Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.
Линейные неравенства — это неравенства вида:
где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.
Типы неравенств
Линейные неравенства: свойства и правила
Вспомним свойства числовых неравенств:
Если же а b и c > d, то а + c > b + d.
Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.
Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и
Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
Если же а > b, n — отрицательное число, то nа
Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.
Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.
Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.
Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.
Правила линейных неравенств
Решение линейных неравенств
Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:
где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.
Равносильные преобразования
Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.
Как решаем:
Метод интервалов
Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.
Метод интервалов заключается в следующем:
Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;
Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;
Как решаем:
В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,
Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.
Определим знаки на промежутках.
Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.
Графический способ
Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.
Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Определение квадратного неравенства
Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.
Квадратное неравенство выглядит так:
Квадратное неравенство можно решить двумя способами:
Решение неравенства графическим методом
При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.
Как дискриминант влияет на корни уравнения:
Решение неравенства методом интервалов
Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.
Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.
Если неравенство со знаком
Плюс или минус: как определить знаки
Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:
если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,
если a 0, последовательность знаков: +, +,
Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.
Неравенство примет вид:
В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.
Отобразим эти данные на чертеже:
2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.
Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.
Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3
Письмо с инструкцией по восстановлению пароля будет отправлено на вашу почту
На этом занятии мы познакомимся с определением линейного неравенства. Рассмотрим свойства, используемые при решении линейных неравенств. Научимся решать линейные неравенства.
Линейным неравенствомназывают неравенства вида aх+ b > 0 или aх+ b 0.
Подставим вместо х значение нуль. Получим 5 > 0. Это верное неравенство. Значит, х=0, является решением неравенства 2х+5>0.
Подставив вместо х значение –2,5, получим 0 > 0. Это неверное неравенство. Следовательно, х= –2,5 не является решением линейного неравенства 2х + 5>0. Подбирая значения х, можно найти еще несколько частных решений.
Найти все решения или доказать, что неравенство не имеет решений, означает решить линейное неравенство.
Неравенства, которые имеют одни и те же решения, называются равносильными.
При решении неравенств используют правила, применяя которые можно получить более простые для решения равносильные неравенства.
Решим неравенство 2х+5>0. И первое правило, которое здесь можно использовать: если член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство.
Далее можно использовать второе правило: если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то жеположительное число, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство.
Разделим обе части неравенства на 2. Получим х > –2,5.
Результатом является положительно-направленный открытый луч.
Открытый, так как наше неравенство строгое, а значит, число –2,5 не включается в числовой промежуток.
Так же, как при решении линейных уравнений, слагаемые с х перенесем влево, а числовые слагаемые – вправо. Не забудем при переносе поменять знаки слагаемых на противоположные. Исходя из первого правила, знак неравенства при этом не меняется.
Получим 3х – 7х ≥ –15 + 3 или –4х ≥ –12.
Далее используем третье правило: если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то жеотрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим равносильное неравенство.
Разделим обе части неравенства на –4.
Покажем решение на оси х.
Результатом является отрицательно-направленный закрытый луч. Закрытый, так как наше неравенство нестрогое, а значит, число 3 включается в числовой промежуток.
Рассмотрим решение более сложного линейного неравенства
Используя второе правило, обе части неравенства умножим на число 15. Число 15 будет общим знаменателем дробей.
Умножим числители на дополнительные множители.
Получим неравенство 5х + 6х – 3 > 30х.
Используя правило один, перенесем слагаемые с х влево, числовые слагаемые – вправо, поменяв знаки при переносе на противоположные.
Покажем решение на оси х.
Результатом является открытый луч, потому что неравенство строгое, а значит, число не включается в числовой промежуток. Это отрицательно-направленный луч.
Решим следующее неравенство
Обе части неравенства умножим на 4.
Получим 5 – 2х ≤ 8х. Перенесем слагаемые с х влево, числовые слагаемые – вправо
–2х – 8х ≤ –5 или –10х ≤–5.
Разделим обе части неравенства на –10. Это число отрицательное, по правилу 3 необходимо поменять знак неравенства на противоположный.
Покажем решение на оси х.
Результатом является закрытый луч, так как неравенство нестрогое, а значит, число 0,5 включается в числовой промежуток. Это положительно-направленный луч.
При решении неравенств после преобразований может получиться так, что коэффициент при х равен нулю, например, 0∙х> b (или 0∙х х – 1.
Перенесем х справа налево, получим 0∙х > –1. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 > –1. Это верное неравенство.
Линейным неравенством называют неравенство вида aх+ b > 0 (или aх+ b b/a или х
Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Определение показательных неравенств
Из них показательно-степенными неравенствами являются те, в которых есть переменные и в показателе степени, и в основании.
Для изучения этой темы стоит повторить:
И, конечно, для решения тригонометрических и логарифмических показательных неравенств также придется вспомнить формулы соответствующих разделов алгебры.
Для любых а и х верно неравенство a x > 0, т. е. показательная функция не принимает отрицательных значений.
Запишем следствие монотонности показательной функции в виде формул:
Как решать показательные неравенства
Как мы уже говорили, для успешного освоения этой темы нужно хорошенько повторить все, что касается показательных уравнений. Способы решения показательных неравенств выглядят примерно так же — мы будем пытаться упростить выражение, получить одинаковые степени или одинаковые основания, по возможности свести все к квадратному или рациональному уравнению. Но есть и свои тонкости.
Допустим, у нас есть простейшее показательное неравенство:
Если вы помните, как решались показательные уравнения, не придется долго думать, что делать с таким неравенством — приведем его к одинаковому основанию:
Казалось бы, все логично, но всегда ли можно смело вычеркивать одинаковые основания степеней? А что, если вместо 3 у нас основание степени будет 0,5? Посмотрим:
Проверим, верно ли в таком случае х > 2.
Как видите, на самом деле в этом случае х
Если а > 1, то a x > a n a > n, и при решении неравенства можно просто убрать одинаковые основания степени.
Наконец, если рассмотреть случай, когда а х > 9
Логичное, на первый взгляд, предположение, что х > 2, не выдержит проверки, потому что:
Если продолжить этот ряд, знаки будут чередоваться, и наш корень будет попеременно то меньше, то больше 2. Поэтому для ясности всегда предполагается, что основание степени — положительное число.
Это были общие правила, а сейчас рассмотрим разные виды показательных неравенств и примеры с решениями.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим
Решая показательные уравнения, вы наверняка первым делом исследовали их на возможность приведения к одинаковым основаниям или одинаковым степенным функциям. Так вот, с неравенствами можно делать то же самое! Помните лишь о смене знака, если основание степени меньше единицы. И да пребудет с вами сила. 😎
Попробуем на примере несложного показательного неравенства с разными основаниями.
Пример 1
Поскольку 3 больше 1, знак не меняем:
Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным
Снова давайте вспомним, как аналогичный метод применялся к показательным уравнениям. Если все переменные имели общий множитель, его можно было обозначить новой переменной — в итоге у нас, как правило, получалось квадратное уравнение. Нужно было лишь найти дискриминант и произвести обратную замену. И снова алгоритм решения показательных неравенств будет совершенно таким же.
Пример 1
Поскольку 3 > 1, мы не меняем знак.
Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным
Как вы, наверное, помните из предыдущего курса алгебры, рациональные показательные неравенства — это такие, в которых левая и правая часть представляют собой дробно-рациональные функции. Метод их решения таков: нужно перенести все в левую часть, чтобы в правой остался лишь ноль, и привести к общему знаменателю. Далее решаем уравнение, отмечаем все корни на оси и применяем метод интервалов (если забыли, что это такое — повторите).
Важно помнить: если в числителе и знаменателе встретятся одинаковые множители с переменной, сокращать их нельзя.
Пример 1
Преобразуем неравенство указанным выше способом:
(обратите внимание, мы избавились от минуса в числителе и поменяли знак неравенства).
Поскольку выражение 2 х + 2 в любом случае будет больше нуля, мы можем смело его исключить из неравенства.
Пример 2
Обозначим 3 х через новую переменную y:
3 х = y, при условии что 3 х > 0.
Применим метод интервалов и получим:
Вернем на место нашу старую переменную:
Однородные показательные неравенства
Однородными называются такие показательные неравенства, где в каждом слагаемом сумма степеней одинакова.
Иногда такие выражения бывают очень длинными и запутанными, но не стоит этого пугаться. Практически все неравенства с однородными показательными функциями решаются по одному принципу: стараемся упростить выражение, разделив его на одночлен, а затем при необходимости делаем замену переменных.
Пример 1
Если обозначить (2/5) х новой переменной y, получим квадратное неравенство:
Неравенства, решаемые графическим методом
Этот метод решения показательных неравенств — самый наглядный, и для многих он может показаться самым простым. Нужно лишь построить графики функций, заданных в левой и правой части выражения, а затем посмотреть, в какой точке они пересекаются. Если бы мы имели дело с уравнением, эта точка стала бы корнем.
Но поскольку мы рассматриваем неравенства, нужно будет выделить искомую область. Для неравенства f(x) > g(x) это будет та область, где график функции f(x) находится выше.
Пример 1
Пример 2
Начертим графики этих двух функций, чтобы найти точку пересечения.
Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.
Символ
Название
Тип знака
>
больше
строгий знак (число на границе не включается )
строгий знак (число на границе не включается )
≥
больше или равно
нестрогий знак (число на границе включается )
≤
меньше или равно
нестрогий знак (число на границе включается )
Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.
В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно « = » используют любой знак сравнения: « > », « », « ≤ » или « ≥ ».
Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.
Рассмотрим пример линейного неравенства.
Как решить линейное неравенство
Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом « 1 ».
При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.
Правило переноса в неравенствах
Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.
Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.
Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.
Нарисуем числовую ось для неизвестного « x » и отметим на ней число « 14 ».
При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:
Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу « x » все решения неравенства, то есть область слева от числа « 14 ».
Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство « x − 6 » даст верный результат.
Возьмем, например число « 12 » из заштрихованной области и подставим его вместо « x » в исходное неравенство « x − 6 ».
Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.
Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.
Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.
В нашем примере ответ « x » можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее « 14 ») будет являться решением неравенства « x − 6 ».
Правило умножения или деления неравенства на число
Рассмотрим другое неравенство.
Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.
Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном « x » стоял коэффициент « 1 ». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число « 2 ».
При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.
Разделим « 2x > 16 » на « 2 ». Так как « 2 » — положительное число, знак неравенства останется прежним.
Рассмотрим другое неравенство.
Разделим неравенство на « −3 ». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.
не включается в числовой промежуток. Это отрицательно-направленный луч.
