Как решить косинус альфа
Теорема косинусов и синусов
Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Формула Теоремы Пифагора:
a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.
В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:
В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).
cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.
Что и требовалось доказать.
Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.
С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:
Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.
Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
Приравниваем правые части уравнений:
Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.
Определим стороны b и c:
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:
Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.
Косинусы углов треугольника
Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:
Определение угла с помощью косинуса
А теперь обратим внимание на углы.
Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).
Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.
Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.
Примеры решения задач
При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.
Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.
∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.
Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет
tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C
ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B
tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B
ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Основное тригонометрическое тождество
sin 2 α + cos 2 α = 1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :
A B 2 + O B 2 = O A 2
sin 2 α + cos 2 α = R 2
sin 2 α + cos 2 α = 1
Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
Тригонометрия: градусы и радианы
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β :
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
Тригонометрия: Теорема синусов
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Тригонометрия: Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
Это тема 10-11 классов.
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!
Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Угол поворота
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Синус (sin) угла поворота
При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Основные функции тригонометрии
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
Основное тригонометрическое тождество
9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Связь между sin и cos одного угла
Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.
Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.
Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:
sin 2 α + cos 2 α = 1
Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.
Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.
В результате деления получаем:
Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.
Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.
Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1
Образовался прямоугольный треугольник OA1B.
Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:
Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.
Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.
Исходя из определений:
Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества
задаются sin и cos углов.
Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.
Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества
верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.
применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Связь между тангенсом и котангенсом
Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.
Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.
Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.
tg α * ctg α = 1.
Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.
Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.
Тангенс и косинус, котангенс и синус
Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.
Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:
Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.
Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.
Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.
Основные тригонометрические тождества
sin 2 α + cos 2 α = 1
tg 2 α + 1 = 
1 + ctg 2 α = 
Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.
Примеры решения задач
Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.
Задачка 2. Найдите значение cos α,
если: 
Подставляем значения sin α:
Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.
Формулы тригонометрии (ЕГЭ 2022)
В этой статье мы изучим все тригонометрические формулы, которые могут понадобится на ЕГЭ.
От основного тригонометрического тождества, до формул тройного угла.
Мы решим вместе 22 примера, чтобы «набить руку» и уметь решать любые задачи.
Формулы тригонометрии — коротко о главном
Основные формулы:
| Название формулы | Формула |
|---|---|
| Основное тригонометрическое тождество (ночью разбудят — должен вспомнить!) | \( \displaystyle si< |
| Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса) | \( \displaystyle tg\ \alpha =\frac |
| Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса) | \( \displaystyle ctg\ \alpha =\frac |
| Синус суммы и разности: | \( \displaystyle \sin \left( \alpha \pm \beta \right)=sin\alpha \cdot cos\beta \pm cos\alpha \cdot sin\beta \) |
| Косинус суммы и разности: | \( \displaystyle \cos \left( \alpha \pm \beta \right)=cos\alpha \cdot cos\beta \mp sin\alpha \cdot sin\beta \) |
| Тангенс суммы и разности: | \( \displaystyle tg\left( \alpha \pm \beta \right)=\frac |
Формулы понижения степени:
Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.
Формулы преобразования функций:
Данная группа формул позволяет преобразовать произведение в сумму и сумму в произведение.
Формулы преобразования произведений функций:
Таблица значений тригонометрических функций:
Тригонометрические функции
Как ты уже понял, тригонометрические выражения – это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций.
Стоп! Вот прямо здесь мы и остановимся! Я задам тебе вопрос: какие тригонометрические функции ты знаешь?
Верно! Их всего четыре!
Хотя, положа руку на сердце, я скажу тебе, что знание последней не так уж и обязательно (хотя желательно!), поскольку она легко выражается через тангенс.
Да и сам тангенс, по сути – тоже лишь тригонометрическое выражение, зависящее от синуса и косинуса.
Таким образом, у нас есть две основные тригонометрические функции – синус и косинус и две «второстепенные» – тангенс и котангенс.
Я не буду сейчас определять, что такое синус и косинус, ты и так это уже знаешь из предыдущих разделов. Я лишь скажу пару слов про важность этих понятий.
Итак, пара слов: первые зачатки тригонометрии возникли более 3 тысяч лет назад. Я думаю, что тебе очевидно, что тогда люди не занимались «формулами ради формул».
Так что тригонометрические функции имеют полезные практические свойства. Я не буду их перечислять. Если тебе интересно, ты всегда можешь найти море информации в интернете.
Если все, что я сказал выше, звучало для тебя древним эльфийским языком, то посмотри статью о тригонометрической окружности.
А сейчас я приведу тебе некоторые основные соотношения между тригонометрическими величинами, которые оказываются полезными при решении задач.
Таблица значений тригонометрических функций
Тебе нужно помнить таблицу значений тригонометрических функций для углов хотя бы первой четверти! Я сейчас нарисую здесь эту таблицу, а потом объясню тебе, как сделать ее запоминание проще.
Или ее расширенный вариант для всех «основных углов»:
Я ни в коей мере не настаиваю (и даже не надеюсь), что ты выучишь вторую таблицу. Сказать по правде, я и сам ее не знаю.
Но первую таблицу знать совершенно необходимо.
Не всегда на экзамене у тебя будет время, чтобы вывести самостоятельно, скажем, синус \( \displaystyle 60\) градусов.
Для того, чтобы запомнить первую таблицу можно поступить так:
Запомнить всего 5 значений для, скажем, синуса. Затем тебе не составит труда заметить, что для косинуса все значения идут «наоборот»:
Тангенс можно получить, разделив синус угла на косинус. Как же всегда вывести большую таблицу, зная малую, я тебе непременно расскажу чуть позднее.
Формулы тригонометрии (основа)
| Название формулы | Формула |
|---|---|
| Основное тригонометрическое тождество (ночью разбудят — должен вспомнить!) | \( \displaystyle si< |
| Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса) | \( \displaystyle tg\ \alpha =\frac |
| Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса) | \( \displaystyle ctg\ \alpha =\frac |
| Первое следствие формулы 1: | \( \displaystyle t< |
| Второе следствие формулы 1: | \( \displaystyle ct< |
| Третье следствие формулы 1: | \( \displaystyle sin\ \alpha =\pm \sqrt<1-co< |
| Четвертое следствие формулы 1: | \( \displaystyle cos\ \alpha =\pm \sqrt<1-si< |
Уже получилось 7 формул! К сожалению, это еще далеко не предел. Совсем не предел.
Тем не менее последние 4 формулы есть ни что иное, как простое следствие первой. В самом деле, ты заметил, почему это так?
Формула 4 получается делением обеих частей формулы 1 на \( \displaystyle co<^<2>>\alpha \) и применением формулы 2.
Формула 5 получается аналогично: разделим обе части формулы 1 на \( \displaystyle si<
Формулы 1 – 5 мы трактуем вполне однозначно. Чего нельзя сказать про формулы 6 и 7. В чем «фишка» формул 6 и 7?
Их особенность заключается в знаке \( \displaystyle \pm \), который стоит перед корнем.
Как это понимать? А понимать надо так: в некоторых случаях мы ставим плюс, а в некоторых – минус.
Теперь у тебя должен возникнуть вопрос: в каких-таких «некоторых случаях»? Туманность этой формулировки снимается следующим правилом:
Если в формуле
\( \displaystyle sin\ \alpha =\pm \sqrt<1-co<^<2>>\alpha >\)
угол \( \displaystyle \alpha \) таков, что \( \displaystyle \text\ \text< >\!\!\alpha\!\!\text < >
Они подскажут тебе, какой нужно выбирать знак для той или иной функции, так что ты не допустишь досадной ошибки.
К тому же это избавит тебя от мучительных размышлений по поводу того «а зачем в этом примере нужен этот угол?!».
4 примера на тренировку
Решения:
Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол.
По условию задачи: \( \displaystyle \alpha \in \left( \frac<3\pi ><2>;2\pi \right)\). Смотри на картинку. Какая это четверть? Четвертая.
Каков знак косинуса в четвертой четверти? На картинке стоит знак «плюс», значит косинус в четвертой четверти положительный.
Тогда нам остается выбрать знак «плюс» перед \( \displaystyle \frac<1><3>\). \( \displaystyle \text
Ответ: \( \displaystyle 1\).
Ну вот видишь, ничего сложного. Абсолютно ничего. Нужно лишь запомнить знаки синуса, косинуса и тангенса (котангенса) по четвертям. Ну а как это делать автоматически описано в статье, посвященной тригонометрической окружности.
Давай разберем оставшиеся примеры.
2. Так как \( \displaystyle sin\ \alpha =\pm \sqrt<1-co<^<2>>\alpha >\), то все, что нам нужно – это подставить \( \displaystyle cos\alpha =\frac<2\sqrt<6>><5>\) в нашу формулу. Что мы с тобой и сделаем:
Опять нужно определиться со знаком. Смотрим на рисунок. Четверть – снова четвертая. Знак синуса четвертой четверти – отрицательный. Ставим знак «минус». \( \displaystyle sin\alpha =-\frac<1><5>\), тогда \( \displaystyle 5sin\alpha =-5\cdot \frac<1><5>=-1\).
3. Ничего нового. Скорее для закрепления. Снова подставляем в формулу \( \displaystyle cos\ \alpha =\pm \sqrt<1-si<
Смотрим на знак косинуса при \( \displaystyle \alpha \in \left( \frac<\pi ><2>;\pi \right)\). Какая это четверть? Вторая. Косинус второй четверти отрицательный. Тогда выбираем знак «минус».
4. Здесь перед нами стоит задачка чуть сложнее. Однако, не стоит огорчаться. Давай вспомним, что такое тангенс. Это ведь отношение синуса к косинусу. Синус нам уже дан.
Так как \( \displaystyle \alpha \in \left( \pi ;\frac<3\pi > <2>\right)\) (это угол в третьей четверти, а косинус в третьей четверти имеет знак «минус»), то \( \displaystyle cos\alpha =-\frac<1><\sqrt<26>>\).
Теперь все, что нам осталось, это воспользоваться определением тангенса:
Ответ: \( \displaystyle 5\).
Уф, выдохнули! Ну вот мы с тобой решили некоторые (довольно типичные и распространенные) примеры. Ты спросишь: «И что, это все?». Я отвечу, что, увы нет. Это далеко не все.
Далее нам потребуются более сложные формулы тригонометрии.
Формулы тригонометрии (более сложные)
| Название формулы | Формула |
|---|---|
| Синус суммы и разности: | \( \displaystyle \sin \left( \alpha \pm \beta \right)=sin\alpha \cdot cos\beta \pm cos\alpha \cdot sin\beta \) |
| Косинус суммы и разности: | \( \displaystyle \cos \left( \alpha \pm \beta \right)=cos\alpha \cdot cos\beta \mp sin\alpha \cdot sin\beta \) |
| Тангенс суммы и разности: | \( \displaystyle tg\left( \alpha \pm \beta \right)=\frac |
| Синус двойного угла (следствие формулы 1) | \( \displaystyle sin2a=2sina\cdot cosa\) |
| Косинус двойного угла (следствие формулы 2) | \( \displaystyle cos2a=co< \( \displaystyle cos2a=2co< |
| Тангенс двойного угла: | \( \displaystyle tg2a=\frac<2tga><1-t< |
Как распознать, что тебе требуются именно эти, а не какие-нибудь другие формулы?
Очень просто: если ты видишь косинус, синус, тангенс от суммы двух углов или двойных углов, то это должно служить тебе индикатором – мне нужно применить одну из формул для суммы/разности или для двойного угла.
Звучит несколько путано? Давай посмотрим на примеры. Заодно я дам еще ряд важных комментариев.
9 примеров на тренировку
Список этих заданий можно продолжать бесконечно… Но я выбрал здесь: а) не самые сложные формулы; б) не самые «страшные» углы.
Страшные углы я припас нам напоследок 🙂
Решения:
Кстати, здесь тебе понадобится знание также тех формул, которые я привел в самом начале. Поехали!
1. \( \displaystyle \frac<12sin11<>^\circ cos11<>^\circ >
Ни ты, ни я не знаем, чему в точности равен синус или косинус \( \displaystyle 11\) градусов, и чему равен синус \( \displaystyle 22\) градусов.
Но что мы должны заметить?
Верно! \( \displaystyle 22<>^\circ =2\cdot 11<>^\circ \). Значит, снизу записан синус двойного угла! Тогда применим формулу синуса двойного угла:
\( \displaystyle sin22<>^\circ =2sin11<>^\circ \cdot cos11<>^\circ \)
Подставим это значение в знаменатель нашей дроби и сократим!
\( \displaystyle \frac<12sin11<>^\circ \cdot cos11<>^\circ >
Ответ: \( \displaystyle 6\).
Ну вот, ничего страшного не случилось? Пример решился в одну строчку с применением одной единственной формулы. Другое дело, иногда не совсем очевидно, какую из формул применять.
Тут тебе нужен опыт. Нужно, как говорится, «набить руку» на таких примерах.
Опять-таки, сразу можно заметить, что \( \displaystyle 34<>^\circ =2\cdot 17<>^\circ \). \( \displaystyle 34\) градуса стоит в косинусе. Это говорит о том, что в примере спрятан косинус двойного угла. Вспомним его определение:
Что же у нас есть в числителе? А там все наоборот: синус в квадрате вычитается из косинуса в квадрате. Тогда в числителе у нас написана формула чего?
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
3. \( \displaystyle 36\sqrt<6>ctg\frac<\pi ><6>\sin\frac<\pi ><4>\)
Здесь нет ничего сложного, абсолютно ничего! Но есть одно «но!».
Это «но» заключается в том, что тебе нужно помнить таблицу значений тригонометрических функций для углов хотя бы первой четверти! (Как ее запомнить я рассказал ранее, а сейчас просто приведу ее еще раз).
Или ее расширенный вариант для всех «основных углов»:
И посмотрим в таблицу:
\( \displaystyle ctg\frac<\pi ><6>=\sqrt<3>\), \( \displaystyle sin\frac<\pi ><4>=\frac<\sqrt<2>><2>\). Подставим эти значения в нашу формулу:
Ответ: \( \displaystyle 108\)
Вот видишь, знание первой таблицы совершенно необходимо! Без нее – вообще нет никакой тригонометрии. Так что, пожалуйста, будь добр, выучи.
Это не потребует от тебя значительных усилий и избавит от массы глупых ошибок в будущем. Еще раз специально скажу: большую таблицу учить не надо.
4. По условию \(cosa=-0,4\), нам же надо найти \(-47cos2a\).
Что тогда надо сделать?
Верно, наша цель – выразить косинус двойного угла через угол «одинарный». Есть ли такая формула? Конечно, есть! Вот она:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
5. \( \displaystyle \frac<10sin6a><3cos3a>\) – это то, что надо вычислить, а \( \displaystyle sin3a=0,6\) – это то, что есть.
Ну что же, надо отталкиваться от того, что есть. Вроде бы этого должно быть достаточно. Здесь все опять несложно!
Нужно лишь заметить, что \( \displaystyle sin6\alpha =2sin3\alpha \cdot cos3\alpha \). Давай это и подставим в числитель исходной дроби. Что же мы имеем?
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
6. \( \displaystyle 26\text
На самом деле здесь можно поступать двояко. Но о втором способе я скажу тебе чуть позже. А пока давай подумаем, что нужно найти.
А найти нужно по сути косинус от суммы двух углов. Причем один из них известен. Давай не будем долго думать и разложим косинус суммы на произведение:
Вспомни единичную окружность (ну или на худой конец посмотри в расширенную таблицу).
\frac<3\pi ><2>=270<>^\circ \) равен нулю!
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
7. Нужно найти: \( \displaystyle t<^<2>>a=6\).
Тут все можно сделать только зная, что такое тангенс и основное тригонометрическое тождество. По порядку:
Тогда решить задачу можно вот как: найти по отдельности значения синуса в квадрате и косинуса в квадрате, а затем при помощи полученных значений найти тангенс. Так мы с тобой и сделаем:
Вначале найдем синус в квадрате.
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
8. Надо найти \( \displaystyle \frac<10cosa+4sina+15><2sina+5cosa+3>\), зная, что \( \displaystyle tga=-2,5\).
На какую мысль тебя это должно было натолкнуть?
А на ту, что если нам дан тангенс, то и наше выражение нужно привести к такому виду, чтобы оно зависело от тангенсов, которые мы потом в него и подставим. Напомню тебе, что
У меня же в выражении есть просто косинусы и синусы. Что нам нужно сделать?
Давай возьмем и «насильно» разделим числитель и знаменатель дроби на \( \displaystyle cos\alpha \). Это поможет мне «выделить» тангенс в чистом виде:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
9. Нужно найти \( \displaystyle 7\cos \left( \pi +\beta \right)-2\text
Давай опять проанализируем, что нам нужно вычислить: искомая формула состоит из разности косинуса от суммы двух углов и синуса от суммы двух углов.
Давай упрощать: раскроем каждую из сумм (опять-таки повторюсь, что далее я опишу способ, который позволит обходиться без раскрытия такого рода сумм):
Опять-таки, тебе должно быть известно, что \( \displaystyle cos\pi =-1,
Если тебе это неизвестно, то настоятельно рекомендую тебе повторить тему тригонометрическая окружность.
Тогда моя формула примет вид:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Формулы приведения
Теперь мы знаем уже почти что все. Осталось совсем немного. Последнее, на что я хочу обратить внимание, это обещанный мною метод «легкого» перехода от большой таблицы значений углов к маленькой.
Этот переход обеспечивают так называемые формулы приведения. Еще раз поясню, зачем они используются: ты будешь их применять в том случае, когда тебе нужно найти синус, косинус или тангенс угла, большего чем \( \displaystyle 90\) градусов.
Например, найти синус угла \( \displaystyle 855\) градусов.
Здесь мы поступаем следующим образом. Во-первых, нам понадобятся следующие знания:
Алгоритм использования формул приведения
Шаг 1. Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул (2).
Шаг 2. Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды: \( \displaystyle 2\pi k\) (по \( \displaystyle 360\) градусов), а для тангенса – «половинки» \( \displaystyle \pi k\) (\( \displaystyle 180\) градусов).
\( \displaystyle sin\ 855<>^\circ =sin\left( 2\cdot 360<>^\circ +135<>^\circ \right)=sin\ 135<>^\circ \)
\( \displaystyle tg\ 225<>^\circ =tg\left( 180<>^\circ +45<>^\circ \right)=tg\ 45<>^\circ \)
Шаг 3. Если оставшийся «уголок» меньше \( \displaystyle 90\) градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице»
Шаг 4. Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол \( \displaystyle \alpha \): это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак.
Шаг 5. Представляем угол \( \displaystyle \alpha \) в одной из следующих форм:
…так, чтобы оставшийся угол \( \displaystyle \beta \) был больше нуля и меньше \( \displaystyle 90\) градусов.
\( \displaystyle 135<>^\circ =90<>^\circ +45<>^\circ \)
\( \displaystyle 315<>^\circ =270<>^\circ+45<>^\circ \)
\( \displaystyle 240<>^\circ =180<>^\circ +60<>^\circ \)
В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.
Шаг 6. Теперь смотрим, что у нас получилось:
Шаг 7. Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.
3 примера на тренировку
Решения:
1. \( \displaystyle sin\ 2130<>^\circ \)
Действуем согласно нашему алгоритму. Выделяем целое число кругов для \( \displaystyle 2130<>^\circ \):
\( \displaystyle \frac<2130<>^\circ ><360<>^\circ >=5,91\ldots \)
\ 2130<>^\circ =sin\left( 5\cdot 360<>^\circ +330<>^\circ \right)=sin\ 330<>^\circ \)
Ну вот, лишнее мы отбросили. Теперь разбираемся со знаком.
\( \displaystyle 330<>^\circ \) лежит в 4 четверти. Синус четвертой четверти имеет знак «минус», его я и не должен забыть поставить в ответе. Далее, представляем \( \displaystyle 330<>^\circ \) согласно одной из двух формул пункта 5 правил приведения. Я выберу: \( \displaystyle 330<>^\circ =270<>^\circ +60<>^\circ \)
\( \displaystyle sin\ 330<>^\circ =sin\left( 270<>^\circ +60<>^\circ \right)\)
Теперь смотрим, что получилось: у нас случай с \( \displaystyle 270\) градусами, тогда отбрасываем \( \displaystyle 270<>^\circ \) и синус меняем на косинус. И ставим перед ним знак «минус»!
\( \displaystyle sin\left( 270<>^\circ +60<>^\circ \right)=-cos60<>^\circ \)
\( \displaystyle 60\) градусов – угол в первой четверти. Мы знаем (ты мне обещал выучить малую таблицу!) его значение:
\( \displaystyle cos\ 60<>^\circ =0,5\)
Тогда получим окончательный ответ: