Как решать уравнения окружности

Уравнение окружности

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если точка С — центр окружности, R — ее радиус, а М — произвольная точка окружности, то по определению окружности

Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b) — центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у) — произвольная точка этой окружности.

Так как |СМ| = \( \sqrt <(x — a)^2 + (у — b)^2>\), то уравнение (1) можно записать так:

(x — a) 2 + (у — b) 2 = R 2 (2)

Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b). Например, уравнение

есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; —3).

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид

Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности.

Задача 1. Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат.

Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим

Задача 2. Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3; —6).

Подставив значение координат точки С и значение радиуса в формулу (2), получим

(х — 3) 2 + (у — (—6)) 2 = 81 или (х — 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.

Задача 3. Найти центр и радиус окружности

Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (2), видим, что а = —3, b = 5, R = 10. Следовательно, С(—3; 5), R = 10.

Задача 4. Доказать, что уравнение

является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.

Преобразуем левую часть данного уравнения:

Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (—2; 1); радиус окружности равен 3.

Задача 5. Написать уравнение окружности с центром в точке С(—1; —1), касающейся прямой АВ, если A (2; —1), B(— 1; 3).

Напишем уравнение прямой АВ:

или 4х + 3y —5 = 0.

Так как окружность касается данной прямой, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Для отыскания радиуса необходимо найти расстояние от точки С(—1; —1) — центра окружности до прямой 4х + 3y —5 = 0:

Напишем уравнение искомой окружности

Пусть радиус-вектор OM > точки М образует угол величины t с положительным направлением оси Ох, тогда абсцисса и ордината точки М изменяются в зависимости от t

(0 2 = 3 cos 2 t, у 2 = 3 sin 2 t. Складывая эти равенства почленно, получаем

Источник

Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности

п.1. Понятие уравнения с двумя переменными

Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, \(\mathrm\) – гипербола.

Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.

п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения

Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции

Симметричное отображение относительно оси OY

Симметричное отображение относительно оси OX

Центральная симметрия относительно начала координат

Параллельный перенос графика на a единиц вправо

Параллельный перенос графика на a единиц влево

Параллельный перенос графика на b единиц вниз

Параллельный перенос графика на b единиц вверх

Сжатие графика к оси OY в a раз

Сжатие графика к оси OX в b раз

F(x; by) = 0
0 Например:

п.4. Примеры

Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm<7>=-\frac<2> + 2 > \) – это прямая

б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm> \) – это гипербола

в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом \( \mathrm=2> \)

г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm<5>> \) – это парабола

Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
\( \mathrm<5>=-\frac25|x|+2> \)
Строим график для \( \mathrm \), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.

б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.

в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.

г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).

д) \(\mathrm<\frac<|x-1|><2>+2|y-2|=4>\)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.

Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.

Источник

Уравнение окружности.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

Источник

Уравнение прямой, проходящей через центр окружности

Уравнение окружности и прямой — как между собой связаны

Окружностью называют замкнутую плоскую кривую, состоящую из всех точек на плоскости, которые равноудалены от заданной точки, лежащей в аналогичной плоскости, что и кривая. Данная точка является центром окружности.

Записать уравнение окружности можно, используя известные свойства геометрической фигуры:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В том случае, когда центр окружности лежит в точке начала координат, уравнение окружности приобретает упрощенную форму:

Предположим, что существует уравнение некой окружности:

Центром данной геометрической фигуры является точка C(1;-2). Радиус окружности равен R=2.

Прямая представляет собой линию, которая не имеет начала и не имеет конца, и при этом не искривляется.

Каждую прямую на плоскости можно представить в виде уравнения прямой первой степени. Формула имеет следующий вид:

В данном случае А и В не могут одновременно принимать нулевые значения.

С учетом углового коэффициента общее уравнение прямой при значении b, не равном нулю, записывают следующим образом:

Здесь k является угловым коэффициентом, который можно посчитать, как тангенс угла между рассматриваемой прямой и положительным направлением оси ОХ.

Рассмотрим случай, когда прямая пересекает оси ОХ и ОУ в точках, имеющих следующие координаты:

Найти рассматриваемую прямую можно с помощью уравнения прямой в отрезках:

Предположим, что прямая пересекает пару точек \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2; y_2),\) удовлетворяющих данным условиям:

\(x_1 ≠ x_2\ и\ y_1 ≠ y_2\)

В таком случае уравнение прямой рассчитывают по формуле:

Например, существует некая прямая в прямоугольной системе координат. Данная прямая пересекает пару точек:

Уравнение прямой, проходящей через две обозначенные точки, имеет вид:

Преобразуем полученное уравнение:

\(\frac3=\frac1 \Leftrightarrow 1\cdot (x-1)=3\cdot(y-1) \Leftrightarrow x-3y+2=0\)

Как составить уравнение прямой, проходящей через центр окружности

Применяя записанные ранее уравнения для прямой и окружности, можно найти уравнение прямой, которая проходит через центр окружности:

В первую очередь следует рассчитать радиусы и определить координаты центров окружностей:

\(x^2 + y^2 + 10x + 4y + 13 = 0\)

\((x^2 + 10x + 25) + (y^2 + 4y + 4) = 16\)

В результате уравнение прямой принимает такой вид:

Решение задач по теме, примеры

Требуется определить, где находится центр окружности, и чему равен ее радиус. Уравнение окружности:

Необходимо представить график окружности в осях абсцисс и ординат.

Каноническое уравнение окружности имеет вид:

В данном случае, центр соответствует О:(h, k), а радиус окружности равен r.

По условиям задачи: \(x^<2>+(y-3)^<2>=49\)

Ответ: центр совпадает с точкой, имеющей координаты \((0, 3)\qquad r=7\)

Нужно определить, в какой точке расположен центр окружности, и чему равен ее радиус. Уравнение окружности:

В первую очередь следует записать каноническое уравнение окружности:

В данном случае, центр окружности совпадает с точкой, имеющей координаты (h, k), а ее радиус равен r.

Согласно условиям задачи:

Ответ: центр окружности совпадает с точкой (-2, 0), а ее радиус равен 6.

Требуется преобразовать уравнение в сумму квадратов для расчета радиуса и определения центра окружности:

\(\left(x+1\right)^<2>+\left( y+4\right)^<2>-1-16+\frac<1><2>=0\Longrightarrow \left(x+1\right) ^<2>+\left(y+4\right) ^<2>=\frac<33><2>\)

В результате расчетов получим:

центр находится в (-1,-4)

Центр окружности совпадает с точкой (4,-5). Необходимо записать уравнение данной окружности, учитывая, что она проходит через точку с координатами (7,-3).

Каноническое уравнение окружности:

Центр находится в точке:

Радиус соответствует r.

Учитывая, что окружность проходит через точку (7,-3), запишем:

Ответ: уравнение окружности имеет вид \((x-4)^<2>+(y+5)^<2>=13\)

Необходимо записать уравнение окружности, центр которой соответствует точке O(2,-1), касающейся прямой r:y=x+2. Требуется начертить график.

Зная, что радиус r является расстоянием, на которое удалены точка O:(h, k) и прямая y-x-2=0, запишем:

Получим уравнение окружности:

В первую очередь следует записать стандартную формулу:

Источник

Урок «Уравнение окружности»

Краткое описание документа:

Видеоурок «Уравнение окружности» дает представление об уравнении окружности, раскрывает метод выведения уравнения окружности с известным радиусом и координатами центра. В ходе урока рассматриваются примеры, которые помогают усвоить материал и научить применять его на практике в решении задач. Задача данного пособия – облегчить восприятие материала, способствовать его запоминанию, позволить учителю более рационально распределить время урока, повысить эффективность обучения. Освобожденное время учитель может использовать на повышение качества индивидуальной работы с учениками.

В ходе видеоурока используются следующие эффекты – анимация, структурирование материала по кадрам, выделение цветом важных понятий и деталей построения и теоретической части. Видеоуроки помогают сконцентрировать внимание учеников на изучении темы. Структурированная, четкая подача материала улучшает его восприятие. Последовательное объяснение с построением, голосовым сопровождением дает возможность улучшить усвоение материала учениками с различными способностями и особенностями внимания.

Видеоурок «Уравнение окружности» может применяться на уроке геометрии как наглядное пособие при изучении данной темы. Видеоматериал может стать дополнительным пособием, помогающим ученику самостоятельно освоить данную тему или углубить ее понимание. Наглядность пособия поможет учителю, осуществляющему дистанционное обучение.

Источник