Как решать равенства треугольников

Задачи на первый признак равенства треугольников

Рассмотрим конкретные задачи на первый признак равенства треугольников.

1) Дано:

Этот ход сразу позволяет увидеть, что данные треугольники имеют общую сторону AC.

Теперь запишем равные пары элементов.

2) ∠BAC=∠DAC (по условию)

3) AC — общая сторона.

Следовательно, ∆ABC=∆ADC (по двум сторонам и углу между ними, то есть по первому признаку равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

Дано:

Выделим треугольники, равенство которых доказываем, разными цветами.

Определяем те элементы, о равенстве которых известно по условию задачи:

Для равенства треугольников осталось найти третью пару равных элементов. Это — углы AOC и BOD.

Все три пункта первого признака равенства треугольников есть. Следовательно, ∆AOC=∆BOD (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Дано:

Выделяем треугольники ABK и ACF разными цветами.

Далее определяем, равенство каких элементов дано в условии. Записываем доказательство.

Все три пункта первого признака равенства треугольников выполнены.

Следовательно, ∆ABK=∆ACF (по двум сторонам и углу между ними).

Что и следовало доказать.

В следующий раз рассмотрим задачи на второй признак равенства треугольников.

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Решение задач на признаки равенства треугольников

Перечень рассматриваемых вопросов:

Теорема – это утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений в данной системе аксиом.

Стороны треугольника – отрезки, соединяющие вершины треугольника.

Равные треугольники – треугольники, которые можно совместить наложением.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В предыдущих уроках были рассмотрены различные способы определения и доказательства равенства треугольников, такие как: способ наложения, признаки равенства треугольников.

Сегодня мы будем решать задачи на вычисления и доказательство равенства треугольников.

Для успешного понимания материалов урока вспомним, какие треугольники называются равными.

‑ Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. При этом попарно совмещаются вершины, углы и стороны треугольников.

‑ Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам (сторонам и углам) другого треугольника.

Повторим теоремы о равенстве треугольников, так называемые признаки равенства треугольников.

1) Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2) Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3) Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Решим задачи, используя признаки равенства треугольников.

Отрезки AB и CD – диаметры окружности с центром в точке O. Найдите периметр треугольника AOD, если отрезок CB = 13 см, а отрезок AB = 18 см.

окружность с центром O;

1) ∆AOD = ∆OBC (по первому признаку равенства треугольников).

2) Т. к. AO = OB = OC = OD = 18:2 = 9 см (как радиусы окружностей); ∠AOD = ∠COB (т. к. вертикальные углы) → CB = AD = 13 см.

3) P_∆AOD = AO + OD + AD = 9 + 9 +13 = 31 см

В четырёхугольнике ABCD, AB = CD, AD = CB, BE – биссектриса ∠B, DF – биссектриса ∠D.

Докажите, что ∠ABE = ∠ADF, ∆ABE = ∆CDF.

BE – биссектриса ∠B ∆ABС,

DF– биссектриса ∠D ∆CDА

1) ∆ABC = ∆ACD (по третьему признаку равенства треугольников).

2) Т. к. AC – общая сторона, AB = CD, AD = CB (по условию) →∠B = ∠D.

3) По условию BE – биссектриса ∠B ∆ABС, DF– биссектриса ∠D ∆CDА →∠B = ∠CBE +∠ABE = ∠ADF + ∠CDF = ∠D.

При этом ∠CBE = ∠ABE, ∠ADF = ∠CDF→∠B = 2∠ABE = 2∠ADF = ∠D→∠ABE = ∠ADF.

Т. к. AB = CD (по условию), ∠ABE = ∠ADF (доказано), ∠EAB = ∠CDF (т. к. ∆ABC = ∆ACD по третьему признаку равенства треугольников). Что и требовалось доказать.

Материал для углубленного изучения темы.

1) Приложим треугольник ∆ ABC к ∆ А₁В₁С₁, так чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, вершина B с B₁, вершины C и C₁ лежали по разные стороны от прямой A₁B₁.

2) Соединим точки C и C_1, так чтобы получился треугольник CC₁B.

3) Так как BC = B₁C₁, → ∆CC₁B – равнобедренный, по теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника, →∠C = ∠С₁.

4) ∆CC₁A – также равнобедренный (по теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника) → ∠ CС₁A = ∠С₁CA → ∠ACB = ∠AС₁B

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. На рисунке изображены треугольники ABD и BCD. По какому признаку, используя данные рисунка, можно доказать их равенство?

По рисунку видно, что ∠ADB = ∠DBC(углы отмечены двойной линией), ∠ABD = ∠BDC (углы отмечены одной линией), сторона DB – общая, следовательно, ∆ABD = ∆BCD (по второму признаку равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны).

Ответ: используя данные рисунка, можно доказать равенство треугольников, используя второй признак равенства треугольников.

№ 2. На рисунке CD = AB, O – центр окружности. Точки A, B, C, D лежат на окружности. CD = 17 см, CO = 15 см. Найдите периметр ∆AOB.

1) Так как по условию O – центр окружности и так как точки A, B, C, D лежат на окружности, то отрезки OA = OB = OD = OC = 15 см (как радиусы окружности). CD = AB = 17 см (по условию). Периметр ∆AOB – это сумма всех его сторон.

Р_∆AOB = OA + OB + AB = 15 +15 + 17 = 47 см

Источник

Признаки равенства треугольников

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Источник

Как решать равенства треугольников

Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами.

Треугoльник — жесткая фигура. Это свойство используют при строительстве мостовых арок, конструировании подъемных кранов и т.д. Свойства треугольника системно изложены в «Началах» Эвклида. Знак для обозначения треугольника еще в I в. н.э. применил древнегреческий учений Герон, а знак Δ применяется с IV в. н.э.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Равные треугольники

Аксиома существования треугольника, равного данному.
Каким бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Свойства равных треугольников
1. В равных треугольниках соответствующие стороны равны.
2. В равных треугольниках соответствующие углы равны.
3. Периметры равных треугольников равны.
4. Площади равных треугольников равны.
5. Против равных сторон лежат равные углы.
6. Против равных углов лежат равные стороны.

Признаки равенства треугольников

Дополнительные признаки равенства
• Если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника, такие треугольники равны.
• Если два угла и высота,проведенная к стороне, к которой прилегают эти углы, одного треугольника, соответственно равны двум углам и высоте, проведенной к стороне, к которой прилегают эти углы, другого треугольника, то такие треугольники равны.
• Если сторона, высота и медиана, проведенные к стороне одного треугольника, соответственно равны стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне другого треугольника, то эти треугольники равны.
• Если медиана и углы, на которые она делит угол, одного треугольника, соответственно равны медиане и углам,на которые она делит угол, другого треугольника, эти треугольники равны.

Это конспект по теме «Треугoльник. Равенство треугольников». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Геометрия. 7 класс

Решение задач на признаки равенства треугольников

Геометрические термины

Равные треугольники

Геометрические фигуры

Элементы треугольника

Равные треугольники

Необходимо запомнить

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников.

Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

Рассмотрим ещё один случай доказательства третьего признака равенства треугольников.

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

1) Приложим треугольник ∆ ABC к ∆ А₁В₁С₁ так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, вершина B с B₁, вершины C и C₁ лежали по разные стороны от прямой A₁B₁.

2) Соединим точки C и C₁ так, чтобы получился треугольник CC₁B.

3) Так как BC = B₁C₁, → ∆CC₁B – равнобедренный (по теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника) →∠C = ∠С₁.

4) ∆CC₁A – также равнобедренный (по теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника)→ ∠ CС₁A = ∠С₁CA → ∠ACB = ∠AС₁B.

Источник