Как решать сумму дробей
Сложение дробей: теория и практика
Понятие дроби
Дробь — одна из форм записи частного чисел a и b, представленная в виде a/b. Существует два формата записи:
Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между ними означает деление.
Дроби бывают двух видов:
Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 − 0,2)/15.
Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x − y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.
Неправильной называют такую дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1/4.
Основные свойства дробей
Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.
Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Онлайн-школа Skysmart приглашает детей и подростков на курсы по математике — за интересными задачами, новыми прикладными знаниями и хорошими оценками!
Как плюсовать дроби
Сложение — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число. Оно содержит в себе сумму заданных чисел.
Свойства сложения
Давайте рассмотрим несколько вариантов сложения обыкновенных дробей.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы получить сумму двух дробей с равными знаменателями, нужно сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.
Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь.
Сложение дробей с разными знаменателями
Как складывать дроби с разными знаменателями — для этого нужно найти наименьший общий знаменатель (далее — НОЗ), а затем воспользоваться предыдущим правилом. Вот, что делать:
1. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей (далее — НОК) для определения единого делителя.
Для этого записываем в столбик числа, которые в произведении дают значения знаменателей складываемых дробей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (15, 18) = 3 × 2 × 3 × 5 = 90
2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:
Полученные числа записываем справа сверху над числителем.
3. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.
4. Проверим полученный результат:
Еще раз ход решения одной строкой:
Сложение смешанных чисел
Сложение смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:
1. Сложить целые части.
2. Сложить дробные части.
Если знаменатели разные, воспользуемся знаниями из предыдущего примера и приведем к общему.
3. Суммируем полученные результаты.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.
Прибавление и вычитание дробей — смежные темы: принципы и закономерности очень похожи. Чтобы закрепить знания, тренируйтесь решать примеры на сложение дробей как можно чаще.
Сложение и вычитание дробей
Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.
Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:
Чтобы с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
Чтобы с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.
Задача. Найдите значение выражения:
Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:
Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.
Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.
Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.
Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!
Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.
Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:
Разберем все это на конкретных примерах:
Задача. Найдите значение выражения:
В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:
Что делать, если знаменатели разные
Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.
Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю», поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:
Задача. Найдите значение выражения:
В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.
Что делать, если у дроби есть целая часть
Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.
Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:
Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:
Задача. Найдите значение выражения:
Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:
Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.
Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.
Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.
Резюме: общая схема вычислений
В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:
Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.
Сложение дробей
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, надо сложить их числители и результат записать в числитель, а знаменатель оставить без изменения.
Если в результате сложения получается дробь, числитель и знаменатель которой можно сократить, то для конечного результата выполняем и сокращение дроби.
Сложение дробей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Решение. Складываются дроби с одинаковым знаменателем, поэтому просто складываем числитель, а знаменатель оставляем исходный:
Сложение дробей с разными знаменателями
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, вначале надо привести их к общему знаменателю, а далее складывать как дроби с общим знаменателем.
Решение. Так как дроби с разными знаменателями, то вначале приведем их к наименьшему общему знаменателю. Для этого найдем НОК чисел 3 и 8:
Дополнительные множители к каждой из дробей соответственно:
Замечание. После первого знака равенства справа вверху у каждой дроби указан дополнительный множитель к ней.
Сложение смешанных дробей
Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно найти сумму целых частей и отдельно сумму дробных частей.
Задание. Вычислить сумму дробей 3$\frac<2><5>$ и 4$\frac<7><10>$
Решение. В данном случае складываем отдельно целые и дробные части:
Так как знаменатели дробных частей разные, то приводим дроби к общему знаменателю, который равен 10, так как НОК знаменателей 5 и 10. Соответственно дополнительные множители, как частные общего знаменателя и знаменателей дробей, равны 2 и 1:
Так как дробная часть представляет собой неправильную дробь, то выделяем целую часть:
Математика. 6 класс
Конспект урока
Сложение и вычитание дробей
Перечень рассматриваемых вопросов:
Сумма дробей с одинаковыми положительными знаменателями есть дробь с тем же знаменателем и числителем, равным сумме числителей.
Разностью двух дробей называют такую дробь, которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое.
Наименьший общий положительный знаменатель – это наименьшее положительное число, кратное знаменателям данных дробей.
Наименьшее общее кратное двух чисел – наименьшее натуральное число, которое делится на заданные числа без остатка.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
На прошлых уроках мы с вами рассматривали, как выполняют сложение и вычитание дробей любого знака. Сегодня вспомним и закрепим эти правила.
Вспомним основные правила сложения и вычитания дробей любого знака.
Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить две дроби с одинаковыми положительными знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
Правило сложения дробей с разными знаменателями
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему положительному знаменателю и сложить полученные дроби.
Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы вычесть две дроби с одинаковым положительными знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.
Правило вычитания дробей с разными знаменателями
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями, надо привести их к общему положительному знаменателю и выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Разность дробей a и b равна сумме уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому.
Дроби можно складывать и вычитать по тем же правилам, что и целые числа, то есть сначала определять знак результата, потом выполнять действия с модулями.
Иногда сложение и вычитание дробей выполняется проще, если привести их к наименьшему общему положительному знаменателю.
Какую часть пути прошли туристы за три дня?
Найдём, какую часть пути туристы прошли в третий день.
Найдём, какую часть пути туристы прошли за три дня.
Для этого сложим все части.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Разместите нужные подписи под изображениями.
Сложение дробей с разными знаками и разными знаменателями.
Сложение отрицательных дробей с разными знаменателями
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Для ответа на вопрос задания вспомним действия с рациональными числами и внимательно посмотрим на знаки между предложенными дробями.
№ 2. Вставьте в текст нужные слова.
Чтобы сложить две дроби с разными …, надо привести их к общему положительному … и … полученные дроби.
Варианты слов для вставки:
Для ответа на вопрос задания обратимся к теоретическому материалу урока.
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему положительному знаменателю и сложить полученные дроби.
Математика. 6 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Сумма дробей с одинаковыми положительными знаменателями есть дробь с тем же знаменателем и суммой их числителей.
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, необходимо сначала привести их к общему положительному знаменателю, а потом сложить числители получившихся дробей.
Сумма противоположных дробей равна нулю.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Продолжаем изучать тему «Рациональные числа». Сегодня узнаем правила, с помощью которых мы будем складывать дроби любого знака.
Сумма дробей с одинаковыми положительными знаменателями есть дробь с тем же знаменателем и суммой их числителей.
Правила сложения рациональных чисел, записанных в виде дробей.
Если требуется, результат сокращаем и преобразовываем в смешанную дробь.
Выполните сложение рациональных чисел, записанных в виде дробей с одинаковыми знаменателями.
Так как знаменатели у дробей одинаковые, записываем знаменатель тот же. Числители складываем по правилу сложения целых чисел с разными знаками. Результат сокращаем на два.
Выполните сложение рациональных чисел, записанных в виде дробей с одинаковыми знаменателями.
Так как знаменатели у дробей одинаковые, записываем знаменатель тот же. Числители складываем по правилу сложения целых отрицательных чисел.
Сложение рациональных чисел, записанных в виде дробей с разными знаменателями.
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями необходимо сначала привести их к общему положительному знаменателю, а потом сложить их числители.
Алгоритм действия при сложении рациональных чисел, записанных в виде дробей с разными знаменателями:
найти общий положительный знаменатель;
найти сумму дробей по правилам сложения рациональных чисел, записанных в виде дробей с одинаковыми знаменателями.
Допустим, у нас есть две дроби с разными знаменателями. Необходимо, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Используем основное свойство дроби.
Дробь не изменится, если её числитель и знаменатель умножить на одно и то же число.
Значит, если правильно подобрать множители, то знаменатели уравняются. Этот процесс называется приведением к общему знаменателю. А числа, «выравнивающие» знаменатели, называются дополнительными множителями.
Рассмотрим способы нахождения чисел, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными.
Самый простой способ: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, вторую — на знаменатель первой дроби. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей.
При этом способе нахождения общего знаменателя могут получиться большие числа.
Этот способ используется в случае, если знаменатели дробей – взаимно простые числа.
Метод общих делителей
Этот приём помогает сократить вычисления.
Метод заключается в следующем:
если больший знаменатель делится на меньший, то число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем; дробь с большим знаменателем остаётся прежней.
Метод наименьшего общего кратного
Наименьший общий положительный знаменатель – это наименьшее положительное число кратное знаменателям данных дробей.
Алгоритм приведения дробей к наименьшему общему положительному знаменателю:
Найдём сумму дробей
Сложение противоположных рациональных чисел
Правило сложения противоположных рациональных чисел:
результатом сложения противоположных рациональных чисел будет ноль.
Выполним сложение дробей.
Найдём, сколько Кощей израсходовал сам за второй век. 
Дроби с разными знаменателями. Общий знаменатель 10, тогда дополнительный множитель к первой дроби 2. Перемножим и получим:
Перемножим и получим:
Общий знаменатель 8. Дополнительный множитель к первой дроби 4.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Разместите нужные подписи под изображениями.
Какие действия изображены?
сложение дробей с нулём
сложение дробей с разными знаменателями
сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Для выполнения задания обратимся к теоретическому материалу урока.
№ 2. Вставьте в текст нужные слова.
Сумма … дробей равна нулю.
Варианты слов для вставки:
положительных и отрицательных
Для выполнения задания обратимся к теоретическому материалу урока.
Сумма противоположных дробей равна нулю.