Как решать уравнения с модулями

Уравнение с модулем

Уравнение с модулем достаточно сложная тема для начинающих. Учитывая это обстоятельство, в данный урок войдут только элементарные уравнения.

Что такое уравнение с модулем и как его решить?

В уравнениях с модулем неизвестное значение содержится под знáком модуля. Например:

Уравнения с модулем бывают разными и решаются они различными методами. Нельзя сказать что какой-то метод наиболее рационален. Всё зависит от исходного уравнения.

Например, в каких-то уравнениях можно просто угадать корень, в то время как в других нужно логически мыслить, раскрывать модули, выполнять тождественные преобразования. Человек волен выбирать каким методом решения пользоваться.

Значит нужно выяснить при каких значениях переменной x подмодульное выражение x − 2 будет обращаться в число 5 или −5.

Искомые значения x найдутся если приравнять подмодульное выражение к числу 5 и −5, а затем поочерёдно решить каждое из уравнений:

Значит корнями уравнения |x − 2| = 5 являются числа 7 и −3.

Большинство элементарных уравнений с модулем можно решить используя правило раскрытия модуля. Для этого раскрывают модуль содержащийся в уравнении, затем получившееся выражение подставляют в исходное уравнение вместо выражения с модулем.

Раскрывать модуль нужно для каждого из случаев: когда подмодульное выражение больше или равно нулю, и когда подмодульное выражение меньше нуля.

Решим наше уравнение |x − 2| = 5 с помощью правила раскрытия модуля. Выпишем отдельно его модуль и раскроем его:

Подмодульное выражение как правило содержит такое x, которое может обращать всё подмодульное выражение как в положительное число, так и в отрицательное, либо вообще в ноль.

Поэтому модуль и раскрывается для каждого из случаев: когда подмодульное выражение больше или равно нулю, и когда подмодульное выражение меньше нуля. Каждый из случаев будет давать независимое уравнение со своим корнем.

Вернёмся теперь к моменту, где мы раскрывали модуль:

Условия x − 2 ≥ 0 и x − 2 являются неравенствами, которые можно решить, тем самым приведя их к простому виду:

Такой вид записи условий позволяет однозначно сказать при каких x модуль будет раскрываться с плюсом, а при каких с минусом.

В первом случае получилось условие x ≥ 2. Это значит что при всех x бóльших либо равных 2, модуль |x − 2| будет раскрываться с плюсом. Так, при x = 7, подмодульное выражение станет равно 5

А значит дальнейшее раскрытие будет с плюсом

При x = 3, |3 − 2|=|1| = 1
При x = 4, |4 − 2|=|2| = 2
При x = 2, |2 − 2|=|0| = 0
При x = 13, |13 − 2|=|11| = 11

При x = 1, |1 − 2|=|−1| = −(−1) = 1
При x = 0, |0 − 2|=|−2| = −(−2) = 2
При x = −1, |−1 − 2|=|−3| = −(−3) = 3
При x = −9,|−9 − 2|=|−11| = −(−11) = 11

Число 2 является своего рода точкой перехода, в которой модуль |x − 2| меняет свой порядок раскрытия.

Можно представить как модуль |x − 2| двигался по маршруту от минус бесконечности до числа 2, раскрываясь в каждой точке с минусом. Попав в точку 2, модуль поменял свой порядок раскрытия — а именно раскрывшись в точке 2 с плюсом, он далее стал раскрываться с плюсом, двигаясь в правую часть к плюс бесконечности.

С помощью координатной прямой это можно представить так:

Точку перехода можно найти для любого модуля. Для этого нужно узнать при каких x подмодульное выражение равно нулю. Ноль это то значение, до и после которого модуль всегда сохраняет свой знак. Это следует из правила раскрытия модуля:

При x = −3, |2 × (−3) + 6| = |0| = 0
При x = 4, |2 × 4 + 6| = |14| = 14
При x = 5, |2 × 5 + 6| = |16| = 16

А при всех x, мéньших 3, модуль будет раскрываться с минусом. Примеры:

При x = −4, |2 × (−4) + 6| = |−2| = −(−2) = 2
При x = −5, |2 × (−5) + 6| = |−4| = −(−4) = 4
При x = −6, |2 × (−6) + 6| = |−6| = −(−6) = 6

Пример 2. Решить уравнение |x| + 3x = −2

Решение

Раскроем модуль, который содержится в левой части уравнения:

Получили корни и −1.

Выполним проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение. Проверим корень

Видим, что при подстановке корня исходное уравнение не обращается в верное равенство. Значит не является корнем исходного уравнения.

Проверим теперь корень −1

Получили верное равенство. Значит из двух найденных решений только −1 является корнем уравнения.

Ответ: −1.

Здесь можно сделать важный вывод. В уравнениях с модулем найденные корни не всегда удовлетворяют исходному уравнению. Чтобы убедиться в правильности своего решения, нужно выполнять проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение.

Кроме того, проверить является ли найденное значение корнем уравнения можно с помощью условия, согласно которому был раскрыт модуль.

Так, в данном примере мы раскрывали модуль |x| для случаев когда подмодульное выражение больше или равно нулю, и когда подмодульное выражение меньше нуля:

Пример 3. Решить уравнение |1 − 2x| − 4x = −6

Решение

При раскрытии модуля |1 − 2x| со знаком минус, получим уравнение −1 + 2x − 4x = −6. Решим его:

Получили корни и .

Корень не удовлетворяет условию , значит не является корнем исходного уравнения.

Корень удовлетворяет условию , значит является корнем исходного уравнения. Проверка также покажет это:

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение | x 2 − 3x | = 0

Решение

Если модуль числа равен нулю, то подмодульное выражение тоже равно нулю:

То есть можно не раскрывать модуль. Достаточно узнать при каких значениях x подмодульное выражение равно нулю. В данном случае для этого нужно решить неполное квадратное уравнение:

Получили корни 0 и 3. Оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Проверка показывает это:

Пример 5. Решить уравнение x 2 − 5|x| + 6 = 0

Выпишем отдельно модуль |x| и раскроем его:

Ответ: 3, 2, −2 и −3.

Сведéние уравнения с модулем в совокупность

Большинство элементарных уравнений с модулем можно решить сведéнием их к так называемой совокупности уравнений.

Элементарными мы будем называть те уравнения с модулем, в которых левая часть является модулем из какого-то выражения, а правая часть — числом. Например, |x| = 3 или |2x − 1| = 3.

Решим наше самое первое уравнение |x − 2| = 5 сведéнием его к совокупности уравнений. Корнями этого уравнения были числа 7 и −3. Это уравнение тоже считается элементарным.

Выпишем уравнения x − 2 = 5 и −x + 2 = 5 и объединим их квадратной скобкой:

Такой вид записи называют совокупностью уравнений.

Совокупность уравнений — это несколько уравнений, объединённых квадратной скобкой, и имеющих множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному из уравнений, входящих в данную совокупность.

Число −3 тоже является решением данной совокупности, поскольку удовлетворяет второму уравнению − х + 2 = 5.

Вместе же числа 7 и −3 образуют множество решений данной совокупности.

В отличие от системы уравнений, совокупность состоит из уравнений, которые не зависят друг от друга. Для каждого уравнения, входящего в совокупность, значение переменной x будет разным. А в системе уравнений значение переменной x удовлетворяет как первому уравнению, так и второму.

Решить совокупность уравнений означает найти множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному из уравнений, входящих в данную совокупность.

Решим каждое уравнение совокупности по-отдельности. Это обычные линейные уравнения, которые легко решаются:

Символ ⇔ как было ранее сказано означает равносильность. В данном случае он указывает на то, что все получающиеся совокупности равносильны друг другу.

Итак, мы получили корни 7 и −3. Поскольку эти два числа являются решениями совокупности , то значит являются и решениями уравнения |x − 2| = 5.

В исходную совокупность можно включать условия, согласно которым был раскрыт модуль. В этом случае каждое уравнение вместе со своим условием обрамляется знаком системы.

Решение каждого уравнения должно удовлетворять своему условию. Поэтому условия и уравнения обрамлены знáком системы.

Решим получившуюся совокупность с условиями. Условия являются неравенствами, которые тоже можно решать:

Не следует бояться таких записей. Это лишь подробное решение, показывающее что откуда взялось. Чаще всего решение можно записать покороче.

Данная схема легко позволяет свести уравнение с модулем в совокупность. Эту схему можно прочитать так: « Если выражение |x| равно a, то подмодульное выражение равно a или −a »

Квадратная скобка в совокупностях заменяет собой слово «или».

Это та же самая совокупность, что и в прошлый раз. Убедитесь в этом, умножив обе части второго уравнения на −1.

В уравнениях где слева модуль, а справа число, мы будем чаще использовать именно такой способ записи совокупности. Он позволяет не прибегать к правилу раскрытия модуля, а сразу получить совокупность.

Пример 2. Решить уравнение |2x − 1| = 3

Решение

У этого уравнения слева модуль, а справа число. Значит его можно свести в совокупность, воспользовавшись схемой

Если выражение |2x − 1| равно 3, то подмодульное выражение 2x − 1 равно 3 или −3

Теперь решим каждое уравнение совокупности по отдельности:

Ответ: 2 и −1.

Пример 3. Решить уравнение |x + 2| − 3 = 8

Решение

В некоторых случаях прежде чем свести исходное уравнение в совокупность, его следует упростить.

Так, в данном случае −3 следует перенести в правую часть, изменив знак:

Решим данную совокупность:

Ответ: 9 и −13.

Пример 4. Решить уравнение 4|x| + 4 = 2|x| + 10

Решение

Перенесём 2|x| из правой части в левую часть, а 4 перенесём из левой части в правую часть:

Разделим обе части получившегося уравнения на 2. Тогда получится простое уравнение с модулем:

Ответ: 3 и −3.

Пример 5. Решить уравнение

Решение

Если выражение |2 − 5x 2 | равно 3, то подмодульное выражение 2 − 5x 2 равно 3 или −3

В обоих уравнениях перенесём 2 в правую часть, изменив знак:

В первом уравнении разделим обе части на −5. Во втором уравнении так же разделим обе части на −5. Тогда получим два квадратных уравнения

Первое уравнение не имеет корней, потому что квадрат любого числа положителен, а в данном случае он равен отрицательному числу. Корнями второго уравнения являются числа 1 и −1, поскольку вторая степень этих чисел равна единице.

Ответ: 1 и −1.

Пример 6. Решить уравнение |x + 6| + 4x = 5

Решение

Чтобы свести данное уравнение в совокупность, нужно сначала раскрыть его модуль, затем записать совокупность из получившихся уравнения.

Раскроем модуль |x + 6|

Дальнейшее решение элементарно:

Ответ:

Наиболее простой вид

Наиболее простой вид уравнения с модулем выглядит так:

где x — корень уравнения, a — произвольное число, бóльшее или рáвное нулю. То есть a ≥ 0

Если условие a ≥ 0 не выполнено, то уравнение |x|= a корней не имеет. Это следует из определения модуля. Действительно, модуль всегда неотрицателен.

Приведем несколько примеров уравнений вида |x| = a

Пример 1. Решить уравнение |x| = 2

Решение

В данном случае сразу видно, что корнями являются числа 2 и −2. Ведь если вместо x подставить эти числа, то получим верное равенство: |−2| = 2 и |2| = 2. Решение для этого уравнения можно записать, сведя его в совокупность:

«Если выражение |x| равно 2, то подмодульное выражение x равно 2 или −2«

Ответ: 2 и −2

Пример 2. Решить уравнение |−x| = 4

Решение

Если выражение |−x| равно 4, то подмодульное выражение равно 4 или −4

Умножим оба уравнения на −1

Ответ: −4 и 4.

Пример 3. Решить уравнение |x| = −7

В данном случае корней нет, поскольку модуль всегда неотрицателен. А в данном случае модуль равен отрицательному числу.

Если уравнение с модулем не имеет корней, обычно пишут что x принадлежит пустому множеству:

Напомним, что пустым называют множество, не имеющее элементов.

Модуль внутри модуля

В этом уравнении слева располагается модуль, который в свою очередь содержит внутри себя другой модуль, а справа уравнения располагается число. Такой вид уравнения с модулем можно решить, сведя его в совокупность с помощью схемы, которую мы рассмотрели ранее:

В нашем случае если выражение равно 9, то подмодульное выражение |2 + x| + 3 равно 9 или −9

В получившейся совокупности имеется два уравнения с модулем. Эти уравнения тоже в свою очередь следует свести в совокупность. Но сначала немного упростим эти уравнения. В первом и во втором уравнении перенесем 3 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

Теперь сведём эти уравнения в совокупности. Первое уравнение распадётся на следующую совокупность:

Сразу решим совокупность . Первый корень равен 4, второй −8.

В данном случае оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Вообще, уравнение с модулем внутри которого содержится другой модуль, тоже решается различными способами. Какой способ использовать зависит от самогó уравнения. Решим например следующее уравнение:

Но тогда справа появляется переменная x, на которую нужно будет вводить дополнительное ограничение, чтобы правая часть уравнения не стала отрицательной. Такой способ решения мы рассмотрим позже. А пока решим исходное уравнение с помощью правила раскрытия модуля.

Чтобы раскрыть модули данного уравнения нужно сначала определиться где внешний и где внутренний модуль.

В уравнении внешним модулем является полностью левая часть , а внутренним модулем — выражение

Значение внешнего модуля зависит от внутреннего модуля, и раскрываться внешний модуль будет исходя от результата который получился в результате вычисления его подмодульного содержимого.

||3 − x| − x + 1| = ||3 − 3| − 3 + 1| = ||0| − 3 + 1| = |−2| = −(−2) = 2

||3 − x| − x + 1| = ||3 − (−2)| − (−2) + 1| = ||5| − (−2) + 1| = | 8 |=8

Поэтому решение будем начинать с раскрытия внутреннего модуля.

Если внутренний модуль раскроется с плюсом, то есть если 3 − x ≥ 0 (что равносильно неравенству x ≤ 3 ), то исходное уравнение примет вид:

Теперь уравнение имеет только внешний модуль. Решим его раскрыв модуль:

Сейчас нас интересуют только те значения x при которых внутренний модуль раскрывается с плюсом, а это произойдет при условии x ≤ 3. Поэтому для наглядности рядом с найденным корнем указано, что он удовлетворяет условию x ≤ 3

Теперь решим исходное уравнение для случая, когда внутренний модуль раскрывается с минусом, то есть когда 3 − x (что равносильно неравенству x > 3 ). Внутренний модуль будет раскрываться с минусом при всех значениях x больших 3.

Если внутренний модуль раскроется с минусом, то исходное уравнение примет вид:

В итоге корнями уравнения являются числа −2 и 4.

Ответ: 2 и 4.

Пример 3. Решить уравнение ||x − 1| − 7| = 10

Решение

Слева располагается модуль, а справа число, значит можно применить схему:

В данном случае если выражение ||x − 1| − 7| равно 10, то подмодульное выражение |x − 1| − 7 равно 10 или −10. Получится совокупность из двух уравнений:

Упростим получившиеся уравнения. Перенесём число −7 в обоих уравнениях в правую часть, изменив знак:

Второе уравнение корней не имеет. Первое уравнение распадется на совокупность , корни которой 18 и −16.

Решим это же уравнение с помощью раскрытия модулей. Начнем с внутреннего модуля.

Если x − 1 ≥ 0 (что равносильно x ≥ 1 ), то исходное уравнение примет вид:

Решим получившееся уравнение раскрыв модуль:

Далее решаем уравнение для случаев когда x − 8 ≥ 0 и x − 8

Теперь решим исходное уравнение для случая, когда внутренний модуль раскрывается с минусом, то есть когда x − 1 (или что равносильно неравенству x ).

Решим получившееся уравнение раскрыв модуль:

Далее решаем уравнение для случаев когда −x − 6 ≥ 0 и −x − 6

Видно, что с помощью схемы данное уравнение решилось легче и быстрее, чем способом раскрытия модулей.

Слева модуль, а справа выражение с переменной

Решим следующее уравнение с модулем:

Здесь так же применима схема:

То есть, если выражение |4x − 3| равно 3x, то подмодульное выражение 4x − 3 должно равняться 3x или −3x.

Совокупность и условие обрамлены знаком системы, потому что решения совокупности должны удовлетворять условию 3x ≥ 0.

Итак, решим совокупность. Условие 3x ≥ 0 является неравенством, которое тоже можно решить:

Получившиеся корни можно подставить в условие x ≥ 0 и посмотреть выполняется ли оно. Если выполняется, то найденные корни удовлетворяют уравнению. В данном случае при подстановке обеих корней в неравенство, оно выполняется. Проверка также показывает, что корни удовлетворяют уравнению:

Пример 2. Решить уравнение |2x − 1| = 5x − 10

Решение

Решим это уравнение таким же образом, как и предыдущее. Введём условие, требующее чтобы правая часть была больше либо равна нулю:

А число не удовлетворяет условию x ≥ 2 и не является корнем исходного уравнения. Проверка также показывает это:

Пример 3. Решить уравнение

Решение

Это уравнение мы решили, когда учились решать уравнения с модулем внутри которых другой модуль. Теперь данное уравнение можно решить, сведя его в совокупность.

Для начала перенесём x в правую часть, изменив знак:

Теперь сведём данное уравнение в совокупность. Дополнительно введём условие в виде неравенства 6 − x ≥ 0

Решим первое уравнение. Оно распадётся на следующую совокупность:

Теперь решим второе уравнение. Оно является уравнением, содержащим переменную в правой части. При сведении его в совокупность дополним его условием −7 + 2x ≥ 0

В итоге корнями исходного уравнения являются числа −2 и 4.

Пример 4. Решить уравнение |4x + 20| = −6x

Решение

На первый взгляд покажется, что данное уравнение не имеет решений, потому что правая часть отрицательна. Но это не совсем так. Правая часть содержит переменную x, которая может принять отрицательное значение или ноль, и это приведёт к тому что правая часть станет положительной либо равной нулю. А такое уравнение имеет право на существование.

В данном случае мы решим это уравнение, сведя его в совокупность. Но при этом укажем, что правая часть должна быть больше или равна нулю:

Ответ: −2.

Когда обе части — модули

Решим следующее уравнение:

Обе части этого уравнения являются модулями. Раскроем эти модули. Будем учитывать все возможные случаи при их раскрытии.

Это простейшее линейное уравнение. Решим его:

Случай 2. Если x + 7 и 1 + 3x то модули в обеих частях раскроются со знаком минус и тогда исходное уравнение примет вид:

Раскроем скобки, получим:

То есть уравнения x + 7 = 1 + 3x и −x − 7 = −1 − 3x являются равносильными, а значит имеют одни и те же корни. Убедимся в этом, решив уравнение −x − 7 = −1 − 3x

Поэтому, раскрыв модули со знаком плюс, нет необходимости раскрывать их со знаком минус, потому что в обоих случаях получаются уравнения, имеющие одни и те же корни.

Значит раскрыв левую часть со знаком плюс, а правую часть со знаком минус, нет необходимости раскрывать левую часть со знаком минус, а правую часть со знаком плюс, потому что в обоих случаях получаются уравнения, имеющие одни и те же корни.

Вообще, если в уравнении обе части являются модулями как в данном примере, то это уравнение можно свести в следующую совокупность:

Пример 2. Решить уравнение |2 − 3x| = |x + 5|

Решение

Обе части данного уравнения являются модулями. Воспользуемся схемой:

У нас получится совокупность из двух уравнений. В первом уравнении оба модуля будут раскрыты со знаком плюс, во втором уравнении — модуль |2 − 3x| будет раскрыт со знаком плюс, а модуль |x + 5| со знаком минус:

Ответ: и

Пример 3. Решить уравнение |x 2 − 13x + 35|=|35 − x 2 |

Решение

Обе части данного уравнения являются модулями. Воспользуемся схемой:

У нас получится совокупность из двух уравнений. В первом уравнении оба модуля будут раскрыты со знаком плюс. Во втором уравнении — модуль |x 2 − 13x + 35| будет раскрыт со знаком плюс, а модуль |35 − x 2 | со знаком минус:

Приведём подобные члены в обоих уравнениях:

Первое уравнение является неполным квадратным. Решим его, вынеся x за скобки. Второе уравнение решается элементарно:

Ответ: , , 0.

Когда решение — числовой промежуток

Нередко приходиться решать уравнения с модулем, где корнями являются не один или два числа, а числовой промежуток. Таковым, например, является уравнение:

Раскроем модуль этого уравнения:

Но надо помнить про условия, согласно которым были раскрыты модули. В первом случае мы получили корень . Он будет верен только при условии что . Это условие соблюдено. Проверка также показывает что корень подходит:

Значит один из корней уравнений равен

Во втором случае мы получили множество корней от минус бесконечности до плюс бесконечности. Но это будет верно только при условии что

Например, число 2 принадлежит промежутку (−∞; +∞), но не удовлетворяет условию , а значит число 2 не является корнем исходного уравнения. Проверка также покажет это:

Поэтому ответ надо записать так, чтобы были выполнены оба условия и . Для наглядности нарисуем координатную прямую и обозначим её как x

Отметим на ней наш первый корень

Раскрыв модуль со знаком минус и решив получившееся уравнение, мы получили в ответе множество всех чисел от минус бесконечности до плюс бесконечности, но при этом было дано условие . Значит более точным ответ в этом случае будет таким:

Корнями уравнения −5x − 3 = −5x − 3 при условии являются все числа от минус бесконечности до

Значит на координатной прямой нужно заштриховать область слева от числа . Они будут иллюстрировать числа, меньшие

Число тоже является верным корнем исходного уравнения. Он был получен при раскрытии модуля со знаком плюс. Поэтому на координатной прямой пустой кружок нужно закрасить. Так мы включим число во множество решений:

Тогда окончательный ответ будет выглядеть так:

Ответ:

Также, можно решить это уравнение сведя его в совокупность, дополнительно указав, что правая часть должна быть больше либо равна нулю:

Пример 2. Решить уравнение |2x − 3| = 3 − 2x

Решение

Решим исходное уравнение для случаев когда 2x − 3 ≥ 0 и 2x − 3

Ответ:

Использование координатной прямой

Рассмотрим ещё один способ решения элементарных уравнений с модулем — с помощью координатной прямой. Этот способ используется редко, но знать о нём не помешает.

Решим наше самое первое уравнение |x − 2| = 5 с помощью координатной прямой. Напомним, что корнями этого уравнения были числа 7 и −3.

Правая часть уравнения |x − 2|= 5 говорит о том, что расстояние от x до 2 составляет пять единиц:

Если расстояние от x до 2 равно 5, то и расстояние от 2 до x тоже равно 5. Это позволяет отсчитать пять целых шагов от числа 2 к числу x и таким образом узнать значение x

Видно, что отсчитав пять шагов влево мы попали в точку с координатой −3. А это один из корней, который мы находили для уравнения |x − 2|= 5.

Но пять целых шагов от числа 2 можно отсчитать не только влево, но и вправо:

Если отсчитать пять целых шагов вправо, то попадём в точку с координатой 7. Это тоже был корень уравнения |x − 2|= 5

Несколько модулей в одной части

Решим следующее уравнение:

Это уравнение содержит два модуля в левой части. Чтобы решить данное уравнение нужно раскрыть его модули. Рассмотреть нужно каждый из случаев:

Не будем комментировать каждый случай, а сразу приведём решение:

Заметно, что такой способ решения уравнения неудобен. Если модулей в уравнении будет три, четыре или более, то придётся рассматривать намного больше случаев. Человек запутавшись, может забыть рассмотреть какой-то из случаев, и получится что уравнение решено не полностью.

Поэтому такой вид уравнения как в данном примере удобнее решать методом интервалов. Об этом мы поговорим в следующем уроке.

Источник