Как решать логометрические неравенства

Логарифмические неравенства

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)

(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log₃x > log₃5.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log₃x₁ > log₃x₂ следует, что x₁ > x₂.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

3.

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если , то
2x − 9 ≤ x.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство

5. Решите неравенство

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

6.

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

Упростим эту систему:

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

В данном случае удобно перейти к основанию 4.

Сделаем замену

Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

Вернемся к переменной x:

Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

Ответ:

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3C2-3x%3E%3Cx%3E%3E0″ />Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

Видим, что условие 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3C2-3x%3E%3Cx%3E%3E0″ /> (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ:

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

Неравенство равносильно системе:

9. Решите неравенство:

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда

Неравенство примет вид:

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, ( t − 3) (5 9 · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.

Это означает, что 625 t − 2 ≠ 0, то есть

Аккуратно запишем ОДЗ

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак,

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:

0;» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(t-3)%5E%3C2%3E-(625t-2)%5E%3C2%3E%3E0;» />
0;» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(t-3-625t+2)(t-3+625t-2)%3E0;» />
0.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(-624t-1)(626t-5)%3E0.» />
Вспомним, что (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.

Получим, что

Вернемся к переменной x

Поскольку

9;» src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%5E%3C2%3E%3E&space;9;» /> 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x-3)(x+3)%3E0″ />Ответ:

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

Воспользуемся формулой и перейдем к основанию 10:

Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию

Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.

Выражение lg | x − 3| равно нулю, если | x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.

Выражение lg (| x| − 2) равно нулю, если | x| = 3, то есть в точках 3 и −3.

Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

Ответ:

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.

Запишем ОДЗ:

Обратите внимание, что .

Это пригодится вам при решении неравенства.

Упростим исходное неравенство:

Вторая ловушка – попроще. Запись означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:

Дальше – всё просто. Сделаем замену

Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда

— не удовлетворяет ОДЗ;

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.

Источник

Логарифмические неравенства на ЕГЭ

Ты что, еще не научился решать логарифмические неравенства?!

Да ладно?! Это же легко!

Шучу. На самом деле, логарифмические неравенства – сложная тема. И за нее дают много баллов на ЕГЭ.

Сейчас для тебя эта тема станет простой.

Я тебе ВСЕ объясню, и ты сможешь решить ЛЮБОЕ логарифмическое неравенство.

Логарифмические неравенства — коротко о главном

Определение логарифмического неравенства

Простейшим логарифмическим неравенством является соотношение вида:

где \( \displaystyle f\left( x \right)\) и \( \displaystyle g\left( x \right)\) – некоторое выражение, зависящее от \( \displaystyle x\) (например, \( \displaystyle f\left( x \right)=1+2x+<^<2>>,

знак \( \displaystyle >\) можно заменить на один из трех знаков: \( \displaystyle

«Логарифмические» и «неравенства». Оба слова тебе знакомы по отдельности?

Я очень надеюсь, что да. Иначе я настоятельно рекомендую (очень-очень прошу!) прочитать и освоить следующие разделы:

Эти материалы очень важны для сдачи ЕГЭ по математике на максимум и поступления в ВУЗ мечты! Учти это!

Ну что, весь материал улегся в голове? Теперь ты легко сможешь ответить на вопрос, скажем, чему равен \( lo<_<3>>81\), ведь ясно, что это \( 4\), правда?

Да потому, что \( <<3>^<4>>=81\), а логарифм – это и есть та степень, в которую нужно возвести маленькое число снизу (в данном случае \( 3\)), чтобы получить большое число сверху (то есть \( 81\)).

А вот ты знаешь, чему в точности равно \( lo<_<2>>3\)? Нет? И я нет, и никто не знает. (Для меня с такого постулата началась математика, что никто и ничего не знает)

Да потому что нет целой степени двойки такой, чтобы двойка в ней равнялась трем. Факт есть факт.

То есть логарифм, можно сказать, обобщает понятие степени.

Ну что я все про логарифмы да про логарифмы… Ты ведь мне пообещал, что прочитаешь все материалы по ним самостоятельно, и я тебе в этом вопросе полностью доверяю.

Как доверяю и в том, что с неравенствами (хотя бы простейшими), ты тоже на «ты». Ну если не совсем на «ты», то хотя бы не пугаешься одного их вида. Они же не кусаются. Тебе ведь совершенно очевидно, что неравенство, скажем

Ну все, теперь наша с тобой цель это скрестить бульдога с носорогом, где бульдогом будет логарифмы, а носорогом – неравенства. Так что же мы получим? Как ты уже догадался, результатом этого эксперимента будут логарифмические неравенства.

Хорошенько запомни эти три соотношения, они помогут тебе избежать глупейших ошибок при решении примеров.

Что такое логарифмические неравенства

Простейшим логарифмическим неравенством является соотношение вида: \( lo<_>

«И что?» — скажешь ты. – «Зачем мне нужно непонятное определение, если в нем не говорится, как с его помощью решать эти самые логарифмические неравенства».Конечно же, ты можешь сформулировать еще три определения простейшего логарифмического неравенства, просто заменив знак \( >\) на один из трех знаков: \(

Прежде всего, когда мы решаем логарифмическое неравенство, мы должны позаботиться о такой противной штуке, как область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ логарифмического неравенства

Для логарифма (из его определения) следует, что \( 2x+4

\) выступает в роли \( b\) в определении логарифма).

А как мы помним, это число обязано быть положительным (еще раз посмотри на определение логарифмического неравенства), я предупреждал, что это очень важно.

Ну вот, с ОДЗ мы разобрались, время переходить непосредственно к решению неравенства \( log<<

Давайте просто отбросим \( lo<_<2>>\) из левой и правой частей нашего неравенства. Тогда у нас останется \( 2x+4

-\frac<1><2>\). Теперь наша с тобой цель – это «совместить» полученное решение с ОДЗ.

Теперь тебе ясно, что является решением нашего исходного неравенства? Да, ты абсолютно прав, это та область, где проходят две дужки. Тогда запишем ответ:

А вот тебе тот же самый пример, но я изменю в нем лишь самую малость:

Ты без труда заметил, что изменилось совсем немного – я лишь поменял основание с \( \displaystyle 2\) на \( \displaystyle 0.2.\)

Однако решение примера изменится от этого кардинально.

О нет, ОДЗ не изменится, куда уж ему деться. Тут все по-прежнему. ОДЗ: \( \displaystyle \text>

А вот само неравенство, которое равносильно исходному, преобразится: из \( \displaystyle lo<_<0.2>>

3\) у нас теперь будет следовать, что \( \displaystyle 2x+4

f\left( x \right)>g\left( x \right)\) при \( \displaystyle a>1\) \( \displaystyle lo<_>f\left( x \right)

f\left( x \right) lo<_<0.2>>\left( 5x+10 \right)\).

Ну что же, ты знаешь, что делать: вначале найдем ОДЗ (но здесь у нас будет аж два выражения в нем).

Во-первых \( \displaystyle <^<2>>+6x+8>0\).

Как называется метод, который позволяет решать такие неравенства?

Да! Метод интервалов.

Я просил или нет, повторить его? Кажется, просил. И не зря. Тебя предупреждали, что он может пригодиться в самом неожиданном месте.

Ну ладно, я еще раз напомню, но в первый и последний раз делаю тебе маленькую поблажку.

Первое, что тебе нужно сделать, это найти корни уравнения \( \displaystyle <^<2>>+6x+8=0\), как понимаешь, они равны \( \displaystyle x1=-4,\text< >x2=-2.\)

Нанесем их на координатную прямую и разобьем ее на три интервала. Найдем знак нашего выражения на каждом из интервалов.

Для этого, как помнишь, я должен выбрать число из какого-нибудь промежутка и подставить его в исходное выражение.

Мне нравится подставлять ноль (не правда ли, удобно?), то есть я найду таким образом знак на крайне правом промежутке.

Выражение в нуле равно восьми, значит знак положительный. Ставлю плюсик. Далее чередую. Получу картинку:

Второе ОДЗ проще: \( \displaystyle 5x+10>0\). Тут ты и сам справишься и запишешь, что \( \displaystyle x>-2\).

Тогда я пересекаю первое ОДЗ со вторым, получу:

Теперь приступим непосредственно к решению неравенства, оно заждалось и неприлично заставлять ждать его еще больше.

\( \displaystyle lo<_<0.2>>\left( <^<2>>+6x+8 \right)>lo<_<0.2>>\left( 5x+10 \right)\)

Поскольку основание у нас \( \displaystyle 0.2

Ответом будет голубой холмик, который ты видишь на картинке.

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Теперь давай сформулируем основной алгоритм решения простейших логарифмических неравенств вида \( lo<_>

Те же самые правила применимы и к трем другим видам логарифмических неравенств.

Но ты заметил, что я немного «кривил душой»? Во-первых, кто сказал, что всегда ясно однозначно, какое значение принимает основание. Никто этого не говорил…

Основание также может быть переменным, например, \( a=2x+1\). И тогда нам нужно уже рассматривать отдельно 2 случая: когда оно больше единицы и когда лежит между нулем и единицей.

Однако этому «сложному» случаю будет посвящена следующая статья, где он рассматривается отдельно.

В общем случае, внешний вид логарифмических неравенств может существенно отличаться от простейших. В таком случае что мы с тобой должны сделать вначале?

Верно, привести неравенство к виду простейшего. И мы обязательно будем это делать, но самую малость попозже.

А пока давай немного потренируемся в решении самых базовых логарифмических неравенств.

Пример №1

Вначале найдем ОДЗ:

Из первого неравенства следует, что \( x>-4\).

Второе решим методом интервалов, который я уже успел неоднократно применить выше (и буду применять впредь!).

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №2

Второй пример полегче: здесь нам с тобой не требуется решать никаких квадратичных неравенств. Так что приступим:

Тогда мы получаем очень простое ОДЗ:

Теперь решение самого неравенства:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №3

Третье неравенство еще проще предыдущего!

Так как \( 2>1\), то исходное неравенство равносильно следующему:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Кстати, обрати пристальное внимание на первый пример (хотя и на второй тоже). Посмотри, тебя ничего не смущает?

Видишь, что решение неравенства \( <^<2>>+2 -2>0\) никак не вошло в наш окончательный ответ? И это неслучайно.

Поскольку исходное неравенство равносильно тому, что \( x+4 0\), то второе выражение и подавно автоматически будет больше нуля, так как по условию оно строго больше.

После того как ты разобрался в решении этих трех примеров, я думаю, что ты готов к осознанию некоторого более сложного правила решения логарифмических неравенств.

Правило, позволяющее экономить время при решении логарифмических неравенств

Решение логарифмического неравенства вида \( lo<_>

f\left( x \right) 0\end \right.\)

g\left( x \right)\) в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:

\( a>1:\left\< \beginf\left( x \right)>g\left( x \right)\\g\left( x \right)>0\end \right.\)

Использование данного правила позволит тебе экономить время и силы при нахождении ОДЗ, так как оно уменьшает количество неравенств, которые нам с тобой нужно решить.

Но для использования данного правила тебе нужно быть еще более внимательным.

Ничего страшного, если ты сразу не научишься применять его на практике!

Ты всегда можешь следовать уже «отлаженной» схемой, которую я разбирал выше, а потом, когда почувствуешь себя увереннее, сможешь пользоваться и этим правилом!

Теперь давай перейдем к более общему случаю логарифмических неравенств.

Общий случай логарифмических неравенств

…когда его левая или правая часть (или может так выйти, что и обе разом) не приведены сразу к виду простейшего логарифмического неравенства.

Мы с тобой видим, что с левой частью все в порядке – она представляет собой логарифмическое выражение. Не в порядке у нас правая часть – она есть просто число три.

Что же нам теперь делать?

Ну, во-первых, не отчаиваться. А, во-вторых, ты не представляешь, насколько может быть продуктивным такое на первый взгляд бесполезное действие, как умножение на единицу.

\( \displaystyle 3=3\cdot 1\).

Зачем я это сделал, как ты думаешь? А вот зачем: я (и ты тоже) помню, что для любого положительного числа \( \displaystyle a\) имеет место равенство:

Тебе, я надеюсь, очевидно, почему это так? Да все потому, что а нужно возвести в первую степень, чтобы само а и получить в итоге. Тогда я запишу, что

\( \displaystyle 3=3\cdot lo<_<2>>2.\)

Сам подумай, почему я выбрал два в качестве основания логарифма. Теперь я воспользуюсь простым свойством:

И наше неравенство превратилось в стандартное

Вот видишь, каким волшебным может быть обычное умножение на единицу!!

Давай решим еще примеры на логарифмические неравенства.

Пример №4

Я опять представлю число \( \displaystyle 2\) как \( \displaystyle 2\cdot lo<_<2>>2=lo<_<2>>4\), единицу как \( \displaystyle lo<_<2>>2\), а в выражении \( \displaystyle lo<_<1>>\sqrt<4-<^<2>>>\) воспользуюсь тем, что

Так как \( \displaystyle \frac<1><2>=<<2>^<-1>>\) (свойства степени!!), то исходное неравенство преобразуется вот к такому:

Теперь я воспользуюсь тем, что

Вы позволите мне воспользоваться нашим новым правилом решения логарифмических неравенств?

Ясно, что так как \( \displaystyle 2>1\), то наше неравенство будет равносильно такому:

Из того, что \( \displaystyle 2\sqrt<4-<^<2>>>>0\) и из того, что это выражение меньше, чем \( \displaystyle 4\sqrt\), будет автоматически следовать, что и подавно \( \displaystyle 4\sqrt>0\) и нам не надо учитывать это в ОДЗ.

Если тебе не очень пока понятно это утверждение, ты всегда можешь воспользоваться построением «полного» ОДЗ, результат будет тоже правильным!

Тогда мое исходное неравенство будет равносильно следующей системе:

Пересекая первое решение со вторым пишу ответ: \( \displaystyle x\in \left( 0;2 \right)\)

Пример №5

Теперь я усложню тебе задачу: каждый раз я буду сводить неравенство к простейшему виду, а уже решать будешь ты сам.

Во-первых, что за зверь такой \( \displaystyle lg\)? Слышал о нем раньше? \( \displaystyle lg\left( x \right)\) – это десятичный логарифм, то есть логарифм с основанием \( \displaystyle 10\). Иначе его можно написать в следующем виде: \( \displaystyle lg\left( x \right)=lo<_<10>>x\).

Во-вторых, что нам делать с нулем справа? А нужно всего лишь вспомнить, что

Попробуй сам объяснить, почему это так.

Теперь я перехожу от исходного неравенства к простейшему:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Самостоятельная работа

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Средний уровень

В начальном уровне теории мы с тобой разобрали, как решать простейшие логарифмические неравенства вида:

Давай рассмотрим следующий пример:

Что мне видно сразу? А то, что \( \displaystyle 0,5=<<2>^<-1>>\), и поскольку

То я перейду к равносильному неравенству вида:

Мы с тобой видим, что такое неравенство уже нельзя назвать элементарным. Почему? Да потому, что логарифм в него входит во второй степени.

А разве такие неравенства мы называли элементарными? Вот и я думаю, что нет. Как же нам поступить?

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Вот еще один пример на замену переменных в неравенстве:

Мне кажется, здесь опять замена напрашивается сама собой: \( \displaystyle t=\lg x\)

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Логарифмическое неравенство с переменным основанием

где \( \displaystyle h(x),g(x),f(x)\) – некоторые функции, зависящие от \( \displaystyle x\), а \( \displaystyle V\) – один из знаков: \( \displaystyle >, 0\\g(x)>0\\h(x)>0\\h(x)\ne 1\end \right.\)

Бывают еще более печальные случаи, когда неравенство имеет вид:

то есть представляет собой логарифмическое неравенство с РАЗНЫМИ основаниями, но одинаковыми выражениями «сверху». Для него равносильной системой будет следующая:

Все становится все ужаснее и ужаснее, правда? Но ничего, скоро мы перейдем к примерам (очень важным!) и все встанет на свои места!

Вот последний вид «сложного» неравенства:

Ему равносильна следующая система:

Представленный метод решения неравенств (1), (2), (3) говорит нам о том, как от сложного логарифмического неравенства (но одного!) перейти к простым неравенствам (но к целой системе!).

По сути этот метод позволяет одно сложное свести к системе простых. Этот метод получил название..

Метод декомпозиции (рационализации)

На самом деле, можно и не запоминать все формулы в каждой системе. Все, кроме первой – это просто-напросто ОДЗ (ну в самом деле, просто взгляни на них), а первое – это так называемое условие сохранения знака.

К нему ты всегда можешь прийти, рассматривая случаи, когда \( \displaystyle 0 1\).

В частности, если \( \displaystyle 0

lo<_>g\left( x \right)\) влечет за собой \( \displaystyle f\left( x \right) 0\) имеет место только тогда, когда \( \displaystyle f\left( x \right)-g\left( x \right)

lo<_>g\left( x \right)\) и \( \displaystyle \left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)\left( h\left( x \right)-1 \right)>0\) равносильны (учитывая, конечно, ОДЗ). Аналогично ты можешь получить, что эти же неравенства будут равносильны и при \( \displaystyle h\left( x \right)>1\).

Но если ты и эту формулу забыл, то ничего страшного, просто придется дольше поработать. Ты всегда можешь решить логарифмическое неравенство, опираясь только на определение логарифмической функции. В частности, неравенство

Равносильно следующей системе:

Где сложное условие \( \displaystyle \left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)\left( h\left( x \right)-1 \right)>0\) я заменил совокупностью из двух систем.

Решение любого сложного логарифмического уравнения я рекомендую начинать с ОДЗ.

В некоторых случаях это позволит тебе не решать одну из двух систем, поскольку будет заведомо известно, что ее решение не лежит в ОДЗ.

Ты уже в трепете перед этими сложными формулами? Я тебя понимаю. Однако, все, что я могу сказать: аппетит приходит во время еды.

И большинство «монструозных» задач сложного уровня, имеющих в своем составе логарифмы, сводятся в конечном счете к одному из неравенств вида (1)-(3), либо решаются при помощи некоторой замены переменной.

Я не хочу быть более голословным, поэтому перейду к примерам прямо сейчас. Обрати внимание, все следущие примеры взяты из ЕГЭ предыдущих лет!

Пример из ЕГЭ предыдущих лет №1 (на хорошую замену)

Во многих случаях, при решении «сложных» неравенств, может полезной оказаться одна из следующих формул:

В данном случае мне удобно воспользоваться второй формулой. Понимаешь, почему? Да все потому, что все три логарифма содержат в себе тройку «наверху»!!

Если я преобразую исходное неравенство, то у меня получится:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример из ЕГЭ предыдущих лет №2 (на «сложную» замену переменной)

Вначале найдем ОДЗ:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример из ЕГЭ предыдущих лет №3 (неравенство с переменным основанием)

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример из ЕГЭ предыдущих лет №4

Данное неравенство имеет вид (2). Значит перейдем к равносильной ему системе:

Теперь твоя цель – решить методом интервалов каждое из указанных в системе неравенств, а затем найти область их пересечения. Я самоустраняюсь от этой (хоть и тривиальной, но достаточно трудоемкой) задачи, и доверяю ее тебе. Окончательный ответ будет вот таким:

В данной статье я постарался объяснить тебе подходы к решению одних из самых трудных задач, встречающихся в школьном курсе – решению логарифмических неравенств.

Я надеюсь, чтение и разбор примеров оказались для тебя полезными и время ты потратил не зря. Опять-таки повторюсь: чтобы освоить методы решения, тебе нужно совсем немного: всего три вещи: практика, практика и практика.

Мини-максный метод решения логарифмических неравенств

В дополнение к уже изложенному материалу (который, увы, не охватывает и не может охватывать весь спектр способов решения логарифмических неравенств), я рассмотрю еще один способ, который может быть полезен там, где ничего больше не помогает (но опять-таки, я сразу оговорюсь, что изложенный метод не является панацеей).

Данный метод будет основан на некоторых свойствах логарифмической функции: на ее монотонности и на наибольших и наименьших значениях на интервале ее существования.

Прежде чем приступать к рассмотрению метода, я напомню тебе, что такое монотонность функции:

Определение монотонности функции:

\( \displaystyle f\left( x \right)\) монотонно возрастает на \( \displaystyle \left[ a,b \right]\), если для любых \( \displaystyle <_<1>>,<_<2>>\) из этого промежутка из того, что \( \displaystyle <_<1>> <_<2>>\) следует, что \( \displaystyle f\left( <_<1>> \right)>f\left( <_<2>> \right).\)

Определение:

\( \displaystyle f\left( x \right)\) монотонно убывает на \( \displaystyle \left[ a,b \right]\), если для любых \( \displaystyle <_<1>>,

<_<2>>\) из этого промежутка из того, что \( \displaystyle <_<1>> f\left( <_<2>> \right)\) и наоборот, из того, что \( \displaystyle <_<1>>><_<2>>\) следует, что \( \displaystyle f\left( <_<1>> \right)

Функция на рисунке слева – монотонно возрастающая, а справа – монотонно убывающая. Теперь обратимся к логарифмической функции \( \displaystyle f(x)=lo<_>x4\), известно, что выполняется следующая:

Теорема: если \( \displaystyle a>1\), то функция \( \displaystyle f\left( x \right)=

На рисунке приведены примеры монотонно возрастающей и монотонно убывающей логарифмической функции. Теперь я могу приступать к рассмотрению одного из приемов решения логарифмических неравенств.

Рассмотренный здесь метод называется мини-максным.

Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название? Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:

\( \displaystyle \left\< \beginf\left( x \right)\le g\left( x \right)\\f\left( x \right)\ge A\\g\left( x \right)\le A\end \right.\Leftrightarrow \left\< \beginf\left( x \right)=g\left( x \right)\\f\left( x \right)\ge A\\g\left( x \right)\le A\end \right.\Leftrightarrow \left\< \beginf\left( x \right)=A\\g\left( x \right)=A\end \right.\)

Иногда данный метод позволяет решать на первый взгляд «безнадежные» неравенства вроде

Давай введем в рассмотрение две функции

\( \displaystyle f\left( x \right)=

lo<_<2>>\left( 6x-<^<2>>-7 \right)\), \( \displaystyle g\left( x \right)=

Найдем для каждой из них область значений \( \displaystyle E\left( f \right),E\left( g \right)\):

Пусть \( \displaystyle t=6x-<^<2>>-7\)

\) то есть \( \displaystyle t\le 2\), с другой стороны, по определению логарифма \( \displaystyle t>0\).

Так как \( \displaystyle y=f\left( t \right)\) возрастает на \( \displaystyle \left( 0;2 \right]\).

Причем, при \( \displaystyle t\) стремящемся к нулю, \( \displaystyle f\left( t \right)\) стремится к минус бесконечности (смотри рисунок выше), а при \( \displaystyle t=2,

f\left( t \right)=f\left( 2 \right)=1\).

Таким образом, область значений \( \displaystyle f(x)\) есть множество:

Теперь найдем область значений \( \displaystyle g(x)\): вновь введем замену \( \displaystyle z=\left| x-3 \right|,\) \( \displaystyle z\ge 0\) (по определению модуля), так как \( \displaystyle g\left( z \right)=<<7>^>\) возрастает на всей числовой прямой, то наименьшее значение \( \displaystyle g\left( z \right)\) при \( \displaystyle z\ge 0\) достигается при \( \displaystyle z=0\), \( \displaystyle g\left( 0 \right)=1\), \( \displaystyle g\left( z \right)>1\) при \( \displaystyle z>0\). Таким образом:

\( \displaystyle E\left( g \right)=\left[ 1;+\infty \right).\)

Воспользуемся мини-максным методом: он говорит нам о том, что решение неравенства может иметь место только при

\( \displaystyle f\left( x \right)=g\left( x \right)=A\). В нашем случае \( \displaystyle A=1.\)

Тогда \( \displaystyle f\left( x \right)=1\) эквивалентно: \( \displaystyle lo<_<2>>\left( 6x-<^<2>>-7 \right)=1\) а из \( \displaystyle g\left( x \right)=1\) получится \( \displaystyle <<7>^<\left| x-3 \right|>>=1.\) Первое уравнение имеет корень: \( \displaystyle x=3\), это же число является и корнем второго уравнения. Тогда наше исходное неравенство имеет место только при \( \displaystyle x=3\).

Вот такой пример (позаковырестее) я предлагаю решить тебе самому:

Давай посмотрим, что у нас получилось:

Я начну с анализа первого неравенства: Слева у меня стоит монотонно убывающая функция, а справа – монотонно возрастающая. Вначале мы разберемся с \( \displaystyle f\left( x \right)=lo<_<\frac<1><3>>>\left( 3+\left| sinx \right| \right)\), пусть \( \displaystyle t=3+\left| sinx \right|\), тогда из того, что \( \displaystyle 0\le \left| sinx \right|\le 1\), следует, что \( \displaystyle 3\le t\le 4\).

Функция \( \displaystyle f\left( t \right)\) является монотонно убывающей при \( \displaystyle 3\le t\le 4\), тогда своего наибольшего значения она достигает при \( \displaystyle t=3\), а наименьшего – при \( \displaystyle t=4\).

Теперь рассмотрим \( \displaystyle g\left( x \right)=<<2>^<\left| x \right|>>-2\), сделаем замену \( \displaystyle t=\left| x \right|,

t\ge 0\). Тогда \( \displaystyle g\left( t \right)=<<2>^>-2\) монотонно возрастает и наименьшего значения достигает при \( \displaystyle t=0.\) Это значение будет равно \( \displaystyle g\left( 0 \right)=-1.\) При \( \displaystyle t>0

Вновь воспользуемся мини-максным методом. В данном случае первое неравенство может иметь место только при \( \displaystyle f\left( x \right)=g\left( x \right)=-1\). Ясно, что первое уравнение имеет бесконечное количество корней, задаваемых формулой

\( \displaystyle x=\pi n,

Тогда как второе имеет только один корень \( \displaystyle x=0\). Ясно, что при подстановке \( \displaystyle n=0\) в формулу корней первого уравнения, я получу, что \( \displaystyle x=0\). Тогда первое неравенство выполняется только при \( \displaystyle x=0\).

Что же теперь? Нужно ли нам решать второе неравенство? А смысл? Ведь если оно и имеет решение, то нам нужно будет его пересекать с тривиальным решением первого неравенства. Так не проще ли нам подставить во второе неравенство \( \displaystyle 0\) и проверить, имеет ли оно при этом место? Я думаю, что это не представляет никакого труда.

Тогда с чистой совестью записываю ответ: \( \displaystyle x=0\).

Конечно, мини-максный метод является не единственным методом решения сложных логарифмических неравенств, однако он в полной мере демонстрирует мощь «функционального» подхода к решению неравенств (кстати, и уравнений тоже).

Источник