Как решать сложные интегралы

02.10.202319.08.2023 admin 0 Comments

Интегрирование корней (иррациональных функций).
Примеры решений

Вот и пробил час интегралов от корней, они вас заждались! С моей точки зрения интегрирование иррациональных функций следует изучать уже при некоторых знаниях и навыках решения неопределенного интеграла, поскольку интегралы от корней, во-первых, встречаются реже, чем другие типы интегралов, а во-вторых, некоторые из них – самые настоящие крепкие орешки. Таким образом, если Вы чайник, и за плечами всего десяток прорешанных интегралов, да и с методом замены переменной в неопределенном интеграле не очень, то лучше начать со статьи Неопределенный интеграл. Примеры решений. Хотя, не пугаемся, не разбегаемся – простейшие примеры с квадратными корнями, думаю, будут понятны широкому кругу студентов. Весь материал я постараюсь изложить максимально подробно и максимально просто.

На уроке мы разберем простейшие неопределенные интегралы от иррациональных функций, чуть более громоздкие (с разными корнями), и закончится повествование биномиальными интегралами, кои уже являются немного дебрями интегралов, где преподаватель-волк частенько кушает зайцев.

Итак, прошу любить и жаловать первый параграф

Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения

Вспоминаем счастливые школьные годы. Пыонеры на уроках математики, приступая к изучению корней, в первую очередь знакомятся с квадратным корнем. Мы пойдем тем же путем.

Найти неопределенный интеграл

Анализируя подынтегральную функцию, приходишь к печальному выводу, что она совсем не напоминает табличные интегралы. Вот если бы всё это добро находилось в числителе – было бы просто. Или бы корня внизу не было. Или многочлена. Никакие методы интегрирования дробей тоже не помогают. Что делать?

Основной приём решения иррациональных интегралов – это замена переменной, которая избавит нас от ВСЕХ корней в подынтегральной функции.

Отмечу, что эта замена немного своеобразная, ее техническая реализация отличается от «классического» способа замены, который рассмотрен на уроке Метод замены в неопределенном интеграле.

В данном примере нужно провести замену , то есть, вместо «икса» под корнем у нас окажется . Почему замена именно такая? Потому что , и в результате замены корень пропадёт.

Если бы в подынтегральной функции вместо квадратного корня у нас находился , то мы бы провели замену . Если бы там был – то и так далее.

Хорошо, у нас превратится в. Что произойдет с многочленом ? Сложностей нет: если , то .

Осталось выяснить, во что превратится дифференциал . Делается это так:

Берем нашу замену и навешиваем дифференциалы на обе части:

(я распишу максимально подробно)

Оформление решения должно выглядеть примерно так:

Проведем замену:

(1) Проводим подстановку после замены (как, что и куда, уже рассмотрено).

(2) Выносим константу за пределы интеграла. Числитель и знаменатель сокращаем на .

(3) Получившийся интеграл является табличным, готовим его для интегрирования, выделяя квадрат

(4) Интегрируем по таблице, используя формулу .

(5) Проводим обратную замену. Как это делается? Вспоминаем, от чего плясали: если , то .

Внимание! Для изучения дальнейших примеров необходимо хорошо проработать первый параграф урока Интегрирование некоторых дробей.

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Как-то так получилось, что в примерах 1, 2 «голый» числитель с одиноким дифференциалом . Что же. Исправим ситуацию.

Найти неопределенный интеграл

Предварительный анализ подынтегральной функции опять показывает, что лёгкого пути нет. А поэтому нужно избавляться от корня.

Проведем замену:
За обозначаем ВСЁ выражение под корнем. Замена из предыдущих примеров здесь не годится (точнее, сделать-то её можно, но это не избавит нас от корня).

Навешиваем дифференциалы на обе части:

С числителем разобрались. Что делать с в знаменателе?
Берем нашу замену и выражаем из неё:
Если , то

(1) Проводим подстановку в соответствии с выполненной заменой.
(2) Причесываем числитель. Константу здесь я предпочел не выносить за знак интеграла (можно делать и так, ошибкой не будет)

(3) Раскладываем числитель в сумму. Еще раз настоятельно рекомендую ознакомиться с первым параграфом урока Интегрирование некоторых дробей. Канители с разложением числителя в сумму в иррациональных интегралах будет предостаточно, очень важно отработать это прием.

(4) Почленно делим числитель на знаменатель.

(5) Используем свойства линейности неопределенного интеграла. Во втором интеграле выделяем квадрат для последующего интегрирования по таблице.

(6) Интегрируем по таблице. Первый интеграл совсем простой, во втором используем табличную формулу высокого логарифма .

(7) Проводим обратную замену. Если мы проводили замену , то, обратно:

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения, если вы невнимательно проработали предыдущие примеры, то допустите ошибку! Полное решение и ответ в конце урока.

Принципиально так же решаются интегралы с несколькими одинаковыми корнями, например , и т.д. А что делать, если в подынтегральной функции корни разные?

Найти неопределенный интеграл

Когда даны разные корни удобно придерживаться следующей схемы решения. Сначала выписываем на черновике подынтегральную функцию, при этом все корни представляем в виде : . Нас будут интересовать знаменатели степеней:

Записываем эти знаменатели: 2, 3, 3.
Теперь нужно найти наименьшее общее кратное чисел 2, 3, 3 – такое число, чтобы оно делилось и на 2 и на 3 (в данном случае), кроме того, это число должно быть как можно меньше.

Очевидно, что наименьшим общим кратным является число 6. Оно делится и на 2 и на 3, кроме того, меньше шестерки ничего не придумать.

Как многие уже догадались, замена в рассматриваемом интеграле будет следующей:

Оформляем решение:

Проведем замену:

(1) Производим подстановку.

(2) Избавляемся от корней. Выносим константу за знак интеграла. Сокращаем числитель и знаменатель на .

(3) Сокращаем числитель и знаменатель еще на .

(4) Раскладываем числитель в сумму (как это сделать, уже неоднократно упоминалось).

(5) Почленно делим числитель на знаменатель.

(6) Интегрируем по таблице. При этом константу я снова «прилепил» к каждому из трех слагаемых (можно этого и не делать, момент несущественный).

(7) Проводим обратную замену. Если , то, обратно: . В ходе обратной замены некоторые корни лучше сразу сократить (обычно это делается устно). В рассмотренном примере сокращение корней встретилось в первом слагаемом:

Как видите, особых сложностей нет, несмотря на то, что сначала интеграл показался трудным и страшным.

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения.

Интегрирование биномиальных интегралов

Так называемый биномиальный интеграл имеет следующий вид: . Такой интеграл берётся в трёх случаях.

1) Случай первый. Самый лёгкий.
Если степень – целое число.

Например:

Представим интеграл в стандартном виде (это лучше делать на черновике):

Мы видим, что степень – целая, а, значит, действительно имеет место первый случай. На самом деле биномиальный интеграл первого типа решается практически так же, как интегралы в примерах 5, 6, поэтому приводить почти такие же решения особого смысла нет – я просто покажу, какую замену здесь нужно провести.
Смотрим на знаменатели дробей:

Записываем знаменатели: 2, 5. Находим наименьшее общее кратное этих чисел. Очевидно, это 10: оно делится и на 2 и на 5, кроме того – десятка самая маленькая в этом смысле.
После замены все корни гарантировано пропадут. Повторюсь, примеров для первого случая не будет, так как они очень похожи на недавно разобранные интегралы.

2) Случай второй

Если – целое число, то нужно провести замену в виде , где – знаменатель дроби .

Спокойствие, только спокойствие, сейчас во всём разберемся.

Найти неопределенный интеграл

Представим интеграл в стандартном виде :
. Вообще говоря, формально правильнее было записать , но перестановка слагаемых в скобках не играет никакой роли.

Выписываем степени:
, ,
Сразу проверяем, не относится ли наш интеграл к первому случаю?
– целое? Нет.
Проверяем второй случай:
– целое, значит у нас второй случай
Согласно правилу для второго случая, нужно провести замену в виде , где – знаменатель дроби . В рассматриваемом примере , и знаменатель этой дроби равен «двойке». Таким образом, чтобы гарантировано избавиться от корня, используем конструкцию .

Оформляем решение:

Проведем замену в виде . Следует отметить, что фактически здесь мы меняем корень: (т.е. «исходная» замена именно такова).
Теперь нужно выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения
Берем нашу замену и навешиваем дифференциалы на обе части:

Но вот, незадача, у нас , а нам нужно выразить .
Умножаем обе части на :

Таким образом: . Уже лучше, но хотелось бы выразить только через , а в правой части – «икс» в квадрате внизу. Что делать? Вспоминаем нашу замену и выражаем из неё нужный нам .
Окончательно: . Головоломно, но, увы, другие алгоритмы еще запутаннее.

Собственно, всё готово, продолжаем решение:

(1) Проводим подстановку согласно замене.

(2) Записываем компактно числитель.

(3) Раскладываем знаменатель в сумму.

(4) Почленно делим числитель на знаменатель.

(5) Интегрируем по таблице.

(6) Проводим обратную замену: если , то

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

3) Случай третий. Самый сложный

Если – целое число, то нужно провести замену в виде , где – знаменатель дроби .

Найти неопределенный интеграл

Представим интеграл в стандартном виде :
.

Выписываем степени и коэффициенты:
, , , ,

1) Не относится ли наш интеграл к первому случаю?
– целое? Нет.

2) Проверяем второй случай:
– целое? Нет.

3) – целое! Значит, у нас третий случай.

Согласно правилу для третьего случая, необходимо провести замену в виде , где – знаменатель дроби . В рассматриваемом примере , и знаменатель этой дроби равен опять же «двойке». Коэффициенты (будьте внимательны) ,

Таким образом, чтобы гарантировано избавиться от корня, нужно провести замену в виде .

Проведем замену в виде .

Разбираемся с корнем. Это труднее, чем в предыдущих случаях.
Сначала из нашей «заготовки» нужно выразить «икс квадрат»:

Теперь подставляем под корень:
, обращаю ваше внимание, что вверху после извлечения корня модуль при «тэ» не нужен (не вдаваясь в подробности, это особенность рассматриваемых задач).

На втором этапе выясняем, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения . Берем нашу «заготовку» и навешиваем дифференциалы на обе части:

Опять проблема, в правой части у нас есть «икс», а нам нужно всё выразить через «тэ».
Берем ранее найденное выражение и выражаем
Окончательно:

В итоге мы выразили через «тэ» и и , и всё готово для продолжения решения:

(1) Проводим подстановку согласно замене.

(2) Упрощаем выражение.

(3) Меняем знак в знаменателе и выносим минус за пределы интеграла (можно было не делать, но так удобнее).

(4) Проводим обратную замену. В третьем случае биномиального интеграла это тоже труднее. Если изначальная замена была в виде , то .

(5) Избавляемся от четырехэтажности в логарифме.

Найти неопределенный интеграл

Да что такое, опять числитель голый… Честное слово, не нарочно получилось =)

Это пример для самостоятельного решения. Подсказка: здесь
Полное решение и ответ только для выживших студентов.

Что делать, если биномиальный интеграл не подходит ни под один из рассмотренных трех случаев? Это грустный четвертый случай. Такой интеграл является неберущимся.

Почти всё рассмотрено. Есть другие разновидности интегралов с корнями, например, когда корень является аргументом какой-либо функции. Или под корнем находится дробь. Найти такие примеры можно на странице Сложные интегралы.

Пример 2: Решение:

Проведем замену:

Пример 4: Решение:

Проведем замену: . Навешиваем дифференциалы на обе части:

Вот почему дифференциалы нужно именно НАВЕШИВАТЬ на обе части и добросовестно раскрывать эти дифференциалы. Немало чайников здесь формально напишет и допустит ошибку.

Пример 6: Решение:

Замена:

Примечание: на самом деле данное решение не совсем рационально. Перед тем, как раскладывать числитель в сумму, лучше было поменять у знаменателя знак и сразу вынести минус за пределы интеграла: – в таком виде подбирать числитель значительно проще.

Пример 8: Решение:

, , ,
1) – целое? Нет.
2) – целое, значит у нас второй случай.
Проведём замену в виде , фактически меняем корень: .

Если , то
Окончательно: