Как решить комбинаторную задачу

Как решать задачи по комбинаторике?

Комбинаторная теория является одной из важнейших областей математики, без знания которой не обойтись ни менеджеру, ни программисту, ни другим специалистам. Знать, как проводится решение задач по комбинаторике, значит быть востребованным работником, умеющим решать широкий круг практических задач.

Возникновение комбинаторной теории

Комбинаторика – это область математики, изучающая вопрос, сколько разных комбинаций (наборов) можно составить из элементов заданного множества. При этом нужные комбинации подчиняются определенным требованиям, что приводит к различным методам решения задач по комбинаторике.

Истоки этой науки были положены знаменитым математиком и философом Готфридом Лейбницем.

Два основных правила комбинаторной теории

Теория комбинаторики зиждется на двух основных принципах – это правило сложения и правило умножения. Рассмотрим их подробнее.

Это были главные правила, на которые опираются все методы решения задач по комбинаторике. Еще больше теории о началах комбинаторики вы найдете в онлайн учебнике: Элементы комбинаторики онлайн.

Примеры решения задач по комбинаторике

Перейдем к более продвинутым случаям и рассмотрим другие понятия комбинаторики.

Есть 5 книг. Сколькими способами их можно расположить на книжной полке?
Ответ – 120 способов. Первую книгу можем выбрать 5 способами, вторую книгу 4 способами и т.д. Перемножая числа с 5 до 1, получим 120.

Следующий пример – в чемпионате мира участвуют 18 команд по футболу. Сколькими способами можно распределить золотые, серебряные и бронзовые комплекты?
Ясно, что золотые медали может получить любая из команд, значит золотого призера (объект А) можно выбрать 18 способами. Остается два комплекта и 17 команд. Серебряным медалистом может стать одна из 17 команд, а бронзовым – одна из 16 команд. Значит, серебряного и бронзового медалиста можно выбрать 17 и 16 способами.
Итого, три комплекта медалей могут распределиться 18*17*16 = 4896 способами.

Источник

Примеры решений задач по комбинаторике

Калькуляторы онлайн и примеры

Задачи по комбинаторике с решениями онлайн

Задача 1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Задача 3. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

Задача 4. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

Задача 5. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.

Задача 6. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

Задача 7. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Задача 8. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

Задача 9. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?

Задача 10. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?

Готовые примеры

Нужны решенные задачи по комбинаторике? Найди в решебнике:

Источник

Комбинаторные задачи

Содержание:

Примеры задач с решением по комбинаторике

Пример 1.

Сколькими способами легкоатлет, собираясь на тренировку, может выбрать себе пару спортивной обуви, имея 5 пар кроссовок и 2 пары кед?

Решение:

Очевидно, что выбрать одну из имеющихся пар обуви, кроссовки или кеды, можна 5 + 2 = 7 способами.

Обобщая, приходим к комбинаторному правилу сложения:

если некоторый элемент А можно выбрать способами, а элемент В (независимо от выбора элемента А) — способами, то выбрать А или В можна способами.

Это правило справедливо также для трех и более элементов.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Пример 2.

В меню школьной столовой предлагается на выбор 4 вида пирожков и 3 вида сока. Сколько разных вариантов выбора завтрака, состоящего из одного пирожка и одного стакана сока, имеется у учащегося этой школы?

Решение:

Пирожок можно выбрать 4 способами и к каждому пирожку выбрать сок 3 способами (рис. 76). Следовательно, учащийся имеет 4 • 3 = 12 вариантов выбора завтрака.

Обобщая, приходим к комбинаторному правилу умножения:

если некоторый элемент А можно выбрать способами и после каждого такого выбора (независимо от выбора элемента А) другой элемент В можно выбрать способами, то пару объектов А и В можно выбрать способами.

Это правило справедливо также для трех и более элементов.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 3.

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если в числе: 1) цифры не повторяются; 2) цифры могут повторяться?

Решение:

2) Применим комбинаторное правило умножения. Так как цифры в числе могут повто-Рис. 78 ряться, то каждую из цифр искомого числа можно выбрать 4 способами (рис. 78), и тогда таких чисел будет 4 * 4 * 4 = 64.

Ответ. 1) 24 числа; 2) 64 числа.

Отметим, что решить подобные задачи без применения комбинаторного правила умножения можно только путем перебора всех возможных вариантов чисел, удовлетворяющих условию задачи. Но такой способ решения является слишком долгим и громоздким.

Пример 4.

Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 5, 6, 7, 8, 9, если цифры в числе не повторяются?

Решение:

Четное пятизначное число можно получить, если последней его цифрой будет 6 или 8. Чисел, у которых последней является цифра 6, будет 4 • 3 • 2 * 1 = 24 (рис. 79),

Пример 5.

Решение:

1) аа, ба, аб, бб (всего четыре слова); 2) ааа, ааб, аба, абб, ббб, бба, баб, баа (всего восемь слов).

Пример 6.

В футбольной команде из 11 игроков надо выбрать капитала и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Пример 7.

В Стране Чудес 10 городов и каждые два из них соединяет авиалиния. Сколько авиалипий в этой страпе?

Решение:

Комбинаторные задачи неразрывно связаны с задачами теории вероятностей, еще одного раздела математики, который мы рассмотрим на следущих страницах сайта.

В китайских рукописях, относящихся к XIII—XII в. до н. э. встречаются упоминания о вопросах, близких к комбинаторным. Некоторые комбинаторные задачи решали и в Древней Греции. В частности, Аристоксен из Тарента (IV в. до н. э.), ученик Аристотеля, перечислил различные комбинации длинных и коротких слогов в стихотворных размерах. А Папп Александрийский в IV в. н. э. рассматривал число пар и троек, которые можно получить из трех элементов, допуская их повторения. Некоторые элементы комбинаторики были известны и в Индии во II в. до н. э. Индийцы умели вычислять числа, известные нам как коэффициенты формулы бинома Ньютона. Позднее, в VIII в. н. э., арабы нашли и саму эту формулу, и ее коэффициенты, которые сейчас вычисляют с помощью комбинаторных формул или «треугольника Паскаля».

Свой нынешний вид упомянутые комбинаторные формулы приобрели благодаря средневековому ученому Леви бен Гершону (XIV в.) и французскому математику П. Эригону (XVII в.).

Как ни странно, развитию комбинаторики в значительной степени способствовали азартные игры, которые были очень популярны в XVI в. В частности, вопросами определения разнообразных комбинаций в игре в кости в то время занимались такие известные итальянские математики, как Д. Кардано, Н. Тарталья и др. А наиболее полно изучил этот вопрос в XVII в. Галилео Галилей.

Современные комбинаторные задачи высокого уровня сложности связаны с объектами в других отраслях математики: определителями, конечными геометриями, группами, математической логикой и т. п.

Любая точная наука изучает не сами явления, происходящие в природе, а их математические модели. В математических задачах часто рассматривают события, которые, в зависимости от определенных условий, могут или произойти, или не произойти. Такие события называют случайными.

Предположим, проводят определенное испытание (эксперимент, наблюдение, опыт и т. п.), исход которого нельзя предсказать заранее. Такие испытания в теории вероятностей называют случайными. При этом целесообразно проводить только такие испытания, которые можно повторить, хотя бы теоретически, произвольное количество раз в одинаковых условиях.

(а случайное испытание — это испытание (эксперимент, наблюдение, опыт), исход которого зависит от случая и которое можно повторить многократно при одних и тех же условиях.

Исходом случайного испытания является случайное событие.

Случайное событие — это событие, которое при одних и о тех же условиях может произойти, а может и не произойти.

Пример 8.

В ящике лежат только белые и черные шары. Из него наугад вынимают один шар. Какие из событий А, В, С, D при этом могут произойти:

Решение:

Событие, которое в данных условиях обязательно 5 произойдет, называют достоверным.

Событие, которое в данных условиях никогда не произойдет, называют невозможным.

Пример 9.

Допустим, проводят случайное испытание, например, стрелок стреляет по мишени. Нас интересует, как математически оценить шансы стрелка попасть по мишени в одних и тех же неизменных условиях.

Решение:

Чтобы это выяснить, рассмотрим понятия частоты события и относительной частоты события.

Если в неизменных условиях проведено п случайных испытаний и событие А произошло в п(А) случаях, то число п(А) называют частотой события А, а отношение относительной частотой события А.

Пример 10.

Решение:

Относительная частота события может измениться, если изменить количество испытаний или провести другую серию испытаний в тех же условиях.

Пример 11.

Решение:

Понятно, что разные ученые использовали разные монеты, но само испытание и рассматриваемое ими событие можно считать одинаковыми. Эти испытания, проведенные в разные эпохи и в разных странах, дают приблизительно один и тот же результат: относительная частота события А близка к числу 0,5. В данном случае число 0,5 называют статистической вероятностью события.

Если при проведении достаточно большого количества ф случайных испытаний значение относительной частоты случайного события А становится близким к некоторому определенному числу, то это число называют статистической вероятностью события А.

Вероятность принято обозначать латинской буквой р (первая буква французского слова probabilite и латинского probabilitas, что в переводе означает «возможность», «вероятность»). Тогда в примере 4: р(А) = 0,5, или же р = 0,5.

Приходим к выводу, что вероятность случайного события можно найти с достаточно большой точностью, если случайное испытание проводить много раз. Чем больше проведено испытаний, тем более близким будет значение относительной частоты случайного события к вероятности этого события.

Вернемся к вопросу, сформулированному в Примере 2, то есть к математической оценке шансов стрелка попасть по мишени. Теперь ясно, что такую математическую оценку дает вероятность. Чтобы оценить вероятность попадания стрелка по мишени (событие А), нужно, чтобы стрелок совершил достаточно большое количество выстрелов (в одних и тех же условиях). Тогда относительную частоту события А можно будет считать вероятностью попадания стрелка по мишени. Пусть, например, в течение некоторого времени сделано 1000 выстрелов, из которых 781 оказался метким.

Тогда относительную частоту можно считать

вероятностью попадания этого стрелка по данной мишени.

Если известна вероятность события А, то можно приблизительно оценить, сколько раз в определенном количестве испытаний произойдет событие А.

Пример 12.

Вероятность попадапия стрелка по мишени равна 0,781. Сколько метких выстрелов приблизительно будет у этого стрелка в серии из 50 выстрелов?

Решение:

Пусть в серии из 50 выстрелов было х попаданий. Тогда относительная частота метких выстрелов.

Если считать, что относительная частота попаданий приблизительно равна вероятности, то , то есть

Ответ. 39 метких выстрелов.

Теорию вероятностей нередко называют «наукой о случайном». На многих примерах можно убедиться в том, что массовые случайные явления тоже имеют свои закономерности, знание которых можно успешно использовать в практической деятельности человека.

Еще в древности люди заметили, что несколько охотников, бросив копья одновременно, могут поразить зверя с большей вероятностью, чем один охотник. Этот вывод не был научным, а основывался на наблюдениях и опыте.

Как наука теория вероятностей зародилась в XVII в. На ее развитие повлияли насущные потребности науки и практики того времени, в частности в деле страхования, которое распространялось благодаря бурному развитию торговых связей и путешествий. Удобной моделью для решения задач и анализа понятий теории вероятностей были для ученых азартные игры. Об этом заметил еще Гюйгенс в своей книге «О расчетах в азартной игре» (1657 г.), которая стала первой в мире книгой по теории вероятностей. Дальнейшему развитию теории вероятностей (XVII-XVIII вв.) способствовали работы Б. Паскаля, Д. Бернулли, Ж.Л. Д’Аламбера, Д. Крега, Т. Симпсона, П. Ферма, Т. Байеса и др.

Важный вклад в теорию вероятностей сделал швейцарский математик Я. Бернулли (1654-1705): он доказал закон больших чисел в самом простом случае независимых испытаний в книге «Аналитическая теория вероятностей».

В 1718 г. английский математик А. Муавр (1667-1754) опубликовал книгу «Теория случая», в которой исследовал закономерности, присущие случайным явлениям.

Впервые основы теории вероятностей изложил французский математик П. Лаплас (1749-1827).

В дальнейшем теория вероятностей развивалась благодаря работам француза С. Пуассона (1781-1840) и россиян П.Л. Чебышева (1821-1894), А.А. Маркова (1856-1922) и А.М. Ляпунова (1857-1918).

Свой вклад в развитие теории вероятностей сделали и украинские математики: Б.В. Гнеденко (1912-1996), И.И. Гихман (1918-1985), А.В. Скороход (1930-2011), М.И. Ядренко (1932-2004).

Лекции:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Комбинаторика основные понятия и формулы с примерами

Комбинаторика — раздел математики. Основные понятия и формулы комбинаторики как науки применяются во всех сферах жизни.

Неудивительно, что она включена в программу 11 класса, а также во вступительные испытания во многих ВУЗах РФ. Ее основы лежат в прикладном искусстве многих сфер деятельности человека.

Ее история насчитывает более 6 веков. Первые комбинаторные задачи появились в трудах философов и математиков Средневековья.

Представители того научного мира пытались найти методы решения таких задач, их базовые правила и понятия, утвердить уникальные формулы и уравнения для тех, кто ещё не встречался с ними. Такая информация в наше время называется информацией «для чайников».

Попытаемся разобраться в аспектах этой области науки: каковы элементы, свойства, правила, методы и основное ее применение в нашей жизни? Конечно, всю область в одной статье невозможно охватить. Поэтому ниже будет представлено всё самое основное.

Что такое комбинаторика в математике

Суть этого термина дают книги прошлых лет: это раздел математики, занимающийся операциями со множеством элементов.

В интернете есть учебники по информатике и математике для детей, школьников, сборники материалов и задач для начинающих, где в доступном виде объяснена «занимательная» комбинаторика. Нужно твердо выяснить, как решать подобные задачи.

В младших классах задачи на эту тему решают на дополнительных кружках, а в школах с углубленным изучением математики на основных уроках. К тому же, задачи по комбинаторике включены в олимпиады всех уровней.

Основные понятия

Правило произведения

Является одним из основных правил при решении таких задач и звучит так:

При выборе элемента А из n способов и выборе элемента В из m способов верно утверждение, что выбрать пару А и В одновременно можно n*m способами.

Рассмотрим на конкретных примерах.

Задача №1.

В коробке лежит 2 мяча и 6 скакалок. Сколько существует способов достать 1 мяч и 1 скакалку?

Ответ прост: 2 * 6 = 12.

Задача №2.

Есть 1 кубик, 2 шарика, 3 цветка и 4 конфеты. Сколькими способами можно вытянуть кубик, шарик, цветок и конфету?

Решение аналогично: 1 * 2 * 3 * 4 = 24.

Причем левую часть можно записать гораздо проще: 4!

! в данном случае является не знаком препинания, а факториалом. С помощью него можно вычислить более сложные варианты и решать трудные задачи (существуют разные формулы, но об этом позже).

Задача №3.

Сколько двузначных чисел можно составить из 2 цифр?

Задача №4.

Сколько десятизначных чисел можно составить из 10 цифр?

Правило суммы

Тоже является базовым правилом комбинаторики.

Если А можно выбрать n раз, а В — m раз, то А или В можно выбрать (n + m) раз.

Задача №5.

В коробке лежат 5 красных, 3 желтых, 7 зеленых, 9 черных карандашей. Сколько есть способов вытащить 1 любой карандаш?

Ответ: 5 + 3 + 7 + 9 = 24.

Сочетания с повторениями и без повторений

Под этим термином понимают комбинации в произвольном порядке из множества n по m элементов.

Число сочетаний равно количеству таких комбинаций.

Задача №6.

В коробке находится 4 разных фрукта. Сколькими способами можно достать одновременно 2 разных фрукта?

Где 4! – комбинация из 4 элементов.

С повторениями чуть сложней, комбинации считаются по такой формуле:

Задача №7.

Возьмем тот же самый случай, но при условии, что один фрукт возвращается в коробку.

Размещения с повторениями и без повторений

Под этим определением понимают набор m элементов из множества n элементов.

Задача №8.

Из 3 цифр надо выбрать 2, чтобы получались разные двузначные числа. Сколько вариантов?

А как же быть с повторениями? Здесь каждый элемент может размещаться несколько раз! В таком случае общая формула будет выглядеть следующим образом:

Задача №9.

Из 12 букв латинского алфавита и 10 цифр натурального ряда надо найти все варианты составления автомобильного кода региона.

Перестановки с повторениями и без повторений

Под этим термином понимают все возможные комбинации из n элементного множества.

Задача №10.

Сколько возможных пятизначных чисел можно составить из 5цифр? А шестизначных из 6 цифр? Семизначных из 7 цифр?

Решения, согласно вышеприведенной формуле, следующие:

А как же быть с повторениями? Если в таком множестве есть одинаковые по своей значимости элементы, то перестановок будет меньше!

Задача №11.

В коробке есть 3 одинаковых карандаша и одна ручка. Сколько перестановок можно сделать?

Ответ прост: 4! / (3! * 1!) = 4.

Комбинаторные задачи с решениями

Примеры всех возможных типов задач с решениями были даны выше. Здесь попробуем разобраться с более сложными случаями, встречающимися в нашей жизни.

Заключение

Стоит изучать эту науку, поскольку в век быстрой модернизации технологий потребуются специалисты, способные предоставить различные решения тех или иных практических задач.

Источник