Как решаются алгебраические выражения

Алгебра. Урок 3. Вычисления и алгебраические выражения

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Преобразования и вычисления

Свойства степеней:

(3) ( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n

(4) ( a b ) n = a n b n

Свойства квадратного корня:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(4) a 2 = | a | при любом a

Рациональные и иррациональные числа

Рациональные числа – числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби m n где m – целое число ( ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 … ), n – натуральное ( ℕ = 1, 2, 3, 4 … ).

Примеры рациональных чисел:

1 2 ; − 9 4 ; 0,3333 … = 1 3 ; 8 ; − 1236.

Примеры иррациональных чисел:

Аналогично, число 4 81 = 4 81 = 2 9 есть число рациональное.

В некоторых задачах требуется определить, какие из чисел являются рациональными, а какие иррациональными. Задание сводится к тому, чтобы понять, какие числа иррациональные, а какие под них маскируются. Для этого нужно уметь совершать операции вынесения множителя из-под знака квадратного корня и внесения множителя под знак корня.

Внесение и вынесение множителя за знак квадратного корня

При помощи вынесения множителя за знак квадратного корня можно ощутимо упростить некоторые математические выражения.

1 способ (вынесение множителя из-под знака корня): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

2 способ (внесение множителя под знак корня): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

Формулы сокращенного умножения (ФСУ)

(1) ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

( 3 x + 4 y ) 2 = ( 3 x ) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + ( 4 y ) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

(2) ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2

( 5 x − 2 y ) 2 = ( 5 x ) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + ( 2 y ) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

Сумма квадратов не раскладывается на множители

(3) a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b )

25 x 2 − 4 y 2 = ( 5 x ) 2 − ( 2 y ) 2 = ( 5 x − 2 y ) ( 5 x + 2 y )

(4) ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

( x + 3 y ) 3 = ( x ) 3 + 3 ⋅ ( x ) 2 ⋅ ( 3 y ) + 3 ⋅ ( x ) ⋅ ( 3 y ) 2 + ( 3 y ) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

(5) ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

( x 2 − 2 y ) 3 = ( x 2 ) 3 − 3 ⋅ ( x 2 ) 2 ⋅ ( 2 y ) + 3 ⋅ ( x 2 ) ⋅ ( 2 y ) 2 − ( 2 y ) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3

(6) a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 )

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = ( 2 + x ) ( 2 2 − 2 ⋅ x + x 2 ) = ( x + 2 ) ( 4 − 2 x + x 2 )

(7) a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 )

x 6 − 27 y 3 = ( x 2 ) 3 − ( 3 y ) 3 = ( x 2 − 3 y ) ( ( x 2 ) 2 + ( x 2 ) ( 3 y ) + ( 3 y ) 2 ) = ( x 2 − 3 y ) ( x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2 )

Стандартный вид числа

Для того, чтобы понять, как приводить произвольное рациональное число к стандартному виду, надо знать, что такое первая значащая цифра числа.

Первой значащей цифрой числа называют его первую слева отличную от нуля цифру.

Для того, чтобы привести число к стандартному виду, надо:

Запятая сдвинулась влево на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется влево, степень положительная.

Запятая сдвинулась вправо на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.

Запятая сдвинулась вправо на три разряда. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.

Задание №8 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Источник

Математические термины

Алгебра — это наука, изучающая действия над числовыми и буквенными величинами. Кроме того, она занимается решениями уравнений и связанными с ними действиями. Под буквенными величинами обычно понимают конкретные или переменные числовые значения. Входящие в состав записи буквы могут иметь различные числовые величины. Например, в формуле S * 4 + 12 символом S может быть заменена известная или неизвестная величина или даже целое выражение.

Математики под алгебраическим выражением понимают запись, составленную со смыслом, состоящую из букв и цифр, обозначающих числа. При этом она может содержать скобки и знаки арифметических действий. Исходя из этого простейшего определения можно утверждать, что формулы 2 * k — s, 4 * (y — 3/2), 0,89 * a — g * (9a + 4b), a 2 и (29p — 56) / log (a + c) являются примерами алгебраических выражений. Так как буквы в записях обозначают различные числа, то их считают переменными, а само уравнение — выражением с переменной.

Если же значение переменной известно и его можно подставить на место буквенного обозначения, то результат, полученный после выполнения указанных в уравнении действий, называется ответом алгебраического выражения. Но если число, подставляемое вместо буквы, приводит к бессмысленности записи, то оно считается недопустимым. Из этого можно сделать вывод, что одна и та же алгебраическая запись при различных величинах букв может иметь отличные значения.

На практике приходится сталкиваться с довольно сложными и громоздкими алгебраическими выражениями, поэтому над ними приходится выполнять ряд действий, правил, законов или использовать свойства для упрощения записи.

Кроме определений здесь применяется понятие «тождественность». Под ним понимают два выражения, для которых при любых значениях переменных, входящих в их состав, будет справедливо их равенство, например, 56* (x+с) = 56 * x + 56 * с.

Эти два выражения можно заменить друг другом или, выражаясь математическим языком, — «выполнить тождественное преобразование».

Виды выражений

В школе на уроках алгебры приходится сталкиваться с различными видами выражений. Обычно они состоят из нескольких членов. В математике существует группирование, объединяющее сходные элементы. Обучение понятиям начинают в седьмом классе с того, что приводят следующие определения:

Многочлен всегда подразумевает выполнение действий. При описании понятия используют и такие термины, как коэффициент, член, степень. Во время работы с одночленами применяют тождественное их приведение к стандартному виду.

В нём выражение представляют как произведение числового множителя и натуральной степени разных переменных, например, 2 * a, −x * 3.

Выражения в алгебре могут быть следующих видов:

Все указанные виды относят к простым, но с 7 класса алгебраические выражения будут усложняться. Сложный вид записи обычно состоит из многочлена, включающего в себя извлечение корня, логарифмы и возведение в степень, например, ln (x 2 — 1) * tg ((x + p) / cos x). И хоть среди них попадаются перечисленные типы, их относят к общему виду.

Вычисление сложных выражений подразумевает выполнение преобразований, которые позволят проще решить задание и найти правильный ответ.

Алгебраические действия

Решая задачу, приходится выполнять те или иные преобразования. Чаще всего сложность задания определяется громоздкостью и объёмом соответствующих преобразований, поэтому в школе на уроках элементарной математики часто попадаются задачи на упрощения.

Основу всех алгебраических действий составляют три закона. Это правила, касающиеся сложения и умножения: переставное, соединительное и распределительное. Но наряду с ними применяют и формулы сокращённого умножения.

На начальном этапе обучения рекомендуется даже записать данные правила отдельно на листик и пользоваться им, пока применение законов не дойдёт до автоматизма. Вот некоторые практические рекомендации, решаться с которыми примеры будут намного легче:

Не стоит забывать и о такой операции, как деление многочлена. Для этого используют метод столбика. Заключается он в размещении слагаемых многочлена в порядке убывания степени переменной и разделения первого слагаемого числителя многочлена на первое слагаемое знаменателя.

Затем результат умножают на делитель и отнимают ответ от делимого.

Применение преобразований

Алгебраические выражения, показывающие, что одна величина больше другой или равна ей, называют уравнениями и равенствами. При этом их используют для составления формул, то есть для записи, выражающей зависимость между двумя или несколькими переменными. Это удобно, так как преобразования позволяют привести формулу к простому для запоминания виду.

При решении примеров важно знать все существующие методы. Какой из них применять, конкретно указать нельзя, всё зависит от личных предпочтений и опыта решения подобных заданий. Например, пусть нужно упростить сложное выражение (a 3 (b — c) + b 3 (c — a) + c 3 (a — b)) / (a 2 (b — c) + b 2 (c — a) + c 2 (a — b)).

Сначала можно попробовать разложить на множители делитель и делимое. Один из вариантов преобразования числителя следующий:

a 3 (b — c) + b 3 (c — a) + c 3 (a — b) = a 3 b — b 3 c — a 3 c + b 3 c + c 3 (a — b) = ab (a 2 — b 2 ) = ab (a 2 — b 2 ) — c (a 3 — b 3 ) + c 3 (a — b) = (a — b) (ab (a + b) — c (a 2 + ab + b 2 ) + c 3 = (a — b) (a 2 b — a 2 c + ab 2 — abc + c 3 — cb 2 ) = (a — b) (a 2 (b — c) + ab (b — c) — c (b 2 — c 2 ) = (a — b) (b — c) (a 2 — c 2 + ab — cb) = (a — b) (b — c) (a — c) (a + b + c).

По аналогии раскладывая знаменатель, можно прийти к результату: (a — b) (b — c) (a — c). В итоге получится равенство (a 3 (b — c) + b 3 (c — a) + c 3 (a — b)) / (a 2 (b — c) + b 2 (c — a) + c 2 (a — b)) = ((a — b) (b — c) (a — c) (a + b + c)) / ((a — b)(b — c)(a — c)) = a + b + c.

В числителе возможно выделить множитель (a — b) на том основании, что делимое равно нулю, когда a совпадает с b. Обычно в двух взаимно обратных операциях выполнение одной сложнее, чем другой. Это касается, в частности, выполнения умножения алгебраических выражений и разложения на множители или возведения в степень с извлечением корня. Например, легко увидеть, что (5 + 3 √2) 2 = 43 + 30 √2, но значительно труднее прочитать это равенство справа налево.

Следует помнить, что когда при решении задачи встречается выражение подкоренного вида √с + n * √k или √a + b√k, то необходимо попытаться добыть соответствующий корень. Если же это невозможно, то нужно воспользоваться подбором.

Если нужно упростить выражение √11 + 6 √ 2, то его можно представить как c + b √2. Следовательно, справедливо будет следующее равенство: 11 + 6 √2 = с 2 + 2b 2 + 2 cb √2. Поиск целых (рациональных) c и b приведёт к решению системы: a 2 + 2b 2 = 11, ab = 3.

При этом подобрать нужную пару целых легко: a = 3, b = 1, то есть можно записать равенство как √11 + 6√ 2 = 3 + √2.

Источник

Алгебраические выражения в математике с примерами решения и образцами выполнения

Число — это важнейшее математическое понятие. В математике некоторые понятия являются первичными, неопределяемыми. К ним относятся понятия натурального числа, точки, прямой и т.д. Натуральные числа — это числа, используемые для счета предметов: 1, 2, 3, …, п, …

Другим фундаментальным понятием математики является понятие множества. Принято говорить, что множество объединяет элементы по какому-либо признаку. Множества можно составлять из самых разнообразных объектов на основе различных признаков. Элементами множества могут быть как материальные объекты, так и абстрактные понятия, такие как числа, геометрические фигуры, символы и т. п. Если в роли элементов множества выступают числа, то оно называется числовым множеством. Множества чаще всего обозначаются большими латинскими буквами А, В, С, …, а их элементы — малыми латинскими буквами а, Ь, с, … Если множество А состоит из k элементов то пишут

Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут

Множество, которое не содержит элементов, называется пустым и обозначается

Пересечением множеств А и В называется множество С, которое состоит из элементов, входящих и в множество А, и в множество В, обозначается Объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множеств А и В и только из них, обозначается

Множество натуральных чисел обозначают буквой N. Если какое-либо число n принадлежит множеству натуральных чисел, пишут

На множестве натуральных чисел определены операции сложения и умножения. Сумма и произведение натуральных чисел — также натуральные числа.

Вычитание натуральных чисел приводит не только к натуральным числам, но и к числам вида , где — натуральное число. Множество чисел, состоящее из натуральных чисел, нуля и чисел вида называется множеством целых чисел и обозначается Z. На множестве целых чисел определены операции сложения, вычитания и умножения. Деление целых чисел выводит нас за рамки этого множества, т. к. при делении результат не всегда оказывается целым числом, и возникает необходимость записи чисел, более «мелких», чем целые. Одна или несколько равных частей единицы называется обыкновенной дробью.

Обыкновенная дробь состоит из числителя и знаменателя, разделенных чертой, например . Знаменатель 9 обозначает, что нечто целое разделено на 9 частей, а числитель 7, что взято 7 таких частей.

Важнейшим свойством дроби является то, что числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число,т.е. дрооь можно сократить. Например, Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной.

Если числитель дроби больше знаменателя, дробь — неправильная. — правильная дробь, — неправильная дробь. Из неправильной дроби можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель с остатком. Частное от деления будет целой частью числа, остаток — числителем дробной части, в знаменателе будет знаменатель неправильной дроби. Например,

Число, состоящее из целой и дробной частей, — дробное число. Такое число можно превратить в неправильную дробь. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель дроби и добавить это произведение к числителю, а знаменатель оставить прежним. Например, Над дробями можно совершать арифметические действия по следующим правилам:

Дроби со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. называются десятичными дробями и записываются

При сложении и вычитании десятичных дробей числа записывают так, чтобы одинаковые разряды были записаны один под другим, а запятая — под запятой. Например,

При умножении десятичных дробей надо выполнить это действие, не обращая внимания на запятые, а затем в полученном произведении отделить справа запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

При делении десятичных дробей на натуральное число делим сначала целую часть числа на это натуральное число, затем десятые, сотые и т.д. доли. Если целая часть меньше делителя, то в целой части частного получим 0. Например, 4,52 : 2 = 2,26; 1,28 : 4 = 0,32.

При делении на десятичную дробь надо в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, и затем делить на натуральное число.

Можно преобразовать десятичную дробь в обыкновенную и, обратно, обыкновенную дробь в десятичную. Для первого преобразования достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе — единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр справа от запятой. Например, Чтобы совершить обратное преобразование, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число. Например,

Отметим, что при этом может получиться бесконечная десятичная дробь. Например,

Бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого разряда, цифры повторяются, называется периодической. Записываются периодические дроби следующим образом:

Важно уметь переводить периодические дроби в обыкновенные. Для того чтобы обратить бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до 2-го периода, вычесть число, стоящее до 1-го периода, и сделать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и 1-м периодом.

Например,

Рациональными называются числа, которые могут быть представлены в виде , где — целое, a — натуральное число. Множество рациональных чисел обозначается Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной либо бесконечной периодической десятичной дроби.

На множестве рациональных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в натуральную степень, т. к. последняя операция сводится к умножению:

Возведение в отрицательную целую степень возможно для любого рационального числа, кроме , т.к. , а на делить нельзя.

Прямую линию с выбранными на ней началом отсчета, еиничным отрезком и направлением называют числовой прямой, или числовой осью.

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными. Например, и ; и

Каждому рациональному числу соответствует единственная точка на числовой прямой. Противоположные числа на числовой прямой расположены симметрично относительно нуля.

Модулем (абсолютной величиной) числа называется само это число, если , и противоположное число , если .

На числовой прямой означает расстояние от точки, соответствующей числу , до точки, обозначающей .

|0|; если , то на числовой прямой находятся две точки, равноудаленные от нуля, соответствующие , это и .

На числовой прямой правее расположено то из двух чисел, которое больше. Поэтому любое положительное число больше нуля и больше отрицательного числа; любое отрицательное число меньше нуля; из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Например,

Сумма двух рациональных чисел с одинаковыми знаками равна числу того же знака, модуль которого равен сумме модулей слагаемых. Сумма двух чисел с разными знаками равна числу, модуль которого равен разности большего и меньшего модулей этих чисел, а знак суммы совпадает со знаком того слагаемого, модуль которого больше. Например,

Разности двух рациональных чисел соответствует сложение уменьшаемого с числом, противоположным вычитаемому.

Например,

Произведение и частное двух рациональных чисел одного знака является положительным числом, произведение и частное двух чисел с разными знаками — число отрицательное.

Итак, множество натуральных чисел было расширено при введении нуля и чисел до множества целых чисел, и затем при введении дробных чисел до множества рациональных чисел. Однако существуют алгебраические и геометрические задачи, которые не имеют решения на множестве рациональных чисел. Например, нельзя выразить рациональным числом длину диагонали квадрата со стороной 1 см; нельзя найти отношение длины окружности к диаметру.

Числа, которые нельзя представить в виде и которые поэтому не являются рациональными, называются иррациональными. Т.к. любое рациональное число представляется либо в виде конечной, либо бесконечной периодической десятичной дроби, то иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Рациональные и иррациональные числа вместе составляют множество действительных чисел, которое обозначается буквой .

Итак, вся числовая прямая представляет собой множество действительных чисел, состоящее из рациональных и иррациональных чисел. Множество рациональных чисел включает в себя множество целых чисел и множество дробных чисел, множество целых чисел включает в себя множество натуральных чисел и множество противоположных им чисел.

На числовой прямой вводятся обозначения для числовых промежутков:

— отрезок (замкнутый промежуток) с началом и концом ;

— интервал (незамкнутый промежуток);

— полуинтервалы (полузамкнутые промежутки);

—лучи, где — обозначение бесконечности; часто вместо пишут просто ;

— вся числовая прямая.

Если число входит в какой-либо числовой промежуток, то пишут или

Эта теория с решениями взята со страницы решения задач по математике:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Употребление букв для обозначения чисел (буквенная символика)

Буквы употребляются и для обозначения чисел. Поясним на примерах, когда обозначать число буквой полезно и даже необходимо и когда это делать нет пользы.

Пример:

Когда дежурный по классу докладывает классному руководителю устно или письменно о числе учеников, не явившихся в этот день на занятия, то он произносит наименование этого числа или записывает его цифрами. Например, говорит «четыре» или записывает «4». В данном случае нет смысла число 4 обозначать буквой.

Пример:

Если же мы хотим сказать о числе учеников, которые в конце текущего учебного года окончат данную школу с золотой медалью, то мы можем это число обозначить какой-нибудь буквой, например буквой а, так как мы еще не знаем сколько таких учеников окажется. Если таких учеников окажется 3, то мы скажем, что а = 3, если их окажется 10, то а = 10, если же не окажется ни одного, то а = 0 и т. д.

Пример:

Пусть произведение двух чисел равно и при этом второе число на единицу больше первого. Если теперь мы захотим назвать первое число, то придется его обозначить какой-нибудь буквой, например буквой х, так как оно нам неизвестно. Если бы нам удалось найти это число, то оказалось бы, что

Пример:

Пусть паровоз движется без остановок со скоростью 80 км в час по Октябрьской железной дороге по направлению от Ленинграда к Москве и пусть в нуль часов (т. е. в полночь) проходит ст. Бологое. Расстояние от ст. Бологое в сторону Москвы будем считать положительным, а в сторону Ленинграда отрицательным (рис. 35)

При этих условиях расстояние от ст. Бологое до локомотива будет все время изменяться, а потому не может быть выражено каким-нибудь одним числом. Целесообразно величину этого расстояния обозначить какой-нибудь буквой, например буквой S. Тогда через час после полуночи S = 80; через 1 час 30 мин. S = 120 и т. д. За один час до полуночи S = — 80, за 1 час 30 мин. до полуночи S = —120 и т. д.

В алгебре любая буква, например а, может в одном случае обозначать собой число — 5, в другом, скажем, и т. д., т. е. под буквой а мы можем подразумевать, вообще говоря, любое известное или неизвестное отвлеченное число.

Если буквой а обозначено, скажем, число жильцов в доме, то в этом случае под буквой а нельзя подразумевать ни дробного, ни отрицательного числа.

Если буквой а обозначена длина веревки, то под буквой а нельзя подразумевать отрицательного числа.

Если число учеников, получивших золотую медаль, мы обозначили буквой а, то число учеников, получивших серебряную медаль, следует обозначить какой-либо другой буквой, например буквой b. Если мы захотим выразить число всех медалистов (и тех, и других), то напишем а + b.

Если при рассмотрении какого-либо вопроса одна и «га же буква, например буква x, употребляется несколько раз, то под значением этой буквы во всех случаях мы должны мыслить одно и то же. Например, если имеется частное (х + 2) : (х + 1). и если букве х, стоящей в делимом, мы припишем значение + 7, то букве х, стоящей в делителе, мы обязаны будем приписать то же самое значение + 7. Для обозначения чисел общепринято употреблять буквы преимущественно латинского и греческого алфавита. (Эти алфавиты помещены в конце вступительной статьи «Учащимся о математике»),

2. Возникает естественный вопрос: какие же обстоятельства, кроме указанных выше, побуждают нас к тому, чтобы употребление букв для обозначения чисел сделать систематическим и какая от этого получается польза? На этот вопрос очень трудно дать ответ, который, с одной стороны, был бы полным и конкретным, а с другой — оказался бы доступным пониманию лица, только что приступившего к изучению элементарной алгебры. Однако некоторые пояснения все же уместно сейчас сделать.

Пусть требуется решить, например, такую задачу. Смешали кофе двух сортов: 12 кг ценой по 4 руб. за 1 кг с 8 кг ценой по 4,5 руб. за 1 кг. Определить цену 1 кг смеси.

Решение этой задачи можно получить с помощью следующей последовательности действий:

На этом примере дана иллюстрация того, что решение всякой более или менее сложной арифметической задачи сводится к выполнению некоторой определенной последовательности действий над числами, данными в условии задачи. В итоге всех этих действий получается числовой ответ задачи. Если же мы эти действия не станем выполнять, а будем их только указывать, то в итоге получим некоторое арифметическое выражение, значение которого и будет ответом задачи.

Для сформулированной выше задачи получится следующее арифметическое выражение:

Значение этого выражения равно 4,2. Следовательно, цена смеси 4,2 руб. за 1 кг.

Решение задачи, записанное в виде арифметического выражения, имеет то преимущество, что позволяет видеть в собранной форме ту последовательность действий, которая решает данную задачу.

Если мы изменим числа, данные в условии задачи, то полученная в написанном выше арифметическом выражении последовательность действий не изменится. Так, например, если смешать 85 кг кофе ценой по 3,5 руб. за 1 кг с 15 кг ценой по 4,5 руб. за 1 /кг, то цена 1 кг смеси в рублях за 1 кг изобразится выражением:

Решим эту же задачу в общем виде, т. е. в предположении, что количества и цены двух сортов кофе какие угодно.

Пусть смешали р кг кофе ценой в а руб. за 1 кг с q кг ценой в b руб. за 1 кг. Тогда цена смеси в рублях за 1 кг изобразится выражением:

Конечно, числовое значение последнего выражения не будет определенным; оно будет зависеть от того, какие отдельные числовые значения мы станем давать буквам a, b, р и q. Однако наряду с этим выражение

имеет то преимущество перед простым числовым ответом, что оно, во-первых, является общим решением задачи, т. е. решением при любых данных, и, во-вторых, позволяет видеть в собранной форме план или правило решения поставленной задачи.

При изменении значений букв a, b, р и q или даже при изменении значения одной из этих букв будет изменяться, вообще говоря, и значение выражения

При а = 42; b = 50; р = 8 и q = 2 получим

При а = 42; b = 50; р = 3 и q = 2 получим

3. Рассмотрим несколько других примеров.

1. Пусть длина комнаты равна а м, а ширина — b м; тогда площадь комнаты в кв. м выразится произведением

2. Пусть магазин принял со склада m м сукна ценой по а руб. за 1 м и n м драпа ценой по b руб за 1 м. Тогда стоимость принятого товара в рублях изобразится следующей суммой двух произведений:

3. Пусть требуется найти р% от числа А.

Один процент числа А будет а р процентов от числа А изобразится выражением

4. Площадь поперечного сечения цилиндрической колонны равна S кв. см, а высота — h м. Пусть 1 куб. см материала колонны весит d г. Тогда вес колонны в тоннах представится выражением

так как S кв. см составляют кв. м и 1 куб. м материала колоны весит d т.

Таким образом, буквенное обозначение чисел позволяет получать решение задач в общем виде и тем самым выражать в краткой форме весь ход решения задачи.

4. Кроме того, буквенная символика позволяет кратко выражать законы, которым подчиняются числа. Например, вместо того, чтобы сказать, что сумма двух любых чисел не меняется от перемены мест слагаемых, достаточно написать:

(переместительный закон сложения).

Рекомендуется сформулировать словами следующие законы:

(сочетательный закон сложения);

(переместительный закон умножения);

(сочетательный закон умножения);

(распределительный закон умножения);

(правило умножения дробей);

(правило деления дробей).

5. В дальнейшем мы увидим, что буквенная символика позволяет легко обнаруживать новые свойства чисел, имеющие общий характер. Например, в главе III будет показана справедливость равенства

в котором буквы а и b обозначают собой любые числа, а в главе VI мы встретимся уже и с применениями новых свойств чисел к решению практических задач.

Геометрия, физика, механика и другие науки выдвигают многочисленные задачи, решение которых нельзя осуществить без буквенной символики.

Алгебраическое выражение

1. В дальнейшем нам постоянно придется иметь дело с алгебраическими выражениями. Что же такое алгебраическое выражение?

Алгебраическим выражением называется совокупность чисел, соединенных между собой с помощью знаков действий. Эти числа могут быть изображенными с помощью цифр и с помощью букв.

Алгебраическое выражение может содержать и скобки, служащие для указания порядка действий.

Примеры алгебраических выражений:

Примечание:

Любое число или любую букву, обозначающую число, мы также будем считать алгебраическим выражением. Например:
суть алгебраические выражения.

2. Приведем примеры нахождения числового значения алгебраического выражения.

Пусть под буквой а подразумевается число — 5, тогда

Пусть а = — 5 и b = — 3. Тогда

Пусть а= — 5 и b = — 3. Тогда

Замечание:

Выражение +а или просто а может иметь положительное, отрицательное и нулевое значения. Например, при
а = — 5 выражение +а имеет отрицательное значение — 5.

Выражение — а также может иметь положительное, отрицательное и нулевое значения. Например, при а = —5 выражение — а имеет положительное значение + 5.

3. Написанные ниже равенства

( _ а) • ( — Ь) = + аЬ\ — ( — с) = + а

Справедливость каждого из этих равенств легко доказать путем рассмотрения в отдельности каждого из следующих возможных случаев:

Равенство а = — а справедливо тогда и только тогда, когда а = 0. (Два противоположных числа равны друг другу лишь тогда, когда каждое из них равно нулю.)

Зависимости между величинами

1. При помощи алгебраических выражений можно представлять во многих случаях зависимости между величинами.

Примеры:

1. Проезд в такси стоит 0,1 руб. за включение счетчика и 0, 1 руб. за каждый километр пути. Если х есть число километров пути, а у стоимость проезда, выраженная в рублях, то зависимость величины у от величины х можно выразить равенством:

Составим таблицу значений у для нескольких отдельных значений х.

На рисунке 36 эта таблица изображена графически.

Вертикальными отрезками изображена стоимость в масштабе 5 мм 0,1 руб., соответствующая отмеченным на оси Х₁Х расстояниям.

По расположению точек А, B,C,D,E,F и т. д. являющихся концами вертикальных отрезков, можно составить наглядное представление о зависимости стоимости проезда от расстояния.

Эта зависимость (формула) точная; она известна из арифметики.

Графическое изображение этой таблицы дано на рисунке 38.

Масштаб по оси Х₁Х: 1,5см 1 м. Вертикальные отрезки изображают площадь в масштабе 0,5 см 1 кв. м.

Масштаб по оси Х₁Х: 1,5см 1 м. Вертикальные отрезки построены в масштабе 1 см 1 кв. м.

3. Условимся выражать расстояние от точки О по прямой А В (рис. 40) вправо- положительным числом, а влево отрицательным.

Условимся скорость точки, движущейся по прямой А В слева направо, выражать положительным числом, а при движении справа налево— отрицательным. Пусть точка движется по прямой А В равномерно со скоростью 2 м в сек. и в нуль часов находится от точки О на расстоянии 3 м. Расстояние от точки О до движущейся точки, выраженное в метрах, обозначим буквой S, а время в секундах — буквой t.

При этих условиях зависимость величины S от величины t выразится равенством

Составим таблицу значений величины S для нескольких отдельных значений величины t.

Графическим изображением зависимости

служит прямая MN на рисунке 41.

Масштаб по оси t₁t : 0,5 см 1 сек. Вертикальные отрезки изображены в масштабе 0,5 см 1 м.

4. Если возраст человека в годах обозначить буквой t, а нормальное число часов ежедневного сна — буквой Н, то для возраста до 18 лет зависимость величины Н от величины t выразится приближенно следующим равенством:

Эта приближенная зависимость (формула) получена не теоретически, а на основе наблюдений и опытов врачей.

Составим таблицу значений величины Н для нескольких отдельных значений величины t.

Графическим изображением зависимости

для значений t, больших или равных и меньших или равных 18, будет отрезок прямой MN на рисунке 42.

Масштаб по оси t₁t : 2,5 мм 1 год. Вертикальные отрезки изображены в масштабе 2,5 мм 1 час.

5. Измеряя температуру воздуха в Москве через каждые два часа (с 11 час. 26 марта до 11 час. 27 марта 1957 года), получили следующую таблицу:

В первой строке указано время t в часах, а во второй — температура Т в градусах по Цельсию. За начало счета времени здесь принят момент нуль часов 27 марта. Время после этого момента выражено положительным числом, а до этого момента — отрицательным.

Например:
—13 обозначает момент времени 11 час. 26 марта;
—11 обозначает момент времени 13 час. 26 марта;
+ 11 обозначает момент времени 11 час. 27 марта.

Числом 9 обозначаем момент времени 9 час. 27 марта и т. д. Графическое изображение этой таблицы дано на рисунке 43.

Масштаб по оси t₁t: 0,5 см 2 часам. Вертикальные отрезки изображены в масштабе 0,5 см 1 °C.

Соединяя на рисунке 43 точки А, В, С, D, Е, F, G, Н, К, L, М, N, Р плавной линией, получим график суточного изменения температуры (рис. 44).

В рассмотренном примере зависимость температуры Т от времени t получена путем непосредственного измерения температуры воздуха через равные промежутки времени.

Всякая зависимость, полученная путем наблюдений и опытов, называется эмпирической*.

* Прилагательное «эмпирический» происходит от греческого слова «ejmipiа», что означает «опыт»

Зависимости, приведенные в примерах 4 и 5, эмпирические.

Алгебраические выражения и действия над ними

Степень

1. Степенью называется произведение, составленное из одинаковых множителей.

Повторяющийся множитель называется основанием степени, а число всех одинаковых множителей называется показателем степени.

Например, произведение есть степень; основание этой степени равно 7, а показатель равен 4.

Произведение есть степень; основание этой степени равно , а показатель равен 3.

Эту степень принято обозначать символом .

Степень изобразится символом , а степень символом .

Выражение называется первой степенью а и оно представляет собой просто число а.

Действие, с помощью которого вычисляется значение степени, называется возведением в степень.

Замечание:

Обратим внимание на то, что символ в принятом нами определении имеет пока смысл лишь в том случае, когда n есть целое положительное число. В дальнейшем мы будем пользоваться выражением и при других значениях буквы п, т. е. рассматривать его более расширенно.

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

По сочетательному закону умножения

Итак, при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются. Например:

Коэффициент

Сумму, составленную из одинаковых слагаемых, можно записать в виде произведения. Например:

Произведение принято записывать в форме 5а. Если один или оба множителя обозначены буквами или заключены в скобки, то знак умножения принято опускать.

Например, вместо выражений

Определение:

Числовой множитель, выраженный цифрами, называется числовым коэффициентом.

Его принято ставить впереди буквенных множителей. Например, вместо выражений

числовыми коэффициентами будут соответственно

В каждом из выражений

числовой коэффициент равен 1, так как

В каждом из выражений

числовой коэффициент равен — 1, так как

Коэффициент, равный 1 и — 1, принято не писать. Вместо 1 • а пишут а. Вместо — 1 • а пишут — а.

Возведение в степень произведения частного и степени

Возведение произведения в степень

Чтобы возвысить произведение в степень, можно возвысить в эту степень каждый множитель в отдельности и полученные степени перемножить.

Иначе говоря, степень произведения равна произведению тех же степеней множителей. Действительно,

По сочетательному закону умножения

По переместительному закону

По сочетательному закону

что и требовалось доказать.

Примеры:

Поменяв местами левую и правую части равенства

т. е. произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени, основанием которой служит произведение оснований данных степеней.

Примеры:

Возведение частного в степень

Чтобы возвысить частное в степень, достаточно возвысить в эту степень делимое и делитель и первый результат разделить на второй.

Короче говоря, степень частного равна частному степеней. Действительно,

Поменяв местами левую и правую части равенства

т. е. частное степеней с одинаковым показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным частному оснований данных степеней.

Возведение степени в степень

Чтобы возвести степень числа в новую степень, достаточно возвести это число в степень, показатель который равен произведению показателей степеней.

Примеры:

Классификация алгебраических выражений и порядок действий

Порядок действий в алгебраических выражениях сохраняется таким же, что и в арифметических выражениях.

Рациональное алгебраическое выражение

Определение:

Всякое алгебраическое выражение, в котором нет никаких других действий, кроме сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень*, называется рациональным.

* Кроме этих пяти действий, в алгебре изучаются еще и другие математические действия.

Примеры рациональных выражений:

Целое выражение

Определение:

Если в рациональном выражении не содержится деление на буквенное выражение, то это рациональное выражение называется целым.

Примеры целых выражений:

Дробное выражение

Определение:

Выражение, содержащее деление на буквенное выражение, называется дробным.

Примеры дробных выражений

Одночлен

Определение:

Всякое выражение, в котором последнее действие не есть сложение или вычитание, называется одночленом.

Многочлен

Определение:

Выражение, в котором последнее действие есть сложение или вычитание, называется многочленом.

Определение типа любого выражения по последнему действию

1. Если в выражении последнее по порядку действие есть сложение, то это выражение называется суммой. Например, выражения

2. Если в выражении последнее действие есть вычитание, то это выражение называется разностью. Например, выражения

3. Если в выражении последнее действие есть умножение, то это выражение называется произведением. Например, выражения

Произведение, составленное из нескольких букв, принято записывать с соблюдением алфавитного порядка. Например, вместо пишут

4. Если в выражении последнее действие есть деление, то это выражение называется частным. Например, выражения

5. Если в выражении последнее действие есть возведение в степень, то это выражение называется степенью.

Примечaние:

Если последнее действие есть возведение во вторую степень, то выражение называется квадратом, а если в третью, то кубом.

Например, выражение есть квадрат, и — кубы.

Полное название выражения

— есть сумма квадратов чисел а и b ;
— квадрат суммы чисел а и b;
— произведение суммы чисел а и b на их разность;
— разность кубов чисел а и b;
— куб разности чисел а и b;
— частное от деления суммы квадратов чисел а и b на произведение чисел х и у;
— утроенное произведение квадрата числа а на число b.

Обратим внимание на то, что полное название выражения мы начали со слова «сумма», потому что в этом выражении последнее действие есть сложение, а полное название выражения мы начали со слова «квадрат», потому что в этом выражении последнее действие есть возведение в квадрат. Полное название выражения мы должны начинать со слова «разность», а выражения — со слова «произведение».

Если бы последнее действие было деление, то мы должны были бы начинать формулировку со слова «частное».

Числовое значение алгебраического выражения

Определение:

Числовым значением алгебраического выражения пои заданных значениях букв называется тот результат, который получится после замены букв их значениями и выполнения всех действий.

Примеры:

1. Числовым значением выражения а + b при а = + 12 и b = — 8 будет

2. Числовым значением при х = 5 будет число

3. Числовое значение выражения при х = 5 будет 25; при x = — 5 оно также будет 25.

Очевидно, что значения выражения будут положительными как при положительных, так и при отрицательных значениях буквы х.

Очевидно, что значения выражения — будут отрицательны как при положительных, так и при отрицательных значениях буквы х.

4. Значение выражения при х = 5 будет 125, а при х =—5 будет —125.

Значение выражения — при х = 2 будет — 8, а при х = — 2 будет 8.

5. Значение выражения при х = — 5 будет

Таблица значений алгебраических выражений

Составим следующую таблицу значений выражения при нескольких различных значениях буквы х:

Очевидно, что при всех значениях буквы х, больших единицы, значения выражения будут также большими единицы.

Если значение буквы х заключается между —1 и 0, то значение выражения также будет заключаться между — 1 и 0.

Если значение буквы х меньше — 1, то значение выражения также будет меньше —1.

Составим таблицу значений выражения .

Выражение при х = 0 лишено смысла.

Составим таблицу значений выражения , давая букве n только целые положительные значения.

Примеры алгебраических выражений, теряющих смысл при некоторых значениях букв

Встречаются такие алгебраические выражения, которые теряют смысл при некоторых значениях входящих в них букв. Например, выражение теряет смысл при х = 0; выражение теряет смысл при х = 1 и при х = — 1; выражение теряет смысл при а = 2 и b = 1 или при а = 6 и b = 3 при многих других парах значений букв а и b, обращающих выражение а — 2 b в нуль. Выражение теряет смысл при x = 5, так как оно при х = 5 принимает вид

Все такие значения букв, при которых данное выражение не теряет смысла, называются допустимыми для данного выражения.

Для выражений допустимы любые значения входящих в них букв. Допустимыми значениями будут

а) для все значения х, кроме x = 0;

б) для все значения х, кроме х = 1 и х = — 1;

Примечание:

Значения буквы илb букв, обращающие знаменатель дроби в нуль, заслуживают особого внимания. В этих случаях дробь теряет смысл.

Алгебраическая сумма

Выражение 8—5 понимается в арифметике в единственном смысле, а именно кдк разность между числами 8 и 5.

В алгебре же это выражение можно понимать двояко:
либо как разность

Поэтому выражение 8 — 5 можно считать сокращенной записью суммы (+ 8) + (— 5) или, что то же самое, суммы 8 + (— 5). Аналогично выражение

можно считать сокращенной записью суммы

Ввиду того что в алгебре разность можно рассматривать как сумму, выражения 8 — 5, 8 — 5+12 — 4 и им подобные называются алгебраическими суммами.

обозначает сумму следующих слагаемых: и

Точно так же выражение

обозначает сумму следующих выражений:

Изложенное можно сформулировать следующим образом. Несколько алгебраических выражений, соединенных знаками + или —, можно рассматривать как сумму. Имея это в виду, совокупность алгебраических выражений, соединенных между собой знаками + или —, называют алгебраической суммой.

суть алгебраические суммы.

Слагаемыми алгебраической суммы а — b будут а и — b ; слагаемыми алгебраической суммы будут

Слагаемые алгебраической суммы называются ее членами.

Каждая алгебраическая сумма является в то же время и многочленным выражением. Члены алгебраической суммы называются одновременно и членами многочлена.

Обратно, каждый многочлен является в то же время и алгебраической суммой.

Пример:

Алгебраическая сумма обладает всеми свойствами суммы, перечисленными в § 4 главы I.

На основании изложенного выше мы можем вместо выражения

Источник