Как решать разность множеств

Пересечение, объединение и разность множеств

Пересечение множеств

Пересечением множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно как в множество A, так и в множество B:

Объединение множеств

Объединением – множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств, A или B:

Универсум и отрицание

Универсум (универсальное множество) – множество, включающее в себя все множества, рассматриваемые в данной задаче.

В литературе универсум обозначают U.

На диаграммах Эйлера универсум изображают как множество точек прямоугольника, в котором лежат остальные множества:

При рассмотрении целочисленных задач, универсум – это множество целых чисел.

При построении двумерных графиков, универсум – это множество всех точек координатной плоскости.

При решении вероятностных задач, универсум – это множество всех возможных исходов цепочек событий.

Свойства операций пересечения и объединения

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$

Взаимодействие с отрицанием, пустым множеством и универсумом

$A \cap \varnothing = \varnothing$

$A \cup \varnothing = A$

Разность множеств

Разностью двух множеств A и B называют множество, в которое входят все элементы из множества A, не принадлежащие множеству B:

На диаграммах Эйлера разности для пересекающихся множеств выглядят так:

Формулы включений и исключений

Рассмотрим два конечных пересекающихся множества A и B.

Сумма n(A)и n(B) даст нам больше, чем общее количество, потому что мы два раза посчитаем то, что попадает в пересечение. Значит, если отнять одно пересечение, получится как раз то, что ищем:

$$n(A \cup B) = n(A)+ n(B)-n(A \cap B)$$

Выведем аналогичную формулу для трёх пересекающихся конечных множеств.

Примеры

Пример 1. Найдите пересечение данных множеств:

Источник

Операции над множествами

Содержание:

Множества можно определять и при помощи операций над другими множествами.

Равенство множеств. Множества А и В считаются разными (совпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств обозначают так: Если множества не равны, то пишут:

Доказательство равенства множеств состоит из двух частей:

1) для любого элемента множества А (формальная запись — ) доказывается, что он принадлежит и множеству В. Формально это записывается так:

2) для любого элемента В доказывается, что он принадлежит и множеству К. формально это можно записать так:

Отсюда следует, что запись равенства двух множеств «А = В» эквивалентна записи

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Доказать, что множество равно множеству В корней уравнения то есть Для доказательства этого утверждения решим уравнение. Получим: Следовательно,

Затем непосредственной подстановкой убеждаемся, что любое из чисел 0, 2, 3 удовлетворяет уравнению, следовательно:

Только теперь можно записать, что

Объединение (сумма) множеств. Объединением множеств А и В называется такое множество С, каждый элемент которого содержится хотя бь/в одном из множеств А или В. Обозначается:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2.

Если , то

Можно рассматривать объединение п множеств:

при этом в А входят все элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств

Например, множество всех действительных чисел R состоит из множества положительных чисел R\ множества отрицательных чисел R’ и множества , содержащего один элемент — ноль, то есть

Для наглядного представления соотношений между несколькими подмножествами какого-либо универсума часто используются круги Эйлера или диаграммы Венна.

Универсум представляется множеством всех точек некоторого прямоугольника, а его подмножества — соответствующими кругами. Операция объединения и другие операции иллюстрируются кругами Эйлера представленными на рис. 1.1—1.5.

Пересечение (умножение) множеств. Пересечением множеств А и В называется множество D, составленное из общих для множеств А и В элементов. Обозначение: Для множеств из примера 5 имеем:

Можно рассматривать пересечение множеств:

при этом в А входят только, те элементы, которые входят во все множества

Пересечение двух множеств иллюстрируется на рис 1.2.

Пусть есть некоторое множество А. Говорят, что задано разбиение множества А на классы если

Классы — это такие подмножества разбиваемого множества, которые не имеют общих элементов, а их объединение образует исходное множество А. Следовательно, каждый элемент множества А входит в один и только в один класс. Например, разбиение всех студентов одного факультета университета на учебные группы, разбиение книги на страницы, а страницы на абзацы, разбиение уголовного кодекса на статьи и т. п.

Разность двух множеств

Разностью двух множеств называется множество G, содержащее лишь те элементы из А, которые не входят в В. Обозначение: . Отметим, что в А могут находиться не все элементы из вычитаемого множества В (см. рис.1.3). Например,

Если В — подмножество то разность . называется дополнением к В до А. Например, если и то множество — дополнение к В до А. Операция дополнения иллюстрируется на рис. 1.4.

Дополнение к А до универсума U имеет особое обозначение: (см. рис. 1.5).

Пример 3.

Пусть Такое множество называется множеством неотрицательных чисел. Тогда это множество отрицательных чисел.

Перечисляемые ниже свойства операций над множествами справедливы для любых множеств, поэтому их часто называют законами, часть которых имеет специальные наименования.

1. Коммутативный, или переместительный, закон имеет место, как для операции объединения, так и для операции пересечения:

2. Ассоциативный, или сочетательный, закон также имеет место и для операции объединения и для операции пересечения:

Так как порядок выполнения операций несущественен, то скобки в записи опускают. 3. Дистрибутивный, или распределительный, закон:

4. Закон идемпотентности:

5. Закон поглощения:

6. Закон двойственности де Моргана: 7. 8. 9.

10. Если и одновременно 11. 12.

Анализируя свойства 1—13, можно сформулировать принцип двойственности: всякое равенство, тождественно выполняемое в теории множеств, переходит также в тождественно выполняющееся равенство при замене знака объединения на знак пересечения множество универсум на пустое множество и наоборот.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник