Как решать отрицательные дроби
Отрицательные дроби
Отрицательные дроби — это дроби, числитель или знаменатель которых является отрицательным числом.
Отрицательные дроби могут быть записаны по-разному. Например, рассмотрим два частных:
каждое из них равно отрицательному числу
Каждое из данных частных можно записать в виде дроби, в которой дробная черта заменит знак деления:
| -2 : 7 | = | -2 | и | 2 : (-7) | = | 2 | . |
| 7 | -7 |
Следовательно, при записи отрицательных дробей знак минус можно ставить перед дробью, перед числителем или перед знаменателем:
Сложение и вычитание
Чтобы сложить две отрицательные дроби, надо сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить числители по правилам сложения рациональных чисел.
Приведём дроби к общему знаменателю:
| — | 2 | + (- | 1 | ) = | -8 | + | -5 | . |
| 5 | 4 | 20 | 20 |
Теперь сложим числители дробей по правилам сложения рациональных чисел:
| -8 | + | -5 | = | -8 + (-5) | = | -13 | = | — | 13 | . |
| 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
| — | 2 | + (- | 1 | ) = | -8 | + | -5 | = |
| 5 | 4 | 20 | 20 |
| = | -8 + (-5) | = | -13 | = | — | 13 | . |
| 20 | 20 | 20 |
Для вычисления разности двух отрицательных дробей можно вычитание заменить сложением, взяв уменьшаемое со свои знаком, а вычитаемое с противоположным.
| — | 5 | — (- | 11 | ) = | — | 5 | + (+ | 11 | ) = |
| 12 | 12 | 12 | 12 |
| = | — | 5 | + | 11 | = | -5 + 11 | = | 6 | . |
| 12 | 12 | 12 | 12 |
Сложение и вычитание отрицательных дробей производится по правилам сложения обыкновенных дробей, то есть сначала идёт приведение к общему знаменателю, если это нужно, а затем производятся вычисления.
Умножение и деление
Чтобы найти произведение двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем перемножить дроби по правилу умножения дробей.
| — | 2 | · (- | 4 | ) = | -2 | · | -4 | = | -2 · (-4) | = | 8 | . |
| 3 | 5 | 3 | 5 | 3 · 5 | 15 |
Так как при умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным, то данный пример можно решить сразу, отбросив оба минуса:
| — | 2 | · (- | 4 | ) = | 2 | · | 4 | = | 2 · 4 | = | 8 | . |
| 3 | 5 | 3 | 5 | 3 · 5 | 15 |
При умножении отрицательной дроби на положительную результат будет отрицательным.
| — | 2 | · | 4 | = | — | 2 · 4 | = | — | 8 | . |
| 3 | 5 | 3 · 5 | 15 |
К отрицательным дробям можно применять любые законы умножения. Поэтому предыдущий пример можно переписать так:
| 4 | · (- | 2 | ) = | — | 4 · 2 | = | — | 8 | . |
| 5 | 3 | 5 · 3 | 15 |
То есть при умножении положительной дроби на отрицательную результат будет отрицательным.
Чтобы найти частное двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем произвести вычисления.
| — | 2 | : (- | 4 | ) = | -2 | : | -4 | = |
| 3 | 5 | 3 | 5 |
| = | -2 · 5 | = | -10 | = | 10 | . |
| 3 · (-4) | -12 | 12 |
Знак результата умножения или деления отрицательных дробей можно узнать по правилам знаков целых чисел.
Отрицательные дроби, понятие и правила.
В этой теме разберем новое понятие “Отрицательные дроби”. Дроби, как и любые числа могут быть положительными и отрицательными.
Отрицательные дроби понятие и смысл. Примеры.
Ранее мы изучили тему обыкновенные дроби. Отрицательные дроби отличаются от обыкновенных дробей лишь знаком. Обыкновенные дроби имеют знак “+”. Например:
Все эти дроби можно записать со знаком плюс и смысл дробей не изменится.
Противоположные дроби, правила.
Дроби \(\frac<1><2>\) и \(-\frac<1><2>\) называются противоположными дробями. Дроби или числа, которые отличаются только знаком называются противоположными дробями или числами.
Вывод: если перед дробью поставить знак “+”, то дробь смысл дроби не изменится. Если поставить перед дробью знак “–”, то получим противоположную дробь данной дроби.
Не всегда знак минус пишется перед дробью, иногда минус записывают в числители или знаменателе. Рассмотрим пример:
Отрицательные дроби и нуль.
Нуль является исключением, нуль – противоположен самому себе.
Приведите пример противоположных чисел?
Ответ: \(-\frac<8><5>\) и \(\frac<8><5>\)
Назовите какому числу противоположно число нуль?
Ответ: нуль противоположен сам себе.
Какому числу противоположно положительное число?
Ответ: положительное число противоположно данному отрицательному числу.
Отрицательная дробь противоположна какой дроби?
Ответ: отрицательная дробь противоположна данной положительной дроби.
Урок в 6 классе. Отрицательные дроби
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания.
III. Актуализация опорных знаний.
1. Как называются числа, расположенные в ряду целых чисел:
2. Какие числа называются противоположными?
3. Чему равен модуль положительного числа?
4. Чему равен модуль отрицательного числа?
5. Чему равен модуль нуля?
IV. Объяснение нового материала.
Запишите: 
. Как называются записанные числа?
Ранее изучались обыкновенные дроби – их ещё называют положительными дробями.
Если перед положительной дробью поставить знак «+», то получится то же самое число, т.е. 
; 
; 
.
Если перед положительной дробью поставить знак «–», то получится новое число, которое называют отрицательным дробным числом, или отрицательной дробью. Например: 
; 
; 
.
Определение. Числа, отличающиеся только знаком, называют противоположными .
— противоположные.
Если перед дробью (любого знака) поставить знак «+», то получится то же самое число: 
.
Если перед дробью (любого знака) поставить знак «–», то получится число, противоположное данной дроби: 
.
Определение. Модулем положительной дроби называют саму эту дробь.
.
Определение. Модулем отрицательной дроби называют противоположную ей дробь.
.
Определение. Модуль нуля равен нулю.
.
Определение. Модули противоположных чисел равны.
.
Иногда знак «–» записывают не перед дробью, а в числителе или знаменателе дроби.
1) 
; 2) 
.
Самостоятельно записываем в тетрадь с комментариями.
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
а) 
; е) 
; ж) 
; з) 
.
г) 
; д) 
; е) 
.
г) 
; д) 
; е) 
.
1) 
; 3) 
; 5) 
.
а) 
; в) 
.
д) 
.
VI. Подведение итогов урока.
VII. Домашнее задание. § 3.1 (выучить теорию). № 44 2(д-к), 443(б-д), 445(а-в), 446(а-в).
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
УРОК 8: «Отрицательные числа в дробях»
Краткое описание документа:
Почему этой теме посвящен отдельный видеоурок? Дело в том, что встречая дроби с отрицательными числами, многие ученики часто допускают ошибки, которые, впрочем, легко избежать, если рассмотреть данный метод.
Данный метод, который мы сейчас рассмотрим, основывается на том, чтобы привести дробь к удобному для нас виду, с которым мы уже ничего не напутаем.
Для начала давайте посмотрим на элементарные примеры:
1) Сколько будет «двенадцать делить на минус четыре». Конечно же «минус три».
2) А сколько будет «минус двенадцать разделить на четыре». Тоже «минус три»!
3) А если вот так: «минус. двенадцать делить на четыре»? И здесь также получим «минус три».
Ну а так как эти дроби равны одному и тому же числу, то значит они равны между собой.
А из этой записи мы видим, что совершенно неважно где стоит минус: перед чертой дроби, в числителе или знаменателе! Результат получается одинаковым.
Давайте применим теперь это знание к решению конкретного примера.
Минус одна четвертая плюс пять третьих минус три пятых минус семь вторых.
Первым шагом превратим эту запись в сложение четырех слагаемых. То есть из минусов сделаем плюсы, ведь мы знаем, что «минус а» то же, что и «плюс. минус а».
Ну а теперь эти минусы перед знаками дробей можно убрать в числители. и тогда скобки уже будут не нужны. мы получим сложение четырех дробей с разными знаменателями.
Решить этот пример уже гораздо проще, можно не бояться запутаться в минусах.
Приводим дроби к общему знаменателю. Здесь он будет равен. шестьдесят.
В этом и есть секрет данного метода. И какие бы сложные ни были примеры, применяя данный метод, вы никогда не запутаетесь в знаках.
Ну а здесь нам осталось посчитать числитель. Это будет минус сто шестьдесят один. Минус можно написать перед знаком дроби. Кстати, в ответе всегда лучше именно перед знаком дроби писать минус. Так принято. Ну можно еще выделить целую часть. Это будет. минус две целых сорок одна шестидесятая.
Итак, повторим наш метод:
«В примерах со сложением/вычитанием дробей первым шагом превращаем вычитание в сложение (для этого убираем знак «минус» в скобки). Далее переносим знак «минус» перед дробями в числители и просто выполняем сложение дробей».
В следующем уроке мы рассмотрим очень важные замечания, о которых вам всегда нужно помнить, решая примеры с дробями.
Математика. 6 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Числа, которые отличаются только знаками, называют противоположными.
Из двух противоположных чисел одно всегда положительное, другое – отрицательное.
Число нуль противоположно самому себе.
Модулем отрицательной дроби называют противоположную ей дробь.
Модуль нуля равен нулю.
Модули противоположных чисел равны.
1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Числа, вида:
Если перед ними поставить «+», получим то же самое число.
Если перед положительной дробью поставить знак «–», то получим новое число, которое называется отрицательным дробным числом или отрицательной дробью.
Числа, которые отличаются только знаками, называют противоположными.
Из двух противоположных чисел одно всегда положительное, другое отрицательное.
Число нуль противоположно самому себе.
Запишем символьное обозначение противоположных чисел.
– а – число, противоположное а
Чтобы получить противоположное число, нужно просто поменять его знак на противоположный.
Знак «минус» – символ противоположности.
(– a) – не значит, что a отрицательное, (– a) – значит, что необходимо взять число, противоположное a.
Если перед дробью (с любым знаком) поставить знак «+», получится то же самое число:
Модулем отрицательной дроби называют противоположную ей дробь.
Модуль нуля равен нулю.
Свойства противоположных чисел:
Модули противоположных чисел равны.
Иногда знак «–» записывают не перед дробью, а в числителе или знаменателе дроби.
Иван-царевич проиграл Соловью-разбойнику 3/8 всего золота, что имел с собой в путешествии. Сколько золотых момент он оказался должен, если монет у него было 53? Сколько ему не хватило для полного расчёта?
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Разместите нужные подписи под изображениями.
Какие числа представлены?
целое положительное число
№ 2. Вставьте в текст нужные слова.
Модулем …дроби называют …ей дробь.
Варианты слов для вставки:
Для выполнения задания, обратимся к теоретическому материалу урока.
Модулем отрицательной дроби называют противоположную ей дробь.