Как решать задачи многоугольник

Сумма углов многоугольника

Примечание. Данный материал содержит теорему и ее доказательство, а также ряд задач, иллюстрирующих применение теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника на практических примерах.

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).

Доказательство.

Для доказательства теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника воспользуемся уже доказанной теоремой о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Задача.

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).

Значит, для нашего случая:

3 угла по 80 градусов нам даны по условию задачи, а количество остальных углов нам пока неизвестно, значит обозначим их количество как x.

Однако, из записи в левой части мы определили количество углов многоугольника как n, поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то очевидно, что x=n-3.

Таким образом уравнение будет выглядеть так:

Решаем полученное уравнение

Ответ: 5 вершин

Задача.

Какое количество вершин может иметь многоугольник, если величина каждого из углов менее 120 градусов?

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма всех углов равна 180°(n-2).

Значит, для нашего случая необходимо сначала оценить граничные условия задачи. То есть, сделать допущение, что каждый из углов равен 120 градусам. Получаем:

Исходя из полученного уравнения, делаем вывод: при величине углов менее 120 градусов, количество углов многоугольника менее шести.

Ответ: количество вершин многоугольника будет менее шести.

Задача

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме внешних углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма всех внешних углов равна 360°.

Ответ: шесть углов

Задача

Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех острых углов.

Решение

Правильный многоугольник

Задача.
Найдите количество сторон правильного многоугольника,центральный угол которого равен:
1)120°
2)60°
3)72°

Общая мера суммы всех центральных углов равна 360 градусов.

Таким образом, количество сторон правильного многоугольника, исходя из градусной меры центрального угла будет равна:
1) 360 / 120 = 3 (правильный треугольник)
2) 360 / 60 = 6 (правильный шестиугольник)
3) 360 / 72 = 5 (правильный пятиугольник)

Ответ: 3; 6; 5 сторон.

Стереометрия

Задача.
Площадь полной поверхности куба равна 24 см2. Найдите его объем.

Решение.
Поскольку куб имеет шесть одинаковых сторон, найдем площадь одной из них.

Зная площадь стороны (основания) куба, найдем величину ребра

Прямые и плоскости

Параллельные плоскости

Задача

Обозначим KМ₂ как х. Таким образом :
4 / 9 = 8 / x
4x = 72
x = 18

Ответ: 18 см

Задача

У подобных треугольников соответствующие стороны соотностятся через коэффициент подобия.

Откуда:
ОВ1:ОВ2 = А1В1:А2В2,

Следовательно:
А2В2 = 4 * 12 / 3 = 16

Ответ: 16 см.

Параллельные плоскости (часть 2)

Задача

Через точку К, не лежащую между параллельными плоскостями альфа и бета, проведены прямые а и b. Прямая а пересекает плоскость альфа в точке А1 а плоскость бета в точке А2, и прямая b пересекает эти плоскости в точках B1 и B2 соответственно.
Найти KB2 если A2B2 относится к A1B1 как 4:3, а KB1 = 14 см.

Таким образом, коэффициент подобия верен для соотношения любых двух соответствующих сторон, то есть:
KB2 : KB1 = 4:3

Откуда
KB2 : 14 = 4:3
KB2 = 14 * 4 / 3 = 56/3 = 18 2/3 см

Источник

Как решать задачи многоугольник

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Ломаная А₁А₂А₃…А_n — фигура, состоящая из точек А₁, А₂, А₃, …, А_n и отрезков А₁А₂, А₂А₃, …, А_n-1А_n, которые их соединяют. Точки А₁, А₂, А₃, …, А_n называют вершинами ломаной, а отрезки А₁А₂, А₂А₃, …, А_n-1А_n — звеньями ломаной.

Простая лoманая — лoманая, не имеющая точек самопересечения.
Замкнутая лoманая — лoманая, концы которой соединяются.
Длина ломаной — сумма длин ее звеньев.

Многоугольник — простая замкнутая ломаная, соседние звенья которой не лежат на одной прямой; вершины ломаной называют вершинами многоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника. Многоугольник с n вершинами (n сторонами) называют n-угольником.

Диагональ многоугольника — отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
Выпуклый многoугольник — многоугoльник, лежащий в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.
Угол выпуклого многоугольника при данной вершине — угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.
Внешний угол выпуклого многоугольника при данной вершине — угол, смежный с внутренним углом многоугольника при этой вершине.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ

Задача № 1. Дано: ABCD — четырехугольник; ∠A = ∠B = ∠C; ∠D = 135.
Найти: ∠A, ∠B, ∠C.

Задача № 2. Дано: ABCDE — четырехугольник; ∠A : ∠B : ∠C : ∠D : ∠E = 1 : 2 : 3 : 4 : 8. Найти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E.

Это конспект по теме «Ломаная. Многоугольник + ЗАДАЧИ». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Конспект урока по теме: «Решение задач по теме: «Многоугольники»» (Геометрия, 8 класс)

8 класс Геометрия Урок №7

Тема: Решение задач по теме: «Многоугольники».

Цель: систематизировать теоретические знания по теме «Многоугольники»;
совершенствовать навыки решения задач.

I . Организационный момент.

Учитель и ученики приветствуют друг друга. Выявляются отсутствующие

II . Мотивация к учебной деятельности.

Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока

III . Актуализация знаний учащихся.

1. Устный теоретический опрос.

Учитель по очереди вызывает учащихся к доске. Первый ученик у доски рассказывает решение первой задачи. Учащиеся его слушают, затем исправляют ошибки. Таким же образом решить остальные задачи.

1) Начертите две фигуры, одна из которых является многоугольником, а другая – нет. Укажите вершины, стороны данного многоугольника.

2) Начертите выпуклый и невыпуклый четырёхугольники. У выпуклого четырёхугольника укажите противоположные вершины и противоположные стороны. Отметьте по две точки, принадлежащие внутренней и внешней области невыпуклого четырёхугольника.

3) Начертите выпуклый пятиугольник и укажите все его диагонали.

4) Что такое периметр многоугольника?

5) Чему равна сумма углов выпуклого п–угольника? Четырёхугольника? Каков план доказательства теоремы о сумме углов выпуклого п–угольника?

6) Как найти угол выпуклого п–угольника, если известно, что все его углы равны?

Три ученика получают карточки разного уровня сложности и работают самостоятельно во время проведения устного теоретического опроса.

I уровень сложности

1. Найдите сумму углов выпуклого восьмиугольника.

II уровень сложности

2. В выпуклом четырёхугольнике длины сторон относятся как 7 : 8 : 9 : 10, а его периметр равен 68 см. Найдите стороны четырёхугольника.

III уровень сложности

IV . Проверка домашнего задания

Проверка решения домашней задачи.

Справившийся с заданием ученик записывает решение на доске. Заслушать перед решением задач.

Итак, 22 см = АВ + (АВ – 2) + 2(АВ + 2) = 4АВ + 2, откуда АВ = 5 см, а ВС = 3 см.

3. Решить задачу № 367
Решение:

Пусть первая сторона равна х см, тогда вторая
сторона (х – 8) см, третья сторона равна (х+8) см, а
четвёртая сторона (3 × (х – 8)) см. Периметр это
сумма длин всех сторон, поэтому
х + (х – 8) + (х +8) + 3 × (х – 8) = 66
х = 15;
х – 8 = 7 см
х + 8 = 23 см
D 3 × (х – 8) = 21 см.

Ответ: 15 см, 7 см, 23 см, 21 см.

VI . Самостоятельная работа обучающего характера

Рекомендуется дифференциальная работа

Задания самостоятельной работы для учеников с пониженным уровнем знаний:

1. Найдите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника.

2. В выпуклом пятиугольнике две стороны равны, третья сторона на 3 см больше, а четвёртая – в 2 раза больше первой стороны, пятая – на 4 см меньше четвёртой. Найдите стороны пятиугольника, если известно, что его периметр равен 34 см.

1. Найдите сумму углов выпуклого тринадцатиугольника.

2. В выпуклом шестиугольнике три стороны равны, четвёртая – в 2 раза больше первой стороны, пятая – на 3 см меньше четвёртой, а шестая – на 1 см больше второй. Найдите стороны шестиугольника, если известно, что его периметр равен 30 см.

Задания самостоятельной работы для учеников с базовым уровнем знаний:

VII . Самопроверка задач самостоятельной работы

Ответы на задания самостоятельной работы для учеников с пониженным уровнем знаний:

2. Ответ: 5 см, 5 см, 8 см, 10 см, 6 см.

2. Ответ: 4 см, 4 см, 4 см, 8 см, 5 см, 5 см.

Ответы на задания самостоятельной работы для учеников с базовым уровнем знаний:

VIII . Рефлексия учебной деятельности

— Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника?

IX . Анонс домашнего задания

1. Решить задачи № 366

2. Решите дополнительную задачу:

Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника не зависит от числа сторон многоугольника.

X . Оценивание учебной дейтельности. Подведение итогов урока

Учитель оценивает работу учащихся на уроке

Источник

Многоугольник

Определение 1. Многоугольник − замкнутая ломаная линия.

Объединение многоугольника и ограниченной им части плоскости также называют многоугольником. Поэтому представим другое определение многоугольника:

Определение 2. Многоугольник − это геометрическая фигура, которая является частю плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью многоугольника, а другая внешней областью многоугольника.

Виды многоугольников

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четыремя вершинами − четырехугольником, с пяти вершинами − пятиугольником, и т.д. Многоугольник с \( \small n \) вершинами называется \( \small n- \)угольником.

На рисунке 1 представлены различные виды многоугольников.

Обозначение многоугольника

Обозначают многоугольник буквами, стоящих при его вершинах. Называют многоугольник чередовав буквы при его вершинах по часовой стрелке или против часовой стрелки. Например, многоугольник на рисунке 2 называют \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) или \( \small A_6A_5A_4A_3A_2A_1 \).

Соседние вершины многоугольника

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

На рисунке 2 вершины \( \small A_2 \) и \( \small A_3 \) являются соседними, так как они являются концами стороны \( \small A_2A_3. \)

Смежные стороны многоугольника

Стороны многоугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.

На рисунке 2 стороны \( \small A_4A_5 \) и \( \small A_5A_6 \) являются смежными, так как они имеют общую вершину \( \small A_5. \)

Простой многоугольник. Самопересекающийся многоугольник

Многоугольник называется простым, если его несмежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых).

На рисунке 3 изображен простой многоугольник так как стороны многоугольника не имеют самопересечений. А на рисунке 4 многоугольник не является простым, так как стороны \( \small A_1A_4 \) и \( \small A_2A_3 \) пересекаются. Такой многоугольник называется самопересекающийся многоугольник.

Выпуклый многоугольник

Многоугольник называется выпуклым, если она лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.

На рисунке 5 многоугольник лежит по одну сторону от прямых \( \small m, \ n, \ l, \ p, \ q, \ r\) проходящих через стороны многоугольника.

На рисунке 6 прямая \( \small m\) делит многоугольник на две части, т.е. многоугольник не лежит по одну сторону от прямой \( \small m\). Следовательно многоугольник не является выпуклым.

Правильный многоугольник

Простой многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Например равносторонний треугольник является правильным многоугольником, поскольку все его стороны равны, и все его углы равны 60°. Квадрат является правильным многоугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°.

На рисунке 7 изображен правильный многоугольник (пятиугольник), так как у данного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Многоугольник (ромб) на на рисунке 8 не является правильным, так как все стороны многоугольника равны, но все углы многоугольника не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным многоугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.

Звездчатый многоугольник

Самопересекающийся многоугольник, все стороны которого равны и все углы равны, называется звездчатым или звездчато-правильным.

На рисунке 9 представлен звездчатый пятиугольник поскольку все углы \( \small A_1, \ A_2, \ A_3, \ A_4, \ A_5 \) равны и равны все стороны: \( \small A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_1. \)

Периметр многоугольника

Сумма всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника. Для многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) периметр вычисляется из формулы:

Угол многоугольника

Углом (внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами многоугольника, сходящимися к этой вершине. Если многоугольник выпуклый, то все углы многоугольника меньше 180°. Если же многоугольник невыпуклый, то он имеет внутренний угол больше 180° (угол \( \small A_3 \) на рисунке 2).

Внешний угол многоугольника

Внешним углом многоугольника при данной вершине называется угол смежный внутреннему углу многоугольника при данной вершине.

На рисунке 10 угол 1 является внешним углом данного многоугольника при вершине \( \small E. \)

Диагональ многоугольника. Количество диагоналей

Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника.

Выведем форулу вычисления количества диагоналей многоугольника. Пусть задан \( \small n \)-угольник. Выберем одну вершину многоугольника и проведем мысленно все отрезки, соединяющие эту вершину с остальными вершинами. Получим \( \small n-1 \) отрезков. Но поскольку две вершины для выбранной вершины являются соседними, а по определнию диагональ − это отрезок соединяющий несоседние вершины, то из \( \small n-1 \) вычтем 2. Получим \( \small n-3 \). Всего \( \small n \) вершин. Следовательно количество вычисленных диагоналей будет \( \small n(n-3). \) Учитывая, что каждый диагональ − это отрезок соединяющий две вершины, то получится, что мы вычислили каждый диагональ дважды. Поэтому полученное число нужно делить на два. Получим количество диагоналей \( \small n- \)мерного многоугольника:

Сумма углов выпуклого многоугольника

Выведем формулу вычисления суммы углов выпуклого многоугольника. Для этого проведем из вершины \( \small A_1 \) все диагноали многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) (Рис.11):

Количество диагоналей, проведенной из одной вершиы, как выяснили из предыдующего параграфа равно \( \small n-3 \). Следовательно, эти диагонали разделяют многоугольник на \( \small n-3+1=n-2 \) треугольников. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то получим, что сумма углов выпуклого многоугольника равна: \( \small 180°(n-2). \)

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) выпуклого многоугольника.

Угол правильного многоугольника

Поскольку у правильного многоугольника все углы равны, то используя формулу (1) получим угол правильного многоугольника:

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) правильного многоугольника.

Источник

Правильные многоугольники

Итак, слово «правильный» в условии задачи сразу говорит нам о том, что все стороны и все углы многоугольника одинаковые. Количество углов (вершин) и количество сторон определяем по названию многоугольника. Далее в формулах и задачах будем обозначать это количество символом n.

и так далее.

правильный пятиугольник.

Чтобы построить другие правильные многоугольники, задайте количество сторон n (от 3-ёх до 12-ти).

Многоугольники можно вписывать в окружность или описывать вокруг неё. Однако, это получается не для всех и не всегда. Говоря математическим языком, не всегда существует окружность, которая удовлетворяет определению.

Четырехугольник вписан в окружность.

Четырехугольник описан около окружности.

Рассмотрим другие примеры.

Параллелограмм нельзя вписать в окружность. Описать можно только ромб.

В окружность можно вписать только равнобочную трапецию, описать около окружности тоже можно не всякую трапецию.

Существование вписанной и описанной окружности для произвольных многоугольников связано с величинами их углов и сторон. Есть специальные теоремы, позволяющие определить будет ли многоугольник являться вписанным и/или описанным. Сейчас мы на них останавливаться не будем. Сейчас важно отметить следующее:

Треугольник вписан в зеленую окружность, описан вокруг синей.

Пятиугольник вписан в зеленую окружность, описан вокруг синей.

Правильные многоугольники имеют центр, точнее совпадающие в одной точке центр симметрии, центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей. Если соединить с центром правильного n-угольника его вершины, то многоугольник разобьется на n равных равнобедренных треугольников.

При решении задач на правильный многоугольник, часто бывает удобно дорисовать внешнюю (описанную) или внутреннюю (вписанную) окружность даже, если они не упоминаются в условии, и соединить вершины и точки касания с центром. Получатся равнобедренные или прямоугольные треугольники, о которых много известно, поэтому задачу будет решать легко.

Синие треугольники равнобедренные потому, что их боковые стороны это радиусы одной и той же окруюности.

Оранжевые треугольники прямоугольные потому, что касательная к окружности перпендикулярна её радиусу.

На ОГЭ по математике в 9-ом классе и на ЕГЭ в 11-ом встречаются задачи с правильными многоугольниками, часто они включают в себя и вписанную или описанную окружность.

Задачи на правильные многоугольники

Внимание: задачи с решениями, но они временно скрыты. Сначала сделайте попытку решить задачу самостоятельно, и только после этого нажимайте кнопки «Посмотреть ответ» и «Посмотреть решение». Cовпадать обязан только ответ. Способ решения может отличаться.

Ответ: S = pr

Примечание: Отношение сторон многоугольников можно найти иначе, например, достроить другие внутренние отрезки и рассмотреть прямоугольные треугольники.

Ответ: 85

В круг вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Найти площадь круга, если радиус окружности, вписанной в треугольник ADE, равен r.

Определим площадь треугольника ADE двумя способами:
через произведение катетов \[S = \frac<\cdot> <2>= \frac><2>\cdot\frac<2>\cdot\frac<1> <2>= \frac><8>; \] и через полупериметр и заданный радиус вписанной окружности \[S = \frac<2>\cdot r = \frac<2>\cdot \big(\frac><2>+\frac<2>+ x\big) = \frac + 3) > <4>\]

Ответ: 2πr 2 (2 + √3 _ )

Найти отношение площади правильного двадцатичетырёхугольника, вписанного в некоторую окружность, к площади правильного двенадцатиугольника, вписанного в ту же окружность.

Ответ: 4sin15° ≈ 1,04

Примечание: Если Вы не догадались использовать свойство медиан треугольника, то можно рассматривать треугольники AOC, AOH и т.п., теорему косинусов или теорему Пифагора. Ответ будет получен с чуть большим объёмом вычислений.

Ответ: 7

Источник