Как решать задачи на концентрацию

Класс: 6

Презентация к уроку

Цель: создать условия для формирования умений решать задачи на растворы на основе знаний процентов, отношений и умений работы с дробями.

Задачи:

Необходимое оборудование и материалы: доска, мел, карточка с задачами, презентация.

План урока:

Ход урока

I. Мотивационный момент.

Ребята, мы с вами решали задачи, содержащие проценты. Мы также знаем, что отношения существуют и между людьми, и между числами, и между величинами. Они часто встречаются в задачах. А могут быть отношения и проценты в задачах на смеси и растворы? Ответ на этот вопрос найдем на уроке.

II. Подготовка к сознательному усвоению нового материала.

Всхожесть = ; .

Значения данных отношений мы представляли в виде процентов.

III. Изучение нового материала.

Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, вещества или разбавлять что-нибудь водой. При этом используют слово «концентрация». Как вы понимаете это слово?

В большом энциклопедическом словаре «концентрация (от новолат. concentratio) – сосредоточение, скапливание, собирание кого-либо, чего-либо в к.-л. месте» [1].

Концентрация в химии – величина, выражающая относительное количество данного компонента (независимой составной части) в физико-химической системе (смеси, растворе, сплаве) [2].

Сейчас разберемся с этим понятием с точки зрения математики. (Слайд 4)

Нальем в стакан 150 г воды и растворим в ней 50 г сахара. Какой станет масса раствора?[3]

Раствор тщательно перемешиваем.

Найдите процентное содержание сахара в растворе.

25% – процентное содержание сахара в данном растворе.

Число 0,25 называют концентрацией сахара в растворе. (Слайд 6)

Итак, в математике, концентрацию можно представить как отношение чистого вещества к раствору (сплаву, смеси).

Концентрация = , т.е. К=.

Как по этой формуле найти М_ч.в? М_общ?

М_общ = Мч.в: К

IV. Решение задач на отработку формул:

Во многих текстовых задачах понятие «концентрация» может быть заменено на:[3] (Слайд 9-10)

«жирность» (масло, творог, молоко)
«крепость» (уксус)
«соленость» (морская вода, маринад)
«влажность» (в воздухе)
«проба» (в драгоценных металлах)

Подумайте, отношение каких величин используется в понятиях «жирность, соленость, проба».

Встречая эти слова в текстах задач, вы должны понимать, что речь идет о «концентрации» того или другого чистого вещества в растворах или сплавах или смесях.

V. Физминутка.

Следите глазами за движениями черепашек.

VI. Первичное закрепление нового материала.

Решим несколько задач на «концентрацию».

(Задачи 1-4 заранее распечатаны на листочке. (Приложение 1) Данные условий задач вносим в таблицу, обсуждаем ход решения. Отвечаем на вопросы к действиям.

Задача 1. В одну банку мама налила 480 г воды и насыпала 120 г сахара, в другую – 840 г воды и 160 г сахара. В какой банке вода слаще? [4] (Слайд 12-13)

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо найти концентрации сахара в растворах каждой банки и сравнить их.

Решение:

Какова масса раствора в первой банке?
480+120 = 600 (г)

Какова концентрация сахара в растворе первой банки?
120:600 = 0,2; 0,2=20%

Какова масса раствора во второй банке?
840+160 = 1000(г)

Какова концентрация сахара в растворе второй банки?
160:1000 = 0,16; 0,16=16%

В какой банке вода слаще?
20% > 16%

Ответ: в первой банке вода слаще.

Задача 2. Смешивают 200 г 80%-го раствора соли и 700 г 20%-го раствора той же соли. Сколько соли в полученном растворе? (Слайд 14-15)

Решение:

80% – это процентное содержание соли в 200г раствора (концентрация 0,8)

20% – это содержание соли в 700 г раствора (концентрация соли 0,2)

Задача 3. Какой раствор получится при смешивании 200 г 50% раствора соли и раствора, в котором 150 г соли составляют 25%? (Слайд 16-17)

Решение:

50% – процентное содержание соли в 200 г растворе (концентрация 0,5).

Сколько г соли в этом растворе?
0,5·200=100 (г)
Что мы знаем про второй раствор? – Знаем количество соли (150г) и его процентное содержание25% (значит, концентрация соли 0,25)

Какова масса второго раствора?
150:0,25= 600 (г)
Чтобы найти концентрацию соли в новом растворе, что надо знать? – Массу соли и массу всего раствора.

Какова масса соли в двух растворах?
100+150=250 (г)

Какова масса нового раствора?
200+600 =800 (г)

Какова концентрация соли в новом растворе?
250:800=0,3125; 0,3125 = 31,25%

Задача для самостоятельного решения (дома).

Задача 4. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?[5]

Решение:

Сколько кг соли в морской воде?
0,05·30=1,5 (кг)
Пресная вода содержит соль? – Нет. – Значит, масса соли и в новом растворе будет 1,5 кг, но ее концентрация составит уже 0,015.

Какова масса нового раствора (с добавлением пресной воды)?
1,5: 0,015= 100 (кг)

Сколько пресной воды нужно добавить?
100 – 30 = 70 (кг)

VII. Этап рефлексии.

VIII. Итог урока. Домашнее задание.

№754, 755, подготовить библиографическую справку о Магницком Л.Ф.; о его схеме решения задач на смеси, растворы.

Источник

Как решать задачи на концентрацию

Задачи на концентрацию

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Задачи на концентрацию являются основными задачами в школьном курсе химии, но различные способы решения таких задач можно рассматривать на уроках математики ещё с шестого класса, используя арифметический способ и понятие процента и десятичной дроби. Затем продолжить в седьмом классе изучив понятие пропорции, а так же умение решать задачи алгебраическим способом, то есть уравнением. И, наконец, в восьмом классе рассмотреть возможность решения таких задач с помощью систем уравнений.

При подготовке ГИА необходимо вспомнить и систематизировать типы и способы решения таких задач.

При изучении темы «Проценты» в 6 классе решение задач на концентрацию считаются задачами повышенной сложности и могут быть предложены особо подготовленным учащимся.

Задача 1. Имеется 735 г шестнадцатипроцентного раствора йода в спирте. Нужно получить десятипроцентный раствор йода. Сколько граммов спирта нужно долить для этого к уже имеющемуся раствору?

1) Найдем, сколько чистого йода содержится в растворе.

2) В новом растворе йода останется такое же количество, но он будет составлять уже 10 % раствора.

Если 117,6 г – это 10 %, то весь раствор имеет массу 117,6 · 10 = 1176 (г).

3) Найдем, сколько спирта нужно долить для получения нового раствора.

Найти массу чистого вещества в растворе. Эта масса будет сохраняться в новом растворе.

Найти массу нового раствора в соответствии с процентным содержанием в нем вещества.

Найти разность масс нового и старого растворов. [3]

Решение с помощью пропорции

Познакомившись с понятием пропорции в 7 классе, подобные задачи можно решать используя это понятие.

Задача 2. К 200 г 30 %-ного раствора соли долили 50 г воды. Какова концентрация полученного раствора?

Составим соответствующую пропорцию, приняв за х массу соли в растворе:

Масса нового раствора 200 + 50 = 250 г, но масса соли в нём не изменилась, т. е. получим

О т в е т: получили 24 %-ный раствор.

Задача 3. Смешали 12 л 15 %-ного раствора соляной кислоты и 10 л 10 %-ного раствора. Каково процентное содержание кислоты в полученном растворе? Ответ округлить до 0,1 %.

С помощью пропорций найдём массу кислоты в каждом растворе:

х л – 15 %, х = = 1,8 л кислоты в первом растворе и

х л – 10 %, х = = 1 л кислоты во втором растворе, всего 2,8 литра.

Так как масса кислоты не меняется, а общая масса растворов 12 + 10 = 22 л, то получим

О т в е т: 12,7 % кислоты.[4]

Задача 4. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8 % соли, чтобы получить 5 %-ный раствор?

Начнём решение этой задачи не с составления уравнения, а с вопросов, которые помогут уяснить условие и осознанно подойти к ее решению, используем так же при этом понятие пропорции.

1) Сколько граммов соли содержится в имеющемся растворе?

2) Если к имеющемуся раствору добавить воды, изменится ли массовая составляющая соли? (Нет.)

3) При добавлении воды изменится ли процентное содержание соли в растворе? (Да.)

4) Если к имеющемуся раствору добавить х г воды, какова станет масса всего раствора? (50 + х). Сколько граммов соли в нем будет? (4 г.)

5) Каково процентное содержание соли в новом растворе? (5 %.)

6) Какую пропорцию, согласно полученным результатам, можно составить?

(50 + х) г раствора – 100 %.

5 (50 + х) = 400, откуда х = 30.

Поскольку при добавлении к раствору какого-либо вещества масса другого вещества не изменяется, а меняется его процентное содержание, то сначала необходимо найти массу неизменяющегося вещества.

Затем за х обозначить массу добавляемого вещества и составить пропорцию, в которой масса неизменного вещества будет составлять новое количество процентов, а масса всего раствора 100 %. [2]

Решим данные задачи по составленному выше алгоритму.

Задача 5. Сколько граммов воды нужно выпарить из 80 г 6 %-ного раствора соли, чтобы получить раствор, содержащий 10 % соли?

Масса соли в имеющемся растворе равна 80 · 0,06 = 4,8 г. В новом растворе соль будет составлять 10 %.

Пусть х г воды нужно выпарить, тогда масса нового раствора будет равна (80 – х) г.

(80 – х) г раствора – 100 %.

10 (80 – х) = 4,8 · 100, откуда х = 32.

Задача 6. Сколько граммов 75%-ного раствора кислоты надо добавить к 30 г 15%-ного раствора этой же кислоты, чтобы получить 50%-ный раствор?

х г — количество 75%-ного раствора кислоты, которое надо добавить;

(30 + х) г — масса получившегося 50%-ного раствора кис­лоты;

0,75х г — количество кислоты в х г 75%-ного раствора;

0,15 ∙ 30 г — количество кислоты в 30 г 15%-ного раствора;

0,5(30 + х) г — количество кислоты в 50%-ном растворе. Имеем уравнение:

кол-во кислоты кол-во кислоты кол-во кислоты

в 75%-ном + в 15%-ном = в 50%-ном

растворе растворе растворе

0,75х + 0,15 ∙ 30 = 0,5(30 + х)

0,75х + 0,15 ∙ 30 = 0,5(30 + х), откуда х = 46 г.

Решение задач с помощью систем уравнений

Задачи такого типа последние годы встречаются на Основном Государственном Экзамене и Едином Государственном Экзамене.

Обозначим буквами количество 60%-ного и 80%-ного раст­воров соли, налитых в колбу.

Запишем уравнение, связывающее эти две величины и об­щее количество раствора.

Определим количество соли в получившемся растворе.

Запишем уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-ном и получившемся растворах.

Составим систему и решим ее.

1) Пусть взяли х мл 60 %-ного раствора соли и у мл 80 %-ного раствора.

3) 0,6x + 0,8у (количество соли в получившемся растворе).

Решив эту систему, получим, что х = 14 и у = 21.

Ответ : 14 мл 60 %-ного раствора и 21 мл 80 %-ного раствора.

Рассмотрим арифметический способ, который использовался в старину.

1) Найдем разность между процентным содержанием соли в каждом из имеющихся растворов и полученном растворе:

2) Эти результаты показывают, что 60 %-ного раствора нужно взять 8 частей, а 80 %-ного – 12 частей, то есть растворы должны быть взяты в отношении 2 : 3.

Поскольку в результате получим 35 мл раствора, то 60 %-ного взяли 14 мл, а 80 %-ного – 21 мл. [5]

Задача 8. Сразу после сбора урожая процентное содержание воды в бананах составляет 75%. После их перевозки процентное содержание воды в них становится равным 70%. Сколько килограммов бананов надо приобрести, чтобы после перевозки осталось 2500 кг бананов? [6]

Решение. Определим содержание так называемого «сухого вещества»: после сбора урожая его содержится 25%, после перевозки – 30%. Его масса после перевозки составит 2500 : 100 · 30 = 750 кг, но т. к. она остаётся неизменной и после сбора урожая это 25%, то нужно собрать 3000 кг бананов.

Задача 9. Смешав 25-процентныйи и 95-процентный растворы кислоты добавив 20 кг чистой воды, получили 40-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 20 кг воды добавили 20 кг 30-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 50-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 25-процентного раствора использовали для получения смеси? [7]

Задачи, которые мы решили,— это так называемая задача на концентрацию. Концентрацией раствора называют отношение массы содержащегося в нем сухого вещества к массе раствора, выражен­ное в процентах. С процентами приходится иметь дело и при реше­нии многих других задач, например задач на вычисление прибыли с банковских вкладов, дохода от инвестиций, на расчет объемов вы­полненных работ. Все такие задачи нетрудно решить, если вы уме­ете выражать проценты обыкновенной или десятичной дробью и ре­шать главную задачу на проценты — находить процент от заданной величины. Иногда удобно решать их или с помощью пропорции или системой уравнений. И тот и другой способы широко применяются при решении химических задач.

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б. и др. Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2010. — 288 с.

2. Дюмина Т. Ю. Алгебра. 8 класс: поурочные планы по учебнику под редакцией Г. В. Дорофеева. I полугодие.— Волгоград: Учитель, 2008. —205 с.

3. Дюмина Т. Ю. Математика. 6 класс: поурочные планы по учебнику Г. В. Дорофеева, С. Б. Суворовой, И. Ф. Шарыгина и др. Часть 1. — Волгоград: Учитель, 2006. — 235 с.

4. Калинина М. Ф. Алгебра. 7 класс: поурочные планы по учебнику под редакцией Г. В. Дорофеева. — Волгоград: Учитель, 2008. — 223 с.

5. Дюмина Т. Ю. Алгебра. 8 класс: поурочные планы по учебнику под редакцией Г. В. Дорофеева. II полугодие.— Волгоград: Учитель, 2009. —263 с.

6. Под редакцией Лысенко Ф.Ф. и Калабухова С.Ю. Математика 9 класс. Подготовка к ОГЭ-2016. 40 тренировочных вариантов. – Ростов-на-Дону: Легион, 2015. – 400 с.

7. Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов. – М.: Издательство «Национальное образование», 2016. – 256 с.

Источник

Подготовка к ГИА: задачи на «концентрацию» веществ

Разделы: Математика

1. Все рассматриваемые смеси (сплавы, растворы) однородны.

2. Не делается различия между литром как единицей емкости и литром как единицей массы.

Если смесь (сплав, раствор) массы m состоит из веществ А, В, С (которые имеют массы соответственно а, в, с) то величина (соответственно , ) называется концентрацией вещества А (соответственно В, С ).
Величина * 100% (соответственно * 100%, * 100%) называется процентным содержанием вещества А (соответственно В, С). + + = 1.

При составлении уравнения обычно прослеживают содержание какого-нибудь одного вещества из тех, которые смешиваются ( сплавляются и т. п. ).
В задачах на составление уравнений и неравенств полезным оказываются всевозможные таблицы, диаграммы и схемы. Это необходимо, как чертеж при решении геометрической задачи. Оформление первого этапа математического моделирования задач на «смеси и сплавы» в виде таблиц способствует более глубокому пониманию процесса решения такого типа задач. Практически для всех рассмотренных задач удалось составить таблицу. Рассмотрим примеры типовых задач ГИА.

Имеется 200г 30%-го раствора уксусной кислоты. Сколько г воды нужно добавить к этому раствору, чтобы получить 6%-ный раствор уксусной кислоты?

х г воды надо добавить к раствору.

0,06(200 + х) = 60,
200 + х = 1000,
х = 800. 800г воды надо добавить.

Сколько г сахарного сиропа, концентрация которого 25%, надо добавить к 200 г воды, чтобы в полученном растворе содержание сахара составляло 5%.

0,25х = 0,05(200 + х),
5х = 200 х,
4х = 200,
х = 50. 50г сиропа надо добавить.

Сколько г 15%-ного раствора соли надо добавить к 50 г 60%-ного раствора соли, чтобы получить 40%-ный раствор соли.

0,4(х + 50) = 0,15х + 30,
0,4х + 20 = 0,15х + 30,
0,25х = 10,
х = 40. 40 г 15%-ного раствора соли надо добавить.

Имеются два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг раствора кислоты разных концентраций. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 35% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько кг кислоты содержится в каждом сосуде?

0,01хm + 0,01уm = 0,72m,
0,01х + 0,01у = 0,72.
Решая систему из составленных уравнений, получаем
х = 41 и у = 31. 0,41 * 4 = 1,64(кг) в первом сосуде.
0,31 * 6 = 1,86(кг) во втором сосуде.

Ответ: 1,64 кг. 1,86 кг.

В первом сплаве содержится 25% меди, а во втором – 45%. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 30% меди?

0,25х + 0,45у = 0,3(х + у),
– 0,05х = – 0,15у,
х = 3у. х : у = 3 : 1.

В куске сплава меди и цинка количество меди увеличили на 40%, а количество цинка уменьшили на 40%. В результате общая масса куска сплава увеличилась на 20%. Определите процентное содержание меди и цинка в первоначальном куске сплава.

1,4х + 0,6у = 1,2(х + у),
0,2х = 0,6у,
х = 3у,
х : у = 3 : 1.
100 : 4 * 3 = 75(%),
100 – 75 = 25(%).

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавлен со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько серебра в сплаве?

Вес золота, кг	Вес серебра, кг	Вес сплава, кг	Процентное содержание золота
Данный сплав	80	х	80 + х	* 100
Новый сплав	180	х	180 + х	* 100

– = 20,
х = 120.

120 кг серебра в сплаве.

Литература.

Источник