Как решать функциональные уравнения

Функциональные уравнения. Методы их решения

Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики

БОУ ДПО (ПК) С «Чувашский республиканский институт образования»

Кафедра математики и информационных технологий

Курсовая работа на тему:

« Функциональные уравнения. Методы их решения»

Выполнил (а): учитель математики МБОУ «СОШ № 60»

Глава 1. Понятие функционального уравнения ………………………………. 5

Глава 2. Практическая часть. Методы решения функционального уравнения.9

Что же такое функциональные уравнения? И какие способы их решения существуют? Эти вопросы заинтересовали меня, и я решила провести исследование. функциональный уравнение коши

Функциональными уравнениями занимаются с очень давних пор, этому курсу так и не нашлось достойного места в математических программах. А жаль. Ведь решение отдельных функциональных уравнений требует достаточно глубокого понимания предмета и прививает любовь к самостоятельной творческой работе. Так как эта тема в школьном курсе не изучается в виду её сложности, при поступлении в престижные ВУЗы, на олимпиадах, в части С ЕГЭ такие задачи встречаются.

В настоящее время практически нет никаких пособий, обучающих решению функциональных уравнений.

Поэтому ощущается потребность в пособии, которое на простых и конкретных примерах способно показать читателю со скромной математической подготовкой весь арсенал современных методов решения функциональных уравнений.

1. изучение и анализ литературы;

2. поиск способов решения функциональных уравнений и их систем;

3. решение функциональных уравнений

4. составление сборника

Объект исследования: функциональные уравнения

Предмет исследования: изучение свойств и способов решения функциональных уравнений.

Структура: введение, понятие функционального уравнения, сборник задач, заключение.

Глава 1. Понятие функционального уравнения

Функциональное уравнение – это уравнение, которое содержит одну или несколько неизвестных функций (с заданными областями определения и значений). Решить функциональное уравнение – это, значит, найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют. Функциональные уравнения возникают в самых различных областях математики, обычно в тех случаях, когда требуется описать все функции, обладающие заданными свойствами. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них. Часто встречаются на различных математических соревнованиях.

Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это

которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность.

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения

(1)

То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 – 1857) нашёл общие решения

этого уравнения, предполагая только непрерывность f(x).

Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности

была получена Н. И. Лобачевским (1792 – 1856) из функционального уравнения

, (2)

которое он решил методом, аналогичным методу Коши. Это уравнение можно привести к уравнению

.

Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792—1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х) ; (х, f(х)) — произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно,

(3)

Функциональному уравнению (3) удовлетворяют, в частности, функции:

,

Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши

Эти уравнения Коши подробно изучил в своём (Курсе Анализа), изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид

, , ,

В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение (4) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.

Источник

Элементарное введение в функциональные уравнения

Теория и примеры решения функциональных уравнений

Просмотр содержимого документа
«Элементарное введение в функциональные уравнения»

1.Функциональные уравнения. Их свойства и методы решения. 5

1.1 Определение и примеры функциональных уравнений. 5

1.2 Методы решения функциональных уравнений. 8

2. Решение функциональных уравнений Коши на множестве Q рациональных чисел. 13

2.1 Решение уравнения вида f(x+y)=f(x)+f(y) на Q. 13

2.2 Решение уравнения вида f(x+y)=f(x)∙f(y) на Q. 15

2.3 Решение уравнения вида f(x∙y)=f(x)+f(y) на Q. 17

2.4 Решение уравнения вида f(x∙y)=f(x)∙f(y) на Q. 19

3. Решение функциональных уравнений Коши на R. 22

3.1 Решение уравнения вида f(x+y)=f(x)+f(y) на оси R. 22

3.2 Решение уравнения вида f(x+y)=f(x)∙f(y) на оси R. 23

4. Решение функциональных уравнений Коши в измеримых функциях. 25

5. Класс уравнений типа Коши. 27

Список использованных источников. 30

Курсовая работа посвящена изучению функциональных уравнений, весьма общему классу уравнений, в которых искомой является некоторая функция.

К функциональным уравнениям по существу относятся дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях; следует, однако, отметить, что название функциональные уравнения обычно не относят к уравнениям этих типов. Под функциональными уравнениями в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Функциональные уравнения можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций.

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения

(1)

То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 – 1857) нашёл общие решения

Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792—1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х); (х, f(х)) — произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно,

(2)

Функциональному уравнению (2) удовлетворяют, в частности, функции: ,

1. Функциональные уравнения. Их свойства и методы решения

1.1 Определение и примеры функциональных уравнений

Одним из простейших функциональных уравнений является уравнение

Непрерывные решения этого функционального уравнения имеют вид:

Однако в классе разрывных функций это функциональное уравнение имеет и иные решения. С рассмотренным функциональным уравнением связаны

непрерывные решения которых имеют соответственно вид e Cx , C∙lnx, x a (x 0).

Т.о., эти функциональные уравнения могут служить для определения показательной, логарифмической и степенной функций. В теории аналитических функций функциональные уравнения часто применяются для введения новых классов функций.

Например, двоякопериодические функции характеризуются функциональными уравнениями:

f (z + а) = f (z) и f (z + b) = f (z),

автоморфные функции — функциональными уравнениями:

где a> — некоторая группа дробно-линейных преобразований.

Если функция известна в некоторой области, то знание для неё функционального уравнения позволяет расширить область определения этой функции. Например, функциональное уравнение f (x + 1) = f (x) для периодических функций позволяет определить их значение в любой точке по значениям на отрезке [0, 1]. Этим часто пользуются для аналитического продолжения функций комплексного переменного. Например, пользуясь функциональным уравнением Г (z + 1) = z∙Г (z) и зная значения гамма-функции Г(z) в полосе 0 Re z

Условия симметрии, имеющиеся в какой-либо физической задаче, обусловливают определённые законы преобразования решений этой задачи при тех или иных преобразованиях координат. Этим определяются функциональные уравнения, которым должно удовлетворять решение данной задачи. Значение соответствующих функциональных уравнений во многих случаях облегчает нахождение решений.

Решения функциональных уравнений могут быть как конкретными функциями, так и классами функций, зависящими от произвольных параметров или произвольных функций.

Для некоторых функциональных уравнений общее решение может быть найдено, если известны одно или несколько его частных решений. Например, общее решение функционального уравнения

где j(x) — произвольная функция, а w(x) — частное решение этого функционального уравнения

Для решения функциональных уравнений их во многих случаях сводят к дифференциальным уравнениям. Этот метод даёт лишь решения, принадлежащие классу дифференцируемых функций.

Другим методом решения функциональных уравнений является метод итераций. Этот метод даёт, например, решение уравнения Абеля:

где a(x) — заданная функция и связанного с ним уравнения Шрёдера:

А. Н. Коркин доказал, что если a(х) — аналитическая функция, то уравнение Абеля имеет аналитическое решение. Эти результаты, нашедшие применение в теории групп Ли, привели в дальнейшем к созданию теории итераций аналитических функций. В некоторых случаях уравнение Абеля решается в конечном виде [1].

Источник

Функциональные уравнения.

знакомство с нестандартными приёмами решения уравнений, которые базируются на различных свойствах функций: чётности или нечётности, монотонности, периодичности и т.п.

Просмотр содержимого документа
«Функциональные уравнения.»

МАОУ «Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина»

Учебное пособие для дополнительных занятий в математических кружках

ученик 10 К класса МАОУ «Лицея №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина»

Козадаев В.С., кандидат педагогических наук, учитель математики

Книга адресована для школьников, руководителей математических кружков и всех любителей математики.

Пособие состоит из трёх частей:

Функциональные уравнения: классификация и методы решения;

Применение функциональных уравнений в решении задач;

Дополнение (Историческая справка+задачник).

© МАОУ «Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина», 2016

Также функциональные уравнения находят свое применение и в решении задач, напрямую с ними не связанными, причем не только в математике, но и других образовательных областях, например, в физике.

Глава I. Функциональные уравнения: классификация и методы решения. §1. Основные понятия и классификация функциональных уравнений

Функциональное уравнение – это уравнение, которое содержит одну или несколько неизвестных функций (с заданными областями определения и значений). Решить функциональное уравнение – значит найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют.

Примеры функциональных уравнений:

1)

2)

3)

Наиболее важны и известны уравнения Коши:

В современной математике изучаются, в основном, дифференциальные уравнения, т.к. они имеют большое прикладное применение в физике и технике. Однако они практически не встречаются в олимпиадных задачах, потому что их решение зачастую требует специфических знаний из высшей математики, поэтому в нашем пособии мы их рассматривать не будем.

Несмотря на то, что каждая олимпиадная задача с функциональными уравнениями имеет своеобразный подход к решению, всё же можно выделить некоторые группы уравнений, объединенных общей идеей решения, основанной на каком-то математическом методе (метод подстановок) или анализе свойств функции (чётность/нечётность, монотонность, непрерывность и др.).

Итак, выделим следующие группы функциональных уравнений по методу их решения:

Метод подстановок (метод сведения к системе уравнений).

Использование функциональных уравнений с известными решениями.

В таких вузовских олимпиадах, как САММАТ, ИТМО встречались уравнения на 1-3 методы. Они проще и требуют скорее объёмных преобразований, чем специальных знаний и творческого подхода, в то время как 4 метод этом смысле сильно разнится с ними (задачи на него были на Всеросе, ММО, Турнире городов).

§2. Перебор переменных

Метод перебора переменных – самый простой среди выделенных мною.

1)Найти все такие функции, которые удовлетворяют системе неравенств

Возьмем . Тогда:

⇒

⇒

Ответ: .

2) Найти все такие функции, которые удовлетворяют равенству

Ответ: .

§3. Метод подстановок

Метод подстановок довольно схож с методом перебора переменных.

Суть метода: подставить вместо переменных какие-то выражения вида g(x) так, чтобы получить решаемую систему уравнений.

1) Найти все такие функции, которые удовлетворяют равенству

Подставляем в уравнение вместо x найденную g(x):

2) Найти все такие функции, которые удовлетворяют равенству

Несмотря на внешнюю сложность, по сути система эквивалентна:

Метод подстановок бывает довольно громоздким и сложным в вычислениях и преобразованиях, но применяется часто.

§4. Использование функциональных уравнений с известными решениями

Суть метода: применить при решении функциональные уравнения, для которых уже известны описываемые решения.

1) Найти все такие функции, которые удовлетворяют равенству

Возьмем вспомогательную функцию

Подставим в исходное уравнение

Т.е. функция g(x) удовлетворяет уравнению Коши, откуда

2) Найти все такие функции, которые удовлетворяют равенству

Введем дополнительную функцию

Т.е. функция удовлетворяет третьему уравнению Коши, откуда

Важно заметить, что метод Коши применяется для непрерывных функций.

Суть метода: постепенное отыскание решения функционального уравнения (вначале на множестве натуральных чисел, затем, с помощью математической индукции, на множестве целых, рациональных и, в заключение, действительных чисел).

Аддитивное уравнение Коши:

Решение (в непрерывных функциях).

Докажем, что за знак функции можно выносить рациональные числа, т.е.

. Теперь воспользуемся леммой*: если функции совпадают во всех рациональных точках, то они равны. Тогда имеем:

Лемма. Если значения двух непрерывных функций совпадают во всех рациональных точках, тогда во всех действительных точках.

Поскольку выбиралась произвольно, лемма доказана.

Самому решить это уравнение довольно сложно, если не невозможно, так что такой метод нужно просто запомнить.

Глава II.Применение функциональных уравнений в решении задач.

В пособии применение функциональных уравнений в решении задач будет рассмотрено, в первую очередь, с точки зрения идеи создания выделенной в классификации. Иными словами, методы решения таких задач основаны на свойствах функций, а не на методах решения функциональных уравнений (однако, если задача по сути представляет собой функциональное уравнение, конечно, применять метод подстановок и т.п. можно и нужно).

Конечно, легко решить это уравнение с помощью равносильного перехода или замены переменной. Однако есть и другой, не менее простой, метод решения.

Данное уравнение имеет вид:

Таким образом, имеем 2 случая:

Откуда легко находим (см. задачу 1) корни.

Глава III. Дополнение Историческая справка

Краткая история развития теории функциональных уравнений.

Проблема решения функциональных уравнений появилась одновременно с зарождением теории функций. В 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения. Н. И. Лобачевский получил формулу угла параллельности из функционального уравнения. Также английский математик Ч. Бэббидж рассматривал некоторые геометрические задачи с точки зрения функциональных уравнений. Г. Дарбу применял их к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии.

В современной математике рассматриваются, в основном, дифференциальные уравнения, которые находят широкое применение в физике и технике.

Краткая биография Коши.

Огюсте́н Луи́ Коши́ (21 августа 1789— 23 мая 1857) — блестящий французский математик и механик, член Парижской академии наук, Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и других академий.

Основные направления научной деятельности:

Математический анализ. О. Л. Коши впервые дал строгое определение основным понятиям математического анализа — пределу, непрерывности, производной, дифференциалу, интегралу, сходимости ряда и т. д. Курсы анализа Коши, основанные на систематическом использовании понятия предела, послужили образцом для большинства курсов позднейшего времени..

Алгебра (доказал основную теорему теории симметрических многочленов, развил теорию определителей, найдя все главные их свойства, в частности теорему умножения (причем Коши исходил из понятия знакопеременной функции)).

Физика и механика. Внёс значительный вклад в формирование математического аппарата механики сплошных сред. Он первым стал рассматривать условия равновесия и движения выделенного объёма сплошной среды, на который действуют объёмные и поверхностные силы. В 1827 г. Коши установил свойство взаимности напряжений: давления на двух пересекающихся площадках с общим центром и одинаковой площадью обладают тем свойством, что проекция одного из них на нормаль ко второй площадке равна проекции второго давления на нормаль к первой площадке.

О. Л. Коши внес огромный вклад в развитие теории функциональных уравнений. Так, например, широко распространены уравнения Коши:

Применение функциональных уравнений в физике.

Многочисленные задачи, связанные с описанием физических явлений и процессов, приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных. Среди таких уравнений наиболее простыми и в то же время наиболее важными являются так называемые линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядков в частных производных.

Решение уравнения сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Также функциональными в физике являются уравнение теплопроводности, уравнение Лапласа и другие. Однако решение этих уравнений уходит в область математического анализа, и описанные в пособии методы там никак не применимы.

Источник