Т.к. знак неравенства строгий (“больше”), число 4 отмечается в виде незакрашенной внутри точки. Все числа, находящиеся справа от четырех (за исключением 4) являются решением нашего неравенства (можно закрасить или заштриховать).
Если неравенство нестрогое, то точку внутри нужно закрасить. Например, на оси выглядит так:
Все числа, находящиеся справа от 4, в том числе, оно само, нам подходят.
Таким образом, решение неравенства – это нахождение множества чисел, подстановка которых в это неравенство дает правильный результат (т.е. это все значения из закрашенной/заштрихованной области на числовой оси).
Пример 2
6x + 8 ≤ 26 6x ≤ 26 – 8 6x ≤ 18 x ≤ 3 (разделили обе части на 6)
Примечание:
Когда мы делим или умножаем неравенство на какое-то число, то:
Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.
Линейные неравенства — это неравенства вида:
где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.
Типы неравенств
Линейные неравенства: свойства и правила
Вспомним свойства числовых неравенств:
Если же а b и c > d, то а + c > b + d.
Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.
Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и
Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
Если же а > b, n — отрицательное число, то nа
Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.
Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.
Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.
Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.
Правила линейных неравенств
Решение линейных неравенств
Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:
где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.
Равносильные преобразования
Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.
Как решаем:
Метод интервалов
Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.
Метод интервалов заключается в следующем:
Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;
Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;
Как решаем:
В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,
Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.
Определим знаки на промежутках.
Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.
Графический способ
Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.
Линейные неравенства – такие неравенства, которые можно привести к одному из видов:
Примеры не линейных неравенств:
Решение линейных неравенств
Решением неравенства будет любое число, подстановка которого вместо переменной сделает неравенство верным. Решить неравенство – значит найти все такие числа.
При умножении или делении неравенства на любое отрицательное число (или выражение) нужно менять знак сравнения на противоположный (почему так – смотри здесь).
Запишем ответ в виде интервала
Особый случай №1: решение неравенства – любое число
В линейных неравенствах возможна ситуация, когда ему в качестве решения пойдет абсолютно любое число – целое, дробное, отрицательное, положительное, ноль… Например, вот такое неравенство \(x+2>x\) будет верным при любом значении икса. Ну, а как же может быть иначе, ведь слева к иксу прибавили двойку, а справа – нет. Естественно, что слева будет получаться большее число, какой бы икс мы не взяли.
\(6x-3+5 x\) не будет верным никогда, ведь слева из икса вычитают двойку, а справа – нет. Значит, слева всегда будет меньше, а не больше.
Сократим то, что можно сократить
Слева раскроем скобку, а справа приведем подобные слагаемые
Перенесем \(3x\) влево, а \(-15\) вправо, меняя знаки
Вновь приводим подобные слагаемые
Получили неверное числовое неравенство. И оно будет неверным при любом иксе, ведь он никак не влияет на получившееся неравенство. Значит, любое значение икса решением не будет.
Впервые с понятием линейное неравенство школьники сталкиваются на уроках алгебры в восьмом классе. Неравенства линейного вида тесно связаны с функциями, графиком которых является прямая линия. Применительно это к выражениям, в которых существует одна вещественная переменная. Для функции c одной переменной справедлива запись: f = dx + b. Если последний член равенства равен нулю, то такую функцию называют однородной, в ином же случае — неоднородной.
В математике принято под неравенством понимать отношение, при котором можно использовать один из следующих двух знаков:
Вместе с двумя основными знаками может использоваться и равенство. Таким образом, в математике неравенства разделяют на строгие (без знака равно) и нестрогие.
Если одна и та же переменная входит в различные выражения, то их можно связать между собой в систему. Для линейного неравенства с одной переменной присущ одна особенность. Неизвестная в нём не может стоять в степени отличной от единицы или на неё делиться другое число. Иными словами, график выражений со второй, кубической, квадратической и другой степенью будет иметь вид отличный от прямой.
Совокупность таких уравнений является равносильной. Поэтому при решении часто используется подход замены сложных выражений простыми. Известными членами в уравнении могут быть рациональные, иррациональные и логарифмические числа. Для записи ответа используется как цифровое, так и графическое обозначение.
На рисунке уравнение представляется как полуплоскость. В случае строгого неравенства непосредственно прямая не входит в ответ. Для определения, какая же полуплоскость соответствует множеству решений, определяют значение в произвольной точке и проверяют, удовлетворяет ли число знаку неравенства.
Принцип решения
Алгоритм решения линейных неравенств базируется на их свойствах и нескольких правилах. Под решением неравенства понимают нахождение множества значений переменных, подстановка которых в уравнение превращает его в верное числовое выражение.
При нахождении неизвестных в уравнении используют пять свойств числовых неравенств:
Исходя из указанных свойств делают выводы, что слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую изменив при этом знак на противоположный. При умножении или делении обеих частей выражения на одно и то же значение знак неравенства не изменяется. Это утверждение также справедливо к другим арифметическим действиям с любым видом чисел. Следует заметить, что если обе стороны умножаются на число с отрицательным знаком, то знак неравенства меняется на противоположный.
Касательно систем действует правило, заключающееся в том, что если в совокупности нет уравнений, которые можно сократить, то в этом случае удалить уравнения без изменения решений не выйдет. Так как решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых оно будет верным, то множество всех таких решений состоит из эквивалентных корней.
Для решения же линейного уравнения с двумя переменными необходимо найти пару значений неизвестных по оси абсцисс и ординат, обращающую его в верное числовое выражение. Поэтому ответ в таких выражениях изображают в виде графика с указанием области искомого множества. При этом решение системы с двумя и более переменными находят по области пересечения каждого уравнения.
Простой пример
Решение линейных неравенств построено на чётком порядке действий. Самый простой способ — это использование метода тождественных преобразований. По сути, это сведение задания непосредственно к ответу. Например, пусть дано неравенство: p + 3 > 5*p — 5. Для его решения нужно выполнить следующую последовательность шагов:
По аналогии решаются задания с синусом, котангенсом и тангенсом. При нахождении ответа подробный анализ выполнять необязательно. Необходимо просто использовать простейшие тригонометрические формулы. Так для sin c > 1/ 2, будет верным решение с Є (p /6 + 2 p k, 5 p /6 + 2 pk), а для строгой записи tg ≥ с: c Є ≥ [p /4 + p k, p /2 + p k]. В ответ добавляется рк, так как помимо верхнего промежутка на графике есть симметричный ему другой интервал, повторяющийся через p.
Система с неизвестными
Уравнения с одной и той же переменной, при сравнении с разным свободным членом, называют при объединении системой линейных неравенств. Для решения такого рода примеров необходимо найти ответ для каждого неравенства отдельно, а затем указать все переменные, удовлетворяющие каждому выражению. Система может содержать бесконечное множество уравнений.
Например, необходимо вычислить множество решений следующего неравенства:
Выполняя простейшие преобразования, рассматриваемую систему можно привести к виду:
Ответом для первого уравнения будет с ≥ 2, а второго с > 3. Решением системы будут такие значения, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Очень часто используют чертёж. На нём изображают две числовые прямые друг под другом. На одной отмечают число два, а на втором три. Области, которые соответствуют решению, закрашивают. После этого визуально становится понятным, какая часть будет являться общим решением. В рассматриваемом примере c > 3. То есть c принадлежит от трёх до плюс бесконечности.
Неравенства с двойной переменной — это выражения вида f (x, y) > 0, при этом знак в выражении может быть любым. Решать примеры такого вида удобно, используя графический метод. Например, пусть x* y 0. В этом случае это выражение можно разделить на х и выражение будет иметь вид y 1/x.
Изобразив все эти решения, на координатной плоскости получают две гиперболы, пространство между которыми будет являться ответом рассматриваемого неравенства.
Например, модуль x плюс модуль y меньше либо равно двум. Для решения нужно рассмотреть всевозможные значения модуля: x ≥ 0, y ≥ 0. Отложить точки на осях координат и соединить их, получится прямоугольник, в середине которого будет находиться искомое множество решений.
Применение онлайн-калькуляторов
Во всемирной сети существуют сервисы, позволяющие вычислять линейные уравнения буквально в течение нескольких секунд. С их помощью решить неравенство любой сложности сможет даже пользователь, совершенно не понимающий методы, используемые для нахождения ответов.
Эти порталы привлекательны ещё и тем, что каждый выполненный шаг при решении подробно описывается. Появление ошибки при расчёте невозможно. Поэтому эти сайты востребованы даже у математиков, рассчитывающих целые и дробные выражения.
Чтобы получить ответ, регистрироваться не нужно. Необходимо просто зайти на сайт с помощью веб-обозревателя и указать заданное неравенство. Как только искомое выражение будет вписано, следует кликнуть по меню «Рассчитать» и получить ответ с пошаговым решением.
