Как решаются примеры с запятыми

Десятичные дроби

теория по математике 📈 числа и вычисления

Десятичная дробь — дробь, которая представляет собой способ представление числа в виде записи числа с запятой, где цифры перед запятой называются целой частью, а цифры после запятой – дробной частью (десятичной частью).

Десятичные дроби получают из записи обыкновенных дробей со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Например, десятичные дроби:

4,56 – четыре целых пятьдесят шесть сотых 18,234 – восемнадцать целых двести тридцать четыре тысячных 78,6 – семьдесят восемь целых шесть десятых

Чтение десятичных дробей

Чтение десятичной части (десятых, сотых и так далее) зависит от количества цифр после запятой. Если цифра одна, то читают – десятых (в числе десять — один нуль, это соответствует одной цифре). Если две цифры после запятой, то читают – сотых (в сотне два нуля).

Десятичные дроби получаются из обыкновенных дробей:

Сложение (вычитание) десятичных дробей

Чтобы сложить (вычесть) в столбик две десятичные дроби нужно:

Если складывают (вычитают) целое число и десятичную дробь, то нужно поставить запятую после целого числа и приписать необходимое количество нулей после запятой.

Пример №1. Запись, где запятая под запятой и соответствующий разряд под соответствующим.

34,145 + 5,678 = 39,823

Пример №2. Запись, где также запятая под запятой, а во втором числе дописан нуль, чтобы уравнять количество знаков после запятой.

Пример №3. В первом слагаемом нет десятичной части, поэтому, после числа 56 поставили запятую и добавили нужное количество нулей.

Умножение десятичных дробей

При умножении двух десятичных дробей в столбик необходимо:

Пример №4. Запись выполнена так, что цифры по правому краю записаны ровно одна под одной, то есть как при обычном умножении чисел в столбик. Умножение выполнено без учета запятой. В ответе справа отделены 4 цифры запятой, так как в первом множителе их 3 после запятой, а во втором – одна, в двух множителях вместе – четыре.

0,125 × 2,3 00375 0250 0,2875

Пример №5. Здесь показано умножение десятичной дроби и целого числа. Умножение выполнено без учета запятой. В ответе отделена справа запятой только одна цифра, так как только в первом множителе есть десятичная часть с одной цифрой после запятой.

Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000…

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, нужно перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей у множителя. Умножение в данном случае выполняется в строчку.

Пример №6. 2,456 × 10 = 24,56 Запятую в десятичной дроби перенесли вправо на 1 цифру, так как у 10 один нуль.

Пример №7. 0,45678 × 100 = 45,678 Запятую перенесли вправо на 2 цифры, так как у 100 два нуля. Нуль, стоящий в начале десятичной дроби, убрали, так как впереди целой части, отличной от нуля он не пишется.

Пример №8. 9,46 × 1000 = 9460 в данном случае при переносе запятой на три цифра не хватило одной, поэтому в конце числа приписали нуль, и в ответе получилось целое число.

Умножение десятичной дроби на разрядную единицу 0,1; 0,01; 0,001…

При умножении десятичной дроби на разрядную единицу 0,1; 0,01; 0,001 (и так далее) нужно перенести запятую на столько цифр влево, сколько цифр в данной разрядной единице после запятой. Умножение обычно выполняется в строчку устно.

Пример №9. 983,7821 × 0,01= 9,837821 Переносим запятые влево на 2 цифры, так как в числе 0,01 две цифры после запятой.

Пример №10. 8,7654 × 0,1 = 0,87654 Перенесли на 1 цифру влево, так как в числе 0,1 одна цифра после запятой. В данном случае перед 8 появился нуль, так как при переносе запятой слева цифр не оказалось.

Пример №11. 7,98 × 0,0001 = 0,000798 При переносе влево на 4 цифры не хватило трех, поэтому впереди поставили нули, а также нуль образуется и в целой части.

Деление десятичных дробей

Пример №12. Деление десятичной дроби на целое число. 46,8 : 2 = 23,4

Пример №13. Деление десятичной дроби на десятичную дробь. 12,096 : 2,24 = 5,4 Из данного примера видно, что деление десятичных дробей обязательно сводится к делению на целое число.

Пример №14. 276,3 : 0,003 = 276300 : 3 = 92100. Здесь видно, что не хватает двух цифр в числе 276,3 и поэтому при переносе запятой к нему приписали два нуля. Затем выполнили деление двух целых чисел.

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000…

При делении десятичной дроби на 10,100, 1000 и так далее нужно перенести запятую на столько цифр влево, сколько нулей в данном числе. Деление выполняется в строчку устно.

Пример №16. 134,987 : 1000 = 0,134987 Перенесли запятую на три цифры влево, так как у 1000 три нуля. В целой части поставили нуль, так как цифр не хватило.

Пример №17. 7,234 : 100 = 0,07234 Перенесли запятую влево на две цифры. Так как цифр не хватало, то недостающие заменили нулями.

Деление десятичной дроби на разрядную единицу 0,1; 0,01; 0,001…

При делении десятичной дроби на разрядную единицу 0,1; 0,01; 0,001 и так далее нужно перенести запятую на столько цифр вправо, сколько цифр в данной разрядной единице после запятой. Деление обычно выполняется в строчку устно.

Пример №19. 41,234 : 0,01 = 4123,4 Перенос запятой на 2 цифры вправо, так как в числе 0,01 две цифры после запятой.

Пример №20. 56,91 : 0,001 = 56910 При переносе запятой на три цифры вправо приписали один нуль, так как одной цифры не хватило.

Сформируем из чисел ряд от наименьшего из них до наибольшего. Для этого сначала разделим их на положительные и отрицательные. И сразу получим наибольшее в ряду (поскольку оно единственное больше нуля): 0,021.

Три оставшихся отрицательных распределим по их модулям. Известно, что из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Тогда получаем, что –0,304

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Для получения результата необходимо последовательно выполнить математические действия в соответствии с их приоритетом.

Выполняем возведение в степень. Получаем числа, состоящие из единицы и следующего за ней количества нулей, равного показателю степени. При этом знаки «–» в скобках исчезают, поскольку показатели степеней четные. Получаем:

Выполняем умножение. Для этого в числе 0,3 переносим десятичную запятую на 4 знака вправо (так как в 10000 четыре нуля), а к 4 дописываем, соответственно, 2 нуля. Получаем:

Выполняем сложение –3000+400. Поскольку это числа с разными знаками, то вычитаем из большего модуля меньший и перед результатом ставим «–», поскольку число с большим модулем отрицательное. Получаем:

Так как оба числа отрицательные, то складываем их модули и перед результатом ставим «–». Получаем:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Это задание требует простого умения выполнять арифметические действия с десятичными дробями.

Сначала выполняем умножение. Умножаем –13 и –9,3 в столбик без учета знаков «–» перед сомножителями. В полученном произведении отделяем одну – последнюю – цифру десятичной запятой:

Знак произведения будет положительным, поскольку умножаются два отрицательных числа. Получаем:

Эту разность можно вычислить в столбик, но можно и устно. Выполним это действие в уме: вычитаем отдельно целые части и десятичные. Получаем:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задачу можно решать разными путями, а именно менять последовательность действий, но этот вариант решения рекомендуется для тех, кто уверен в своих возможностях и знает математику на отлично. Для остальных мы рекомендуем выполнить последовательно действия в числителе и знаменателе, а затем разделить числитель на знаменатель. Числитель вычислять в данном примере нет необходимости, это число 9.

Вычислим значение знаменателя:

Можно произвести вычисления в столбик, тогда получим:

Либо перевести дробь к простому виду:

4,5 • 2,5 = 4½ • 2 ½ = 9 / 2 • 5 / 2 = 45 / 4

Последний случай предпочтительней, так как для дальнейшей операции — деления числителя на знаменатель задача упрощается. Делим числитель на знаменатель, умножая числитель на перевернутую дробь в знаменателе:

9 / ( 45 / 4 ) = ( 9 / 1 ) • ( 4 / 45 ) = ( 9 • 4 ) / (1 • 45 )

9 и 45 можно сократить на 9:

( 9 • 4 ) / (1 • 45 ) = ( 1 • 4 )/ (1 • 5 ) = 4 / 5 = 8 / 10 = 0,8

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Сложение и вычитание десятичных дробей

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие десятичной дроби

Прежде, чем перейдем к тому, как выполнить сложение и вычитание десятичных дробей, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это число в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Ее записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

Конечная десятичная дробь — это когда количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Свойства десятичных дробей

Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить. Например:

Основные свойства

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Сложение десятичных дробей

Мы знаем, что десятичная дробь состоит из целой и дробной части. При сложении десятичных дробей нужно отдельно сложить каждую часть.

Рассмотрим пример сложения 3,2 и 5,3. Для удобства используем метод столбика.

Запишем эти две дроби в столбик. При этом целая часть одной дроби должна быть под целой частью другой. В школе это называют «запятая под запятой». Вот так:

Складываем дробные части: 2 + 3 = 5. Запишем пятерку в дробной части ответа:

Теперь целые части: 3 + 5 = 8. Запишем восьмерку в целой части ответа:

Отделим запятой целую часть от дробной, чтобы запятая была под запятой:

Получили ответ: 3,2 + 5,3 = 8,5.

Вычитание десятичных дробей

Процесс вычитания десятичных дробей очень похож на сложение. Будем использовать те же правила: «запятая под запятой» и «равное количество цифр после запятой».

Пример 1. Найти значение выражения 2,5 − 2,2

Запишем в столбик выражение так, чтобы запятая была под запятой:

Вычислим дробную часть 5 − 2 = 3. Запишем тройку в десятой части ответа:

Вычислим целую часть 2 − 2 = 0. Запишем ноль в целой части ответа:

Отделим запятой целую часть от дробной:

Вот и ответ: 2,5 − 2,2 = 0,3.

Пример 2. Вычислить: 7,353 – 3,1

В этом выражении разное количество цифр после запятой: в 7,353 три цифры после запятой, а в 3,1 только одна. Значит в дроби 3,1 в конце добавим два нуля, чтобы уравнять количество цифр в обеих дробях. То есть: 3,1 = 3,100.

Запишем в столбик и посчитаем:

Ответ: 7,353 – 3,1 = 4,253.

Пример 3. Вычислить: 3 − 1,2

В этом примере из целого числа нужно вычесть десятичную дробь. Запишем это выражение столбиком так, чтобы целая часть десятичной дроби 1,23 была под числом 3. Вот так:

Сделаем количество цифр после запятой одинаковым:

Теперь вычитаем десятые части: 0 − 2. От нуля невозможно вычесть число 2. Поэтому займем единицу у соседнего разряда. Таким образом 0 превращается в число 10. Вычисляем десятые части: 10 − 2 = 8. Запишем восьмерку в десятой части ответа:

Сейчас вычтем целые части. В самом начале было число 3, но мы заняли у него единицу, поэтому оно обратилось в двойку. Поэтому: 2 − 1 = 1. Запишем единицу в целой части ответа:

Отделим запятой целую часть от дробной:

Мы рассмотрели несколько примеров сложения и вычитания десятичных дробей. Чтобы каждый ученик в 5 и 6 классе мог повторить эту последовательность, есть специальный алгоритм:

Алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей

Проще говоря, правило сложения (вычитания) десятичных дробей звучит так: чтобы сложить (вычесть) две десятичные дроби, нужно записать их в столбик друг под другом, запятая под запятой. А потом сложить как обыкновенные числа и снести запятую.

Источник

Действия над десятичными дробями

Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 10, 1000 и т.д. надо перенести десятичную запятую на столько знаков вправо, сколько нулей содержит число 10, 100, 1000 и т.д.

Если десятичных знаков дроби меньше, чем количество нулей у единицы, то на пустые места записывают нули.

Решение. 1) Так заданная дробь умножается на 10 (один нуль), то десятичную запятую переносим на один знак вправо:

2) Число умножается на 100, поэтому десятичную запятую переносим на два знака вправо:

3) В данном случае запятую у десятичной дроби надо перенести на три знака вправо, и так как дробь содержит только два десятичных знака, то справа дописываем один нуль:

Чтобы поделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести десятичную запятую на один, два, три и т.д. знака влево соответственно.

Если для перенесения запятой в дроби не хватает знаков, их число дополняют соответствующим количеством нулей слева.

Действия над десятичными дробями не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Решение. 1) Переносим запятую на один знак влево, так как делим на 10 и это число содержит один нуль. Будем иметь:

2) В этом случае при делении на 100 переносим запятую на два знака влево:

3) Запятая переносится на три знака влево, недостающий один знаки дополняем одним нулем. Получаем:

Сложение и вычитание десятичных дробей

При сложении (вычитании) десятичных дробей поступают следующим образом:

При необходимости уравнивают количество знаков после запятой, добавляя справа нули к соответствующей дроби, что, согласно основному свойству десятичных дробей, не влияет на величину дроби.

Записывают дроби так, чтобы их запятые находились друг под другом (или, что то же самое, разряд под разрядом).

Например. Правильная запись:

или

Решение. Распишем решение пошагово. Итак, нам надо найти сумму

Действия будем производить в столбик, то есть запишем сумму следующим образом (помним, что для десятичных дробей при выполнении сложения/вычитания десятичные запятые дробей должны находиться на одной вертикальной линии):

Вначале к первой дроби справа дописываем нуль, чтобы уравнять количество десятичных знаков:

Складываем по одной цифре (знаку, разряду) справа налево. Результат сложения записываем под соответствующими слагаемыми под чертой. На первом этапе складываем 0 и 4: :

Единица над 4 означает, что после того как будет выполнено сложение следующего разряда: , к полученной сумме надо будет прибавить 1, которую мы «держим в уме».

Итак, складываем далее, к 4 прибавляем 2: и прибавляем «красную» единицу: . То есть под чертой под десятыми пишем 7:

Под десятичными запятыми слагаемых, ставим запятую суммы:

И продолжаем сложение далее по выше описанному алгоритму: :

И, снеся 3 (под ней во втором слагаемом нет соответствующей цифры), окончательно будем иметь:

Решение. Выполним вычитание в столбик, для этого запишем заданные десятичные дроби одна под другой так, чтобы их десятичные запятые находились на одной вертикали:

Для того, чтобы десятичных знаков было равное число, допишем ко второй дроби справа нуль:

Вычитание столбиком начинаем с самой правой цифры: . результат записываем под чертой:

Далее от 1 отнимаем 1:

Теперь нам нужно вычесть из тройки девять. Это сделать нельзя, так как #3

Источник

ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ

Ключевые слова конспекта: десятичная дробь, сравнение дробей, арифметические действия с дробями, нахождение части от целого и целого по его части, представление десятичной дроби в виде обыкновенной и обыкновенной в виде десятичной.

Дробные числа, знаменатель которых равен 10, 100, 1000 и т. д., можно записать не только в виде обыкновенных, но и в виде десятичных дробей.

Сравнение десятичных дробей

Арифметические действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание десятичных дробей

Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:

Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных дробей сначала нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их имеется после запятой в обоих множителях вместе.

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести запятую влево на сколько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.

Деление десятичных дробей

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно:

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, …, нужно перенести влево запятую в этой дроби на сколько цифр, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно:

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в делителе перед единицей (т. е. умножить дробь на 10, 100, 1000, …).

Представление десятичной дроби в виде обыкновенной
и обыкновенной в виде десятичной

Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе — единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр справа от запятой. Если можно, дробь сократить.

Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.

Не каждую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную. Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит простых множителей, кроме 2 и 5, то эту обыкновенную дробь можно перевести в десятичную.

Учитывая это правило, можно переводить обыкновенную дробь в десятичную не с помощью деления, а приведением ее к знаменателю 10, 100, 1000 путем умножения числителя и знаменателя этой дроби на недостающие множители.

Это конспект по теме «Десятичная дробь». Выберите дальнейшие действия:

Источник