Как решать уравнения высших степеней

Решение уравнений высших степеней

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.

Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

Схема решения уравнения

Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.

Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

Решение

Начнем с нахождений целых корней.

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Перебираем возможные делители дальше, но подставляем их в равенство x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 = 0 :

Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на ( х + 1 ) в столбик:

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

x iкоэффициенты многочлена
112— 1— 3
111 + 1 · 1 = 22 + 2 · 1 = 4— 1 + 4 · 1 = 3— 3 + 3 · 1 = 0

Решение

Проверяем их по порядку:

x iкоэффициенты многочлена
11— 3— 6
211 + 1 · 2 = 3— 3 + 3 · 2 = 3— 6 + 3 · 2 = 0

Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.

Решим квадратное уравнение:

Решение

Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:

Заменяем переменные y = 2 x :

Советуем также ознакомиться с материалами, посвященными решению кубических уравнений и уравнений четвертой степени.

Источник

«Решение уравнений высших степеней». 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Оборудование: компьютер, проектор.

1 этап работы. Организационный момент.

2 этап работы. Мотивация и выход на постановку проблемы

Уравнение Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейодно из важнейших понятий математики. Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры.

В школьном курсе изучения математики очень много внимания уделяется решению различного вида уравнений. До девятого класса мы умели решать только линейные и квадратные уравнения. Уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней называются уравнениями высших степеней. В девятом классе мы познакомились с двумя основными приёмами решения некоторых уравнений третьей и четвёртой степеней: разложение многочлена на множители и использование замены переменной.

А можно ли решить уравнения более высоких степеней? На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.

3 этап работы. Повторить ранее изученный материал. Ввести понятие уравнения высших степеней.

1) Решение линейного уравнения.

Линейным называется уравнение вида Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней, где Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейпо определению. Такое уравнение имеет единственный корень Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней.

2) Решение квадратного уравнения.

Квадратным называется уравнение вида Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней, где Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней. Количество корней и сами корни определяются дискриминантом уравнения Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней. Для Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейуравнение корней не имеет, для Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейимеет один корень (два одинаковых корня)

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней, для Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейимеет два различных корня Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней.

Из рассмотренных линейных и квадратных уравнений видим, что количество корней уравнения не более его степени. В курсе высшей алгебры доказывается, что уравнение Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней-й степени Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейимеет не более n корней. Что касается самих корней, то тут ситуация намного сложнее. Для уравнений третьей и четвёртой степеней известны формулы для нахождения корней. Однако эти формулы очень сложны и громоздки и практического применения не имеют. Для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул не существует и существовать не может (как было доказано в XIX в. Н. Абелем и Э. Галуа).

Будем называть уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней уравнениями высших степеней. Некоторые уравнения высоких степеней удаётся решить с помощью двух основных приёмов: разложением многочлена Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейна множители или с использованием замены переменной.

3) Решение кубического уравнения.

Решим кубическое уравнение Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Сгруппируем члены многочлена, стоящего в левой части уравнения, и разложим на множители. Получим:

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три линейных уравнения:

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Итак, данное кубическое уравнение имеет три корня: Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней; Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней;Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней.

4) Решение биквадратного уравнения.

Очень распространены биквадратные уравнения, которые имеют вид Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней(т.е. уравнения, квадратные относительно Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней). Для их решения вводят новую переменную Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней.

Решим биквадратное уравнение Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней.

Введём новую переменную Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейи получим квадратное уравнение Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней, корнями которого являются числа Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейи 4.

Вернёмся к старой переменной Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейи получим два простейших квадратных уравнения:

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней(корни Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейи Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней)

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней(корни Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейи Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней)

Итак, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня:

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней; Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней;Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней.

Попробуем решить уравнение Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейиспользуя выше изложенные приёмы.

4 этап работы. Привести некоторые утверждения о корнях многочлена вида Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней, где Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенеймногочлен n-й степени

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Приведём некоторые утверждения о корнях многочлена вида Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней:

1) Многочлен Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней-й степени Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейимеет не более Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейкорней (с учётом их кратностей). Например, многочлен третьей степени не может иметь четыре корня.

2) Многочлен нечётной степени имеет хотя бы один корень. Например, многочлены первой, третьей, пятой и т.д. степени имеют хотя бы один корень. Многочлены чётной степени корней могут и не иметь.

4) Если число Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейявляется корнем многочлена вида Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней, то этот многочлен можно представить в виде произведения Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней, где Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенеймногочлен (Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней-й степени. Другими словами, многочлена вида Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейможно разделить без остатка на двучлен Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней. Это позволяет уравнение Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней-й степени сводить к уравнению (Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней-й степени (понижать степень уравнения).

5) Если уравнение Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейсо всеми целыми коэффициентами (причём свободный член Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней) имеет целый корень Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней, то этот корень является делителем свободного члена Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней. Такое утверждение позволяет подобрать целый корень многочлена (если он есть).

Пример 1. Решим уравнение Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней.

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Таким образом, мы фактически разложили левую часть уравнения на множители:

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Итак, данное уравнение имеет три корня:

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Пример 2. Решим уравнение Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней.

Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9),т.е. равняется одному из чисел: Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней;Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней. Проверим:

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Значит, многочлен Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейможно представить в виде произведения Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней, т.е. многочлен Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейможно без остатка разделить на двучлен Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней. Выполним такое деление “уголком”:

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Таким образом, мы разложили левую часть уравнения на множители:

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Аналогичным образом поступим и с многочленом Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней.

Если это уравнение Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейимеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9), т.е. равняется одному из чисел: Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней;Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней. Проверим:

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Значит, многочлен Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейможно представить в виде

произведения Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней, т.е. многочлен Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейможно без остатка разделить на двучлен Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней. Выполним такое деление “уголком”:

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Таким образом, мы разложили левую часть исходного уравнения на множители:

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три уравнения:

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Итак, данное уравнение имеет четыре корня:

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

6 этап работы. Закрепление изученного материала.

Решите уравнения высших степеней, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком”.

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

7 этап работы. Вывод урока.

8 этап работы. Домашнее задание.

Дома решить уравнения высших степеней, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком” (раздать листы с заданиями).

Источник

Лекция по теме «Уравнения высших степеней. Методы их решения». 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Формы, методы и педагогические приемы, которые используются учителем на уроке:

1. Организационный момент.

Формулировка темы урока: “Уравнения высших степеней. Методы их решения”.

2. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос – беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений из теории. Учащиеся формулируют основные определения и дают формулировки необходимых теорем. Приводят примеры, демонстрируя уровень полученных ранее знаний.

3. Изучение новой темы.

n = 1 – линейное уравнение.

n = 2 – квадратное уравнение. Формула дискриминанта. Формула для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полного квадрата.

n = 3 – кубическое уравнение.

Возвратное кубическое уравнение вида ax 3 + bx 2 + bx + a = 0. Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный, и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Z-корнях приведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: x 3 – 9x 2 + 23x – 15 = 0. Уравнение приведенное. Выпишем делители свободного члена <+1; +3; +5; +15>. Применим схему Горнера:

Получаем Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней(x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейx1 = 1, x2 = 3, x3 = 5.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Q-корнях неприведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: 9x 3 + 27x 2 – x – 3 = 0. Уравнение неприведенное. Выпишем делители свободного члена <+1; +3>. Выпишем делители коэффициента при старшей степени неизвестного. <+1; +3; +9> Следовательно, корни будем искать среди значений <+1; +Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней; +Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней; +3>. Применим схему Горнера:

Для удобства подсчета при подборе Q-корней бывает удобно сделать замену переменной, перейти к приведенному уравнению и подбирать Z-корни.

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических уравнений – это формула Кардано. Эту формулу связывают с именами итальянских математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталья (1500–1557), Сципиона дель Ферро (1465–1526). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n = 4 – уравнение четвертой степени.

Метод замены переменной.

Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами, путем замены вида

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Пример 3. Замена общего вида (вытекает из вида конкретного уравнения).

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Формула общего вида. Существует универсальный метод решения уравнений четвертой степени. Эту формулу связывают с именем Людовико Феррари (1522–1565). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n > 5 – уравнения пятой и более высоких степеней.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Метод замены переменной. Использование однородности.

Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Не существует формулы общего вида для решения целых уравнений пятой степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765–1822) и норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802–1829)) и более высоких степеней (это показал французский математик Эварист Галуа (1811–1832)).

4. Подведение итогов.

Резюме: Теперь мы овладели основными методами решения различных уравнений высших степеней (для n > 3). Наша задача научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы. В зависимости от вида уравнения мы должны будем научиться определять, какой способ решения в данном случае является наиболее эффективным, а также правильно применять выбранный метод.

5. Домашнее задание.

[1]: п.7, стр. 164–174, №№ 33–36, 39–44, 46,47.

[4]: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Возможные темы докладов или рефератов по данной тематике:

Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:

Опыт показывает, что интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора Z-корней и Q-корней уравнений при помощи достаточно простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно упрощать вид задачи. Особый интерес обычно вызывают графические методы решения. В этом случае дополнительно можно разобрать задачи на графический метод решения уравнений; обсудить общий вид графика для многочлена 3, 4, 5 степени; проанализировать, как связано число корней уравнений 3, 4, 5 степени с видом соответствующего графика. Ниже приведен список книг, в которых можно найти дополнительную информацию по данной тематике.

Источник

Решение уравнений высших степеней.

В общем случае уравнение степени выше четвертой не разрешимо в радикалах. Однако, иногда можно отыскать корни многочлена, который находится в левой части уравнения высшей степени, представив его в виде призведения многочленов степени не выше четвертой. Таким образом, разложение многочлена на множители лежит в основе решения таких уравнений, поэтому, рекомендуем подробно изучить этот раздел, прежде чем двигаться дальше.

Достаточно часто рассматриваются уравнения высших степеней с целыми коэффициентами. В этом случае можно попытаться найти рациональные корни уравнения, после чего можно разложить на множители многочлен, находящийся в левой части исходного уравнения, тем самым перейти к нахождению корней уравнения, степень которого будет ниже.

В этой статье как раз разберемся с решением уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.

Уравнения высших степеней с целыми коэффициентами.

Любое уравнение вида Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейможно свести к приведенному уравнению той же степени домножив обе его части на Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейи выполнив замену переменной вида Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней:
Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней

Полученные коэффициенты Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейтоже будут целыми.

Таким образом, будем решать приведенное уравнение степени n с целыми коэффициентами вида Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней.

Находим целые корни уравнения.

Целые корни уравнения Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней, i=1, 2, …, m ( m – количество целых корней уравнения) находятся среди делителей свободного члена Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней. То есть, первым делом выписываем делители свободного члена и подставляем их по очереди в исходное равенство для проверки. Перебираем их по очереди, пока не получим тождество. Как только тождество получено, то первый целый корень уравнения найден и уравнение предстает в виде Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней, где Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней— корень уравнения, а Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней— частное от деления Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейна Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней.

Продолжаем подставлять выписанные ранее делители в уравнение Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней, начиная с Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней(так как корни могут повторяться). Как только получаем тождество, то корень Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейнайден и уравнение предстает в виде Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней, где Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней— частное от деления Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейна Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степеней.

Дробных корней приведенное уравнение с целыми коэффициентами иметь не может.

Находим оставшиеся корни (иррациональные и/или комплексные) из уравнения Как решать уравнения высших степеней. Смотреть фото Как решать уравнения высших степеней. Смотреть картинку Как решать уравнения высших степеней. Картинка про Как решать уравнения высших степеней. Фото Как решать уравнения высших степенейлюбым способом.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *