Как решить арифметическую прогрессию

a_n+1= a_n + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

Если известны первый член a₁ и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23. — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.

Свойство арифметической прогрессии

Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:

Значит,

Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

Формулы арифметической прогрессии

В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (а_n) обозначается S_n:

Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:

Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:

Рассмотрим пример арифметической прогрессии.

Дано: арифметическая прогрессия (a_n), где a₁ = 0 и d = 2.

Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.

Решение арифметической прогрессии:

По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность (b_n), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.

Если последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:

Если в геометрической прогрессии (b_n) известен первый член b₁ и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:

Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

Источник

Прогрессии и последовательности: решаем ОГЭ по математике

Григорий Грянников

Тема «прогрессии» на ОГЭ тесно связана с понятием «последовательность». Если ученики понимают, как числа в последовательности связаны друг с другом, они легко справляются с заданиями. Сейчас мы разберем прогрессии — одну из самых коварных тем ОГЭ по математике. Обратите внимание: в этом материале все самое главное для решения ОГЭ, никакой воды!

Что такое последовательность?

В жизни мы очень часто сталкиваемся с математическими последовательностями и прогрессиями, буквально, каждый день, сами того не замечая. Однако встреча не всегда может быть приятной, особенно если она происходит на экзамене.

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

Хочешь круто подготовится к ОГЭ? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!

Какие виды последовательности бывают?

Различают следующие виды последовательности:

Что такое арифметическая прогрессия?

Давайте посмотрим на следующий ряд чисел:

Что же у них может быть общего? Во-первых, все они нечетные, во-вторых, каждое следующее число мы можем получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем это число d. В нашем случае d=2.

Описанная выше последовательность называется арифметической прогрессией. Получаем определение:

Приведем основные формулы:

Сумма первых n членов прогрессии можно вычислить по формуле:

Также арифметическая прогрессия обладает характерным свойством:

Как решать задачи ОГЭ на арифметическую прогрессию?

Теория — это прекрасно, но каждую теоретическую тему необходимо закреплять на практике. Сейчас мы разберем пару заданий ОГЭ по арифметической прогрессии.

Например, на ОГЭ может попасться вот такое задание:

Решение:

Ура! Первый прототип задания, который может встретиться на реальном экзамене, успешно выполнен. Идем дальше.

Решение:

Вот и все! Ничего сложного, учитывая то, что формула суммы первых n членов прогрессии есть в справочных материалах, которые выдаются на экзамене.

Что такое геометрическая прогрессия?

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии можно задать соотношением:

Вот основные формулы для геометрической прогрессии:

Также геометрическая прогрессия, как и арифметическая, обладает характерным свойством:

Как решать задачи ОГЭ на геометрическую прогрессию?

Закрепим материал на практике и разберем две задачи ОГЭ по геометрической прогрессии.

Как видите, со знанием формул любое задание становится несложным!

В каком задании ОГЭ могут встретиться прогрессии?

Тема «Прогрессия» встречается в задании ОГЭ под номером 12. Выполнение этого задания экзаменуемым зависит от уровня сложности самого задания. В среднем с ним справляется всего 47% школьников. Как видите, сама тема не очень сложная. Все можно решить — достаточно правильно и хорошо подготовиться.

Напомним, что в КИМах с инструкцией и заданиями есть вспомогательные формулы, которые помогут при решении нашей задачи на прогрессию.

Теперь вы знаете теорию по теме прогрессии на ОГЭ. Можете смело оттачивать знания на практике. Пусть ваша встреча с прогрессиями на экзамене будет не печальной, а победной!

Хотите разобраться в других темах ОГЭ? Боитесь, что экзамены уже в следующем году, а вы даже не открывали учебники? Начните готовиться к ОГЭ-2021 уже сейчас на курсах с MAXIMUM. Мы поможем закрыть пробелы и сдать все на отлично. Правильная и интересная подготовка — залог успеха на экзаменах. Консультация бесплатно!

Источник

Арифметическая прогрессия: что это такое?

Что ж, друзья, если вы читаете этот текст, то внутренний кэп-очевидность подсказывает мне, что вы пока ещё не знаете, что такое арифметическая прогрессия, но очень (нет, вот так: ОООООЧЕНЬ!) хотите узнать. Поэтому не буду мучать вас длинными вступлениями и сразу перейду к делу.

Для начала парочка примеров. Рассмотрим несколько наборов чисел:

Что общего у всех этих наборов? На первый взгляд — ничего. Но на самом деле кое-что есть. А именно: каждый следующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число.

Так вот: все такие последовательности как раз и называются арифметическими прогрессиями. Дадим строгое определение:

И сразу парочка важных замечаний. Во-первых, прогрессией считается лишь упорядоченная последовательность чисел: их разрешено читать строго в том порядке, в котором они записаны — и никак иначе. Переставлять и менять местами числа нельзя.

Ладно, ладно: последний пример может показаться чересчур сложным. Но остальные, думаю, вам понятны. Поэтому введём новые определения:

Определение. Арифметическая прогрессия называется:

Как видим, во всех трёх случаях разность действительно получилась отрицательной. И теперь, когда мы более-менее разобрались с определениями, пора разобраться с тем, как описываются прогрессии и какие у них свойства.

Члены прогрессии и рекуррентная формула

Поскольку элементы наших последовательностей нельзя менять местами, их можно пронумеровать:

Отдельные элементы этого набора называются членами прогрессии. На них так и указывают с помощью номера: первый член, второй член и т.д.

Кроме того, как мы уже знаем, соседние члены прогрессии связаны формулой:

Наверняка вы уже встречались с этой формулой. Её любят давать во всяких справочниках и решебниках. Да и в любом толковом учебнике по математике она идёт одной из первых.

Тем не менее предлагаю немного потренироваться.

Вот и всё! Обратите внимание: наша прогрессия — убывающая.

Задача №2. Выпишите первые три члена арифметической прогрессии, если её седьмой член равен −40, а семнадцатый член равен −50.

Решение. Запишем условие задачи в привычных терминах:

Знак системы я поставил потому, что эти требования должны выполняться одновременно. А теперь заметим, если вычесть из второго уравнения первое (мы имеем право это сделать, т.к. у нас система), то получим вот что:

Вот так просто мы нашли разность прогрессии! Осталось подставить найденное число в любое из уравнений системы. Например, в первое:

Теперь, зная первый член и разность, осталось найти второй и третий член:

Готово! Задача решена.

Простое, но очень полезное свойство, которое обязательно надо знать — с его помощью можно значительно ускорить решение многих задач по прогрессиям. Вот яркий тому пример:

Задача №3. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а её десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

Вот и всё! Нам не потребовалось составлять какие-то системы уравнений и считать первый член и разность — всё решилось буквально в пару строчек.

Теперь рассмотрим другой вид задач — на поиск отрицательных и положительных членов прогрессии. Не секрет, что если прогрессия возрастает, при этом первый член у неё отрицательный, то рано или поздно в ней появятся положительные члены. И напротив: члены убывающей прогрессии рано или поздно станут отрицательными.

При этом далеко не всегда можно нащупать этот момент «в лоб», последовательно перебирая элементы. Зачастую задачи составлены так, что без знания формул вычисления заняли бы несколько листов — мы просто уснули бы, пока нашли ответ. Поэтому попробуем решить эти задачи более быстрым способом.

Задача №4. Сколько отрицательных членов в арифметической прогрессии −38,5; −35,8; …?

Заметим, что разность положительна, поэтому прогрессия возрастает. Первый член отрицателен, поэтому действительно в какой-то момент мы наткнёмся на положительные числа. Вопрос лишь в том, когда это произойдёт.

Кроме того, попробуем выразить пятый член через первый и разность по стандартной формуле:

Теперь поступаем по аналогии с предыдущей задачей. Выясняем, в какой момент в нашей последовательности возникнут положительные числа:

Минимальное целочисленное решение данного неравенства — число 56.

Теперь, когда мы научились решать простые задачи, перейдём к более сложным. Но для начала давайте изучим ещё одно очень полезное свойство арифметических прогрессий, которое в будущем сэкономит нам кучу времени и неравных клеток.:)

Среднее арифметическое и равные отступы

Члены арифметической прогрессии на числовой прямой

А правило очень простое. Давайте вспомним рекуррентную формулу и запишем её для всех отмеченных членов:

Однако эти равенства можно переписать иначе:

Члены прогрессии лежат на одинаковом расстоянии от центра

Решение. Опять выразим средний член через среднее арифметическое соседних членов:

Если в процессе решения задачи у вас вылезают какие-то зверские числа, либо вы не до конца уверены в правильности найденных ответов, то есть замечательный приём, позволяющий проверить: правильно ли мы решили задачу?

Опять прогрессия, но с разностью 27. Таким образом, задача решена верно. Желающие могут проверить вторую задачу самостоятельно, но сразу скажу: там тоже всё верно.

В целом, решая последние задачи, мы наткнулись на ещё один интересный факт, который тоже необходимо запомнить:

Если три числа таковы, что второе является средним арифметическим первого и последнего, то эти числа образуют арифметическую прогрессию.

В будущем понимание этого утверждения позволит нам буквально «конструировать» нужные прогрессии, опираясь на условие задачи. Но прежде чем мы займёмся подобным «конструированием», следует обратить внимание на ещё один факт, который прямо следует из уже рассмотренного.

Группировка и сумма элементов

Давайте ещё раз вернёмся к числовой оси. Отметим там несколько членов прогрессии, между которыми, возможно. стоит очень много других членов:

На числовой прямой отмечены 6 элементов

А теперь заметим, что равны следующие суммы:

Одинаковые отступы дают равные суммы

Понимание данного факта позволит нам решать задачи принципиально более высокого уровня сложности, нежели те, что мы рассматривали выше. Например, такие:

Задача №8. Определите разность арифметической прогрессии, в которой первый член равен 66, а произведение второго и двенадцатого членов является наименьшим из возможных.

Решение. Запишем всё, что нам известно:

\[\begin & f\left( d \right)=11\left( <^<2>>+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11<^<2>>+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end\]

Как видим, коэффициент при старшем слагаемом равен 11 — это положительное число, поэтому действительно имеем дело с параболой ветвями вверх:

график квадратичной функции — парабола

Именно поэтому я не особо спешил раскрывать скобки: в исходном виде корни было найти очень и очень просто. Следовательно, абсцисса равна среднему арифметическому чисел −66 и −6:

Аналогично рассуждая, находим оставшееся число:

Готово! Мы нашли все три числа. Запишем их в ответе в том порядке, в котором они должны быть вставлены между исходными числами.

Задача №10. Между числами 2 и 42 вставьте несколько чисел, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию, если известно, что сумма первого, второго и последнего из вставленных чисел равна 56.

Далее распишем сумму первого, второго и последнего из вставленных чисел:

Но тогда записанное выше выражение можно переписать так:

Осталось лишь найти остальные члены:

Таким образом, уже на 9-м шаге мы придём в левый конец последовательности — число 42. Итого нужно было вставить лишь 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Ответ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстовые задачи с прогрессиями

В заключение хотелось бы рассмотреть парочку относительно простых задач. Ну, как простых: для большинства учеников, которые изучают математику в школе и не читали того, что написано выше, эти задачи могут показаться жестью. Тем не менее именно такие задачи попадаются в ОГЭ и ЕГЭ по математике, поэтому рекомендую ознакомиться с ними.

Задача №11. Бригада изготовила в январе 62 детали, а в каждый следующий месяц изготовляла на 14 деталей больше, чем в предыдущий. Сколько деталей изготовила бригада в ноябре?

Решение. Очевидно, количество деталей, расписанное по месяцам, будет представлять собой возрастающую арифметическую прогрессию. Причём:

Следовательно, в ноябре будет изготовлено 202 детали.

Задача №12. Переплётная мастерская переплела в январе 216 книг, а в каждый следующий месяц она переплетала на 4 книги больше, чем в предыдущий. Сколько книг переплела мастерская в декабре?

Решение. Всё то же самое:

Это и есть ответ — 260 книг будет переплетено в декабре.

Что ж, если вы дочитали до сюда, спешу вас поздравить: «курс молодого бойца» по арифметическим прогрессиям вы успешно прошли. Можно смело переходить к следующему уроку, где мы изучим формулу суммы прогрессии, а также важные и очень полезные следствия из неё.

Источник

Арифметическая прогрессия

п.1. Понятие арифметической прогрессии

п.2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

По определению арифметической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: a_n = a_n-1 + d. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

Например:
Найдём a₇, если известно, что a₁ = 5, d = 3.
По формуле n-го члена получаем: a₇ = a₁ + 6d = 5 + 6 · 3 = 23

п.3. Свойства арифметической прогрессии

Свойство 1. Линейность

Арифметическая прогрессия является линейной функцией f(n) = kn + b:

с угловым коэффициентом k = d и свободным членом b = a₁ – d.

Свойство 2. Признак арифметической прогрессии

Например:
Найдём a₉, если известно, что a₇ = 10, a₁₁ = 15
По следствию из признака арифметической прогрессии: \(\mathrm><2>=\frac<10+15><2>=12,5>\)

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Например:
Найдём a₆, если известно, что a₂ = 5, a₄ = 10, a₈ = 20
По равенству сумм индексов a₂ + a₈ = a₄ + a₆
Откуда a₆ = a₂ + a₈ – a₄ = 5 + 20 – 10 = 15

п.4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Например:
Найдём сумму первых 100 натуральных чисел: 1 + 2 +. + 100
В этом случае a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100
\(\mathrm< S_<100>=\frac<1+100><2>\cdot 100=5050>\)

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если:
а) a₇ = 10, a₁₅ = 42
Найдем разность данных членов: a₁₅ – a₇ = (a₁ + 14d) – (a₁ + 6d) = 8d
Получаем разность прогрессии: 42 – 10 = 8d ⇒ d = 32 : 8 = 4
7-й член: a₇ = a₁ + 6d = a₁ + 6 · 4 = 10 ⇒ a₁ = 10 – 24 = –14
Ответ: a₁ = –14, d = 4

б) a₁₀ = 95, S₁₀ = 500
Сумма прогрессии: \(\mathrm=\frac><2>\cdot 10\Rightarrow 500=(a_1+95)\cdot 5\Rightarrow a_1+95=100\Rightarrow a_1=5>\)
10-й член: \(\mathrm=a_1+9d\Rightarrow95=5+9d\Rightarrow 9d=90\Rightarrow d=10>\)
Ответ: a₁ = 5, d = 10

Пример 2. Найдите сумму первых 100 нечётных натуральных чисел.
Чему равно последнее слагаемое этой суммы?
Ищем сумму \(\mathrm<\underbrace<1+3+5+. >_<100\ \text<слагаемых>>>\)
По условию a₁ = 1, d = 2, n = 100. Получаем:
\(\mathrm=\frac<2a_1+d(n-1)><2>n=\frac<2\cdot 1+2\cdot 99><2>\cdot 100=10000>\)
Формула n-го члена данной прогрессии: \(\mathrm\)
100-й член \(\mathrm=2\cdot 100-1=199>\)
Ответ: S₁₀₀ = 10000, a₁₀₀ = 199

n = m – k + 1 = 56 – 18 + 1 = 39

Пример 4. Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен 7.
Найдите сумму её первых 21 членов.
По свойству суммы индексов: a₁₁ + a₁₁ = a₁ + a₂₁
Откуда a₁ + a₂₁ = 2a₁₁ = 14
Искомая сумма: \(\mathrm=\frac><2>\cdot 21=\frac<14><2>\cdot 21=147>\)
Ответ: 147

Пример 6. При каких значениях x числа x 2 – 11, 2x 2 + 29, x 4 – 139 в заданной последовательности являются членами арифметической прогрессии?
Для последовательных членов получаем уравнение:

a₂ – a₁ = a₃ – a₂
(2x 2 + 29) – (x 2 – 11) = (x 4 – 139) – (2x 2 + 29)
x 4 – 3x 2 – 208 = 0 ⇒ (x 2 + 13)(x 2 – 16) = 0 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x = ±4

Пример 7. Сумма первых трёх членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите седьмой член прогрессии.
По условию d 3a₂ = 9 ⇒ a_2 = 3

Тогда a₁ = a₂ – d = 3 – d, a₃ = a₂ + d = 3 + d. Подставляем во второе уравнение:

(3 – d) 2 + 3 2 + (3 + d) 2 = 99
9 – 6d + d 2 + 9 + 9 + 6d + d 2 = 99
2d 2 = 72 ⇒ d 2 = 36 ⇒ d = ±6

Выбираем отрицательное значение d = –6
1-й член прогрессии: a₁ = a₂ – d = 3 + 6 = 9
7-й член прогрессии: a₇ = a₁ + 6d = 9 + 6(–6) = –27
Ответ: x = –27

Источник

• ← если аллергия на яичный белок что нельзя есть
• дохлая птица у порога к чему это →