Как решать многоступенчатые дроби

Тема «Действия с алгебраическими дробями» вызывает у учащихся 7-8 классов определённые трудности, так как требует хороших знаний материала, изученного ранее: «Действия с обыкновенными дробями», «Преобразование многочленов», «Формулы сокращённого умножения». Если предшествующие знания по каким-то причинам сформированы недостаточно прочно, то под наплывом нового материала они как бы растворяются и, как следствие, являются тормозом для дальнейшего успешного обучения.

Успешно реализовывать задачу закрепления «старых» и формирования «новых» знаний позволяет визуализация учебного материала. Если учебная информация сопровождается определёнными рисунками, соответствующими формулами, зрительными подсказками, то её смысл становится видимым, понятным и, как следствие, лучше запоминается. Именно поэтому мы обратились к новым учебнику и задачнику для 7-го класса, выпущенных Санкт-Петербургским Институтом Продуктивного обучения Российской Академии Образования [1, 2].
Эти пособия отличается от других особым структурированием учебной информации небольшими порциями, которые можно охватить «одним взглядом»; теоретический материал сопровождается здесь умело подобранными иллюстрациями, необходимыми комментариями, замечаниями, выделением ключевых понятий.
Разнообразие заданий, таких как, «Алгоритмы и автоматы», серии, тесты, тренажеры, «Посмотрите и …», «Выберите ответ» и другие, предоставляет ученику определённую свободу выбора, а не загоняют его в жесткие рамки: «реши или найди ответ». Эти задания дают богатейший материал для индивидуальной работы со слабыми и сильными учащимися. Большое количество нестандартных упражнений, которые учат мыслить, творить, придумывать, находить выход из затруднительных ситуаций, предвидеть результат (исследовательские работы, комбинаторные задачи), – позволяет ученикам активизировать свою мыслительную деятельность, а учителю работать творчески.

В восьмом классе мурманского лицея № 1 по материалам данных учебника [1] и задачника [2] был проведён открытый урок «Многоэтажные дроби». Эта тема выбрана не случайно. В действующих учебниках она отражена мало (например, в учебнике под ред. С.А. Теляковского рассмотрен только один такой пример, решенный с помощью основного свойства дроби). Иногда «многоэтажность» заменяется традиционным действием деления, что приводит к громоздким и не всегда оправданным вычислениям. Однако на вступительных экзаменах в вузы часто встречаются задания, связанные с преобразованием многоэтажных дробей.

На уроке мы попытались реализовать идею составления алгоритма преобразования многоэтажной дроби самими учащимися.
Целью данного урока являлось:
1) создать алгоритм работы с многоэтажными дробями;
2) научиться использовать его при преобразовании выражений;
3) убедиться в том, что алгоритмы позволяют рационально выполнять математические операции, и что каждый сам может их создавать.

Алгоритм деления дроби на дробь был рассмотрен на предыдущих уроках (а также алгоритмы умножения и сложения дробей). Поэтому лицеисты уже знали, что стрелками обозначено действие умножение. Поставив стрелки в первой записи, они без труда, видя окончательный результат, расставили стрелки и во втором выражении.
После этого мы снова вернулись к рисунку 2 и схеме В (рис. 2-1, слева), лицеистам был задан вопрос: «А всегда ли надо (пусть даже мысленно) целое заменять дробью со знаменателем 1, нельзя ли и здесь создать мини-алгоритм?» После обсуждения пришли к правилу преобразования трёхэтажной дроби. В схеме С (рис. 2-1, справа), учащимся было предложено самим попробовать восстановить стрелку у первого выражения. Лицеисты быстро справились с этим заданием.
Затем перешли к практическим примерам 1 и 2 (рис. 2-2), где необходимо было заполнить пропуски, используя выработанный алгоритм (рис. 2-1). Это задание не вызвало особых затруднений у учащихся.
Далее рассмотрели более сложные примеры: в числителе или в знаменателе присутствует несколько множителей (рис. 2-3). Сначала разобрали случай, когда в числителях верхней и нижней дробей встречаются общие множители. Применив алгоритм работы с многоэтажными дробями, заметили, что общий множитель сокращается, если он присутствует в числителях обеих дробей. Случай, когда общий множитель есть в знаменателях обеих дробей, учащиеся разобрали самостоятельно и сами сделали соответствующий вывод.

На доске был оформлен пример, в котором общие множители стояли в числителе верхней дроби и в знаменателе нижней.
А также пример, в котором общие множители присутствовали в знаменателе первой дроби и в числителе второй.

Выполнив преобразование многоэтажной дроби по алгоритму, лицеисты убедились, что в подобных случаях сокращать нельзя. В примере 3 (рис. 2-3, внизу слева). необходимо было сначала сократить дробь, а затем применить алгоритм преобразования многоэтажной дроби. Учащиеся с большой заинтересованностью зачеркивали общие множители, рисовали стрелки и заполняли пропуски.
В четвертом задании лицеисты сразу же заметили общие множители в числителях обеих дробей и формулу сокращённого умножения в знаменателе нижней дроби. Разложив на множители и сократив знаменатели, а также числители, учащиеся довольно быстро получили верный результат. Задания 5, 6, 7 (рис. 2-4) лицеистам предлагалось выполнить дома.
Затем перешли к тождественным преобразованиям многоэтажных алгебраических дробей
. В примере 1 (рис. 3-1) предлагалось заполнить пропуски в числителях дробей и затем записать окончательный результат. Многие учащиеся при сложении целого и дроби применяли соответствующий алгоритм (ставили стрелки от m к 1). Данный пример не вызвал особых затруднений у лицеистов.
Задание «Посмотрите и найдите» № 2 (рис. 3-2, слева) поначалу испугало учащихся («значение такого сложного выражения надо найти устно?!»), но, после того, как преобразовали знаменатель первой многоэтажной дроби и увидели, что она равна 1, вторую дробь сократили довольно быстро и верно. Результат вычислений записали в рамочку внизу примера.
Выполнение примера № 3 (рис. 3-2, справа) заняло немного больше времени, так как не все сразу заметили противоположные выражения, при сокращении которых получается –1. Упражнение 4 (рис. 3-3) начали выполнять после того, как прочитали комментарий. Лицеисты самостоятельно заполняли пропуски в вычислениях, пользуясь алгоритмом. Затем все сверили свои результаты с решением этого примера, оформленным на обороте классной доски (рис. 3-4). Те из учащихся, кто выполнил задание 4 быстрее других, начали выполнять первые примеры упражнения 5 (рис. 3-5), которое было задано на дом.

Для того чтобы выяснить, как усвоен алгоритм преобразования многоэтажной дроби в конце урока была проведена игра. Каждый ученик получил листок с шуточными заданиями «Шторм на море» (рис. 4-1) и «Полицейские и воры» (рис. 4-2). Учащиеся самостоятельно преобразовывали «многоэтажную дробь»: сокращали (зачёркивали) общие множители, ставили стрелки и записывали получившийся результат в пустую рамочку. После выполнения всеми этого упражнения, сверили получившиеся результаты с ответами, оформленными на обороте классной доски. Одни учащиеся рисовали маяк, корабль, штурвал и якорь, другие записывали только начальные буквы этих слов (рис. 4-3). (На рисунках внизу: Ш – шериф, П – полицейский, М – мошенница, К – карманник). Все лицеисты без ошибок справились с этим необычным и интересным для них заданием.

Работать с визуальными учебными материалами учащимся очень нравится, так как на этих уроках они творят сами, не созерцают со стороны работу учителя и более сильных учащихся, а принимают активное участие в решении той или иной учебной задачи и видят результаты своей работы тут же. Подобные уроки проходят у детей эмоционально, они чувствуют себя первооткрывателями, радуются своим успехам, стремятся выполнить как можно больше разнообразных заданий, попробовать свои силы при решении довольно сложных упражнений. Так как на таких уроках мало пишется, но много думается, то польза от них колоссальная.

Распечатать комплект визуальных дидактических материалов по теме данной статьи.
Предлагаемые комплекты дидактических материалов на экране отражаются не совсем точно,
но распечатываются рисунки прекрасно!

Источник

Непрерывная дробь (цепная дробь) в математике с примерами решения и образцами выполнения

Непрерывная дробь (или цепная дробь) — это конечное или бесконечное математическое выражение вида. где. есть целое число, а все остальные. — натуральные числа (положительные целые). При этом числа. называются неполными частными или элементами цепной дроби.

Конечные цепные дроби

В арифметике часто приходится искать наибольший общий делитель двух натуральных чисел. В младших классах эту задачу решают с помощью разложения чисел на прос­тые множители. Однако этот способ в школе не получает теорети­ческого обоснования, так как он опирается на не доказываемую (а часто и не формулируемую ) довольно трудную теорему о суще­ствовании и единственности разложения натуральных чисел на простые множители.

Другой метод решения этой задачи, свободный от указанного недостатка, изложен еще в книге Евклида «Начала» (III век до н. э.); его называют алгоритмом Евклида или способом последовательного деления. Изложим этот способ.

Напомним сначала некоторые свойства деления с остатком. Пусть а — целое число и b — натуральное число. Существуют та­кие целые числа q (частное) и r (остаток), что Эти числа однозначно определены.

Справедливо следующее утверждение: если а = bq + r, то наибольший общий делитель чисел а и b совпадает с наибольшим общим делителем чисел b и r.

В самом деле, обозначим наибольший общий делитель чисел а и b через d, а наибольший общий делитель чисел b и r — через Из соотношения r = а — bq получаем, что d является делителем и числа r, то есть d будет общим (но не обязательно наиболь­шим) делителем чисел b и r. Отсюда следует, что Обратно, из соотношения а = bq + r следует, что наибольший общий дели­тель чисел b и r является делителем числа а, а значит, Из двух соотношений получаем

Теперь опишем алгоритм Евклида. Он заключается в том, что для целого числа а и натурального числа b последовательно находят две конечные последовательности чисел такие, что и

Тогда — наибольший общий делитель чисел а и b. Это следует из того, что по доказанному наибольшие общие делители пар чисел

совпадают друг с другом. Но и потому наибольший общий делитель чисел и равен .

Заметим, что цепь равенств (1), выражающая алгоритм Евкли­да, не может быть бесконечной, так как из

вы­текает, что в (1) не более чем b равенств.

Пример цепной дроби

В некоторых приложениях математики встречаются очень громоздкие дроби. Возникает вопрос, нельзя ли подобрать дробь со сравнительно небольшим знаменателем, дос­таточно близкую к данной громоздкой дроби. Аппаратом для реше­ния этой задачи являются дроби особого вида, называемые цепны­ми или непрерывными дробями.

Прежде чем излагать общую теорию цепных дробей, рассмотрим следующий пример. Отношение экваториального радиуса Земли к ее полярному радиусу выражается дробью

Попробуем упростить эту дробь. Для этого сначала выделим из нее целую часть: . Оставшуюся дробную часть преобразуем так:

В знаменателе получившейся дроби снова выделим целую часть:

Это выражение позволяет получить хорошее приближение для рассматриваемой дроби. Ясно, что при отбрасывании в знаменателе дробной части мы получим число которое

больше, чем наша дробь. Если же округлить знаменатель в сторону увеличения, то мы получим дробь , которая меньше рассматриваемой. Таким образом,

Разность полученных приближений мала:

Значит, как так и дают приближенное значение для дроби с точностью не меньшей, чем

Если мы хотим получить еще лучшее приближение, надо аналогичным образом преобразовать отброшенную дробную часть

Подставляя это выражение в (1), получаем:

Ясно, что дробь заключена между

Поэтому получаем для границы:

или, преобразуя дроби,

Получились оценки с большими знаменателями, чем в (2). Но их точность существенно выше — погрешность полученных приближений не больше, чем

Продолжая описанный процесс, мы получим в конце концов точное выражение для в виде «многоэтажной» дроби:

Разумеется, полученная дробь менее удобна, чем . Но она позволяет получать приближенные значения заданной дроби, имеющие небольшие знаменатели. Чтобы получить такие приближенные значения, надо оборвать процесс на каком-то шагу, заме­нив смешанное число его целой частью, и превратить полученное выражение в обыкновенную дробь. Дроби вида (4) и называют цепными или, иначе, непрерывными дробями.

Определение цепной дроби

Введем следующее общее определение:

Всякое выражение вида

где могут быть любыми действительными или комплексными числами, а также функциями от одной или нескольких переменных, называется конечной цепной (или непре­рывной) дробью. называются частными числителя­ми, — частными знаменателями или неполными частными. В записи (1), естественно, предполагается, что Это условие не касается а0, которое может быть равным нулю.

Для получения приближенных значений дробей используют частный вид цепных дробей, у которых все числители равны 1 а знаменатели — натуральные числа

Форма записи (2), как и форма (1), очень громоздка; поэтому вместо (2) часто употребляются упрощенные записи, например

Все же часто мы будем пользоваться развернутой записью (2).

Ясно, что всякая цепная дробь вида (2) выражает некоторое рациональное число. Чтобы получить выражение этого числа в виде обыкновенной дроби, надо «свернуть» цепную дробь, выполняя (начиная «с конца») все указанные операции.

Пример:

Вычислить значение цепной дроби Здесь Вычисление будет состоять из следующих шагов:

Ответ:

Обращение конечной цепной дроби в обыкновенную — всегда выполнимая задача. На это потребуется не более чем n шагов, каждый из которых состоит в сложении двух чисел: целого числа и правильной дроби.

Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби

В предыдущем параграфе было показано, что любую конеч­ную цепную дробь можно обратить в рациональное число. Пока­жем теперь, что и обратно — любое рациональное число r можно обратить в цепную дробь.

Теорема:

Всякое рациональное число можно представить в виде конечной цепной дроби.

Доказательство:

Всякое рациональное число r можно представить в виде отношения двух целых чисел При этом, не теряя общности, можно считать (в противном случае изменим знаки у Р и Q). Применим к числам Р и Q алгоритм Евк­лида (см. § 1):

где (если то Каждое из полученных равенств можно переписать по-другому:

Нетрудно заметить, что каждое из этих равенств можно понимать как нахождение целой части неправильной дроби; каждое из неполных частных представляет собой целую часть соответствующей дроби:

Подставив значение дроби из (2′) в знаменатель дроби равенства получим:

Затем значение дроби , взятое из равенства (3), подставим в знаменатель дроби . Продолжая процесс подстановки до конца, получим:

Число частных знаменателей, которое получится при разложении заданного рационального числа в цепную дробь, заранее узнать невозможно. Оно зависит от «природы» числа. Так, мало отличающиеся «на вид» числa .

разлагаются в цепные Дроби, имеющие разное число частных знамена­телей:

Обратите внимание на характер доказательства теоремы 1. По существу получено больше, чем требовалось. Ведь надо было лишь доказать, что любое рациональное число можно представить в виде конечной цепной дроби. Мы же не только доказали этот факт, но и указали способ построения искомой цепной дроби.

Покажем теперь, что разложение любого рационального числа в цепную дробь однозначно определено. При этом рассматриваются лишь разложения, удовлетворяющие следующему условию: последний частный знаменатель должен быть больше 1. В противном случае могут существовать и различные разложения в цепную дробь одного и того же рационального числа.

Пример:

Разложим в цепную дробь число

Последний частный знаменатель можно представить в виде В таком случае число можно записать в виде цепной дроби по-иному: . Получилось, что одну и ту же дробь мы разложили в цепную дробь двумя различными способами: [1, 2] и [1, 1, 1]. Так можно поступить с любым ра­циональным числом. Например, для числа можно получить две цепные дроби:

Чтобы исключить двузначность в разложении рационального числа в цепную дробь, связанную с такими искусственными «удлинениями», как раз и приходится предполагать последний частный зна­менатель большим 1.

Однозначность разложения мы докажем от противного. Допустим, что число удалось разложить в две разные цепные дроби:

При этом допускается, что различны не только сами частные знаменатели, но и их количество .

Мы имеем равенства:

Так как — натуральные числа, то лежит между 0 и 1, Иными словами, . Точно так же . Значит, и

Отсюда следует, что

Но точно так же и Отсюда следует Продолжая процесс сравнения соответствующих частных знаменателей, получим для всех Если теперь допустить, например, что k

которое невозможно, поскольку — целое число, а — дробное. Точно так же доказывается, что невозможно неравенство k > s. Итак, k = s и для всех i. Однозначность разложе­ния доказана.

Подходящие дроби

Как уже говорилось, цепные дроби служат для получения приближенных значений, имеющих малые знаменатели. Эти приближенные значения получаются так: число разлагают в цепную дробь и обрывают процесс разложения на некотором шагу, заменяя смешанную дробь ее целой частью. Полу­чающиеся таким образом дроби называются подходящими дробями для данной цепной дроби. Иными словами, подходящими дробями для заданной цепной дроби

У цепной дроби с n частными знаменателями имеется ровно n под­ходящих дробей; последняя подходящая дробь равна данной цеп­ной дроби.

Пример:

Вычислим подходящие дроби цепной дроби [1, 2, 3, 4,]:

Чем больше номер подходящей дроби, тем утомительнее ее непосредственное обращение в обыкновенную дробь. При этом все пре­дыдущие вычисления оказываются бесполезными для дальнейшего, все приходится выполнять вновь.

Естественно искать путь вычисления подходящих дробей дан­ной цепной дроби, при котором использовались бы значения предыдущих дробей. Оказывается, для этого можно использовать так называемые рекуррентные соотношения меж­ду тремя последовательными подходящими дробями.

Вернемся к предыдущему примеру. Запишем подходящие дроби следующим образом:

Правило, по которому записаны третья и четвертая подходящие дроби, таково: в числителе записываются два слагаемых — числители двух предыдущих подходящих дробей, а в знаменателе — знаменатели предыдущих подходящих дробей, как показано ниже. И тут и там делается пропуск для множителя:

Оставленное место для множителя заполняется соответствующим частным знаменателем.

Докажем это правило в общем виде. Обозначим числитель и знаменатель i-й подходящей дроби через В этих обозначениях правило записывается так:

Доказательство ведется с помощью математической индукции по индексу i.

Проверим сперва правило для i = 2; первые три подходящие дроби имеют вид:

Отсюда следует, что

Таким образом, правило верно при i = 2.

Допустим теперь, что правило верно для i = k — 1, то есть что

Докажем, что это же правило верно и при i=k, а именно, что имеет место равенство:

Чтобы получить k-ю подходящую дробь, надо в (k — 1)-й подходящей дроби (k — 1)-й частный знаменатель заменить на вы­ражение Сделаем эту замену и преобразуем числитель и знаменатель:

По предположению индукции имеем:

Итак, наша формула верна и при i=k. Значит, она верна при всех Иными словами, мы доказали, что

Для того чтобы формулы (3) и (4) не теряли смысла при i = 1, вводят определения которые носят чисто формальный характер, но делают правила (3) —(4) верными и при i = 1.

Покажем, как проводится вычисление, на примере цепной дроби [2, 3, 2, 7, 4]. Вычисление удобно располагать в табличку, которую заполняют последовательно. Первые два столбика заполняют компонентами первых двух подходящих дробей (нулевой и первой под­ходящей дроби), которые вычисляются непосредственно; третий столбик заполняется компонентами второй подходящей дроби, которые находятся по правилу: числитель первой подходящей дро­би умножается на второй частный знаменатель, к полученному про­изведению прибавляется числитель нулевой подходящей дроби: так же находится и знаменатель второй подходящей дроби. Точно так же определяются числители и знаменатели последующих под­ходящих дробей. Вот последовательные шаги заполнения таб­лички:

Значит,

Свойства подходящих дробей

Полученное выше правило вычисления подходящих дробей имеет фундаментальное значение для всей теории цепных дробей. Кроме способа непосредственного вы­числения последовательности подходящих дробей, из него получается ряд важных свойств частных числителей и частных знамена­телей и подходящих дробей цепной дроби.

Рассмотрим некоторые из этих свойств.

Доказательство проведем индукцией по индексу i.

Покажем прежде всего справедливость формулы (1) при i=1. Заметим, что откуда

откуда следует, что

то есть формула (1) справедлива при i = 1.

Предположим, что формула (1) справедлива при i = m — 1:

Докажем, что она справедлива и при i = m, то есть что

Для этого выразим по формулам (3) и (4) из п. 5 и сдела­ем соответствующие подстановки:

В силу формулы (1′) получаем:

Итак, из справедливости формулы (1) при i = m — 1 следует ее справедливость при i = m. Значит, она верна при всех значениях i.

2) Докажем, что при i = 1,2,3,… имеет место равенство:

Доказательство:

Преобразуем левую часть равенства (2) и применим свойство (1):

Из последних двух свойств вытекает важное следствие.

3) Пoдходящие дроби цепной дроби несократимы.

Будем доказывать это утверждение от противного. Предположим, что какая-то дробь сократима. Это значит, что числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель. Обозначим его через с; тогда Подставив эти значения и в равенство (1), мы получим:

Но последнее равенство неверно, так как левая часть делится на с, а правая — нет. Следовательно, наше предположение, что частные числитель и знаменатель имеют общий множитель, не­верно.

Диофантовы уравнения первой степени

Мы знаем, что одно урав­нение с двумя неизвестными, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. Однако если рассматривать такие уравнения лишь в множестве це­лых чисел, то может оказаться, что уравнение имеет лишь конечное множе­ство решений.

Например, уравнение имеет бесчисленное множество дей­ствительных решений. Целыми же решениями уравнения являются лишь (2, 2); (— 2, 2); (2, — 2); ( — 2, — 2).

Уравнения, для которых ищутся лишь целые решения, обычно называют диофантовыми.

Вопрос о решении уравнений в целых числах довольно сложен. Мы рас­смотрим сейчас самый простой вид таких уравнений, а именно уравнения вида

где а, b и с — целые числа.

Такие уравнения можно решать с помощью цепных дробей. Для примера рассмотрим

Разложим в цепную дробь: Рассмотрим разность между предпоследней и последней подходящими дробями:

Умножим обе части равенства (2) на 11:

Получилось, что х = 77 и у = — 110 являются решениями заданного урав­нения.

Нетрудно заметить, что решением того же уравнения будет любая пара чисел (х, у), следующим образом выражающихся через целый параметр t:

Этот метод всегда применим, если с делится на наибольший общий дели­тель чисел а и b. В противном случае уравнение не имеет целых решений.

Иногда ставится задача решений диофантовых уравнений в множестве натуральных чисел. Для этого нужно сначала решить его в целых числах, а потом найти значения t, при которых х и у положительны.

В разобранном выше примере для этого нужно решить в целых числах систему неравенств:

Подходящие дроби и календарь

Астрономы подсчитали, что время полного оборота Земли вокруг Солнца приближенно равно 365 суткам 5 ча­сам 48 минутам 46 секундам. Если это время выразить в сутках, то получим приближенно 365,2422 суток.

Обратим дробную часть в цепную дробь:

Первые три подходящие дроби:

Первая подходящая дробь показывает, что, считая год равным 365 дням, мы делаем ошибку на четверть суток. За четыре года получается от­ставание на одни сутки. Чтобы устранить это отставание, Юлий Цезарь в 45 году до нашей эры ввел новый («юлианский») календарь, в котором каждый четвертый год считался високосным — в феврале прибавляют один день.

Однако через столетия снова начала накопляться ошибка. Чтобы ее оценить, рассмотрим разность

Таким образом, за каждые 132 года прибавляется лишний день (за 396 лет — 3 лишних дня).

Более точный календарь был введен папой Григорием XXII в 1582 году.

Во-первых, он выкинул в этом году 10 дней (следующий день после чет­верга 4 октября 1582 года именовался пятницей 15 октября), во-вторых, по­становил в каждые четыреста лет три високосных года обращать в простые, а один оставить високосным. При переходе нашей страны на григорианский календарь в 1918 году разница во времени уже возросла до 13 суток, что и составляет разницу между старым и новым стилем.

Приближение цепной дроби подходящими дробями

Выясним теперь характер приближения подходящих дробей к рациональному числу, разложенному в данную цепную дробь. Для этого нам понадобится следующее утверждение.

Теорема:

Пусть дана цепная дробь длины т:

При увеличении последнего знаменателя дробь увеличивается, если ее длина п четная, и уменьшается, если п нечетно.

Доказательство:

Проведем доказательство с помощью индукции по n. При n = 0 утверждение очевидно. В этом случае «дробь» имеет вид и увеличивается при увеличении (при этом может, увеличиваясь, принимать не только целые, а любые значения).

Пусть теорема уже доказана для дробей длины k. Рассмотрим дробь длины Ее можно пред­ставить в виде

— цепная дробь длины k.

Пусть k + 1 — четное число. Тогда — дробь нечетной дли­ны k. Поэтому по предположению индукции она уменьшается при увеличении Но при уменьшении выражение то есть увеличивается.

Если же k + 1 — нечетное число, то — дробь четной длины k и по предположению индукции увеличивается при увеличении Но тогда уменьшается при увеличении

Итак, предположив, что теорема верна для n = k мы доказали ее справедливость при n = k + 1. Так как при n = 0 она верна, то она справедлива для всех значений n.

Из теоремы 2 вытекает важное

Следствие:

Всякая четная подходящая дробь не больше значения цепной дроби у а всякая нечетная подходящая дробь не меньше этого значения.

Доказательство:

— ее k-я подходящая дробь. Дробь r можно записать в виде

Таким образом, цепная дробь r получается из подходящей дроби увеличением последнего знаменателя до значения Из теоремы 2 следует, что если k— четное число, то дробь при этом увеличивается, а если k — нечетно, то она уменьшается. Значит, при четном имеем: а при нечетном имеет место Следствие доказано.

Из этого следствия вытекает, что если то справедливо неравенство

Более точную информацию о характере приближения подходящих дробей к числу r дает следующая

Теорема:

Имеют место неравенства

Доказательство:

Подходящая дробь получается из подходящей дроби заменой частного знаменателя выраже­нием . Так как это выражение больше то при четном k подходящая дробь увеличивается, а при нечетном умень­шается. Отсюда и вытекает теорема 3.

Из теоремы 3 и следствия из теоремы 2 вытекает, что четные подходящие дроби приближаются к числу , монотонно возрастая и оставаясь все время не больше, чем . Нечетные подходя­щие дроби приближаются к , монотонно убывая и оставаясь все время не меньше, чем . При этом равняться — может лишь последняя подходящая дробь. Итак, мы имеем:

Знак равенства имеет место слева, если n = 2l, и справа, если n = 2l + 1.

Оценим теперь отклонение подходящей дроби от числа .

По формуле (1) из п. 6 имеем:

Из формул (1) и (2) следует, что

Так как

Бесконечные цепные дроби

Разложение иррациональных чисел в цепные дроби: До сих пор мы разлагали в цепные дроби рациональные числа. При этом процесс нахождения частных знаменателей сводился на каждом шагу к выделению целой части неправильной обыкновенной дроби.

Возьмем теперь какое-нибудь иррациональное число, например Алгоритм Евклида здесь неприменим. Однако выделение целой части этого числа — вполне реальная задача. В самом деле, ясно, что так что Значит, число представимо в виде Во втором слагаемом уничтожим иррациональность в числителе:

Таким образом,

Выделим целую часть числа Значит можно представить в виде Ясно, что поэтому Снова уничтожим иррациональность в числителе второго слагаемого:

В итоге получилось:

Проделаем еще один аналогичный шаг:

Нетрудно заметить, что процесс выделения целой части и образования цепной дроби в данном примере не имеет конца. В каждом новом знаменателе будет появляться 4 и слагаемое По­этому ясно, что представляется в виде бесконечной цепной дроби:

Мы видим, что цепные дроби являются хорошим аппаратом для вычисления квадратных корней.

Проверим, насколько полезен этот способ — как точно находится зна­чение с помощью цепных дробей.

Для сравнения будем брать подходящие дроби и обращать их в обыкно­венные, а затем полученные обыкновенные — в десятичные. Десятичные приб­лижения, получаемые из подходящих дробей, будем сравнивать со значени­ем взятым из таблиц Брадиса

Получилось, что уже для четвертой подходящей дроби результат приближе­ния по точности не уступает значению, указанному в четырехзначной таблице значений квадратных корней. Больше того, значение той же подходящей дроби равно значению , указанному в пятизначной таблице. Вообще, нахождение приближений с помощью цепных дробей — мощный вычислительный аппарат.

Возьмем произвольное иррациональное число а. Выделим его целую часть и обозначим ее через

где Далее, пусть — целая часть , то есть Тогда

гдe

Пусть тогда

Через n шагов получим:

где — целое число, — натуральные числа и 0

для которой — натуральные числа ( может быть целым числом любого знака).

Построим для полученной дроби последовательность ее подходящих дробей (в отличие от случая разложения рациональных чи­сел эта последовательность бесконечна). Можно доказать, что последовательность

подходящих дробей сходится к разлагаемому числу а. Мы опускаем здесь это доказательство.

Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чи­сел рациональными

Мы научились изображать любые числа, как рацио­нальные, так и иррациональные, в виде цепных дробей. Выясним теперь, в чем заключаются преимущества и недостатки такого изображения.

Основное преимущество записи чисел в виде цепных дробей по сравне­нию с их записью в виде систематических (например, десятичных) дробей состоит в том, что эта запись не зависит от выбора системы счисления. Ведь неполные знаменатели получались путем выделения целой части из неправиль­ных дробей, а эта операция при любой системе счисления приводит к одному и тому же результату (конечно, с точностью до записи в разных системах счисления самих неполных знаменателей). Поэтому запись числа в виде цеп­ной дроби отражает его «существенные» арифметические свойства, а не свой­ства, связанные с выбором той или иной системы счисления.

Например, при записи рационального числа в виде систематической дроби может получиться либо конечная дробь, либо бесконечная периоди­ческая или смешанная) дробь. При записи же рационального числа в виде цепной дроби всегда получается конечная дробь, причем это характерно только для рациональных чисел. Можно доказать, что квадратичные иррациональности, и. только они, представляются в виде периодических цепных дробей. Выразить же условие того, что данное число является квадратичной ир­рациональностью, в терминах систематических дробей невозможно.

Но самое важное преимущество цепных дробей по сравнению с система­тическими заключается в том, что они дают наилучшие приближе­ния данного числа с помощью дробей, имеющих не слишком большие зна­менатели. Уточним это утверждение.

Пусть даны число и несократимая дробь . Естественной мерой откло­нения от является . Однако в теоретических вопросах оказа­лось удобнее рассматривать в качестве меры отклонения число . Ясно, что если мало, то тем более мало число . Обратное верно не всегда, так как знаменатель Q может оказаться большим числом.

Пусть число разложено в цепную дробь. Легко оценить отклонение подходящей дроби от . Так как лежит между то имеем:

Оказывается, для любой дроби, знаменатель которой не превосходит отклонение больше, чем . Иными словами, справедлива следующая

Теорема:

Если — подходящая дробь для разложения числа в цепную дробь, то для любой дроби такой, что выполняется неравенство

Единственным исключением является подходящая дробь для числа вида

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Теорема 4 показывает, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями для числа по сравнению со всеми дробями, знаменатель которых не превосходит знаменателя подходящей дроби. Именно это свой­ство послужило причиной введения цепных дробей в математику и деталь­ного изучения их теории. В конце XVII века голландский математик и фи­зик Гюйгенс хотел построить модель Солнечной системы с помощью зубчатых колес. При этом возникла задача определить число зубцов так, чтобы отно­шение этих чисел для двух связанных между собой колес было по возможнос­ти близко к отношению времен обращения соответствующих планет, при­чем число зубцов не должно быть слишком большим. Таким образом, встал вопрос об отыскании рациональной дроби, числитель и знаменатель которой были бы не слишком большими числами и которая наилучшим образом приближала число . С помощью теории цепных дробей задача была решена.

Отметим, что цепные дроби как аппарат для изображения действитель­ных чисел имеют и недостатки: дело в том, что над действительными числа­ ми, изображенными в виде цепных дробей, практически трудно выполнять арифметические операции — сложение, вычитание, умножение и деление. (Попробуйте, например, сложить или перемножить дроби

[2, 1, 3, 1, 4] и [3, 2, 4, 6, 8 ],

не переводя их в обыкновенные.)

Цепные дроби как вычислительный инструмент

Рассмотрим некоторые примеры приближения иррациональных чисел подходя­щими дробями.

Начнем с числа Разлагая число в цепную дробь, получаем: Найдем подходя­щие дроби для этой цепной дроби:

а затем составим таблицу для вычисления последующих дробей с помощью рекуррентного правила:

Получаем подходящие дроби . Приближение , равное , было известно еще Архимеду, а приближением пользовался Андриан Меций еще в конце XVI столетия. Первое приближение очень удобно тем, что знаменатель 7 очень невелик. Во второй дроби при сравнительно небольшом знаменателе 113 получается приближенное значение с высокой точностью.

Чтобы оценить эту точность, используем формулу

В нашем случае

то есть точность полученного ответа превышает Обращая дробь в десятичную, получаем:

С помощью цепных дробей можно выполнять вычисление логарифмов при любом основании. Вычислим, например, 1g 20. Полученный результат будем сравнивать со значением 1g 20, взятым из таблицы Брадиса:

Обозначим искомое число через х; 1g 20 = х. Значит,

Ясно, что 1

Последнее равенство возведем в степень

Подставим значение в равенство (2):

Отсюда и потому . Но тогда

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

• ← Как распечатать заявление на регистрацию транспортного средства с госуслуги автомобиля сайта
• Как разыгрываются автомобили за вакцинацию →