Как решать неравенства с дробями
Дробные рациональные неравенства
Дробные рациональные неравенства – это неравенства, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.
Как решать дробные рациональные неравенства:
Алгоритм решения дробно-рациональных неравенств.
Примеры:
Расставьте знаки на интервалах числовой оси. Напомню правила расстановки знаков:
— Дальше двигаемся влево;
— Переходя через число:
— меняем знак, если скобка с этим числом была в нечетной степени (\(1\), \(3\), \(5\)…)
— не меняем знак, если скобка с этим числом была в четной степени (\(2\), \(4\), \(6\)…)
Примеры:
Выделите нужные промежутки. Если есть отдельно стоящий корень, то отметьте его флажком, чтоб не забыть внести его в ответ (см. пример ниже).
Примеры:
Запишите в ответ выделенные промежутки и корни, отмеченные флажком (если они есть).
Переносим дробь из правой части в левую, меняя знак перед ней.
Вычитаем две дроби с одинаковым знаменателем.
Мы привели неравенство к нужному виду. Теперь решаем по алгоритму.
Сначала вычисляем те значения икса, которые сделают нулем числитель или знаменатель.
Отмечаем их на оси, не забывая «выколоть» иксы от знаменателя и закрасить те, что от числителя.
Расставляем знаки на других интервалах.
Обратите внимание, что в \(x=-1\) знак меняется, а в \(3\) и \(-2\) (выделены рамкой) – нет.
Точку \(-2\) отмечаем флажком, чтобы не забыть взять ее в ответ. Все. Нам подойдут интервалы с плюсом и точка \(-2\). Готово.
Неравенства нельзя умножать или делить на выражения с переменной, если неизвестен знак этого выражения.
Уравнения без проблем можно умножить/делить хоть на положительное число или выражение, хоть на отрицательное. И мы это постоянно делаем при решении уравнений.
Непонятно, мы же не знаем каким оно (выражение на которое умножали) было– положительным или отрицательным! Действительно, при иксе равном \(1\), значение \((x-3)\) отрицательно, а при иксе равном \(7\) – положительно. Поэтому так преобразовывать нельзя. При этом заметим, что:
Например, дробное рациональное неравенство \(\frac
А вот неравенство \(\frac
Дробно-рациональные неравенства
Соответствие между решениями целых рациональных неравенств и дробно-рациональных неравенств
Для решения целых рациональных неравенств следует раскладывать соответствующие многочлены на линейные множители, и затем использовать метод интервалов (см. §7 данного справочника).
Поэтому для решения дробно-рациональных неравенств применяются те же алгоритмы, что и для решения целых рациональных неравенств. Некоторые отличия возникают только в «цвете» точек на числовой прямой (о «цвете» точек, см. §7 данного справочника).
При решении строгих дробно-рациональных неравенств все точки, попадающие на числовую прямую как корни числителя и знаменателя – «белые».
При решении нестрогих дробно-рациональных неравенств все точки, попадающие на числовую прямую как корни числителя – «чёрные», а все точки, попадающие на числовую прямую как корни знаменателя – «белые» (т.к. знаменатель не может быть равен 0).
С учётом этого замечания, для решения дробно-рациональных и целых рациональных неравенств применяются одни и те же алгоритмы.
По условию дробь неотрицательная,$ \ge 0$. Выбираем промежутки, помеченные «+», учитываем цвет точек за счёт круглых и квадратных скобок:
$ x \in (-\infty;-2) \cup [3;+\infty)$
Примеры
Пример 1. Решите неравенства:
Раскладываем числитель и знаменатель на множители:
Выносим все корни из скобок на числовую прямую (все точки «белые»), определяем знаки промежутков:
Выбираем промежутки с «+».
Переносим всё в одну сторону, приводим к общему знаменателю:
Раскладываем числитель на множители:
Выбираем промежутки с «+».
Сравните решения, сделайте выводы.
Возвращаемся к исходной переменной:
Это – парабола ветками вверх. Точки пересечения с осью OX:(0;0)и (1;0)
Ось симметрии:$ x_0 = \frac
В этой же системе координат строим уровни:
и отмечаем области:
Записываем решение – те x, для которых точки параболы попадают в заштрихованные области:
Дробно рациональные неравенства
Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).
Примеры дробно рациональных неравенств:
x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3
Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.
Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.
Примеры решения дробно рациональных неравенств:
№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0
3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0
3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0
3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0
x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )
№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.
x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.
Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
Если вас интересуют более сложные неравенства (с корнем чётной степени кратности, например), посмотрите видео «Метод интервалов: сложные случаи».
Спасибо за просмотр этого урока! Если у вас остались вопросы, напишите их в комментариях.
Дробно-рациональные неравенства — алгоритмы и примеры решения
Общие сведения
Дробно-рациональные неравенства — тождества, состоящие из числителя и знаменателя, которые представлены многочленами произвольной степени. Для их решения потребуются следующие знания:
Специалисты рекомендуют последовательно изучать каждый из пунктов, даже при условии, что тема является знакомой. Необходимо с самого начала пройти все необходимые темы, заполнив ими «пробелы». Начинать следует с общих понятий о неравенствах.
Неравенства и их классификация
Неравенство — это математическое выражение, состоящее из левой и правой частей, разделенных между собой символами логических операций, а именно: больше (>), меньше ( =) и меньше или равно ( 0. Однако «(t-4)/4 > 0» относится к первой группе.
Неравенства также классифицируются по степеням. Их можно разделить на 4 вида:
Линейные имеют степень при переменной, равной единице, квадратные — двойке, кубические — тройке, а высшие формы — от четверки и выше. Кроме того, при решении неравенств нужно знать специальные обозначения и положения:
Кроме того, неравенства можно разделить на строгие и нестрогие. Вторые отличаются от первых только добавлением знака равенства.
Примером простейшего строгого неравенства является выражение «t-4 Понятие многочлена
Кроме того, они бывают и простыми (линейными). Примером одного из них является выражение вида «3t+4». Для записи многочленов существует определенная формула: P (t)=A1t^n+A2t^(n-1)+…+An, где А1… Аn — коэффициенты, t — неизвестная и n — показатель степени при переменной.
Формулы сокращенного произведения
Формулы сокращенного умножения используются для упрощения различных математических выражений. Математики рекомендуют выписать наиболее используемые соотношения на отдельный лист бумаги и положить его перед глазами. Формулы выглядят таким образом:
Разность квадратов: t 2 — v 2 = (t — v)(t + v).
Разность кубов: t 3 — v 3 = (t — v)(t 2 + tv + v 2 ).
Очень часто сокращенное умножение применяется при решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Кроме того, их рекомендуется использовать при нахождении корней уравнений различных типов.
Метод интервалов
Метод интервалов основан на задании диапазона, на котором неравенство является истинным. Для нахождения решения нужно найти корни уравнения, а затем отметить их на числовой прямой. Однако это схематический способ. Его можно понять и при помощи логических отождествлений.
Для примера нужно решить строгое неравенство «3-t > 0». Необходимо обратить внимание на само математическое выражение. В нем следует заменить знак «>» на «=», а затем найти корень уравнения, т. е. t=3. После этого нужно отметить на числовой прямой точку «3». По условию (если перенести переменную в одну сторону, а известную — в другую) t Способы решения уравнений
Для решения уравнения необходимо выполнить операцию идентификации на основании классификации. Равенства с переменными можно разделить на 4 распространенных вида, а именно:
Первые являются наиболее простыми соотношениями. Они имеют вид: Qt+C=0, где t — неизвестная величина. Решать их нужно по такому алгоритму:
Следует отметить, что корни тождеств, представленных в виде квадратичной функции «Qt 2 + Pt + C = 0», находятся по теореме Виета или через промежуточную величину. Последняя называется дискриминантом и обозначается литерой «D». Алгоритм решения уравнений выглядит таким образом:
Записать выражение: Qt 2 + Pt + C = 0.
Сократить его на Q при условии, что коэффициенты не будут дробными величинами: t 2 + P’t + C’ = 0.
Существуют неполные квадратные уравнения, т. е. у них может отсутствовать константа «С» или Pt. В этом случае их решение сводится к математическим преобразованиям с вынесением общего множителя за скобки.
Тождества с неизвестными в третьей и высших степенях решаются посредством понижения показателей до двойки или единицы. При этом можно применять замену, формулы сокращенного произведения, вынесение общего множителя и т. д.
Кроме того, уравнения любого типа могут объединяться в системы, т. е. иметь общие корни. Все переменные в них взаимосвязаны. На основании такой особенности можно выражать одну неизвестную через другую.
Для проверки результатов решения можно воспользоваться специальными сервисами. Они называются онлайн-калькуляторами.
Обыкновенные дроби
Обыкновенная дробь — число, состоящее из двух частей: числителя и знаменателя. Дробные выражения делятся на два вида: правильные и неправильные. У первых величина числителя меньше, чем значение знаменателя. У вторых — все наоборот.
Дроби обыкновенного вида обладают определенными свойствами. К ним относятся:
Последнее утверждение доказывается очень просто. Для этого необходимо взять произвольное дробное выражение «2/5». Далее возвести в квадрат обе его части, т. е. 4/25. Затем необходимо сравнить величины, конвертировав их в десятичные дроби, т. е. 2/5=0,4 и 4/25=0,16.
Из результатов вычислений видно, что величины отличаются между собой. На основании этого можно сделать вывод о правдивости четвертого утверждения. Далее необходимо перейти к методике решения неравенств.
Методика вычислений
Алгоритм решения дробно-рациональных выражений со знаками неравенства очень прост. Он имеет вид:
Записать неравенство: [(t — 2)^2] / [t 2 — 4]>0.
Рассмотреть знаменатель: [t 2 — 4]. Воспользоваться формулой сокращенного произведения: (t-2)(t+2).
Величина «t» может принимать любые значения, кроме двойки, которая превращает неравенство в ложное. Такой широкий диапазон связан со свойствами выражения, возведенного во вторую степень (отрицательное и положительное число в квадрате является положительным).
Таким образом, решение дробно-рациональных выражений в виде неравенств выполняется по определенной методике. Однако для ее применения нужно «обновить» знания в области таких направлений: метод интервалов, работа с обыкновенными дробями и вычисления корней уравнений.
Рациональные неравенства (ЕГЭ 2022)
Хочешь без труда решать ЛЮБЫЕ неравенства?
Тогда начни с рациональных! Они станут твоей крепкой опорой в решении других неравенств.
Читай эту статью и ты во всём разберешься!
Рациональные неравенства — коротко о главном
Определение рационального неравенства
Рациональное неравенство — неравенство, левая и правая части которого являются дробно-рациональными функциями, то есть функциями, представимыми в виде отношения многочленов \(\displaystyle f\left(x\right)\) и \(\displaystyle g\left(x\right)\).
Стандартный вид рационального неравенства
Строгие рациональные неравенства
Рациональные неравенства — подробнее
Рациональные неравенства – это неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями.
Что такое рациональное выражение? Напомню:
Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной \(\displaystyle x\) с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.
Например, такое рациональное неравенство: \(\displaystyle \frac
Решение всех рациональных неравенств сводится к двум основным шагам:
Шаг 1. Перенос. Общий знаменатель. Разложение на множители
Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем числитель и знаменатель на множители.
Все множители должны быть «линейными», то есть переменная в каждом из них – только в первой степени.
Если какой-то из множителей нелинейный, и его невозможно разложить на линейные, от него надо избавиться.
Если забыл, как раскладывать выражение на множители, прочти тему «Разложение многочленов на множители».
Шаг 2. Метод интервалов
Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Метод интервалов».
Первый шаг у нас уже раньше встречался. Где? В рациональных уравнениях!
Но в отличие от уравнений, в неравенствах мы никогда не разделяем числитель и знаменатель!
Более того, если в числителе и знаменателе есть одинаковые нечисловые множители, мы их не сокращаем!
Это правило у нас уже было в теме «Метод интервалов». И вообще, в этой теме мы уже учились решать рациональные неравенства. Поэтому здесь ограничимся отдельными примерами.