Компьютерные новости 

Как решать уравнения комбинаторики

admin 0 Comments

Задачи по комбинаторике. Примеры решений

На данном уроке мы коснёмся элементов комбинаторики, которые потребуются для дальнейшего изучения теории вероятностей. Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики (а не частью тервера) и по данной дисциплине написаны увесистые учебники, содержание которых, порой, ничуть не легче абстрактной алгебры. Однако нам будет достаточно небольшой доли теоретических знаний, и в данной статье я постараюсь в доступной форме разобрать основы темы с типовыми комбинаторными задачами. А многие из вас мне помогут 😉

С множеством разобрались, теперь о комбинациях. Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение). Давайте прямо сейчас посмотрим, как это происходит:

Перестановки, сочетания и размещения без повторений

Не пугайтесь малопонятных терминов, тем более, некоторые из них действительно не очень удачны. Начнём с хвоста заголовка – что значит «без повторений»? Это значит, что в данном параграфе будут рассматриваться множества, которые состоят из различных объектов. Например, … нет, кашу с паяльником и лягушкой предлагать не буду, лучше что-нибудь повкуснее =) Представьте, что перед вами на столе материализовалось яблоко, груша и банан (при наличии таковых ситуацию можно смоделировать и реально). Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке:

яблоко / груша / банан

Вопрос первый: сколькими способами их можно переставить?

Одна комбинация уже записана выше и с остальными проблем не возникает:

яблоко / банан / груша
груша / яблоко / банан
груша / банан / яблоко
банан / яблоко / груша
банан / груша / яблоко

Итого: 6 комбинаций или 6 перестановок.

Хорошо, здесь не составило особого труда перечислить все возможные случаи, но как быть, если предметов больше? Уже с четырьмя различными фруктами количество комбинаций значительно возрастёт!

Пожалуйста, откройте справочный материал Основные формулы комбинаторики (методичку удобно распечатать) и в пункте № 2 найдите формулу количества перестановок.

Никаких мучений – 3 объекта можно переставить Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами.

Вопрос второй: сколькими способами можно выбрать а) один фрукт, б) два фрукта, в) три фрукта, г) хотя бы один фрукт?

Зачем выбирать? Так нагуляли же аппетит в предыдущем пункте – для того, чтобы съесть! =)

а) Один фрукт можно выбрать, очевидно, тремя способами – взять либо яблоко, либо грушу, либо банан. Формальный подсчёт проводится по формуле количества сочетаний:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики

Запись Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикив данном случае следует понимать так: «сколькими способами можно выбрать 1 фрукт из трёх?»

б) Перечислим все возможные сочетания двух фруктов:

яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.

Количество комбинаций легко проверить по той же формуле:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики

Запись Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикипонимается аналогично: «сколькими способами можно выбрать 2 фрукта из трёх?».

в) И, наконец, три фрукта можно выбрать единственным способом:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики

Кстати, формула количества сочетаний сохраняет смысл и для пустой выборки:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособом можно выбрать ни одного фрукта – собственно, ничего не взять и всё.

г) Сколькими способами можно взять хотя бы один фрукт? Условие «хотя бы один» подразумевает, что нас устраивает 1 фрукт (любой) или 2 любых фрукта или все 3 фрукта:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать хотя бы один фрукт.

Читатели, внимательно изучившие вводный урок по теории вероятностей, уже кое о чём догадались. Но о смысле знака «плюс» позже.

Для ответа на следующий вопрос мне требуется два добровольца… …Ну что же, раз никто не хочет, тогда буду вызывать к доске =)

Вопрос третий: сколькими способами можно раздать по одному фрукту Даше и Наташе?

Для того чтобы раздать два фрукта, сначала нужно их выбрать. Согласно пункту «бэ» предыдущего вопроса, сделать это можно Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами, перепишу их заново:

яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.

Но комбинаций сейчас будет в два раза больше. Рассмотрим, например, первую пару фруктов:
яблоком можно угостить Дашу, а грушей – Наташу;
либо наоборот – груша достанется Даше, а яблоко – Наташе.

И такая перестановка возможна для каждой пары фруктов.

В данном случае работает формула количества размещений:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики

Она отличается от формулы Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикитем, что учитывает не только количество способов, которым можно выбрать несколько объектов, но и все перестановки объектов в каждой возможной выборке. Так, в рассмотренном примере, важно не только то, что можно просто выбрать, например, грушу и банан, но и то, как они будут распределены (размещены) между Дашей и Наташей.

Пожалуйста, внимательно прочитайте пункт № 2 методички Основные формулы комбинаторики и постарайтесь хорошо уяснить разницу между перестановками, сочетаниями и размещениями. В простейших случаях можно пересчитать все возможные комбинации вручную, но чаще всего это становится неподъемной задачей, именно поэтому и нужно понимать смысл формул.

Также напоминаю, что сейчас речь идёт о множестве с различными объектами, и если яблоко/грушу/банан заменить на 3 яблока или даже на 3 очень похожих яблока, то в контексте рассмотренной задачи они всё равно будут считаться различными.

Остановимся на каждом виде комбинаций подробнее:

Перестановки

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиразличных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики

Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвует ВСЁ множество, то есть, все Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиобъектов. Например, дружная семья:

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

Решение: используем формулу количества перестановок:

Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики

Ответ: 120 способами

Невероятно, но факт. Обратите внимание, что здесь не имеет значения круглый ли стол, квадратный, или вообще все люди сели встали, легли на скамейку вдоль одной стены – важно лишь количество объектов и их взаимное расположение. Помимо перестановок людей, часто встречается задача о перестановках различных книг на полке, но это было бы слишком просто даже для чайника:

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки (цифры на которых различны!), и это очень важная предпосылка для применения формулы Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиОчевидно, что, переставляя карточки, мы будем получать различные четырёхзначные числа, … стоп, а всё ли тут в порядке? 😉

Хорошенько подумайте над задачей! Вообще, это характерная черта комбинаторных и вероятностных задач – в них НУЖНО ДУМАТЬ. И зачастую думать по-житейски, как, например, в разборе вступительного примера с фруктами. Нет, конечно, я не призываю тупо прорабатывать другие разделы математики, однако должен заметить, что те же интегралы можно научиться решать чисто механически.

Решение и ответ в конце урока.

Сочетания

В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому, в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:

Сочетаниями называют различные комбинации из Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиобъектов, которые выбраны из множества Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиразличных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиэлементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики.

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение: прежде всего, снова обращаю внимание на то, что по логике условия, детали считаются различными – даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы
(в этом случае их можно, например, пронумеровать).

В задаче речь идёт о выборке из 4 деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики

Здесь, конечно же, не нужно ворочать огромные числа Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики.
В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики. Распишу очень подробно:

Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно взять 4 детали из ящика.

Ещё раз: что это значит? Это значит, что из набора 15 различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4 деталей. То есть, каждая такая комбинация из четырёх деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.

Ответ: 1365 способами

Формуле Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикинеобходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно ПОНИМАТЬ и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики. Применительно к разобранной задаче:

Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики– единственным способом можно не выбрать ни одной детали;
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно взять 1 деталь (любую из пятнадцати);
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15 останется в ящике);
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики– единственным способом можно взять все пятнадцать деталей.

Рекомендую внимательно ознакомиться с биномом Ньютона и треугольником Паскаля, по которому, к слову, очень удобно выполнять проверку вычислений Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикипри небольших значениях «эн».

Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

Это пример для самостоятельного решения. Чем приятны многие комбинаторные задачи, так это краткостью – главное, разобраться в сути. И суть, бывает, открывается с различных сторон. Разберём весьма поучительный пример:

В шахматном турнире участвует Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикичеловек и каждый с каждым играет по одной партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?

Поскольку я сам играю в шахматы и неоднократно принимал участие в круговых турнирах, то сразу же сориентировался по турнирной таблице размером Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиклеток, в которой результат каждой партии учитывается дважды и, кроме того, затушёвываются клетки «главной диагонали» (т.к. участники не играют сами с собой). Исходя из проведённых рассуждений, общее количество сыгранных партий рассчитывается по формуле Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики. Такое решение полностью корректно (см. соответствующий файл банка готовых решений) и на долгое время я забыл о нём по принципу «решено, да и ладно».

Однако один из посетителей сайта заметил, что на самом деле здесь можно руководствоваться самыми что ни на есть банальными сочетаниями:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиразличных пар можно составить из Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикисоперников (кто играет белыми, кто чёрными – не важно).

Эквивалентной является задача о рукопожатиях: в отделе работает Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикимужчин и каждый с каждым здоровается за руку, сколько рукопожатий они совершают? К слову, шахматисты тоже пожимают друг другу руку перед каждой партией.

Ну а вывода тут два:
– во-первых, не всё очевидное – очевидно;
– и во-вторых, не бойтесь решать задачи «нестандартно»!

Большое спасибо за ваши письма, они помогают улучшить качество учебных материалов!

Размещения

Или «продвинутые» сочетания. Размещениями называют различные комбинации из Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиобъектов, которые выбраны из множества Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиразличных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком. Количество размещений рассчитывается по формуле Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики

Что наша жизнь? Игра:

Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)

Решение: ситуация похожа на Задачу 4, но отличается тем, что здесь важно не только то, какие три карты будут извлечены из колоды, но и то, КАК они будут распределены между игроками. По формуле размещений:

Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно раздать 3 карты игрокам.

Есть и другая схема решения, которая, с моей точки зрения, даже понятнее:

Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно извлечь 3 карты из колоды.

КП, 9Ч, 7Ч;
КП, 7Ч, 9Ч;
9Ч, КП, 7Ч;
9Ч, 7Ч, КП;
7Ч, КП, 9Ч;
7Ч, 9Ч, КП.

И аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из трёх карт. А таких наборов, не забываем, мы насчитали Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики. Не нужно быть профессором, чтобы понять, что найденное количество сочетаний следует умножить на шесть:

Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно сдать по одной карте трём игрокам.

По существу, получилась наглядная проверка формулы Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики, окончательный смысл которой мы проясним в следующем параграфе.

Ответ: 42840

Возможно, у вас остался вопрос, а кто же раздавал карты? …Наверное, преподаватель =)
И чтобы никому не было обидно, в следующей задаче примет участие вся студенческая группа:

В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

Задача о «размещении» должностей в коллективе встречается очень часто и является самым настоящим баяном. Краткое решение и ответ в конце урока.

Правило сложения и правило умножения комбинаций

Данные правила весьма напоминают алгебру событий, и многие читатели уже ознакомились с пунктом № 4 справочного материала Основные формулы комбинаторики, где они изложены в общем виде. Постараюсь повторить принципы максимально кратко:

1) Знак «плюс» следует понимать и читать как союз ИЛИ. Вспоминаем демонстрационную задачу с яблоком, грушей и бананом:

Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать хотя бы один фрукт.

То есть, можно взять 1 фрукт (любой из трёх) ИЛИ какое-нибудь сочетание двух фруктов ИЛИ все три фрукта. Заметьте, что сложение комбинаций предполагает безразличие выбора (без разницы будет ли выбран один, два или 3 фрукта).

Рассмотрим более основательный пример:

Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух человек одного пола?

Решение: в данном случае подсчёт Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикине годится, поскольку общее количество сочетаний включает в себя и разнополые пары.

Условие «выбрать двух человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:

Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать 2 юношей;
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать 2 девушек.

Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами.

Ответ: 123

Правило умножения комбинаций:

2) Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И.

Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?

Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать 1 юношу;
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать 1 девушку.

Таким образом, одного юношу и одну девушку можно выбрать: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами.

Когда из каждого множества выбирается по 1 объекту, то справедлив следующий принцип подсчёта комбинаций: «каждый объект из одного множества может составить пару с каждым объектом другого множества».

То есть, Олег может пригласить на танец любую из 13 девушек, Евгений – тоже любую из тринадцати, и аналогичный выбор есть у остальных молодых людей. Итого: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикивозможных пар.

Следует отметить, что в данном примере не имеет значения «история» образования пары; однако если принять во внимание инициативу, то количество комбинаций нужно удвоить, поскольку каждая из 13 девушек тоже может пригласить на танец любого юношу. Всё зависит от условия той или иной задачи!

Похожий принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: сколькими способами можно выбрать двух юношей и двух девушек для участия в сценке КВН?

Союз И недвусмысленно намекает, что комбинации необходимо перемножить:

Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикивозможных групп артистов.

Иными словами, каждая пара юношей (45 уникальных пар) может выступать с любой парой девушек (78 уникальных пар). А если рассмотреть распределение ролей между участниками, то комбинаций будет ещё больше. …Очень хочется, но всё-таки воздержусь от продолжения, чтобы не привить вам отвращение к студенческой жизни =).

Правило умножения комбинаций распространяется и на бОльшее количество множителей:

Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?

Решение: для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***

Комбинации будем считать по разрядам – слева направо:

В разряд сотен можно записать любую из Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикицифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.

А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10 цифр: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики.

По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.

Итого, существует: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикитрёхзначных чисел, которые делятся на 5.

При этом произведение Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикирасшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами в разряд единиц»

Или ещё проще: «каждая из 9 цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10 цифр разряда десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц».

Ответ: 180

Да, чуть не забыл об обещанном комментарии к задаче № 5, в которой Боре, Диме и Володе можно сдать по одной карте Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами. Умножение здесь имеет тот же смысл: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно извлечь 3 карты из колоды И в каждой выборке переставить их Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами.

А теперь задача для самостоятельного решения… сейчас придумаю что-нибудь поинтереснее, …пусть будет про ту же русскую версию блэкджека:

Сколько существует выигрышных комбинаций из 2 карт при игре в «очко»?

Для тех, кто не знает: выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко и, давайте будем считать выигрышной комбинацию из двух тузов.

(порядок карт в любой паре не имеет значения)

Краткое решение и ответ в конце урока.

Кстати, не надо считать пример примитивным. Блэкджек – это чуть ли не единственная игра, для которой существует математически обоснованный алгоритм, позволяющий выигрывать у казино. Желающие могут легко найти массу информации об оптимальной стратегии и тактике. Правда, такие мастера довольно быстро попадают в чёрный список всех заведений =)

Пришло время закрепить пройденный материал парой солидных задач:

У Васи дома живут 4 кота.

а) сколькими способами можно рассадить котов по углам комнаты?
б) сколькими способами можно отпустить гулять котов?
в) сколькими способами Вася может взять на руки двух котов (одного на левую, другого – на правую)?

Решаем: во-первых, вновь следует обратить внимание на то, что в задаче речь идёт о разных объектах (даже если коты – однояйцовые близнецы). Это очень важное условие!

а) Молчание котов. Данной экзекуции подвергаются сразу все коты
+ важно их расположение, поэтому здесь имеют место перестановки:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно рассадить котов по углам комнаты.

Повторюсь, что при перестановках имеет значение лишь количество различных объектов и их взаимное расположение. В зависимости от настроения Вася может рассаживать животных полукругом на диване, в ряд на подоконнике и т.д. – перестановок во всех случаях будет 24. Желающие могут для удобства представить, что коты разноцветные (например, белый, чёрный, рыжий и полосатый) и перечислить все возможные комбинации.

б) Сколькими способами можно отпустить гулять котов?

Предполагается, что коты ходят гулять только через дверь, при этом вопрос подразумевает безразличие по поводу количества животных – на прогулку могут выйти 1, 2, 3 или все 4 кота.

Считаем все возможные комбинации:

Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно отпустить гулять одного кота (любого из четырёх);
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно отпустить гулять двух котов (варианты перечислите самостоятельно);
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно отпустить гулять трёх котов (какой-то один из четырёх сидит дома);
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособом можно выпустить всех котов.

Наверное, вы догадались, что полученные значения следует просуммировать:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно отпустить гулять котов.

Энтузиастам предлагаю усложнённую версию задачи – когда любой кот в любой выборке может выйти на улицу, как через дверь, так и через окно 10 этажа. Комбинаций заметно прибавится! Дерзайте! А в конце урока я познакомлю вас с удивительно простым решением этого пункта.

в) Сколькими способами Вася может взять на руки двух котов?

Ситуация предполагает не только выбор 2 животных, но и их размещение по рукам:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно взять на руки 2 котов.

Второй вариант решения: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать двух котов и Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами посадить каждую пару на руки: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики

Ответ: а) 24, б) 15, в) 12

Ну и для очистки совести что-нибудь поконкретнее на умножение комбинаций…. Пусть у Васи дополнительно живёт 5 кошек =) Сколькими способами можно отпустить гулять 2 котов и 1 кошку?

Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики

То есть, с каждой парой котов можно выпустить каждую кошку.

Ещё один баян для самостоятельного решения:

В лифт 12-этажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со 2-го) этаже. Сколькими способами:

1) пассажиры могут выйти на одном и том же этаже (порядок выхода не имеет значения);
2) два человека могут выйти на одном этаже, а третий – на другом;
3) люди могут выйти на разных этажах;
4) пассажиры могут выйти из лифта?

И тут часто переспрашивают, уточняю: если 2 или 3 человека выходят на одном этаже, то очерёдность выхода не имеет значения. ДУМАЙТЕ, используйте формулы и правила сложения/умножения комбинаций. В случае затруднений пассажирам полезно дать имена и порассуждать, в каких комбинациях они могут выйти из лифта. Не нужно огорчаться, если что-то не получится, так, например, пункт № 2 достаточно коварен, впрочем, один из читателей отыскал простое решение, и я в очередной раз выражаю благодарность за ваши письма!

Полное решение с подробными комментариями в конце урока.

Заключительный параграф посвящён комбинациям, которые тоже встречаются достаточно часто – по моей субъективной оценке, примерно в 20-30% комбинаторных задач:

Перестановки, сочетания и размещения с повторениями

Перечисленные виды комбинаций законспектированы в пункте № 5 справочного материала Основные формулы комбинаторики, однако некоторые из них по первому прочтению могут быть не очень понятными. В этом случае сначала целесообразно ознакомиться с практическими примерами, и только потом осмысливать общую формулировку. Поехали:

Перестановки с повторениями

В перестановках с повторениями, как и в «обычных» перестановках, участвует сразу всё множество объектов, но есть одно но: в данном множестве один или бОльшее количество элементов (объектов) повторяются. Встречайте очередной стандарт:

Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой карточек со следующими буквами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, И, К?

Решение: в том случае, если бы все буквы были различны, то следовало бы применить тривиальную формулу Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики, однако совершенно понятно, что для предложенного набора карточек некоторые манипуляции будут срабатывать «вхолостую», так, например, если поменять местами любые две карточки с буквами «К» в любом слове, то получится то же самое слово. Причём, физически карточки могут сильно отличаться: одна быть круглой с напечатанной буквой «К», другая – квадратной с нарисованной буквой «К». Но по смыслу задачи даже такие карточки считаются одинаковыми, поскольку в условии спрашивается о буквосочетаниях.

Всё предельно просто – всего: 11 карточек, среди которых буква:

К – повторяется 3 раза;
О – повторяется 3 раза;
Л – повторяется 2 раза;
Ь – повторяется 1 раз;
Ч – повторяется 1 раз;
И – повторяется 1 раз.

Проверка: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, что и требовалось проверить.

По формуле количества перестановок с повторениями:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиразличных буквосочетаний можно получить. Больше полумиллиона!

Для быстрого расчёта большого факториального значения удобно использовать стандартную функцию Экселя: забиваем в любую ячейку =ФАКТР(11) и жмём Enter.

На практике вполне допустимо не записывать общую формулу и, кроме того, опускать единичные факториалы:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики
Но предварительные комментарии о повторяющихся буквах обязательны!

Ответ: 554400

Другой типовой пример перестановок с повторениями встречается в задаче о расстановке шахматных фигур, которую можно найти на складе готовых решений в соответствующей pdf-ке. А для самостоятельного решения я придумал менее шаблонное задание:

Алексей занимается спортом, причём 4 дня в неделю – лёгкой атлетикой, 2 дня – силовыми упражнениями и 1 день отдыхает. Сколькими способами он может составить себе расписание занятий на неделю?

Формула Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиздесь не годится, поскольку учитывает совпадающие перестановки (например, когда меняются местами силовые упражнения в среду с силовыми упражнениями в четверг). И опять – по факту те же 2 силовые тренировки могут сильно отличаться друг от друга, но по контексту задачи (с точки зрения расписания) они считаются одинаковыми элементами.

Двухстрочное решение и ответ в конце урока.

Сочетания с повторениями

Характерная особенность этого вида комбинаций состоит в том, что выборка проводится из нескольких групп, каждая из которых состоит из одинаковых объектов.

Сегодня все хорошо потрудились, поэтому настало время подкрепиться:

В студенческой столовой продают сосиски в тесте, ватрушки и пончики. Сколькими способами можно приобрести пять пирожков?

Решение: сразу обратите внимание на типичный критерий сочетаний с повторениями – по условию на выбор предложено не множество объектов как таковое, а различные виды объектов; при этом предполагается, что в продаже есть не менее пяти хот-догов, 5 ватрушек и 5 пончиков. Пирожки в каждой группе, разумеется, отличаются – ибо абсолютно идентичные пончики можно смоделировать разве что на компьютере =) Однако физические характеристики пирожков по смыслу задачи не существенны, и хот-доги / ватрушки / пончики в своих группах считаются одинаковыми.

Что может быть в выборке? Прежде всего, следует отметить, что в выборке обязательно будут одинаковые пирожки (т.к. выбираем 5 штук, а на выбор предложено 3 вида). Варианты тут на любой вкус: 5 хот-догов, 5 ватрушек, 5 пончиков, 3 хот-дога + 2 ватрушки, 1 хот-дог + 2 + ватрушки + 2 пончика и т.д.

Как и при «обычных» сочетаниях, порядок выбора и размещение пирожков в выборке не имеет значения – просто выбрали 5 штук и всё.

Используем формулу Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиколичества сочетаний с повторениями:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособом можно приобрести 5 пирожков.

Ответ: 21

Какой вывод можно сделать из многих комбинаторных задач?

Порой, самое трудное – это разобраться в условии.

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

В кошельке находится достаточно большое количество 1-, 2-, 5- и 10-рублёвых монет. Сколькими способами можно извлечь три монеты из кошелька?

В целях самоконтроля ответьте на пару простых вопросов:

1) Могут ли в выборке все монеты быть разными?
2) Назовите самую «дешевую» и самую «дорогую» комбинацию монет.

Решение и ответы в конце урока.

Из моего личного опыта, могу сказать, что сочетания с повторениями – наиболее редкий гость на практике, чего не скажешь о следующем виде комбинаций:

Размещения с повторениями

Есть две основные модели, где фигурируют размещения с повторениями, рассмотрим их по порядку. Номер один:

Из множества, состоящего из Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиэлементов, выбирается Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиэлементов, при этом важен порядок элементов в каждой выборке. И всё бы было ничего, но довольно неожиданный прикол заключается в том, что любой объект исходного множества мы можем выбирать сколько угодно раз. Образно говоря, от «множества не убудет».

Когда так бывает? Типовым примером является кодовый замок с несколькими дисками, но по причине развития технологий актуальнее рассмотреть его цифрового потомка:

Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?

Решение: на самом деле для разруливания задачи достаточно знаний правил комбинаторики: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать первую цифру пин-кода и Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами – вторую цифру пин-кода и столькими же способами – третью и столькими же – четвёртую. Таким образом, по правилу умножения комбинаций, четырёхзначный пин-код можно составить: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами.

А теперь с помощью формулы. По условию нам предложен набор из Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикицифр, из которого выбираются Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикицифры и располагаются в определенном порядке, при этом цифры в выборке могут повторяться (т.е. любой цифрой исходного набора можно пользоваться произвольное количество раз). По формуле Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиколичества размещений с повторениями: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики

Ответ: 10000

Что тут приходит на ум… …если банкомат «съедает» карточку после третьей неудачной попытки ввода пин-кода, то шансы подобрать его наугад весьма призрачны.

И кто сказал, что в комбинаторике нет никакого практического смысла? Познавательная задача для всех читателей mathprofi.ru:

Согласно государственному стандарту, автомобильный номерной знак состоит из 3 цифр и 3 букв. При этом недопустим номер с тремя нулями, а буквы выбираются из набора А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х (используются только те буквы кириллицы, написание которых совпадает с латинскими буквами).

Сколько различных номерных знаков можно составить для региона?

Не так их, кстати, и много. В крупных регионах такого количества не хватает, и поэтому для них существуют по несколько кодов к надписи RUS.

Решение и ответ в конце урока. Не забываем использовать правила комбинаторики 😉 …Хотел похвастаться эксклюзивом, да оказалось не эксклюзивом =) Заглянул в Википедию – там есть расчёты, правда, без комментариев. Хотя в учебных целях, наверное, мало кто прорешивал.

И здесь в своё время я завершил урок, но любознательные читатели всё не хотят меня отпускать! Да меня и самого не отпускает 🙂 Поэтому разберём ещё один тип задач на размещения с повторениями, они встречаются не так часто, их решение на так очевидно, но знание этого подхода здОрово облегчит жизнь. Вторая интерпретация размещений с повторениями:

Рассмотрим Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиобъектов (или субъектов), каждый из которых может находиться в одном из Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикисостояний (или выбрать одно из Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикивозможных действий). Тогда общее число возможных состояний всего множества объектов (субъектов) рассчитывается по формуле Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики.

У Васи дома живут 4 кота. После завтрака любой кот может уйти гулять или остаться дома.

а) Сколькими способам могут уйти гулять коты?
б) …если каждый из них может выйти на улицу, как через дверь, так и через окно?

Решение: в Задаче 10 мы прямо перечислили все возможные варианты пункта «а», но этот способ хорош лишь в простых случаях. Уже в пункте «бэ» прямой подсчёт комбинаций вызывает значительные затруднения. Но здесь есть простое и короткое решение:

а) По условию, дано Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикикота, при этом каждый из них может поступить Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами (остаться дома / уйти гулять), таким образом, коты могут поступить:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами, из которых следует исключить один случай (когда все коты остались дома): Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики.

! Обязательно обращайте внимание на условие! Если там задан вопрос «Сколькими способами могут поступить коты?», то корректный ответ 16.

Следует отметить, что данную задачу можно решить и через перемножение комбинаций: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами может поступить 1-й кот и Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами может поступить 2-й кот и Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами может поступить 3-й кот и Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами может поступить 4-й кот. Таким образом, коты могут поступить Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами. Вот такой вот пин-кот 🙂

б) Решение проще простого. Здесь у каждого кота три опции Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики:
остаться дома / уйти гулять через дверь / уйти гулять через окно.

Таким образом, коты могут уйти гулять Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами.

Этот пункт, разумеется, тоже можно решить через умножение комбинаций.

Ответ: а) 15, б) 80

Теперь посмотрим с нового ракурса на Задачу 11, а именно ответим на вопрос «Сколькими способами могут выйти три человека из лифта?». Здесь у нас три человека Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики, каждый из которых может выйти на любом из одиннадцати этажей ( Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиопций). Таким образом, люди могут выйти из лифта Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособом.

Разумеется, в условии может идти речь и о неодушевленных объектах, такой пример встретился в первой же дополнительной задаче по комбинаторике:

«В комнате имеется 6 лампочек, каждая со своим выключателем. Сколькими способами можно освещать комнату?»

Там я опять перечислил все возможные комбинации, но есть путь короче. По сути, те же коты: в условии нам дано Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиобъектов, каждый из которых может находиться в Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикисостояниях (включено / выключено), таким образом, комнату можно осветить:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами (вычли случай, когда все лампочки выключены).

И, конечно, я не забыл о прогульщиках – никто не отвертится от активного участия в моих уроках 🙂 Для вас заключительная задача:

В коридоре стоит шеренга из 7 студентов. По команде каждый из них должен произвольно поднять одну руку или одну ногу.

а) Сколькими способами они могут это сделать?
б) … если разрешается поднять любое количество рук / ног? (одновременное поднятие двух рук и двух ног (прыжок) тоже считается комбинацией).

Краткое решение и ответ совсем близко. Пункт «бэ», к слову, не так-то прост, я бы даже присвоил ему категорию повышенной сложности.

Что ещё важно в рассмотренных задачах? Объекты или субъекты не обязаны быть однородными. Пусть вместо 4 котов у Васи обитают кот, пёс, конь и петух. И они тоже могут уйти гулять Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами.

Кроме того, у каждого объекта / субъекта могут быть разные опции: кот может уйти гулять или нет, пёс – облаять гостя или нет, конь – подмигнуть одним глазом или двумя (да, он ;)), а петух – разбудить Васю или не разбудить. Формула та же, правда, её уже нельзя назвать «размещения с повторениями», ибо у каждого животного свои уникальные действия.

И более того, у каждого объекта или субъекта может быть разное количество опций, и тогда задача решается через перемножение комбинаций.

На этом наше увлекательное занятие подошло к концу (?!), и напоследок я хочу сказать, что вы не зря потратили время – по той причине, что формулы комбинаторики находят ещё одно насущное практическое применение: они встречаются в различных задачах по теории вероятностей, и в задачах на классическое определение вероятности – особенно часто =)

Всем спасибо за активное участие и до скорых встреч!

Задача 2: Решение: найдём количество всех возможных перестановок 4 карточек:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики
Когда карточка с нулём располагается на 1-м месте, то число становится трёхзначным, поэтому данные комбинации следует исключить. Пусть ноль находится на 1-м месте, тогда оставшиеся 3 цифры в младших разрядах можно переставить Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами.

Примечание: т.к. карточек немного, то здесь несложно перечислить все такие варианты:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Таким образом, из предложенного набора можно составить:
24 – 6 = 18 четырёхзначных чисел
Ответ: 18

З.Ы. Никогда не думал, что эти задачи будут предлагать первоклассникам, один из которых заметил, что карточку «9» можно использовать как «6», и поэтому количество комбинаций нужно удвоить. Но в условии всё же заявлена конкретная цифра и от удвоения лучше воздержаться.

Задача 4: Решение: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать 3 карты из 36.
Ответ: 7140

Задача 6: Решение: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами.
Другой вариант решения: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать двух человек из группы и Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами распределить должности в каждой выборке. Таким образом, старосту и его заместителя можно выбрать Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами.
Ответ: 506

Задача 9: Решение:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами может быть сдана десятка и туз («каждая десятка с каждым тузом»);
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами может быть сдана пара тузов.
Итого: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикивыигрышные комбинации.
Ответ: 22

Задача 11: Решение:
1) Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать этаж для выхода всех пассажиров.

2) Способ первый: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать 2 этажа для выхода пассажиров (например, 6-й и 11-й этаж).
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать двух человек для выхода на одном этаже (третий выйдет на другом). Например:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики
Кроме того, любую пару и «одинокого человека» можно поменять этажами:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики
Таким образом, для каждой пары этажей (55 уникальных сочетаний) возможно Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособов выхода пассажиров.
По правилу умножения комбинаций: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами два пассажира могут выйти на одном этаже, а третий – на другом этаже.

Примечание: как вариант, вместо Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиможно использовать Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики– способами можно выбрать одного человека (а значит, и пару).

Более компактный способ, который предложил один из читателей сайта:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать пару и одного человека и для каждого случая Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами выбрать два этажа для их выхода (с учётом перестановки пары и человека по этажам). Таким образом, люди могут выйти Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами.

И способ третий, который нашёл ещё один читатель:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики способами можно выбрать «одинокого» человека и каждый человек может выйти из лифта: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами.
И для каждой из этих комбинаций:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать этаж для выхода двух других людей.
По правилу умножения комбинаций:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики способами 1 пассажир может выйти на одном этаже, а 2 других – на другом.

3) Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами пассажиры могут выйти на разных этажах.
Второй вариант решения: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать 3 этажа для выхода и Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами переставить пассажиров по каждой тройке этажей; следовательно, пассажиры могут выйти на разных этажах Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами.

Третий вариант решения, нашёл другой читатель сайта. Через комбинаторное произведение:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики
(11 способами можно выйти один пассажир и для каждого из этих вариантов – 10 способами может выйти другой пассажир и для каждой возможной комбинации их выхода – 9 способами может выйти третий пассажир)

4) Способ первый: суммируем комбинации первых трёх пунктов:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособом пассажиры могут выйти из лифта.

Способ второй: в общем случае он более рационален, более того, позволяет обойтись без результатов предыдущих пунктов. Рассуждения таковы: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами может выйти 1-й пассажир из лифта и Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами может выйти 2-й пассажир и Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами может выйти 3-й пассажир. По правилу умножения комбинаций: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособом могут выйти три человека

Ответ: 1) 11; 2) 330; 3) 990; 4) 1331

Задача 13: Решение: по формуле количества перестановок с повторениями:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно составить расписание занятий на неделю.
Ответ: 105

Задача 15: Решение: используем формулу Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикисочетаний с повторениями:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно выбрать 3 монеты из кошелька.
Ответ: 20
Ответы на вопросы:
1) Да (т.к. количество извлекаемых монет (3 шт.) меньше видов монет (4 вида));
2) Самый «дешёвый» набор содержит 3 рублёвые монеты, а самый «дорогой» – 3 десятирублёвые.

Задача 17: Решение: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно составить цифровую комбинацию автомобильного номера, при этом одну из них (000) следует исключить: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики.
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами можно составить буквенную комбинацию автомобильного номера.
По правилу умножения комбинаций, всего можно составить:
Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиавтомобильных номера
(каждая цифровая комбинация сочетается с каждой буквенной комбинацией).
Ответ: 1726272

Задача 19: Решение: используем формулу размещений с повторениями.

а) По условию, дано Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикисолдат, у каждого из которых есть Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиопции (поднять левую руку / поднять правую руку / поднять левую ногу / поднять правую ногу). Таким образом, солдаты могут выполнить команду Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами.

б) Дважды используем формулу размещений с повторениями.

Сначала найдём все возможные комбинации поднятых конечностей: Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиконечности, каждая из которых может находиться в Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикисостояниях (поднята или нет). Таким образом, существует Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикикомбинаций поднятых конечностей (исключили комбинацию, когда все конечности внизу)…, какой-то прямо фильм ужасов получился, а не задача в воспитательных целях 🙂

Таким образом, у каждого из Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикисолдат в распоряжении есть Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиопций, и они могут выполнить команду Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторикиспособами. Невероятно, но факт.

Ответ: а) 16384, б) 170859375

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть фото Как решать уравнения комбинаторики. Смотреть картинку Как решать уравнения комбинаторики. Картинка про Как решать уравнения комбинаторики. Фото Как решать уравнения комбинаторики Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

Источник

Вам также понравится

горит в горле и гортани что это

admin 0

Как расшифровывается аббревиатура дпс

admin 0

энцефалопатия головного мозга у собак симптомы и лечение

admin 0

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *