Как решать пределы с корнями

Примеры решения пределов с корнями с ответами

Простое объяснение принципов решения пределов с корнями и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Основные свойства пределов с корнями

Для нахождения предела функции необходимо подставить в предел вместо Х то значение переменной, к которому стремится Х.

Нужна помощь в написании работы?

Примеры решений пределов с корнями

Задание

Решение

Мы имеем неопределенность вида

Первый шаг – разделить числитель и знаменатель на ”х” в высшей степени. Старшая степень для числителя в данном случае равна двум.
Со знаменателем немного сложнее. Так как у нас корень, обращаем внимание только на самое ”старшее” слагаемое –

Число (4) – это константа, его тоже отбрасываем. Находим корень

Так как числитель и знаменатель оказываются одного порядка роста, предел равен конечному числу, отличному от нуля.

Видим, что функции эквивалентны на бесконечности.

Ответ: 1

Задание

Найти предел с корнем

Решение

в подпредельную функцию:

Домножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к нему –

так как он содержит корень.
Далее, пользуясь формулой разности квадратов

и раскрывая скобки, упрощаем предел. Последний шаг – сокращение функции на

Задание

Решить предел с корнем

Решение

в предел и получаем неопределённость вида

Как и в предыдущих примерах, находим старшую степень для числителя и знаменателя, и выносим её за скобки.

И опять подставляем

Ответ:

Задание

Вычислить предел корня:

Решение

Аналогично предыдущим примерам, подставляем

Находим сопряженное, в данном случае это

Как и в примере №2, пользуясь формулой разности квадратов

и раскрывая скобки, упрощаем предел:

Раскрываем скобки и упрощаем. Затем выносим х за скобки и сокращаем:

Как и в начале, подставляем в предел, получаем:

Ответ:

Задание

Вычислить предел функции

Решение

Если подставить х=1, видно, что и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Получаем неопределенность вида

Как и в предыдущих примерах, первым шагом находим сопряжённое –

и домножаем на него числитель и знаменатель.

Применяем правило разности квадратов

и преобразовываем предел:

Сокращаем числитель и знаменатель на (x-1) и приходим к конечному ответу:

Ответ: 6

Задание

Решение:

Первый шаг – подставить в предел выражение

и убедиться, что выходит неопределённость вида

Шаг второй – раскрываем нашу неопределенность путём умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение, в данном случае –

Далее, пользуясь формулой разности квадратов раскладываем числитель:

Подставляем х=3 в предел и вычисляем:

Ответ:

Задание

Решение

Как и в предыдущих заданиях, подставляем

и убеждаемся, что имеем дело с неопределённостью вида

Порядок действий стандартный. Избавляемся от иррациональности в знаменателе с помощью домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. В данном примере сопряжённое выражение имеет вид –

Перемножаем знаменатель и сокращаем в числителе и знаменателе

Подставляем, как и ранее, х=3 и находим ответ:

Ответ: 17,8

Задание

Определить предел функции

Решение

Смотрим на функцию, подставляем

мы имеем дело с неопределённостью вида:

Начинаем работать с функциями, содержащими корень. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение и упрощаем предел:

После преобразований получаем ответ:

Задание

Решение:

в выражение лимита, подтверждаем догадки, что перед нами неопределённость вида

Как и раньше, первый шаг – избавиться от иррациональности с помощью домножения числителя и знаменателя на соответствующее сопряженное выражение.

Раскрываем скобки и сокращаем выражения на

больше нет и ничего нам не мешает вычислить пример:

Ответ:

Задание

Решение

Оба лимита числителя и знаменателя равны нулю, значит опять неопределённость вида

Находим сопряжённое к числителю и знаменателю число:

Домножаем на полученное выражение числитель и знаменатель, раскрываем скобки и упрощаем:

Источник

Как решать пределы для чайников?

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Внимание «чайникам» 🙂 Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:

Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:

Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:

Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем.

Алгоритм вычисления лимитов

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Источник

Пределы с корнями

Содержание:

Основные свойства корней. Определение корня

Вообще корнем -й степени из числа а называется такое число, -я степень которого равна а.

Число п, означающее, в какой степени находится корень, называется показателем корня.

Корень обозначается знаком (знак радикала, т. е. знак корня). Под горизонтальной чертой его пишут то число, из которого корень отыскивается (подкоренное число), а над отверстием угла ставят показатель корня. Так:

корень кубический из 27 обозначается ;

корень пятой степени из 32 обозначается .

Показатель квадратного корня принято не писать вовсе; например, вместо

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Арифметический корень

Укажем следующие два свойства арифметического корня.

а) Пусть требуется найти арифметический . Такой корень будет 7, так как . Зададимся вопросом, нельзя ли подыскать какое-нибудь другое положительное число х, которое тоже было бы равно Предположим, что такое число существует. Тогда оно должно быть либо меньше 7, либо больше 7. Если допустим, что х 7, то тогда и . Значит, никакое положительное число, ни меньшее 7, ни большее 7, не может равняться . Таким образом, арифметический корень данной степени из данного числа может быть только один.

К другому заключению мы бы пришли, если бы говорили не только о положительном значении корня ; так, ж равен и числу 7, и числу —7 [так как и

б) Возьмём каких-нибудь два неравных положительных числа, например, 49 и 64. Из того, что 49

Меньшему положительному числу соответствует и меньший арифметический корень (той же степени).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Алгебраический корень

Корень называется алгебраическим, если не требуется, чтобы он извлекался из положительного числа и чтобы сам он был положительный. Таким образом, если под выражением разумеется алгебраический корень п-й степени, то это значит, что число а может быть и положительное, и отрицательное и самый корень может быть и положительным, и отрицательным.

Укажем следующие четыре свойства алгебраического корня.

а) Корень нечётной степени из положительного числа есть положительное число.

Так, должен быть числом положительным (он равен 2), так как отрицательное число, возведённое в степень с нечётным показателем, даёт отрицательное число.

б) Корень нечётной степени из отрицательного числа есть отрицательное число.

в) Корень чётной степени из положительного числа имеет два значения, с противоположными знаками и с одинаковой абсолютной величиной.

Так, , потому что ; точно так же , потому что степени равны одному и тому же числу +81.

Двойное значение корня обозначается обыкновенно постановкой двух знаков перед абсолютной величиной корня; так, пишут:

Чтобы в дальнейшем не оговаривать каждый раз, берём ли мы алгебраический или арифметический корень, условимся в следующем: 1) В случае чётной степени под выражением , и т. д. будем всегда подразумевать только арифметический корень. Так, 2) Если мы берём алгебраический корень, то будем ставить перед корнем двойной знак. Так,

г) Корень чётной степени из отрицательного числа не может равняться никакому, ни положительному, ни отрицательному, числу, так как и то и другое после возведения в степень с чётным показателем даёт положительное число, а не отрицательное. Например, не равен ни +3, ни —3 и никакому иному числу.

Корень чётной степени из отрицательного числа принято называть мнимым числом, остальные же числа называются вещественными, или действительными числами.

Извлечение корня из произведения, из степени и из дроби

а) Пусть надо извлечь арифметический квадратный корень из произведения abc. Если бы требовалось произведение возвести в квадрат, то, как мы видели, можно возвести в квадрат каждый сомножитель отдельно. Так как извлечение корня есть действие, обратное возведению в степень, то надо ожидать, что и для извлечения корня из произведения можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно, т. е. что

Чтобы убедиться в верности этого равенства, возведём правую часть его в квадрат (по теореме о степени произведения):

Но согласно определению корня:

Следовательно,

Если же квадрат произведения то это значит, что произведение это равно квадратному корню из абс. Подобно этому:

Значит, чтобы извлечь арифметический корень из произведения, можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно.

б) Легко убедиться проверкой, что следующие равенства верны.

Значит, чтобы извлечь корень из степени, показатель которой делится на показатель корня, можно разделить показатель степени на показатель корня.

в) Верны будут также и следующие равенства:

Значит, чтобы извлечь корень из дроби, можно извлечь его из числителя и знаменателя отдельно.

Напомним, что в этих правилах предполагается, что речь идёт о корнях арифметических.

Примеры с решением

Замечание. Если искомый корень чётной степени и предполагается алгебраическим, то перед найденным результатом надо поставить двойной знак ±. Так:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник