Как решать уравнения четвертой степени
Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари
 Схема метода Феррари |
| Приведение уравнений 4-ой степени |
| Разложение на множители. Кубическая резольвента |
| Пример решения уравнения 4-ой степени |
Схема метода Феррари
| a0x 4 + a1x 3 + a2x 2 + + a3x + a4 = 0, | (1) |
где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем 
Метод Феррари состоит из двух этапов.
На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.
На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.
Приведение уравнений 4-ой степени
| x 4 + ax 3 + bx 2 + + cx + d = 0, | (2) |
где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.
Сделаем в уравнении (2) замену
 | (3) |
где y – новая переменная.
то уравнение (2) принимает вид
В результате уравнение (2) принимает вид
Если ввести обозначения
то уравнение (4) примет вид
| y 4 + py 2 + qy + r = 0, | (5) |
где p, q, r – вещественные числа.
Первый этап метода Феррари завершён.
Разложение на множители. Кубическая резольвента
Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение
где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим
Следовательно, уравнение (5) принимает вид
Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения
то уравнение (6) примет вид
Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде
Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).
Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».
Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение
а также квадратное уравнение
Вывод метода Феррари завершен.
Пример решения уравнения 4-ой степени
| x 4 + 4x 3 – 4x 2 – – 20x – 5 = 0. | (12) |
то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид
| y 4 – 10y 2 – 4y + 8 = 0. | (14) |
В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства
| p = – 10, q = – 4, r = 8. | (15) |
В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение
которое при сокращении на 2 принимает вид:
| s 3 + 5s 2 – 8s – 42 = 0. | (16) |
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение
В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):
| y 4 – 10y 2 – 4y + 8 = = (y 2 – 2y – 4) (y 2 + + 2y – 2). | (20) |
Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.
Алгебраические уравнения и способы их решения. Уравнения третьей и четвертой степени
Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.
В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, использование симметрии и даже деление многочлена на многочлен.
Вспомним основные понятия.
Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.
Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.
Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.
Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.
Например, уравнения и равносильны. Их корни совпадают: или
Замена переменной – ключ к решению многих задач.
Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.
Сделаем замену Тогда
С новой переменной уравнение стало проще:
Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:
Корни этого уравнения: или
Вернемся к переменной
Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.
У этого уравнения два корня: или Это ответ.
Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.
Посмотрим на уравнение внимательно.
На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки
Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:
Обычное квадратное уравнение. Замечательно!
Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что
Дальше – еще интереснее.
3. Решите уравнение
Получили квадратное уравнение:
Следующее уравнение решим с помощью группировки слагаемых.
4. Решите уравнение
Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:
Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Записывается это так:
Такой знак означает «или».
Запись читается как « или или ».
Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.
5. Решите уравнение
Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.
Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.
Выпишем целые делители числа 24:
1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24
Подставляя их по очереди в уравнение, при получаем верное равенство:
Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:
Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!
6. Решите уравнение
7. Решите уравнение
Такое уравнение называется симметрическим.
Решение уравнений четвертой степени
Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.
Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.
Решение двучленного уравнения четвертой степени
Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:
Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.
Решение
Для начала проведем разложение многочлена 4 x 4 + 1 на множители:
Теперь найдем корни квадратных трехчленов.
Мы получили четыре комплексных корня.
Решение возвратного уравнения четвертой степени
Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0
A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0
Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.
Решение
Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x 2 :
2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0
2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0
Решим полученное квадратное уравнение:
Решим первое уравнение:
Решим второе уравнение:
Решение биквадратного уравнения
Решение
Решение
Используем метод замены y = x 2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:
Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями
Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».
Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари
Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.
Решение