Первое уравнение совокупности является квадратным и имеет решения, когда \(D=4(1+2\pi n)\geqslant 0 \Rightarrow n=0;1;2;\dots\) Тогда \(x=-1\pm \sqrt<1+2\pi n>, \ n=0;1;2;\dots\)
Второе уравнение имеет решения, когда \(2\pi k\geqslant 0 \Rightarrow k=0;1;2;\dots\) Тогда \(x=\pm\sqrt<2\pi k>, \ k=0;1;2;\dots\)
Эти две серии корней пересекаются по решению \(x=0\) (при \(n=k=0\) ), поэтому из одной серии необходимо убрать это решение, например, из второй. Тогда \(x=\pm \sqrt<2\pi k>, \ k=1;2;\dots\)
a) Решите уравнение
а) Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([0;\pi].\)
а) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла: \[\left[\begin\begin &2\cos^2x+11\cos x+5=0\\[1ex] &\log_<18>(\sin x)=0\end\end\right.\quad\Leftrightarrow\quad \begin \left[\begin\begin &2\cos^2x+11\cos x+5=0\\[1ex] &\sin x=18^0\end\end\right.\\ \sin x>0\end\] Назовем \(\sin x>0\) ОДЗ.
2) Рассмотрим второе уравнение: \(\sin x=1\) (подходит под ОДЗ). Решением будут \[x=\dfrac<\pi>2+2\pi k, k\in\mathbb\]
Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:
Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Дроби бывают двух видов:
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.
Основные свойства дробей
Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.
Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:
Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.
Линейное уравнение выглядит так
ах + b = 0, где a и b — действительные числа.
Что поможет в решении:
Понятие дробного уравнения
Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:
Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.
Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:
На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.
Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.
Как решать уравнения с дробями
1. Метод пропорции
Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.
Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:
В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.
После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.
2. Метод избавления от дробей
Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.
В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:
Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!
Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.
Что еще важно учитывать при решении
Универсальный алгоритм решения
Определить область допустимых значений.
Найти общий знаменатель.
Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.
Решить полученное уравнение.
Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.
Записать ответ, который прошел проверку.
Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.
Примеры решения дробных уравнений
Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.
Проверим, являются ли найденные значения переменной ответами исходного уравнения.
Однако, данные способы решения всё-таки отнимают некоторое время, что при решении задач Единого Государственного Экзамена (ЕГЭ) может быть довольно важным. Следует отметить, что задачи подобного типа встречаются, как правило, в части B, то есть представляют из себя задачи с кратким ответом. Стало быть, подробное решение задачи не требуется. Отсюда возникает ещё один способ – «угадать» решение.
3 способ(Использование монотонности)
Использование монотонности функций
Как было показано в предыдущем примере, уравнение вида будет иметь не более одного решения, если левая часть представляет из себя монотонно возрастающую функцию, а правая – монотонно убывающую. С известными изменениями этот приём может быть перенесён и на неравенства.
Задача 2 (Тренировочная работа в форме ЕГЭ №1, B3)
1 способ (Равносильные преобразования)
Аналогично примеру 1.
3 способ (Использование монотонности)
В рассмотренном выше примере видно, что «метод угадывания» значительно сокращает временные затраты на решение. Кроме того, он, по существу, включает в себя метод проверки (ведь угаданный корень необходимо подставить в уравнение). Ну и немаловажно отметить, что, как указано в инструкции по выполнению работы ЕГЭ: «Ответом в заданиях B1-B11 является целое число или число, записанное в виде десятичной дроби». Следовательно, искомый ответ надо искать среди целых чисел, ну а, учитывая, что в приведённом примере участвовал логарифм по основанию 6 – ответ становится очевиден.
Задача 3 (Тренировочная работа в форме ЕГЭ №1, B3)
Задача 4 (Диагностическая работа в форме ЕГЭ № 3, B3)
Задача 5 (Диагностическая работа в форме ЕГЭ № 3, B3)
Метод оценок (мажорант)
Иногда уравнение (неравенство) вида устроено так, что левая и правая части представляют из себя ограниченные функции. В этом случае можно (а иногда и единственно возможно) применить метод «оценивания» правой и левой частей. Особенно этот метод полезен при решении так называемых «смешанных» уравнений и неравенств. Проиллюстрируем это на примере.
Задача 6 (МГУ, факультет наук о материалах, 2003).
При решении подобных задач особенно стоит отметить выделение квадрата двучлена в одной или в обеих частях уравнения (неравенства).
Задача 7 (диагностическая работа в форме ЕГЭ № 2, B7)
Задача 8 (диагностическая работа в форме ЕГЭ № 2, B7)
Задача 9 (Диагностическая работа для 10-ых классов в форме ЕГЭ, B7)
Задача 10 (Диагностическая работа для 10-ых классов в форме ЕГЭ, B7)
Задача 11 (Государственная Академия Управления)
Задача 12 (Диагностическая работа в форме ЕГЭ № 3, B7)
Снова поможет выделение полного квадрата, на этот раз – в показателе степени.
Задача 13 (Диагностическая работа в форме ЕГЭ № 3, B7)
Задача 14 (МГУ, химический факультет, 2003)
Условие равенства произведения или дроби нулю
При решении некоторых задач можно использовать и широко известное утверждение: «Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл», с соответствующими изменениями это верно и для равенства дроби нулю.
Задача 15 (Тренировочная работа в форме ЕГЭ № 5, B3)
Тут следует избегать одной из наиболее типичных ошибок – сокращение на общий множитель.
Задача 16 (Тренировочная работа в форме ЕГЭ № 5, B3)
5. Графический метод
Для решения некоторых уравнений (и неравенств) полезно привлекать графические иллюстрации и соображения
Задача 17 (МГУ, ВМиК, устный экзамен, 2001)
Функция возрастает на
Графический метод очень полезен также при решении задач с параметрами.
Задача 18 (МГУ, физический)
При каких значениях параметра уравнение имеет ровно два решения?
Использование области определения
Иногда полезно найти область определения уравнения – если «повезёт», то, может быть, она будет состоять из конечного множества точек, среди которых можно отыскать ответ просто проверкой – подставив в исходное уравнение.
Найдём область определения уравнения (или, как часто говорят – ОДЗ – область допустимых значений переменных, входящих в уравнение)
Арифметический квадратный корень определен для неотрицательных подкоренных выражений, следовательно:
Специальные методы решения
Сравнительно нечасто, но встречаются уравнения, решаемые некоторыми «особыми» способами, например:
а) Тригонометрическая замена
Конечно, в ЕГЭ подобным задачам будут соответствовать задачи уровня С.
Задача 20 (МГУ, мех-мат, 2001)
Таким образом, функция является возрастающей, каждое свое значение принимает ровно один раз. А наше уравнение выглядит как
Задача 21 (2 заочный конкурс учителей математики)
В первом случае получим
Во втором случае получим
Задача 22 (МГУ, биологический, 1985)
В заключение стоит отметить, что большинство приведённых выше приёмов являются вполне «законными» математическим методами, но в условиях жесткого временного контроля при решении задач Единого Государственного Экзамена (по мнению составителей, на решение большинства задач группы B необходимо тратить не более 2,5 – 3 минут) при подготовке стоит большее внимание уделять методам «угадывания», что с одной стороны, конечно, наносит вред стройности построения курса алгебры и начал анализа в средней школе, а с другой – развивает математическое чутьё и интуицию, помогает учащимся «прочувствовать» задачи.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:
Ответ: а) б)
Это синус вначале нужно писать
Нет. Нужно внимательно читать решение задачи, и следить за смыслом, а не бездумно механически действовать по заученным формулам.
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Преобразуем исходное уравнение:
б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа:
Ответ : а) б)
если же tgx=1,то там рассматриваются два корня: x=п/4+2пn x=5п/4+2пn
и как раз через эти два корня я нашла корни,принадлежащие промежутку,но почему в ответе под а у вас одно решение?
эти две точки можно объединить, что у нас и сделано
почему при решении было выполнено деление на 3^cos(x), ведь тогда теряется корень 3^cos(x)=0?
такого корня нет, поэтому он не теряется
Короче говоря. как мне кажется, это самая не разобранная тема. О ней вообще нет инфы в должном обьеме. Пожалуйста, обьсните в кратце, когда МОЖНО, а когда НЕЛЬЗЯ.
p.s. я понял, что МОЖНО, вроде как, когда не происходит изменение ОДЗ, но опять же, а когда оно проиходит?
Думаю, мне не одному этот вопрос требуется.
Подробный ответ ЗДЕСЬ невозможен. Лучше задать его, нажав ссылку «Помощь по заданию».
Если кратко, то правило простое: НЕЛЬЗЯ делить на нуль. На положительные и отрицательные числа делить можно, соблюдая правила.
Число положительно при любом значении , поэтому на него можно делить.
В уравнении , если Вы поделите на , то потеряете корень . Поэтому делить на нельзя.
Выход может быть таким: рассмотрите два случая
1. , тогда верное равенство. Значит − корень.
2. , тогда и на него можно поделить. Получим .
Ответ:
А вот уравнение можно делить на . Потому что по ОДЗ , а значит на ОДЗ
б) 
б) 
положительно при любом значении 
, поэтому на него можно делить.
, если Вы поделите на 
, то потеряете корень 
. Поэтому делить на 
верное равенство. Значит 
, тогда 
и на него можно поделить. Получим 
.
можно делить на 
. Потому что по ОДЗ 
, а значит на ОДЗ 