Как решать логарифмические функции

Как решать логарифмические функции

График функции имеет следующий вид:

Рассмотрим свойства функции:

Примеры решения задач

Задание 1.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

Решение.

Для начала построим график функции y = log₂x. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.

x				1	2	4	8
y(x)	-3	-2	-1	0	1	2	3

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y = log₂x возрастает на всей области определения D(y)=R+, так как основание функции 2 > 1.

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. C осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

Чем больше основание a (если a > 1) логарифмической функции y = log_ax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.

Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

Задание 2.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

Решение.

Для начала построим график функции . Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.

x				1	2	4	8
y(x)	3	2	1	0	-1	-2	-3

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция убывает на всей своей области определения: D(y) = R, так как основание функции 0

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. С осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

Чем меньше основание a (если 0

Все данные функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Задание 3.

Найти обасть определеления функции:

Решение

Область определения данной функции задается следующим неравенством:

Решим это линейное неравенство:

Логарифм определен, если подлогарифмическая функция является положительной, то есть искомая область определения: D(y): (x-1)(x+5) > 0.

Решим полученное уравнение методом интервалов. Для этого найдем нули каждого из сомножителей:

Наносим их на координатную прямую и определяем знак неравенства на каждом из полученных промежутков.

Источник

Что такое логарифмическая функция? Определение, свойства, решение задач

Раздел логарифмов занимает огромное значение в школьном курсе «Математического анализа». Задания для логарифмических функций построены на иных принципах, нежели задачи для неравенств и уравнений. Знание определений и основных свойств понятий логарифм и логарифмическая функция, обеспечат успешное решение типовых задач ЕГЭ.

Определение понятия логарифм

Прежде чем приступить к объяснению, что представляет собой логарифмическая функция, стоит обратиться к определению логарифма.

Разберем конкретный пример: а log _a x = x, где a › 0, a ≠ 1.

Основные свойства логарифмов можно перечислить несколькими пунктами:

Логарифмирование

Логарифмированием называют математическую операцию, которая позволяет с помощью свойств понятия найти логарифм числа или выражения.

Функция логарифма и ее свойства

Логарифмическая функция имеет вид

Сразу отметим, что график функции может быть возрастающим при a › 1 и убывающим при 0 ‹ a ‹ 1. В зависимости от этого кривая функции будет иметь тот или иной вид.

Приведем свойства и способ построения графиков логарифмов:

Построить обе разновидности графиков очень просто, рассмотрим процесс на примере

Для начала необходимо вспомнить свойства простого логарифма и ее функции. С их помощью нужно построить таблицу для конкретных значений x и y. Затем на координатной оси следует отметить полученные точки и соединить их плавной линией. Эта кривая и будет являться требуемым графиком.

Очевидно, что обе линии являются зеркальным отражением друг друга. Построив прямую y = x, можно увидеть ось симметрии.

Для того, чтобы быстро найти ответ задачи нужно рассчитать значения точек для y = log_2⁡x, а затем просто перенести начала точки координат на три деления вниз по оси OY и на 2 деления влево по оси OX.

В качестве доказательства построим расчетную таблицу для точек графика y = log₂⁡(x+2)-3 и сравним полученные значения с рисунком.

Как видно, координаты из таблицы и точек на графике совпадают, следовательно, перенос по осям был осуществлен правильно.

Примеры решения типовых задач ЕГЭ

Большую часть тестовых задач можно разделить на две части: поиск области определения, указания вида функции по рисунку графика, определение является ли функция возрастающей/убывающей.

Для быстрого ответа на задания необходимо четко уяснить, что f(x) возрастает, если показатель логарифма а › 1, а убывает – при 0 ‹ а ‹ 1. Однако, не только основание, но и аргумент может сильно повлиять на вид кривой функции.

Задание 1

F(x), отмеченные галочкой, являются правильными ответами. Сомнения в данном случае вызывают пример 2 и 3. Знак «-» перед log меняет возрастающую на убывающую и наоборот.

Ответ: 3,4,5.

Задание 2

Ответ: 4.

Данные типы заданий считаются легкими и оцениваются в 1- 2 балла.

Задание 3.

Определить убывающая или возрастающая ли функция и указать область ее определения.

Так как основание логарифма меньше единицы, но больше нуля – функция от x является убывающей. Согласно свойствам логарифма аргумент также должен быть больше нуля. Решим неравенство:

Ответ: область определения D(x) – интервал (50; + ∞).

Задание 4.

Ответ: 3, 1, оси OX, направо.

Подобные задания классифицируются как средние и оцениваются в 3 – 4 балла.

Задание 5. Найти область значений для функции:

Из свойств логарифма известно, что аргумент может быть только положительным. Поэтому рассчитаем область допустимых значений функции. Для этого нужно будет решить систему из двух неравенств:

Итак, искомый промежуток находится в пределе интервала (-4; 8), при других x становится невозможным вычислить значение одного из данных логарифмических выражений.

Согласно свойствам логарифмической функции сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов.

Графиком функции y = – x 2 + 4x + 32 является парабола, схематический график которой представлен ниже.

Точка A является экстремумом графика, в ней y принимает наибольшее значение. Координаты точки A (m; n) вычисляются по формулам, приведенным на рисунке. Высчитаем n для заданной параболы.

Наибольшее значение y_max = 36. Так как основание логарифма в примере больше 1, то функция будет возрастающей, и достигнет наибольшего значения при максимальном аргументе. Узнаем максимум для F(y):

Наименьшего значения в конкретном примере нет, поэтому ОДЗ для f(x) = log₃⁡(x+4)+ log₃⁡(8-x) является следующий интервал (- ∞; 2log₃6).

Подобные задачи можно отнести к категории «сложно» и оценивать не менее 4 баллов за правильный ответ.

Источник

Логарифмические уравнения

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

При этом 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

4. Решите уравнение:

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x=-4 \end\right.\Leftrightarrow x=-4′ alt=’\log _<8>\left ( x^<2>+x \right )=\log _<8>\left ( x^<2>-4 \right )\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x=-4 \end\right.\Leftrightarrow x=-4′ />
Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:
0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end\right.’ alt=’\left\ <\begin12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end\right.’ />

Теперь можно «убрать» логарифмы.

— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0′ alt=’x> 0′ />.

ОДЗ уравнения: 0′ alt=’x> 0′ />

Вернемся к переменной х:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

Вернемся к переменной х. Получим:

. Мы нашли все корни исходного уравнения.

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Источник

Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3. Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично». В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.

Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств, которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.

Логарифмическая функция

Определение

0,\, a\ne 1 \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

называют логарифмической функцией.

Основные свойства

Основные свойства логарифмической функции y = log_a x:

a > 1

0 0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> • Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел: 0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> • Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство: 0,\, b>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> • Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма): 0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1,\, c\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> Решение логарифмических уравнений и неравенств Пример 1. Решите уравнение: Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств: 0, \\ 8+5x > 0 \end \Leftrightarrow \begin x^2 > 6, \\ x>-1,6. \end \Leftrightarrow \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> -\sqrt<6>, \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения: На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению: В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ: x = 7. Пример 2. Решите уравнение: Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств: Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит решений у данного логарифмического уравнения нет. Ответ: корней нет. Обратите внимание, что в этом задании нам вообще не пришлось искать корни уравнения. Достаточно оказалось определить, что его область допустимых значений не содержит ни одного действительно числа. Это одно из преимуществ такой последовательности решения логарифмических уравнений и неравенств (начинать с определения области допустимых значений уравнения, а затем решать его путем равносильных преобразований). Примет 3. Решите уравнение: Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0. Уравнение принимает вид: Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами. Пример 4. Решите уравнение: Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств: 0, \\ x+3>0, \\ 1-x>0 \end\Leftrightarrow \begin x>-2, \\ x>-3, \\ x Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению: Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению: Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит. Пример 5. Решите уравнение: Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному: Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения. Пример 6. Решите уравнение: Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид: 0, \\ x>0, \\ x\ne 1 \end\Leftrightarrow x>0,\, x\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению: Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем: В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4. Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам. Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема: Теорема 2. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то: при a > 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > log a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x); при 0 log a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств: 0, \\ x+4>0 \end\Leftrightarrow \begin x\in(-\mathcal<1>;-3)\cup(2;+\mathcal<1>), \\ x>-4 \end \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству: Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ: Пример 8. Решите неравенство: Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений: 0, \\ \frac<(x-9)^<11>>>0 \end\Leftrightarrow x\in(-\mathcal<1>;3)\cup(9;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования: После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем: С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ: Пример 9. Решите логарифмическое неравенство: Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой: 0, \\ x+1\ne 1,\\ x(x+1)(x+2)>0 \end\Leftrightarrow x\in (0;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству: С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ: Пример 10. Решите неравенство: Решение. Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств: 0, \\ x^2>0, \\ x^2\ne 1 \end\Leftrightarrow x\in(-\mathcal<1>;-1)\cup(-1;0)\cup(4;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству: Неравенство будет равносильно двум системам. Первой: Итак, окончательный ответ: II способ. Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду: Вычтем из знаменателя Это ничего не изменит, поскольку Множество решений данного неравенства Итак, а с учетом области допустимых значений получаем тот же результат: Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства? Главное же требование — это настойчивость в достижении своей цели. Учитесь, тренируйтесь, если нужно — ежедневно, изучайте и запоминайте на примерах основные способы решения неравенств и их систем, анализируйте возникающие ошибки и не допускайте их в будущем. За помощью в этом нелегком деле вы можете обратиться к своему школьному учителю по математике, репетитору, родителям, друзьям и знакомым, книгам, а также огромному количеству материалов, доступных на просторах Интернета. Желаю вам успехов в подготовке к Единому государственному экзамену по математике. Источник ← Какие машины относятся к роскоши по налогам для чего пьют карбамазепин → Вам также понравится в исламе есть иконы 05.10.202303.09.2023 admin 0 Камера для охраны автомобиля 05.10.202307.09.2023 admin 0 Как рассчитать экономическую эффективность 02.10.202319.08.2023 admin 0 Добавить комментарий Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.