Как решаются кубические уравнения

Решение кубических уравнений

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

Ответ:

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Решение

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

Решение

Отсюда следует, что

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Источник

Кубические уравнения

Кубическое уравнение – уравнение вида \[<\large>,\]

где \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) – некоторые числа.

для любого числа \(a\) имеют единственный корень

Пример.

\(<\color>\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую часть.

Пример.

Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-4)(5x-1)=0\]

В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:

\[\begin &(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3\\ &x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2) \end\]

Для этого можно использовать следующие утверждения:

Пример.

Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что \(x=\frac12\) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство):

\[2\cdot \left(\frac12\right)^3+5\cdot \left(\frac12\right)^2+3\cdot \frac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Заметим, что левая часть представляет из себя куб разности: \[(2x)^3-3\cdot (2x)^2\cdot 3+3\cdot (2x)\cdot3^2-3^3=0\quad\Leftrightarrow\quad (2x-3)^3=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\frac32.\]

Заметим, что левая часть представляет из себя куб суммы: \[(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot 1+3\cdot (2x)\cdot1^2+1^3=0\quad\Leftrightarrow\quad (2x+1)^3=0\quad\Leftrightarrow\quad x=-\frac12.\]

В ЕГЭ кубические уравнения встречаются как в профильном, так и в базовом уровне. Это значит, что уметь верно решать подобные задания необходимо каждому школьнику. Некоторые могут сказать, что количество баллов в ЕГЭ за решение уравнений третьей степени невелико и тратить на них время нецелесообразно. С этим трудно согласиться. Во-первых, в ЕГЭ крайне важен каждый бал, во-вторых, уравнения третьей степени не так уж и сложны, если уделить им должное внимание в ходе подготовки. Для того чтобы учащийся мог оперативно и, главное, правильно выполнить подобные задания, стоит воспользоваться нашим образовательным ресурсом.

«Школково» — это уникальная платформа, которая позволяет выпускникам из Москвы и других регионов с любым уровнем математических знаний научиться решать кубические уравнения, а также другие виды, например, тригонометрические уравнения и эффективно подготовиться к сдаче ЕГЭ. Прежде всего мы рекомендуем вам начать с повторения или изучения теоретического материала по данной теме. «Школково» представляет вниманию учащихся из Москвы и других городов, которые готовятся к ЕГЭ, по сути, авторское пособие, в котором ясно и доступно изложен материал по теме «Кубические уравнения».

Помимо изложения основных определений и формул, вы сможете познакомиться с примерами по теме и изучить способы их решения. При этом стоит отметить, что наши специалисты подобрали весьма интересные варианты. Для того чтобы вы научились уверенно решать экзаменационные задачи, нужна тренировка. Поэтому рекомендуем вам затем перейти в раздел «Каталог» и приступить к самостоятельной работе с уравнениями третьей степени.

Источник

Об уравнениях высших степеней

Как правило в физике, информатике и экономике мы сталкиваемся с простейшими линейными, или дробно-рациональными уравнениями, реже с квадратными. А что до уравнений третьей и четвёртой степени? Если вам интересно, то прошу под кат.

Для начала рассмотрим понятие уравнения высшей степени. Уравнением высшей степени, называется уравнение вида:

В этой статье я рассмотрю:

1. Кубические уравнения.
2. Возвратные кубические.
3. Применение схемы Горнера и теоремы Безу.
4. Возвратные биквадратные уравнения.

Кубические уравнения

Кубические уравнения, это уравнения, в которых у неизвестной при старшем члене степень равна 3. Кубические уравнения имеют следующий вид:

Решать такие уравнения можно по разному, однако мы воспользуемся знаниями базовой школы, и решим кубическое уравнение методом группировки:

В данном примере используется метод группировки, группируем первые два и последние два члена, получая равные скобки, снова выносим, получая уравнение из двух скобок.

Произведение равно нулю тогда, и только тогда, если хотя бы один из множителей равен нулю, на основании этого мы каждый множитель (скобку) приравниваем к нулю, получая неполное квадратное и линейное уравнения.

Также стоит отметить, что максимальное количество корней уравнения, равно степени неизвестной при главном члене, так в кубическом уравнении может быть не более трёх корней, в биквадратном (4-ой степени) не более четырёх корней и. т. д.

Возвратные кубические уравнения

Возвратные кубические уравнения имеют вид:

Возвратными они называются потому что коэффициенты будут зеркально повторяться. Подобные уравнения тоже решаются школьными методами, но чуть хитрее:

Сначала производится группировка, потом при помощи формул сокращённого умножения мы раскладываем получаемое на множители. Снова получаем 2 равные скобки, «выносим их». Получаем два множителя (скобки) и решаем их как два различных уравнения.

Теорема Безу и схема Горнера

Теорема Безу была открыта, как ни удивительно, Этьеном Безу, французским математиком, занимавшимся в основном алгеброй. Теорему Безу, можно сформулировать следующим образом:

Давайте разберёмся. P(x) — это какой-либо многочлен от x, (x — a) — это двучлен в котором a — это один из целых корней уравнения, который мы находим среди делителей свободного члена.

Три точки, это оператор обозначающий что одно выражение делится на другое. Из этого следует что найдя хотя бы один корень данного уравнения, мы сможем применить к нему эту теорему. Но зачем нужна эта теорема, каково её действие? Теорема Безу — это универсальный инструмент, если вы хотите понизить степень многочлена. Например, при её помощи, кубическое уравнение, можно превратить в квадратное, биквадратное, в кубическое и т. д.

Но одно дело понять, а как поделить? Можно конечно, делить и в столбик, однако этот метод доступен далеко не всем, да и вероятность ошибиться очень высока. Поэтому есть и иной путь, это схема Горнера. Её работу я поясню на примере. Предположим:

И так, нам дан многочлен, и мы возможно заранее нашли один из корней. Теперь мы рисуем небольшую табличку из 6 столбцов и 2 строк, в каждый столбец первой строки (кроме первого), мы вносим коэффициенты уравнения. А в первый столбец 2 строки мы вносим значение a (найденный корень). Потом первый коэффициент, в нашем случае 5, мы просто сносим вниз. Значения последующих столбиков мы рассчитываем так:

(Картинка позаимствована здесь)
Далее поступаем точно так же и с остальными столбцами. Значение последнего столбца (2 строки) будет остатком от деления, в нашем случае 0, если получается число отличное от 0, значит надо избрать другой подход. Пример для кубического уравнения:

Возвратные биквадратные уравнения

Выше мы так же рассматривали возвратные кубические уравнения, а теперь разберём биквадратные. Их общий вид:

В отличие от кубического возвратного уравнения, в биквадратном пары, относительно коэффициентов, есть не у всех, однако в остальном они очень схожи. Вот алгоритм решения таких уравнений:

Как видно, решать такие уравнения совсем не просто. Но я всё равно разберу и этот случай. Начинается решение с деления всего уравнения на x^2. Далее мы группируем, здесь я специально ввёл дополнительную строку для ясности. После этого мы совершаем хитрость, и вводим в первую скобку 2, которую мы сначала прибавляем, а после вычитаем, сумма всё равно не изменится, зато теперь мы можем свернуть эту скобку в квадрат суммы.

А теперь перейдём к примеру:

Основная часть так же как и в обобщённом алгоритме, делим на x^2, группируем, сворачиваем в полный квадрат, выполняем подстановку переменной и решаем квадратное уравнение. После этого полученные корни подставляем обратно, и решаем ещё 2 квадратных уравнения (с умножением на x).

Область применения

В виду своей громоздкости и специфичности уравнения высших степеней редко находят себе применение. Однако примеры всё же есть, уравнение Пуассона для адиабатических процессов в Физике.

Источник

Кубические уравнения. Метод деления в столбик. Примеры *

Эффективное решение существует!

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Определение

Рассмотрим произвольное уравнение вида

\[a_nx^n+a_x^+\dots+a_1x+a_0=0 \qquad \qquad (1)\]

Замечание

Теорема

Следствие: количество корней уравнения

Любое алгебраическое уравнение степени \(n\) может иметь не более \(n\) корней.

Замечание

В частности, квадратное уравнение действительно имеет всегда не более двух корней: два, один (или два совпадающих) или ни одного корня.

Для того, чтобы найти частное от деления одного многочлена на другой, удобно пользоваться следующим способом, который мы рассмотрим на примере.

Пример

Решение.
Будем делить многочлен на многочлен в столбик. Запишем

Рассуждая аналогично, определяем, что третье слагаемое в частном должно быть \(-x\)

Четвертое слагаемое в частном должно быть \(-3\) :

Замечание

Теорема

Доказательство

Пример

Теорема

Доказательство

1) Пусть \(n\) – четное. Подставим \(x=-1\) :

\(a_n\cdot (-1)^n+a_\cdot (-1)^+a_\cdot (-1)^+\dots+a_1\cdot (-1)+a_0=0 \quad\Rightarrow\) \(a_n-a_+a_-\dots-a_1+a_0=0 \quad \Rightarrow\) \(a_n+a_+\dots+a_0=a_+a_+\dots+a_1\)

2) Случай, когда \(n\) – нечетное, доказывается аналогично.

Пример

В уравнении \(x^3+2x^2-8x+5=0\) сумма коэффициентов равна нулю:

Значит, число \(x=1\) является корнем данного уравнения.

Можно разделить в столбик \(x^3+2x^2-8x+5\) на \(x-1\) :

Таким образом мы нашли все корни исходного уравнения.

Пример

Можно разделить в столбик \(x^3-x^2+x+3\) на \(x+1\) :

Замечание

Подбор корней таким образом, деление в столбик и разложение многочлена на множители помогают найти корни уравнения.

Существует еще одна очень важная теорема, позволяющая подобрать рациональный корень алгебраического уравнения, если таковой имеется.

Теорема

Если алгебраическое уравнение

Пример

\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm 3, \ \pm\dfrac32\]

По предыдущим теоремам можно быстро понять, что \(\pm1\) не являются корнями. Подставив \(x=-\dfrac12\) в уравнение, получим:

\[2\cdot \dfrac1<16>+5\cdot \dfrac18-\dfrac 14+5\cdot \dfrac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Значит, число \(x=-\frac12\) является корнем уравнения.

\[\left(x+\frac12\right)(x-3)\cdot Q_2(x)=0 \quad \text<или>\quad (2x+1)(x-3)\cdot P_2(x)=0\] (тогда \(P_2(x)=\frac12 Q_2(x)\) ). Заметим, что второй вид записи уравнения более удобный, т.к. нам не придется при делении в столбик работать с дробями.

После деления в столбик \(2x^4-5x^3-x^2-5x-3\) на \((2x+1)(x-3)=2x^2-5x-3\) :

Замечание

Пример

Заметим, что в данном уравнении не все коэффициенты – целые числа (коэффициент при \(x\) равен \(-\frac<23>6\) ). Но мы можем преобразовать данное уравнение к нужному нам виду: необходимо умножить правую и левую части уравнения на \(6\) :

\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm \dfrac13, \ \pm \dfrac 16, \ \pm\dfrac18, \ \pm2, \ \pm\dfrac23, \ \pm \dfrac14, \ \pm3\quad \text<\small<и т.д.>>\]

Теорема

Любой многочлен \(P_n(x)=a_nx^n+a_x^+\dots+a_1x+a_0\) можно разложить на произведение множителей: линейных ( \(ax+b, a\ne 0\) ) и квадратичных ( \(cx^2+px+q, c\ne 0\) ) с отрицательным дискриминантом.

Следствие

Кубическое уравнение \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) всегда имеет как минимум один вещественный корень, т.к. его левую часть всегда можно представить как

Замечание

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

Источник

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

Кубическим уравнением называется уравнение вида

Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.

Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

Итак, возможны только 3 следующих случая:

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y₁. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y₂, y₃ и подставьте их в (3).

Если Q 3 + ax 2 + bx +c = 0 (4)

Очевидно, любое уравнение вида (1) можно привести к виду (4), просто поделив его на коэффициент а.

Итак, алгоритм применения этой формулы:

3. a) Если S>0, то вычисляем

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

Для тех, кого интересуют также и мнимые корни:

в) Если S=0,то уравнение имеет меньше трех различных решений:

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Источник