-1)^+a_\cdot (-1)^+\dots+a_1\cdot (-1)+a_0=0 \quad\Rightarrow\) \(a_n-a_+a_-\dots-a_1+a_0=0 \quad \Rightarrow\) \(a_n+a_+\dots+a_0=a_+a_+\dots+a_1\)

2) Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° \(n\) – Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, доказываСтся Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π’ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ \(x^3+2x^2-8x+5=0\) сумма коэффициСнтов Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ:

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, число \(x=1\) являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния.

МоТно Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π² столбик \(x^3+2x^2-8x+5\) Π½Π° \(x-1\) :

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ нашли всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ исходного уравнСния.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

МоТно Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π² столбик \(x^3-x^2+x+3\) Π½Π° \(x+1\) :

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠΎΠ΄Π±ΠΎΡ€ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² столбик ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния.

БущСствуСт Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ваТная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ алгСбраичСского уравнСния, Ссли Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ имССтся.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°

Если алгСбраичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm 3, \ \pm\dfrac32\]

По ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΌ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ быстро ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(\pm1\) Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ корнями. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² \(x=-\dfrac12\) Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

\[2\cdot \dfrac1<16>+5\cdot \dfrac18-\dfrac 14+5\cdot \dfrac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, число \(x=-\frac12\) являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ уравнСния.

\[\left(x+\frac12\right)(x-3)\cdot Q_2(x)=0 \quad \text<ΠΈΠ»ΠΈ>\quad (2x+1)(x-3)\cdot P_2(x)=0\] (Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° \(P_2(x)=\frac12 Q_2(x)\) ). Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²ΠΈΠ΄ записи уравнСния Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ, Ρ‚.ΠΊ. Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ придСтся ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² столбик Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с дробями.

ПослС дСлСния Π² столбик \(2x^4-5x^3-x^2-5x-3\) Π½Π° \((2x+1)(x-3)=2x^2-5x-3\) :

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ всС коэффициСнты – Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа (коэффициСнт ΠΏΡ€ΠΈ \(x\) Ρ€Π°Π²Π΅Π½ \(-\frac<23>6\) ). Но ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π°ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ: Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ ΠΈ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ части уравнСния Π½Π° \(6\) :

\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm \dfrac13, \ \pm \dfrac 16, \ \pm\dfrac18, \ \pm2, \ \pm\dfrac23, \ \pm \dfrac14, \ \pm3\quad \text<\small<ΠΈ Ρ‚.Π΄.>>\]

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ \(P_n(x)=a_nx^n+a_x^+\dots+a_1x+a_0\) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ: Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ( \(ax+b, a\ne 0\) ) ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ( \(cx^2+px+q, c\ne 0\) ) с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ дискриминантом.

БлСдствиС

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) всСгда ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ вСщСствСнный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‚.ΠΊ. Π΅Π³ΠΎ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ всСгда ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Π°ΠΊ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΡ‚ΠΎ сдаСт Π•Π“Π­?

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ всС прСимущСства нашСго ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ систСматизации ΠΈ излоТСнию ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ².

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ уравнСния

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ – ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° \[<\large>,\]

Π³Π΄Π΅ \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) – Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ числа.

для любого числа \(a\) ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ СдинствСнный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

\(<\color>\) ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π° \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… случаях ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

Π‘Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ слагаСмыС Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π΅Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-4)(5x-1)=0\]

Π’ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния:

\[\begin &(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3\\ &x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2) \end\]

Для этого ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ утвСрТдСния:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ число Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, убСТдаСмся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(x=\frac12\) являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ (Ρ‚.ΠΊ. послС подстановки этого числа Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½ΠΎ прСвращаСтся Π² Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ равСнство):

\[2\cdot \left(\frac12\right)^3+5\cdot \left(\frac12\right)^2+3\cdot \frac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

ΠžΠ”Π—: \(x\) – ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅. РСшим Π½Π° ΠžΠ”Π—:

ΠžΠ”Π—: \(x\) – ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅. РСшим Π½Π° ΠžΠ”Π—:

ΠžΠ”Π—: \(x\) – ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅. РСшим Π½Π° ΠžΠ”Π—:

ΠžΠ”Π—: \(x\) – ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅. РСшим Π½Π° ΠžΠ”Π—:

ΠžΠ”Π—: \(x\) – ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅. РСшим Π½Π° ΠžΠ”Π—:

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ лСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ прСдставляСт ΠΈΠ· сСбя ΠΊΡƒΠ± разности: \[(2x)^3-3\cdot (2x)^2\cdot 3+3\cdot (2x)\cdot3^2-3^3=0\quad\Leftrightarrow\quad (2x-3)^3=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\frac32.\]

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ лСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ прСдставляСт ΠΈΠ· сСбя ΠΊΡƒΠ± суммы: \[(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot 1+3\cdot (2x)\cdot1^2+1^3=0\quad\Leftrightarrow\quad (2x+1)^3=0\quad\Leftrightarrow\quad x=-\frac12.\]

Π’ Π•Π“Π­ кубичСскиС уравнСния Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π² Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ задания Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ. НСкоторыС ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ количСство Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² Π² Π•Π“Π­ Π·Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни Π½Π΅Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π½ΠΈΡ… врСмя нСцСлСсообразно. Π‘ этим Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΈΡ‚ΡŒΡΡ. Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, Π² Π•Π“Π­ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π±Π°Π», Π²ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, уравнСния Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ ΡƒΠΆ ΠΈ слоТны, Ссли ΡƒΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ учащийся ΠΌΠΎΠ³ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΈ, Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ задания, стоит Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ нашим ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ рСсурсом.

Β«Π¨ΠΊΠΎΠ»ΠΊΠΎΠ²ΠΎΒ» β€” это ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°, которая позволяСт выпускникам ΠΈΠ· ΠœΠΎΡΠΊΠ²Ρ‹ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ€Π΅Π³ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² с Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ΠΌ матСматичСских Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ кубичСскиС уравнСния, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, тригономСтричСскиС уравнСния ΠΈ эффСктивно ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ сдачС Π•Π“Π­. ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ с повторСния ΠΈΠ»ΠΈ изучСния тСорСтичСского ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅. Β«Π¨ΠΊΠΎΠ»ΠΊΠΎΠ²ΠΎΒ» прСдставляСт вниманию учащихся ΠΈΠ· ΠœΠΎΡΠΊΠ²Ρ‹ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ готовятся ΠΊ Π•Π“Π­, ΠΏΠΎ сути, авторскоС пособиС, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ясно ΠΈ доступно ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ уравнСния».

Помимо излоТСния основных ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», Π²Ρ‹ смоТСтС ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ способы ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠŸΡ€ΠΈ этом стоит ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наши спСциалисты ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Π»ΠΈ вСсьма интСрСсныС Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ экзамСнационныС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Π½ΡƒΠΆΠ½Π° Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» Β«ΠšΠ°Ρ‚Π°Π»ΠΎΠ³Β» ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с уравнСниями Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ уравнСния ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ»ΠΈΡΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ Π² Π”Ρ€Π΅Π²Π½Π΅ΠΉ Π“Ρ€Π΅Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π•Π³ΠΈΠΏΡ‚Π΅. АрхСологами Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ‹ клинописныС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ XVI Π²Π΅ΠΊΠ° Π΄ΠΎ нашСй эры, содСрТащиС описаниС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. ВычислСниСм ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² занимался Π“ΠΈΠΏΠΏΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚, ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ свСсти Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‘ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… инструмСнтов. АрхимСд использовал для поиска ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° пСрСсСчСниС Π΄Π²ΡƒΡ… конусов.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π’ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π±Ρ‹Π»ΠΈ описаны Π² китайском ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ Β«ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π² дСвяти ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°Ρ…Β», составлСнном Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ столСтии Π΄ΠΎ нашСй эры. Π’ сСдьмом Π²Π΅ΠΊΠ΅ ΠžΠΌΠ°Ρ€ Π₯айям Π½Π° основании своих Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Π¨Π°Ρ€Π°Ρ„ Π°Π΄-Π”ΠΈΠ½ ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ ΠΎΠ± уравнСниях, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ описываСт восСмь Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² кубичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ своих вычислСниях ΠΎΠ½ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ. Π£Ρ‡Ρ‘Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π» ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ с использованиСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ экстрСмумов, Π½ΠΎ ΠΈ понял Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ дискриминанта ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ².

Π’ 1530 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΈΡ‚Π°Π»ΡŒΡΠ½ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Никколо Π’Π°Ρ€Ρ‚Π°Π»ΡŒΡ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΠΊΡƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠ½ послС подСлился с Π”ΠΆΠ΅Ρ€ΠΎΠ»Π°ΠΌΠΎ ΠšΠ°Ρ€Π΄Π°Π½ΠΎ. Богласно этому способу Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ с этими исслСдованиями, основополоТник символичСской Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Ѐрансуа Π’ΠΈΠ΅Ρ‚, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ свой способ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ кубичСского равСнства с трСмя корнями. ПозднСС Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ описал ΠΈ обосновал Π Π΅Π½Π΅ Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°: a*y 3 + d*y 2 + c*y + n = 0. Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠ½ΠΎ называСтся кососиммСтричСским. Число y, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ подстановкС ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π² тоТдСство. НазываСтся ΠΎΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ уравнСния ΠΈΠ»ΠΈ просто Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ этого, y Π΅Ρ‰Ρ‘ являСтся ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΊΡƒΠ±Π°.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² кубичСских уравнСниях стоит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° пСрСмСнная Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни. Они всСгда ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈ корня. ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ комплСксными (Π½ΠΎ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π²ΡƒΡ…).

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π³ΠΎ равСнства ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ разлоТСния кубичСского уравнСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Когда послСдний Ρ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈ n = 0, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ :

a*y 3 + d*y 2 + c*y + n = 0.

Π’ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ прСдставлСн ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° нСизвСстноС, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ y ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти Π·Π° скобки: y*(d*y 2 + c) = 0. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках являСтся классичСским ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ нСсколькими способами:

ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. НапримСр, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ равСнство Π²ΠΈΠ΄Π°: *y 2 β€” 11*y β€” 16 = 0. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ: 3*y ΠΈ y. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ сразу ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках: (3 * + n) * (y + n) = 0. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния 2*2 ΠΈΠ»ΠΈ 1*4, Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ (3 *y +1) * (y β€” 16).

Если Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ скобки, Ρ‚ΠΎ получится равСнство 3*y 2 β€” 12 *y + y + 16. РСшСниСм (-12*y + y) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ (-11*y). Как Ρ€Π°Π· Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ‡Π»Π΅Π½, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2*2 β€” искомый Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π΅ получится.

РавСнство Ρ€Π°ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π½Π° Π΄Π²Π° мноТитСля: (3*y +1) (Ρ… β€” 16) = 0. Богласно аксиомС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΠ² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° равСнства: 3*y + 1 = 0 ΠΈ y β€” 16 = 0. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… получится Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°: y = 1/3 ΠΈ y = 16.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠ±Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния сущСствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π²Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π° для кубичСского Ρ‚Ρ€ΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π² этом случаС Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΈΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ноль. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ уравнСния Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈ корня: 0, 1/3, 16.

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

Если ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ³Ρ€Π΅ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. Π’ этом случаС ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ разлоТСния Π½Π° свободныС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. НапримСр, 2 * y 3 + 9 * y 2 +13 * y + 6 = 0. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ нСизвСстноС, ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ порядка:

ВычислСниС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа опСрация долгая ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ внимания. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ для быстрого нахоТдСния ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ схСмС Π“ΠΎΡ€Π½Π΅Ρ€Π°. По этой схСмС Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ Π½Π° коэффициСнты всСх Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² равСнства. Если Π² ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ получаСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ цСлая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ эти числа ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ выраТСния.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ИспользованиС дискриминанта

Дискриминант стСпСнного выраТСния прСдставляСт ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² разностСй ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… сочСтаниях. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Π±Π΅Ρ€ΡƒΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ, ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‰ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° ΠΈ возводят Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π±Π΅Ρ€ΡƒΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ дСйствия. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π±ΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‚ всС Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ находят Π΄Π΅Π»ΡŒΡ‚Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½. Ξ”1 = 2 * d 3 β€” 9 * a * d * c + 27 * a 2 * n. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² значСния Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ Ξ”1:

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅, ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ равСнством находят дискриминант: d 2 β€” 4 * a * c. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊ кубичСскому Π²ΠΈΠ΄Ρƒ примСняСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Если ΠΆΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ β€” ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²Π°. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ кубичСского Π²ΠΈΠ΄Π° всСгда Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ось икс.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π΄Π΅Π»ΡŒΡ‚Π°-ноль ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· этого, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Вычислив Π‘, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния. Π—Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ нСобходимости Π΄Π΅Π»ΡŒΡ‚Ρ‹, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ равСнство:

C = ((Ξ” 1 2 β€” 4 Ξ” 0 3 ) +Ξ”) / 2) Β½ = (((0 β€” 0) + 0)/2) Β½ = 0.

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅: u n C + Ξ”0/(u n C)) / 3*a, Π³Π΄Π΅ u = (-1 + √(-3))/2, Π° n Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ, Π΄Π²ΡƒΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€Ρ‘ΠΌ. Если ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ эти значСния Π² равСнство, ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚ΠΎ эта Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° ΠΈ являСтся Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ уравнСния. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ способ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π½ΠΎ довольно слоТный. Но Ссли Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ любой слоТности Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π° ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°: a*y 3 + d = 0 называСтся Π΄Π²ΡƒΡ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Для Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ равСнство привСсти ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ: y 3 + d/a = 0. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ сокращённого умноТСния для суммы ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ:

(y + 3 √ d/a) * (y 2 βˆ’ ( 3 √ d/a)* y + 3 √ (d/a) 2 ) = 0.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Из ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ мноТитСля ΠΈ находят Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ³Ρ€Π΅ΠΊΠ°. Оно Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3 √ d/a, вСдь Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ β€” это ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ с корнями комплСксного Π²ΠΈΠ΄Π°.

Для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… равСнств ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°. Богласно Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния связаны с коэффициСнтами выраТСниями:

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ, Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ уравнСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°ΠΆΠ΅ устно. НапримСр, y 3 + 2y β€” 24 = 0. РСшСниС выполняСтся Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ:

Частным случаСм примСнСния Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для кубичСского равСнства:

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ для Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ, Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΅Ρ‰Ρ‘ сущСствуСт аналитичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€

ВычислСниС ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ усСрдия. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ быстро Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ ΠΈ практичСскиС занятия. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ ΠΆΠ΅, Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ уравнСния Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ самому.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Но ΠΏΡ€ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ вычислСнии сущСствуСт Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ допущСния ошибки. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ приходят своСго Ρ€ΠΎΠ΄Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΈ-ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. Они ΡƒΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΈ быстро ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ равСнства, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ вычислСниС. Благодаря этому ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ просто ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, Π½ΠΎ ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π½ΡŽΠ°Π½ΡΡ‹, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ свои знания.

Из Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ популярных ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚-ΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π°Π»ΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ кубичСского уравнСния ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ: mathforyou. net, allcalc.ru, wedmath.ru, kontrolnaya-radota.ru. Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ сайтами-Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡΠΌΠΈ смоТСт любой ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ прСдставлСниС ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Для этого Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ просто Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Π½Π° страницС поля ΠΈ Π½Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ Β«Π Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΒ» ΠΈΠ»ΠΈ Β«Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒΒ». ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ сам Π½Π° основании Π·Π°ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚ΠΎ β€” ΠšΠ°Ρ€Π΄Π°Π½ΠΎ, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ расчёт ΠΈ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ Π½Π° экран ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ этого, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с описаниСм. На этих сайтах Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *