Как решить фундаментальную систему

Фундаментальная система решений СЛАУ

Вы будете перенаправлены на Автор24

Если через длинную черту после матрицы множителей при неизвестных записан столбец свободных членов, то матрицу называют расширенной матрицей системы.

Необходимая терминология

$C= \begin c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end$.

В зависимости от количеств групп переменных, подходящих для соблюдения всей системы, различают совместные и несовместные СЛАУ. Объединённая в систему группа равенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений.

Готовые работы на аналогичную тему

Среди первого типа существуют определённые СЛАУ, имеющие только одно решение и неопределённые, под такие подпадают все, которые можно решить с получением больше одного ответа.

Однородные и неоднородные системы линейных уравнений

Общее, частное и фундаментальное решения

Фундаментальная система решений частенько представлена как сумма всех возможных решений:

Приведена пример, в котором все свободные члены ненулевые:

$\begin x_1 – x_2 + x_3-x_4=4 \\ x_1+x_2+2x_3+3x_4=8 \\ 2x_1+4x_2+5x_3+10x_4=20 \\ 2x_1-4x_2+x_3-6x_4=4\\ \end$.

Ранг всех матриц соответсвует двойке, рассчитаем базисный минор:

Избавимся от двух нижних равенств из примера и получим:

$\begin x_1 – x_2=4-c_3+c_4 \\ x_1+x_2=8-2c_3-3c_4 \\ \end$

Теперь посмотрим, что буде в случае с нулевым столбцом за чертой:

$\begin x_1 – x_2 + x_3-x_4=0 \\ x_1+x_2+2x_3+3x_4=0 \\ 2x_1+4x_2+5x_3+10x_4=0 \\ 2x_1-4x_2+x_3-6x_4=0 \end$.

Ранг также соответствует двойке, а её решениями будут

Фундаментальное решение системы можно записать так:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 17 04 2021

Источник

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Первая часть.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Нулевое (тривиальное) решение.

Однако следствие из теоремы Кронекера-Капелли однозначно указывает на то, что если СЛАУ имеет решение, то есть только два варианта. Либо это решение единственно (и тогда СЛАУ называют определённой), либо этих решений бесконечно много (такую СЛАУ именуют неопределённой). Возникает первый вопрос: как выяснить, сколько решений имеет заданная нам однородная СЛАУ? Одно (нулевое) или бесконечность?

Этот случай уже был рассмотрен в теме «Базисные и свободные переменные. Общее и базисное решения СЛАУ». По сути, однородные СЛАУ – это всего лишь частный случай системы линейных уравнений, поэтому вся терминология (базисные, свободные переменные и т.д.) остаётся в силе.

Что такое базисные и свободные переменные? показать\скрыть

Фундаментальная система решений однородной СЛАУ.

Что значит «линейно независимые решения»? показать\скрыть

В данной ситуации под решением понимается матрица-столбец, в которой перечислены значения неизвестных.

Если система является неопределённой, указать фундаментальную систему решений.

Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.

Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.

Итак, давайте выберем минор второго порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1 и №2, и столбцов №1 и №2:

Осуществим вторую попытку, взяв минор второго порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2 и столбцов №2 и №4:

Сделаем и третью попытку, найдя значение минора, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №3:

Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показать\скрыть

Если опять записать полученную систему в виде матрицы, то мы и получим матрицу с перенесёнными за черту столбцами.

А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:

Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.

Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Записать ФСР однородной СЛАУ

зная общее решение. Записать общее решение с помощью ФСР.

Общее решение уже было получено в теме «метод Крамера» (пример №4). Это решение таково:

Опираясь на предыдущий пример №1, попробуйте составить ФСР самостоятельно, а потом сверить с ответом.

Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё один пример с нахождением общего решения и ФСР.

Источник

Однородные системы линейных алгебраических уравнений

В рамках уроков метод Гаусса и Несовместные системы/системы с общим решением мы рассматривали неоднородные системы линейных уравнений, где свободный член (который обычно находится справа) хотя бы одного из уравнений был отличен от нуля.
И сейчас, после хорошей разминки с рангом матрицы, мы продолжим шлифовать технику элементарных преобразований на однородной системе линейных уравнений.
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.

Что такое однородная система линейных уравнений?

Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна, то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему. Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:

Решить однородную систему линейных уравнений
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Решение: чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

Ответ: Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Сформулируем очевидный критерий: однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение, если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– 3 шт.).

Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:

Решить однородную систему линейных уравнений
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Из статьи Как найти ранг матрицы? вспоминаем рациональный приём попутного уменьшения чисел матрицы. В противном случае вам придётся разделывать крупную, а частенько и кусачую рыбу. Примерный образец оформления задания в конце урока.

Нули – это хорошо и удобно, однако на практике гораздо более распространен случай, когда строки матрицы системы линейно зависимы. И тогда неизбежно появление общего решения:

Решить однородную систему линейных уравнений
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду. Первое действие направлено не только на получение единичного значения, но и на уменьшение чисел в первом столбце:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

(1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на –2. Слева вверху я получил единицу с «минусом», что зачастую намного удобнее для дальнейших преобразований.

(2) Первые две строки одинаковы, одну из них удалили. Честное слово, не подгонял решение – так получилось. Если выполнять преобразования шаблонно, то линейная зависимость строк обнаружилась бы чуть позже.

(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.

(4) У первой строки сменили знак.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная система:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Алгоритм работает точно так же, как и для неоднородных систем. Переменные Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, «сидящие на ступеньках» – главные, переменная Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, которой не досталось «ступеньки» – свободная.

Выразим базисные переменные через свободную переменную:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Ответ: общее решение: Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Тривиальное решение входит в общую формулу, и записывать его отдельно излишне.

Проверка выполняется тоже по обычной схеме: полученное общее решение необходимо подставить в левую часть каждого уравнения системы и получить законный ноль при всех подстановках.

На этом можно было бы тихо-мирно закончить, но решение однородной системы уравнений часто требуется представить в векторной форме с помощью фундаментальной системы решений. Пожалуйста, временно забудьте об аналитической геометрии, поскольку сейчас речь пойдёт о векторах в алгебраическом смысле, который я немного приоткрыл в статье про ранг матрицы и окончательно расписал на уроке о линейных преобразованиях. Терминологии тушеваться не нужно, всё довольно просто:

Фундаментальная система решений однородной системы уравнений

Фундаментальная система решений – это множество линейно независимых векторов Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, каждый из которых является решением однородной системы, кроме того, решением также является линейная комбинация данных векторов Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, где Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– произвольные действительные числа.

Количество векторов Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуфундаментальной системы рассчитывается по формуле:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Однако в практических заданиях гораздо удобнее ориентироваться на следующий признак: количество векторов Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуфундаментальной системы равно количеству свободных неизвестных.

Представим общее решение Примера №3 Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системув векторной форме. Свободная переменная в данном случае одна, поэтому фундаментальная система решений состоит из единственного вектора Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему. Как его найти? Для этого свободной переменной нужно придать произвольное ненулевое значение. Проще всего, конечно же, выбрать Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуи получить: Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему.

Координаты вектора Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системудолжны удовлетворять каждому уравнению системы, и будет не лишним в этом убедиться.

Ответ следует записать в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы. В нашей ситуации линейная комбинация состоит из одинокого слагаемого. Общее решение однородной системы я буду обозначать через вектор Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему(подстрочный индекс расшифровывается «Общее Однородной»).

Ответ: общее решение: Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, где Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему(любое вещественное число)

Придавая параметру Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуразличные действительные значения, можно получить бесконечно много частных решений, например, если Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, то вектор частного решения однородного уравнения («Частное Однородной») равен:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, то есть набор переменных Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуудовлетворяет каждому уравнению системы.

Это мы рассмотрели традиционный способ построения фундаментальной системы в так называемом нормальном виде – когда свободным переменным придаются исключительно единичные значения. Но правила хорошего математического тона предписывают избавляться от дробей, если это возможно. Поэтому в данном случае можно взять Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуи из общего решения системы Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуполучить вектор с целыми координатами: Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

И тогда ответ запишется в эквивалентной форме:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, где Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему(любое вещественное число)

Оба варианта ответа правильны, однако чайникам я всё-таки рекомендую классику жанра.

Поблагодарим задачник Рябушко за предоставленные примеры и перейдём к более основательным системам:

Решить однородную систему линейных уравнений
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Ответ записать с помощью фундаментальной системы решений

Самостоятельно, plz. Примерный образец оформления в конце урока.

Закинем в копилку знаний ещё один полезный факт:

Взаимосвязь решений неоднородной
и соответствующей однородной системы уравнений

Представьте двух близких родственниц: неоднородную систему (у которой хотя бы одно число правой части отлично от нуля) и такую же систему – только справа одни нули (то бишь, однородную систему). Нетрудно предположить, что если системы отличаются лишь столбцом свободных членов, то между их решениями должна существовать тесная связь. И это действительно так! Материал целесообразнее рассмотреть на конкретной задаче, которая, как и все другие, взята из реальной контрольной работы:

Дана система линейных алгебраических уравнений
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

1) найти общее решение;

2) используя результат предыдущего пункта, найти общее решение соответствующей однородной системы и записать его в векторной форме.

Решение: по условию дана обычная неоднородная система уравнений, и первая часть не отличается новизной:

1) Запишем расширенную матрицу системы (не зеваем нолик в третьей строке) и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3. К четвёртой строке прибавили первую строку, умноженную на –4.

(2) Последние три строки одинаковы, две из них удалили.

Обратным ходом метода Гаусса получим общее решение:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– базисные переменные;
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– подставим в 1-е уравнение:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Общее решение неоднородной системы обозначим через Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему(«Общее Неоднородной»).

Ответ: Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

2) Во второй части задания требуется найти общее решение Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системутакой же, только однородной системы Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, причём по условию необходимо использовать ответ предыдущего пункта.

Выполнять элементарные преобразования заново, разумеется, не нужно.

Правило: общее решение неоднородной системы Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуравно сумме общего решения соответствующей однородной системы Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуи какого-либо частного решения неоднородной системы Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Откуда легко выражается общее решение нашей однородной системы:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Найдём какое-нибудь частное решение Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системунеоднородной системы. Проще всего взять нулевые значения свободных переменных Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Таким образом, общее решение соответствующей однородной системы:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Представим Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системув векторной форме. Поскольку у нас две свободные переменные, то фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов.

Пойдём классическим путём:

Рассмотрим пару значений свободных переменных Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуи получим первый вектор:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– координаты данного вектора удовлетворяют каждому уравнению однородной системы (всегда желательна проверка!).

Теперь рассматриваем пару Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуи получаем второй вектор:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– координаты данного вектора также удовлетворяют каждому уравнению однородной системы (тоже проверяем!).

И вообще – любая линейная комбинация векторов фундаментальной системы Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, где Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– произвольные действительные числа, является решением данной системы:

Ответ: Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, где Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Иными словами, если взять два любых вещественных числа, например, Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, то получится вектор частного решения однородной системы:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, то есть набор Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуудовлетворяет каждому уравнению однородной системы.

Если хотите избежать дробей, то при нахождении вектора Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуследует выбрать значения Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуи получить второй вектор в виде:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему
В этом случае ответ запишется в эквивалентной форме:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, где Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Порядком многих я, наверное, подзапутал, но коль скоро задание не придумано, то его нельзя было обойти стороной.

Более распространённая тема для самостоятельного решения:

Дана однородная система
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Найти общее решение и записать ответ с помощью векторов фундаментальной системы. В образце решения завершающим элементарным преобразованием я уже потихоньку начинаю приобщать вас к методу Гаусса-Жордана.

Чтобы окончательно закрепить алгоритм, разберём финальное задание:

Решить однородную систему, ответ записать в векторной форме.
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

(1) У первой строки сменили знак. Ещё раз заостряю внимание на неоднократно встречавшемся приёме, который позволяет существенно упростить следующее действие.

(1) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку. К 4-й строке прибавили первую строку, умноженную на 2.

(3) Последние три строки пропорциональны, две из них удалили.

В результате получена стандартная ступенчатая матрица, и решение продолжается по накатанной колее:

Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– базисные переменные;
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения:

Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– подставим в 1-е уравнение:

Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Таким образом, общее решение:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Поскольку в рассматриваемом примере три свободные переменные, то фундаментальная система содержит три вектора.

Подставим тройку значений Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системув общее решение и получим вектор Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, координаты которого удовлетворяют каждому уравнению однородной системы. И снова повторюсь, что крайне желательно проверять каждый полученный вектор – времени займет не так много, а от ошибок убережёт стопроцентно.

Для тройки значений Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системунаходим вектор
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

И, наконец, для тройки Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуполучаем третий вектор:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Ответ: Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, где Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Желающие избежать дробных значений могут рассмотреть тройки Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуи получить ответ в эквивалентном виде:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

К слову о дробях. Посмотрим на полученную в задаче матрицу Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуи зададимся вопросом – нельзя ли упростить дальнейшее решение? Ведь здесь мы сначала выразили через дроби базисную переменную Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, потом через дроби базисную переменную Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, и, надо сказать, процесс это был не самый простой и не самый приятный.

Второй вариант решения:

Идея состоит в том, чтобы попытаться выбрать другие базисные переменные. Посмотрим на матрицу и заметим две единицы в третьем столбце. Так почему бы не получить ноль вверху? Проведём ещё одно элементарное преобразование:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

(4) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Здесь базисные переменные Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системулегко и практически мгновенно выражаются через свободные переменные Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему:

Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

По существу, мы применили метод Гаусса-Жордана, который как раз и направлен на скорейшее получение базисного решения посредством дополнительных элементарных преобразований.

В результате общее решение: Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Последовательно выбираем в качестве значений свободных неизвестных тройки
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему
и подстановкой их в Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуполучаем соответствующие векторы фундаментальной системы:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Не забываем проверить координаты каждого вектора!

Ответ: общее решение:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, где Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– действительные числа.

Как видите, второй способ гораздо проще и рациональнее, но для подобных изысков, конечно, необходимо обладать некоторым опытом.

Надеюсь, данная статья окончательно развеяла все страхи перед векторами, и теперь вы с огромным удовольствием откроете учебник по линейной алгебре, чтобы изучить теорию векторных пространств, линейных преобразований и другие не менее интересные вещи.

Пример 2: Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему(1) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавили первую строку.
(3) У первой строки сменили знак. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на 3.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.
(5) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 21.
Ранг матрицы системы равен количеству переменных, значит, система имеет только тривиальное решение.
Ответ: Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему

Пример 4: Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем её ступенчатому виду:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему
(1) У третьей строки сменили знак и переместили её на 1-е место.
(2) Ко 2-й и 4-й строкам прибавили первую строку, умноженную на 2 и 5 соответственно.
(3) Вторую строку разделили на –5, 4-ю строку разделили на –17.
(4) Вторая и 4-я строки одинаковы, последнюю строку удалили. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 4.
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– базисные переменные;
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– свободная переменная.
Выразим базисные переменные через свободную переменную.
Из последних двух уравнений:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– подставим в первое уравнение:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему
Таким образом, общее решение: Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему
Найдем вектор фундаментальной системы решений. Для этого выберем в качестве значения свободной неизвестной Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему
Ответ: общее решение однородной системы уравнений:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, где Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему(любое действительное число).

Пример 6: Решение: Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему
(1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1.
(2) Ко второй, третьей и четвертой строкам прибавили первую строку, умноженную на 5, 4 и 5 соответственно.
(3) Последние три строки пропорциональны, достаточно оставить только одну из них. У первой строки сменили знак.
(4) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– базисные переменные;
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– свободные переменные.
Выразим базисные переменные через свободные переменные:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему
Таким образом, общее решение: Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему.
Найдем векторы фундаментальной системы решений. Для этого последовательно выбираем в качестве значений свободных неизвестных следующие пары: Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную системуи Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему:
Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему
Ответ: общее решение: Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему, где Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему– произвольные действительные числа.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Как решить фундаментальную систему. Смотреть фото Как решить фундаментальную систему. Смотреть картинку Как решить фундаментальную систему. Картинка про Как решить фундаментальную систему. Фото Как решить фундаментальную систему Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *