Как решать задачи на части

Разработка урока по теме: «Задачи «на части»». 5-й класс

Разделы: Математика

Класс: 5

1) Плакат “Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия” (Д. Пойа).

2) Отпечатанные условия задач для каждого ученика.

3) Карточки для самостоятельной работы.

1. Разобрать решение трех основных задач на части: нахождение одной величины через другую, нахождение двух величин через их сумму, нахождение двух величин через их разность.

2. Углубить, упрочить полученные знания и навыки в решении задач на части, выработать алгоритм решения таких задач.

3. Развивать познавательную активность, творческие способности, смекалку и сообразительность у учащихся.

4. Формирование приемов умственной и исследовательской деятельности.

5. Воспитание у учащихся навыков учебного труда.

Ход урока

I. Вступительное слово учителя

Учитель: Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано, научиться ему можно. “Если вы хотите плавать, смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их”, – советовал учащимся известный американский математик Джорж Пойа в книге “Как решить задачу”. Решение любой достаточно трудной задачи требует напряженного труда, воспитывает волю, упорство, развивает любознательность, смекалку. Это нужные качества в жизни человека, ведь даже в пословице говорится. “Ум без догадки гроша не стоит”.

II. Постановка целей урока.

Учитель: Ребята, какие задачи мы с вами научились решать?

Учитель: Сегодня мы продолжаем решать задачи. Но рассмотрим задачи нового типа, А какого типа – давайте отгадаем, решив несколько примеров устно с помощью свойств действий.

III. Устный счет “Найди слово” (задания записаны на доске):

1. 52 х 138 + 48 х 138;

2. 438 х 90 – 238 х 90;

3. 50 х 73 – 49 х 73;

Ответы: 1380 – Ч; 73 – Т; 792 – И; 1800 – С; 312 – А.

На обратной стороне табличек помещены ответы к данным примерам. Из табличек, прикрепленных магнитами на доске, дети составляют слово “ЧАСТИ”.

Учитель: Итак тема сегодняшнего урока: “Задачи на части”, цель: научиться решать задачи такого типа.

IV. Постановка проблемы. Работа над задачами (на экран с помощью мультимедийного устройства проецируются три рецепта, у каждого ученика на столе лежат карточки с написанными рецептами).

Учитель: Ребята, давайте прочитаем с вами рецепты, написанные на доске.

Учитель: Какие слова повторяются от задачи задаче?

Учитель: О каких величинах идет речь в каждой задаче? Выберите из списка: время, температура, скорость, вес, масса, расстояние, часть, периметр, количество, площадь.

Ученик: Масса, часть, количество.

Учитель: Можно ли ответить на вопросы, поставленные в рецептах, если мы не умеем решать задачи на части? Какими должны быть все части в каждом рецепте?

Ученик: В каждом рецепте части одинаковы. Ответить па вопросы нельзя, если не научится решать задачи на части.

Учитель: Вот этому мы и будем учиться сегодня на уроке!

V. Решение задач по рисункам (решение всех задач проходит как первичное закрепление во внешней речи, учащиеся сами комментируют решение задачи на доске, объясняя каждый шаг).

Источник

Урок 33 Бесплатно Решение задач на нахождение части от целого и целого по его части

На уроке математики, на улице, в магазине, в быту и профессиональной деятельности, науке и технике часто приходится встречаться с дробями и решать различные задачи с ними.

Так, например, в кулинарии очень часто используют дробные числа, отмеряя те или иные ингредиенты в соответствии с рецептом: пол чайной ложки соли, треть стакана, четверть пачки, полкилограмма сахара и т.д.

Определяя время по часам, приходится находить часть от часа, от минуты, например, 30 минут равняется ½ часа, четверть часа (15 минут)- это ¼ часа, 30 секунд равняются ½ минуты, 15 секунд составляют ¼ минуты.

В медицине и фармацевтике используют дробные числа.

В состав лекарственного средства чаще всего включают дробное количество различных действующих и вспомогательных веществ.

Для корректного лечения врач устанавливает эффективную дозировку лекарственного препарата, которая иногда представлена в виде дробного числа.

Дозировку или концентрацию лекарственного средства приходится выражать в виде дроби: полтаблетки (1/2), четверть (1/4) таблетки и т.д.

Особенно важно учитывать количество медицинского препарата для пациентов детского возраста.

Часто дозировку лекарства для детей рассчитывают относительно взрослой дозы на основе данных о массе ребенка, количестве лет и др.

Обыкновенные дроби широко используются в строительстве и архитектуре.

Создавая надежную конструкцию, важно соблюдать соизмеримость и определенные соотношения частей сооружения.

Начертить чертеж, построить здание, возвести мост, положить асфальт, приготовить бетонную смесь невозможно без знаний о дробях.

В спортивных состязаниях вам, наверное, не раз приходилось слышать такие фразы: «состоялся четверть финал» или «полуфинал чемпионата», «одна восьмая финала».

Дроби используют в искусстве, например, в музыке, живописи и др.

Одним из примеров внедрения дробей в музыкальное искусство может служить нотная грамота.

Еще древнегреческий ученый Пифагор установил связь между длительностью музыкального звучания и дробей.

Дроби применяют для обозначения длительности нот.

Так, например, существует длинная нота.

Кроме нее есть половинная нота, четвертная, восьмая, шестнадцатая и т.д.

Такое обозначение нот удобно, так как явно видно насколько одна нота длиннее или короче другой.

Существует еще одна важная роль дробного числа в музыке.

Музыкальный размер (количество ритмических единиц в такте) так же обозначают в виде дроби (только без дробной черты) вначале нотной строки.

С помощью музыкального размера музыканты понимают с каким ритмом и темпом нужно играть музыкальное произведение.

В картографии и географии с помощью дроби указывают масштаб карты.

Деление целого на доли встречается в юридической практике при делении наследства.

В повседневной жизни мы часто делим целое на части, например, плитку шоколада ломаем на дольки, чтобы угостить друзей, режем на кусочки торт на празднике, делим мандарин на дольки и т.д.

Мы можем привести бесконечное множество примеров деления чего-либо на части.

Сегодня на уроке вспомним, что называют долей числа и, что представляет собой дробь от числа.

Научимся решать задачи, в которых необходимо находить часть от целого и целое по его части.

Рассмотрим алгоритм и примеры решения таких задач.

Нахождение части от целого

В математике дробью обозначают часть некоторой рассматриваемой величины, часть от целого.

Каждую равную часть одного целого называют долей числа.

Дробь представляет собой число, которое состоит из одной или нескольких долей (равных частей) целого.

Математическая запись обыкновенной дроби оформляется в виде двух чисел, разделенных чертой, которая называется дробной (она может быть горизонтальной и наклонной).

Число, стоящее над дробной чертой, называют числителем.

Числитель показывает, сколько долей взяли от целого.

Число, стоящее под дробной чертой, называют знаменателем.

Знаменатель показывает, на сколько всего равных долей разделили целое.

Зная целое, можно найти его часть.

Рассмотрим такую задачу.

Ленту, длиной 12 дм, разрезали на 2 равные части.

Что значит разрезать на две равные части?

Это значит, что ленту нужно разделить на две доли, каждая из которых является половиной этой ленты.

Итак, каждая доля- это половина всей ленты, по-другому такую часть от целого называют одна вторая часть ленты, обозначают ½.

В нашем примере половина всей ленты, т.е. одна вторая часть ее составляет 6 дм.

Запишем равенство: 12 ÷ 2 = 6 (дм).

Ленту такой же длины разделим на четыре равные части.

Получим 4 доли, каждая из которых равна одной четвертой всей длины ленты, обозначается 1/4.

Четверть (одна четвертая) ленты составляет: 12 ÷ 4 = 3 (дм).

Попробуем найти одну шестую ленты все той же длины- 12 дм.

1/6 доля этой ленты будет составлять: 12 ÷ 6 = 2 (дм).

Итак, нам становится ясно, чтобы найти долю от числа, необходимо разделить это число на количество долей (равных частей).

Рассмотрим ситуацию посложней.

Полоску бумаги, длиной 15 см, разделим на 5 равных частей (пять долей).

Определим, чему будет равны \(\mathbf<\frac<3><5>>\) этой полоски бумаги.

Одна доля (\(\mathbf<\frac<1><5>>\) этой полоски)- это 15 ÷ 5 = 3 (см).

Возьмем три таких доли.

Так как одна доля составляет 3 см, то три доли будут равны 3 ∙ 3 = 9 (см).

В данном случае получилось, что три пятых полоски бумаги составляют 9 см.

Сформулируем правило нахождения части от целого.

Чтобы найти несколько долей целого (дробь от числа), необходимо найти величину одной доли, затем умножить ее на количество долей.

Запишем алгоритм нахождения части от числа (несколько долей целого).

1. Найти величину одной доли.

2. Величину одной доли умножить на количество взятых долей.

В буквенном виде данное правило можно представить так:

Пусть А— это исходное число.

В— неизвестная часть числа А, выраженная дробью \(\mathbf<\frac>\).

m— числитель, показывает сколько долей взяли.

n— знаменатель, показывает на сколько долей разделили число А.

Чтобы найти часть числа А, необходимо это число А разделить на знаменатель (n) и умножить на числитель (m) дроби, которая выражает эту часть.

В качестве примера рассмотрим решение нескольких задач.

Задача №1.

Туристы за все время своего путешествия из пункта А в пункт В должны пройти 54 км.

Туристы прошли \(\mathbf<\frac<1><2>>\) всего пути по лесу.

Сколько километров прошли туристы по лесу? Сколько им осталось пройти?

Чтобы найти долю от числа, необходимо число разделить на количество долей.

Прошли \(\mathbf<\frac<1><2>>\) всего пути- это значит туристы преодолели половину своего пути.

Разделим весь путь на 2 равные доли, т.е. на 2, в результате получим \(\mathbf<\frac<1><2>>\) пути, которую туристы прошли по лесу.

Этот путь будет составлять: 54 ÷ 2 = 27 (км).

Определим путь, который им осталось пройти, для этого из общего пути вычтем пройденный по лесу путь:

Ответ: 27 (км), 27 (км).

Задача №2

За три дня туристы прошли 54 километра.

За первый день они прошли половину всего пути.

За второй день преодолели \(\mathbf<\frac<2><3>>\) оставшегося пути.

Сколько километров туристы прошли в каждый из трех дней?

Весь трехдневный путь туристов составляет 54 км.

Первый день туристы прошли половину- это \(\mathbf<\frac<1><2>>\) всего пути.

Выше в задаче №1 мы уже находили \(\mathbf<\frac<1><2>>\) от 54 (км), у нас получился следующий результат:

54 ÷ 2 = 27 (км) прошли туристы в первый день.

Так как в первый день пройдена половина пути, то вторая половина- это оставшийся путь.

Второй день- это \(\mathbf<\frac<2><3>>\) оставшегося пути, т.е. \(\mathbf<\frac<2><3>>\) от 27 (км).

Чтобы найти дробь от числа, необходимо найти величину одной доли, затем умножить ее на количество частей (долей).

Найдем величину одной доли, для этого весь оставшийся путь (27 км) разделим на знаменатель дроби (в нашем случае это число 3), данное выражение будет описываться выражением 27 ÷ 3.

Полученный результат умножим на количество, пройденных туристами долей, на которые нам указывает числитель дроби (он равен 2).

В результате получим равенство:

27 ÷ 3 ∙ 2 = 9 ∙ 2 = 18 (км) туристы прошли во второй день.

Так как во второй день туристы прошли 18 км от пути, оставшегося после первого туристического дня (т.е. 18 км из 27 км), то за третий день им осталось пройти:

Проверим полученные результаты.

Найдем весь туристический путь за три дня, он должен быть равен 54 км.

Для этого сложим путь первого, второго и третьего дня.

27 + 18 + 9 = 45 + 9 = 54 (км) прошли туристы за три дня.

Задача решена верно.

Ответ: 27 (км), 18 (км), 9 (км).

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Методическая рекомендация по теме «Задачи «на части»

К некоторым методикам решения задач на части относится понимание учащимися понятии «часть», «величина, состоящая из частей», «определение, из скольких частей состоят другие величины».

Итак, задачи «на части» делятся на:

1. явное представление «части» в задаче;

2. не явная форма представления «части».

Задачи первого типа решаются по выработанному алгоритму :

1. Узнать сколько всего частей в задаче.

2. Определить сколько приходится единиц массы на одну часть.

3. Вычислить массу или количество, приходящие на определенное число «частей».

Если, условие задачи представлено в не явной форме и слово «часть» там не присутствует, следует принять подходящую величину за одну часть, и далее решать по предложенному алгоритму.

Рассмотрим решение некоторых задач.

Для варки варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько сахара надо взять на 10 кг ягод?

2. Сколько кг сахара приходится на 10 кг яблок?

Ответ: 15 кг сахара.

У брата в 2 раза больше марок, чем у сестры, а всего у них 120 марок. Сколько марок у брата?

Обозначим количество марок, принадлежащую сестре за 1 часть.

1. Сколько всего частей (у брата и сестры вместе)?

2. Сколько марок приходится на 1 часть?

3. Сколько марок у брата?

Можно провести проверку.

4. Сколько марок у сестры и у брата вместе?

Итак, задача решена верно.

Данный вид задач применяется повсеместно: в строительстве (приготовление различных смесей, красок), в металлургии (различные виды сплавов), в химической промышленности (приготовление порошков, мыла), в медицине (различные виды препаратов), в парфюмерии (создание запахов), в пищевой промышленности (варка каш, варенья). Знание и умение решать задачи подобного типа имеют прикладной характер.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

При решении задач «на части» следует четко определить следующие понятия: «одна часть», «сколько частей всего», «какую величину следует принять за одну часть?». Для облегчения понимания, можно решение задач на первых уроках сопровождать вопросами, типа: Сколько всего частей?, Сколько вещества приходится на 1 часть? и т.д. После изучения темы, важно акцентировать внимание учащихся на прикладной характер подобных задач.

Номер материала: ДБ-772464

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Минтруд представил проект программ переобучения безработных на 2022 год

Время чтения: 2 минуты

Росприроднадзор призвал ввести в школах курс по экологии

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Задачи на части

Рассмотрим задачи, для решения которых некоторую величину можно принять за одну или несколько частей. При решении таких задач бывает полезно делать рисунки, облегчающие решение.

Задача 1. В двух коробках лежит 120 дисков — в первой коробке в 3 раза больше дисков, чем во второй. Сколько дисков лежит в каждой коробке?

Решение: Представим содержимое коробок в виде частей. Если диски, находящиеся во второй коробке, составляют 1 часть, то в первой коробке — 3 такие части. Сделаем схематический рисунок:

1) Сколько частей составляют 120 дисков?

2) Сколько дисков приходится на 1 часть?

3) Сколько дисков находится в первой коробке?

Ответ: 90 — в первой коробке, 30 — во второй.

Задача 2. Некто заплатил за книгу на 120 рублей больше, чем за тетрадь. Известно, что книга дороже тетради в 4 раза. Сколько стоит книга?

Решение: Представим стоимость в виде частей. Если стоимость тетради составляет 1 часть, то стоимость книги составляет 4 такие же части. Сделаем схематический рисунок:

2) 120 : 3 = 40 (рублей) — приходится на 1 часть.

3) 40 · 4 = 160 (рублей) — стоит книга.

Ответ: Книга стоит 160 рублей.

Задача 3. В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй, а в двух вместе 30 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?

Решение: Сделаем схематический рисунок:

1) Если из первой коробки вынуть 6 карандашей, в ней станет столько же карандашей, сколько и во второй:

2) Найдём число карандашей в каждой из коробок:

3) Теперь вернём 6 карандашей в первую коробку:

Ответ: В первой коробке 18 карандашей, во второй — 12.

Источник

Как решить задачу с частями

Условие 1. Роман поймал на речке 2,4 кг окуней. 4 части он отдал сестре Лене, 3 части – брату Сереже, а одну часть оставил себе. Сколько кг окуней получил каждый из детей?
Решение: Обозначьте массу одной части через Х (кг), тогда масса трех частей – 3Х (кг), а масса четырех частей – 4Х (кг). Известно, что всего было 2,4 кг, составим и решим уравнение:

Х = 0,3 (кг) – окуней получил Роман.

1) 3*0,3 = 0,9 (кг) – рыбы дали Сереже.

2) 4*0,3 = 1,2 (кг) – окуней получила сестра Лена.

Ответ: 1,2 кг, 0,9 кг, 0,3 кг.

Следующий вариант тоже разберем на примере:

Условие 2. Для приготовления грушевого компота нужна вода, груши и сахар, масса которых должна быть пропорциональна числам 4,3 и 2 соответственно. Сколько нужно взять каждого компонента ( по массе), чтобы приготовить 13,5 кг компота?
Решение: Пусть для приготовления компота требуется a (кг) воды, b (кг) груш, c (кг) сахара.

Тогда a/4=b/3=с/2. Примем каждое из отношений за Х. Тогда a/4=Х, b/3=Х, с/2 = Х. Отсюда следует, что a = 4Х, b = 3X, c = 2X.
По условию задачи, a + b + c =13,5 (кг). Из этого следует, что

2) 3*1,5 = 4,5 (кг) – груш;

3) 2*1,5 = 3 (кг) – сахара.

1. Для того чтобы найти дробь от определенного числа, нужно это число умножить на данную дробь.

2. Чтобы найти все число по заданному значению его дроби, необходимо данное значение поделить на дробь.
На примере разберем такие задачи. Условие 3: Найти значение Х, если 3/5 части этого числа равны 30.

Оформим решение в виде уравнения:

В соответствии с правилом, имеем

Условие 4: Найти площадь огорода, если известно, что вскопали 0,7 всего огорода, а осталось вскопать 5400 м2?

Возьмем весь огород за единицу (1). Тогда,

1). 1 – 0,7 = 0,3 – не вскопанная часть огорода;

2). 5400:0,3 = 18000(м2) – площадь всего огорода.

Ответ: 18000 м2.
Рассмотрим еще один пример.

Условие 5: Путешественник был в пути 3 дня. В первый день он прошел1/ 4 часть пути, во второй – 5/9 оставшегося пути, в последний день он прошел оставшиеся 16 км. Необходимо найти весь путь путешественника.

Решение: Возьмем весь путь за Х (км). Тогда, в первый день он прошел 1/ 4Х(км), во второй – 5/9(Х – 1/ 4Х) = 5/9*3/4Х = 5/12Х. Зная, что в третий день он прошел 16 км, то:

Ответ: Весь путь путешественника равен 48 км.

Условие 6: Купили 60 ведер, причем 5-литровых было в 2 раза больше, чем 10-литровых. Сколько частей приходится на ведра 5литров, на ведра 10 литров, на все ведра? Сколько купили 5-литровых и 10-литровых ведер?

Пусть ведра 10-литровые составляют 1 часть, тогда 5-литровые составляют 2 части.

1) 1 + 2 = 3 (части) — приходится на все ведра;

2) 60:3 = 20 (ведра.) — приходится на 1 часть;

3) 20·2 = 40 (ведра) — приходится на 2 части (пятилитровые ведра).

Условие 7: На выполнение домашнего задания (алгебра, физика и геометрия) Рома потратил 90 минут. На физику он затратил 3/4 того времени, что потратил на алгебру, а на геометрию на 10 мин меньше, чем на физику. Сколько времени Рома потратил на каждый предмет отдельно.

Решение: Пусть х (мин) он потратил на алгебру. Тогда 3/4х (мин) ушло на физику, а на геометрию затрачено (3/4х – 10) минут.

Зная, что на все уроки он потратил 90 минут, составим и решим уравнение:

Источник