Как решать двойные радикалы
Урок по алгебре: «Преобразования двойных радикалов» (8 класс)
1) Познакомить учащихся с понятием двойного радикала.
2) Научить преобразовывать двойные радикалы выделением полного квадрата подкоренного выражения и по формулам двойного радикала.
3) Развивать умения и навыки работы с квадратными корнями, выявить закономерности и обобщить учебный материал.
1) Развитие внимания учащихся.
2) Развитие умения слушать товарища, доводить начатое дело до конца.
3) Развитие интереса к изучению алгебры и навыки самостоятельной и исследовательской работы.
1) Воспитание чувства коллективизма.
2) Продолжить формирование чувства ответственности за результат работы.
1 этап работы. Организационный момент.
2 этап работы. Устный счёт.
а) Найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число:
б) Имеет ли смысл выражение: 
в) Упростите выражение: 
г) Выполни умножение:
Вводим понятие двойного радикала:
Выражения вида 
и 
называют двойными радикалами или сложными радикалами.
Преобразовать двойной радикал – это значит избавиться от внешнего радикала.
Обратим внимание, что во время устного счёта мы с вами уже преобразовывали двойные радикалы. Преобразование двойных радикалов произошло во время алгебраических действий с квадратными корнями.
Преобразовать выражение в тетради:
1) 
На этом примере мы убедились, что мы уже умеем преобразовывать двойные радикалы в процессе выполнения алгебраических действий.
2) Вместо “?” поставить числа так, чтобы получилось верное равенство:
Преобразовать следующие выражения, используя формулы полного квадрата:
Вывод: Если подкоренное выражение представить в виде полного квадрата, то можно легко освободиться от внешнего радикала.
Работаем в тетрадях примерам 1;2;3;5 с листа контрольных заданий.
Последний пример пытаются выполнить и не получается.
В тех случаях, когда подкоренное выражение нелегко представить в виде полного квадрата, можно использовать готовые формулы:
При данных условиях каждое подкоренное выражение не отрицательно. Докажем справедливость одной из формул.
Возведём обе части первого равенства в квадрат. Имеем:(доказывает ученик):
Применяя данные формулы решить примеры 7;8;10;17; 21 с листа контрольных заданий.
7) 
Вывод урока: преобразовать двойные радикалы можно
1) при вып-ии алгебраич-х действий в некот выражении, содержащем двойные радикалы.
2) приводя подкоренное выражение к полному квадрату;
3) по формулам сложного радикала.
Дома вы преобразуете двойные радикалы с контрольного листа разными способами.
Урок алгебры по теме «Двойной радикал». 8-й класс
Разделы: Математика
Класс: 8
Цели урока:
Оборудование: компьютер, проектор.
Ход урока
1 этап работы. Организационный момент.
2 этап работы. Мотивация и выход на постановку проблемы
До восьмого класса мы осуществляли над числами пять арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, причем при вычислениях, мы активно использовали различные свойства этих операций.
В курсе алгебры восьмого класса была введена новая операция – извлечение квадратного корня из неотрицательного числа. Выражения, содержащие операцию извлечения квадратного корня, называются иррациональными.
В большом толковом словаре можно найти следующее определение иррациональности:
С философской точки зрения иррациональность – недоступность разуму, то, что не может быть постигнуто разумом, что явно не подчиняется законам логики, и не может быть выражено в логических понятиях, что оценивается как «сверхразумное». С математической точки зрения иррациональность – несоизмеримость с единицей; не является ни целой, ни дробной величиной.
Действительно ли понятие иррациональности – это что-то «уму не постижимое, несоизмеримое, немыслимое»?
На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.
3 этап работы. Повторение ранее изученного материала
1) Свойства квадратного корня
Чтобы успешно выполнять преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня, нужно знать свойства этой операции.
Вспомним эти свойства:
1) Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел.
2) Если a≥0, b>0, то справедливо равенство
3) Если a≥0 и n – натуральное число, то
4) При любом a справедливо тождество
Если хорошо знать приёмы преобразования рациональных выражений, приёмы преобразования алгебраических дробей, усвоить определение понятия корня и свойства квадратного корня, уметь вносить множитель под знак квадратного корня, выносить множитель из – под знака квадратного корня, то можно выполнить преобразование любого выражения, содержащего операцию извлечения квадратного корня.
2) Способы преобразования радикалов
Кроме перечисленных теорем при преобразовании радикалов применяются некоторые специальные приёмы, тоже вытекающие из этих теорем, но требующие некоторого навыка.
Первый называется уничтожением иррациональности в знаменателе дроби. Если в знаменателе дроби имеется корень или несколько корней, то обращаться с такой дробью не совсем удобно. Смысл этого приёма заключается в том, что надо подобрать такой множитель, чтобы его произведение на знаменатель не содержало корней.
4 этап работы. Ввести понятие двойного радикала и доказатьформулу сложного радикала.
Выражения вида 
и 
называют двойными радикалами или сложными радикалами. Преобразовать двойной радикал
это значит избавиться от внешнего радикала.
=
= 
При 
каждое подкоренное выражение неотрицательно.
Докажем эти равенства(доказывает ученик):
Для этого возведём в квадрат обе части данных выражений, воспользовавшись при этом формулой квадрата суммы (разности) двух чисел и формулой разности квадратов.
Возведем в квадрат левую часть:
= 
Возведем в квадрат правую часть:
= 
∙
= = 
= 
= = 
= 
= 
Заметим, что доказанное тождество позволяет существенно облегчить вычисления и преобразования, если выражение 
представляет полный квадрат.
5 этап работы. Рассмотрим способы преобразования двойного радикала.
1 способ:
Можно выполнить алгебраические действия в некотором выражении, содержащем двойные радикалы.
Примеры:
= 
= 
= 
= = 
= 
= 
= 
= 
= =
= 
= 
= 
= 
= = 
= 
2 способ
Можно привести подкоренное выражение к полному квадрату.
Примеры:
Таким образом, если подкоренное выражение представить в виде полного квадрата, то можно легко освободиться от внешнего радикала.
Попробуем решить 
НЕ УДАЕТСЯ.
3 способ
В тех случаях, когда подкоренное выражение нелегко представить в виде полного квадрата, то можно использовать готовую формулу сложного радикала
= 
Примеры:
6 этап работы. Закрепление изученного материала.
Преобразуйте выражения, содержащие двойные радикалы:
7 этап работы. Вывод урока.
Преобразовать двойные радикалы можно следующим образом:
8 этап работы. Домашнее задание.
Дома вы преобразуете двойные радикалы разными способами (раздать листы с заданиями).
Преобразование двойных радикалов
Сторона а5 правильного пятиугольника, вписанного в круг радиуса R, вычисляется по формуле
Выражение 
входящее в эту формулу, имеет вид
где а, b, с — некоторые рациональные числа. Выражение такого вида называют двойным радикалом.
В преобразованиях выражений, содержащих двойные радикалы, стремятся освободиться от внешнего радикала. Это нетрудно сделать, когда выражение, стоящее под знаком радикала, можно представить в виде квадрата суммы или квадрата разности.
Пример 1. Освободимся от внешнего радикала в выражении 
Пример 2. Освободимся от внешнего радикала в выражении 
Покажем, как можно решить эту задачу, используя метод неопределённых коэффициентов.
Пусть 
где а и b — некоторые числа.
Тогда (а + √3) 2 = 61 + 28√3 и а + b√3 ≥ 0. Значит,
а 2 + 2ab√3 + 3b 2 = 61 + 28√3.
Из этих пар выберем те, которые удовлетворяют условиям
а 2 + 3b 2 = 61 и a + b√3 ≥ 0.
Нетрудно убедиться, что такая пара единственная — это пара (7; 2). Значит,
В правой части этой формулы записано неотрицательное число. Покажем, что его квадрат равен а ± √b:
Пример 3. Освободимся от внешнего радикала в выражении 
По формуле двойного радикала имеем
Освобождение от внешнего радикала используется в преобразованиях выражений с переменными, содержащих двойные радикалы.
Пример 4. Упростим выражение
Представим в двойном радикале подкоренное выражение в виде
Преобразование двойных радикалов
Конспект урока по алгебре с использованием презентации.
Просмотр содержимого документа
«Преобразование двойных радикалов»
Тема: Преобразование двойных радикалов
Цель: Формировать умения освобождаться от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата, используя метод неопределённых коэффициентов, с помощью формулы двойного радикала. Развивать конструктивное и алгоритмическое мышление. Воспитывать самокритичность.
Тип: Урок формирования знаний и умений.
Оборудование: Проектор, презентация урока, учебник.
Проверка домашнего задания.
Проверить с записью на доске решение примера № 438.
(2 – 
) (2 + ) = 2² – 
= 4 – 3 = 1. Числа, произведение которых равняется 1, являются взаимно обратными.
(2 
– 5) + 
= 
= 
= 0. Числа, сумма которых равна 0, являются противоположными.
Актуализация умений. Работа в парах.
Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата. а) 
= 
= 
+ 1
б) 
= 
= 
– 2
Постановка проблемы, целей и задач урока.
в) 
= 
= 6 –
Изучение нового материала. Формирование умений.
Решение задачи методом неопределённых коэффициентов.
= а + b, тогда (а + b)² = 61 + 28 и а + b ≥ 0
Значит, a² + 2ab + 3b² = 61 + 28
a² + 3b² = 61, a² + 3b² = 61,
Выпишем все пары целых чисел ( a;b), для которых ab = 14 и выберем те, которые удовлетворяют условиям. Это пара (7; 2). Значит, = 7 + 2.
Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата:
1) = = 5 – ; 2) = = 1 + 4
Формула двойного радикала:
Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала:
Применение алгебраических формул в геометрии.
Радикал по другому называется …
Двойной радикал – это …
Освободиться от внешнего радикала можно, представив …
Если представить подкоренное выражение в виде квадрата не удаётся, то можно использовать …
Формула двойного радикала помогает освободиться от внешнего радикала, если выполняются условия: а ≥ 0, b ≥ 0 и …
Ответы: 1. Арифметический квадратный корень.
2. В подкоренном выражении есть иррациональное число, записанное с помощью арифметического квадратного корня.
3. Представив подкоренное выражение в виде квадрата.
4. Метод неопределённых коэффициентов.
5. Разность а 2 – b равна квадрату рационального числа.
Рефлексия. Проверьте свои ответы и поставьте смайлик, который соответствует вашему настроению.
Пункт 20, формулы выучить. Решить письменно №№444, 446(в). Для индивидуальной работы № 511.